Pojcia grupy i ciaa, wielomiany (pdf),

(1)

6 Pojęcia grupy i ciała, wielomiany

6.1 Definicja grupy, przykłady grup

Definicja. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem dwuargumentowym ∗ : G ×

G → G, (a, b) 7→ a ∗ b, spełniającym warunki:

– działanie jest łączne:

∀a,b,c∈G(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c),

– działanie posiada element neutralny:

∃e∈G∀a∈Ga ∗ e = e ∗ a = a,

– każdy element grupy posiada element odwrotny względem działania:

∀a∈G∃b∈Ga ∗ b = b ∗ a = e.

Element neutralny w grupie jest dokładnie jeden. Element odwrotny do a jest oznaczany przez a−1. Jeśli działaniem w grupie jest dodawanie, to element neutralny oznaczamy przez 0, element odwrotny do a nazywamy przeciwnym do a i oznaczamy przez −a.

Jeśli jest spełniony dodatkowy warunek: – działanie jest przemienne:

∀a,b∈Ga ∗ b = b ∗ a,

to grupę nazywamy przemienną (lub abelową).

Przykład 1. Przykłady grup z działaniem dodawania:

(a) Z, (b) Q, (c) R, (d) Rn_,

(e) Matm×n(R),

(f) zbiór wektorów swobodnych na płaszczyźnie/w przestrzeni.

Przykład 2. Przykłady grup z działaniem mnożenia:

(a) Q \ {0}, (b) R \ {0},

(2)

6 POJĘCIA GRUPY I CIAŁA, WIELOMIANY 2

(c) GLn(R) = {A ∈ Matn×n(R) : det A 6= 0},

(d) SLn(R) = {A ∈ Matn×n(R) : det A = 1}.

Omówimy jeszcze jeden przykład – grupę permutacji. Permutacją zbioru {1, 2, . . . , n} nazywamy bijekcję

σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.

Permutację zapisujemy w postaci tabelki:

σ = 1 2 . . . n − 1 n σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) σ(n) ! . Przykład. Permutacja σ = 1 2 3 4 4 1 3 2 !

jest określona następująco: σ(1) = 4,

σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(4) = 2.

Zbiór permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy przez Sn.

Permutacje składamy jak funkcje:

(στ )(i) = σ(τ (i)) dla σ, τ ∈ Sn, i ∈ {1, 2, . . . , n}. Przykład. 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 2 1 ! 1 2 3 4 5 6 1 4 6 2 3 5 ! = 1 2 3 4 5 6 3 6 1 4 5 2 !

Zbiór Sn z działaniem składania jest grupą.

6.2 Definicja ciała, przykłady ciał

Definicja. Ciałem nazywamy zbiór F z działaniami dwuargumentowymi,

doda-waniem + : G × G → G, (a, b) 7→ a + b, i mnożeniem · : G × G → G, (a, b) 7→ a · b, spełniającymi warunki:

– dodawanie jest łączne:

∀a,b,c∈F(a + b) + c = a + (b + c),

– dodawanie jest przemienne:

∀a,b∈Fa + b = b + a,

– dodawanie posiada element neutralny:

(3)

– każdy element ciała posiada element przeciwny względem dodawania:

∀a∈F∃b∈Fa + b = 0,

– mnożenie jest łączne:

∀a,b,c∈F(a · b) · c = a · (b · c),

– mnożenie jest przemienne:

∀a,b∈Fa · b = b · a,

– mnożenie posiada element neutralny:

∃1∈F∀a∈Fa · 1 = a,

– każdy element różny od 0 posiada element odwrotny względem mnożenia:

∀a∈F∃b∈Fa · b = 1,

– mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:

∀a,b,c∈F(a + b) · c = (a · c) + (b · c),

– 1 6= 0.

Powyższe warunki oznaczają, że zbiór F z działaniem + jest grupą przemienną oraz zbiór F \ {0} z działaniem · jest grupą przemienną.

Przykład 3. Przykłady ciał:

(a) Q, (b) R,

(c) Q(√2),

(d) Zp, gdzie p jest liczbą pierwszą.

6.3 Wielomiany

Definicja. Wielomianem o współczynnikach z ciała F nazywamy wyrażenie

W (x) = anxn+ an−1xn−1+ . . . + a1x + a0,

gdzie an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ F . Jeśli an6= 0, to liczbę n nazywamy stopniem

wielomia-nu i oznaczamy n = deg W (x). Liczbę x0 ∈ F nazywamy pierwiastkiem wielomianu

W (x), jeśli W (x0) = 0. Zbiór wielomianów o współczynnikach z ciała F (krócej: nad ciałem F ) oznaczamy przez F [x].

(4)

Uwaga 1. Wielomian możemy zdefiniować jako funkcję W : F → F wyżej określonej

postaci, ale musimy pamiętać, że w przypadku ciał skończonych różne wyrażenia mogą określać tę samą funkcję, np. x2 _{= x dla x ∈ Z2}_{, ponieważ 0}2 _{= 0 i 1}2 _{= 1.}

Wielomian W (x) nazywamy podzielnym przez niezerowy wielomian P (x), jeśli istnieje wielomian Q(x), taki że

W (x) = P (x) · Q(x).

Oznaczenie: P (x) | W (x). Wielomian P (x) nazywamy też dzielnikiem wielomianu

W (x).

Zauważmy, że jeśli P (x) | W (x) i W (x) jest wielomianem niezerowym, to deg P (x)6 deg W (x).

Odnotujmy twierdzenie o dzieleniu z resztą dla wielomianów.

Twierdzenie 1. Dla dowolnych wielomianów W (x) i P (x), takich że P (x) jest

nie-zerowy, istnieje dokładnie jedna para wielomianów Q(x), R(x), spełniająca warunek W (x) = P (x) · Q(x) + R(x),

taka że deg R(x) < deg P (x) lub R(x) = 0 (wielomian zerowy).

Oczywiście P (x) | W (x) dokładnie wtedy, gdy R(x) = 0.

Twierdzenie 2. (a) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x − a jest równa

W (a).

(b) Wielomian W (x) jest podzielny przez x − a dokładnie wtedy, gdy W (a) = 0. Element a ∈ F nazywamy pierwiastkiem krotności k wielomianu W (x), jeśli (x − a)r _{| W (x) i (x − a)}r+1 _{6| W (x).}

Wielomian W (x) stopnia większego od 0 nazywamy nierozkładalnym, jeśli jedy-nymi jego dzielnikami są wielomiany postaci c oraz c · W (x), gdzie c ∈ F \ {0}.

Zauważmy, że każdy wielomian stopnia 1 jest nierozkładalny.

Twierdzenie 3. Dla dowolnego wielomianu W (x) stopnia większego od 0 istnieją

parami niestowarzyszone wielomiany nierozkładalne P1(x), . . . , Pk(x) oraz c ∈ F \

{0}, takie że

W (x) = c · P1(x)r1 · . . . · Pk(x)rk,

gdzie r1, . . . , rk > 0. Wielomiany P1(x), . . . , Pk(x) są określone jednoznacznie z

dokładnością do kolejności i stowarzyszenia, wykładniki r1, . . . , rk są określone