Stabiliteit van wanden in systeembouw

HER

N

J

aargang 12 no. 2 Delft, 1964

IR. M. DRAGOSAVIC

STABILITEIT VAN WANDEN IN SYSTEEMBOUW

o

Inleiding

U.D.C. 624.041; 624.022; 624.012.3

Een ongewapende draagwand heift een eigen stabiliteit, dank zij de eindige dikte van de wand en de verticale belasting waarmee hij geklemd is tussen de twee opeenvolgende vloeren.

Het artikel bevat een theoretische beschouwing van het verschijnsel. De resultaten van de ter verificatie uitgevoerde modelproeven zijn eveneens gegeven, waaruit blijkt dat onder gunstige omstandigheden een kracht groter dan

H = O,75Pdlh

nodig is om een ongewapende draagwand te doen omvallen (d = wanddikte, h = wandhoogte, P = verticale belasting van de wand, H = horizon tale kracht op de wand).

Hiermee wordt de aandacht gevestigd op de meewerkende factoren die de stabiliteit van een gebouw opgetrokken in geprifabriceerde elementen ver-groten, en waarmee in de praktijk geen rekening wordt gehouden.

Ret bijzondere karakter van de draagconstructie van een gebouw opgetrokken uit geprefabriceerde vloer- en wandelementen ligt, t.O.V. de skeletbouw, in de betrekkelijk geringe samenhang van de elementen onderling. Bij de berel(ening van deze constructies wordt in de praktijk aangenomen dat de aansluitings-vlakken tussen wanden en vloeren geen trekspanningen kunnen opnemen, en dat de draagwanden hun plaatsvastheid slechts danken aan de verticale belasting waardoor zij tussen twee vloeren zijn geklemd. De aansluitingen tussen wand en en vloeren worden gewoonlijk beschouwd als zijnde lijn-scharnieren die geen momenten kunnen opnemen.

Behalve op de vertic ale belasting (eigen gewicht en nuttige belasting) moet de draagconstructie van een gebouw worden berekend op mogelijke horizontale krachten t.g.v. wind, seismische en andere trillingen, ongelijke zettingen en dergelijke, afhankelijk van de plaatselijke omstandigheden en voorschriften.

De construe tie moet bovendien voldoen aan een minimum stabiliteitseis. Rierover is in de "Richtlijnen voor het construeren van hoge gebouwen" in de grote Nederlandse gemeenten het volgende bepaald:

"Behalve een belasting door hoge wind moet gerekend worden op een totale horizontale bela sting gelijk aan 1,5

%

van het eigen gewicht en de nuttige belasting. Deze laatste belasting mag hierbij in overeenstemming met de T.G.B.

worden gereduceerd. Deze horizontale belasting wordt geacht gelijkmatig ver-deeld aan te grijpen. Van beide hori-zontale belastingen moet de ongun-stigste worden aangehouden".

De draagconstructie van het gebouw, die de verticale belasting overbrengt naar de fundering, kan in haar een-voudigste vorm worden teruggebracht tot een aantal horizontale vloeren en

z ~ L L / ' , / / ' / ' / ' / ' / _L L .c / ' / ' / ' / ' / ' _{/ ' L L} L / ' / ' / ' / ' / ' / ' _{/ ' L L} L L L L .c / ' / ' / ' / ' _L L L L L L ~ / ' / ' / ' / ' / ' / / / ' _{L L L} / ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' / ' _{L L L} /~/'/'/'/'/'LLL~/' Fig. 1. ~ ~ ~ ~ ~ ~ / ' / ' x

aan elkaar evenwijdige vertic ale dwarswanden, zoals in fig. 1 is weergegeven. De horizontale krachten in de dwarsrichting (y-richting) van het gebouw laat men opnemen door de stijve schijven, gevormd door de boven elkaar staande dwarswanden.

In de lengterichting van het gebouw (x-richting) worden de verbindingen tussen wand en en vloeren beschouwd als scharnieren, terwijl de horizontale krachten zijn op te nemen Of door een of meer verticale stijve kernen, waarin dan trappenhuizen en liftkokers worden ontworpen, Of door langswanden (fig. 2), dan wel door een combinatie van beide.

/ 1/ /1/. / / _{L: i/i/} / / r~ !/ f/

rc:v

/ /

_r;;v

/ 1/

]Lv

b

I I I I I I

P

I I I I I I

I?ill

E

I

±

I

±

I

fj

Fig. 2. a. schema van een draagconstructie met een stijve kern. b. stijve kern als een portaalconstructie uitgevoerd. c. schema met dragende langswanden.

Zowel de eis vervat in de 1,5%-regel als de hiervoor gebruikelijke methode van "stabiliteits"berekening (die in feite neerkomt op een sterkteberekening Van de kern en/of de langswanden) hebben dikwijls belangrijke economische consequenties. Een en ander heeft geleid tot de volgende conclusies en pro-bleemstellingen:

a. De 1,5%-regel is min of meer intultief vastgesteld en geeft voor een lang gebouw grote fictieve krachten die maatgevend worden als horizon-tale belasting. Kan een meer wetenschappelijk verantwoorde eis gesteld worden, welke misschien lichter construeren mogelijk maakt?

b. Ret aansIuitingsvlak tussen een wand en een vloer kan onder gunstige omstandig-heden (b.v. bij de uitvoeringvolgens fig. 3) een zeker moment opnemen t.g.v. de "voorspanning" door de verticale belas-ting. Kunnen deze momenten worden be-trokken in de stabiliteitsberekening van het gebouw?

wand

gestort n3 opstelling

Fig. 3. Schema van een aansluiting tussen wand en en vloeren. Aanslui-tingsvlak wand-vloer kan geen

trek-Bij het Instituut T.N.O. voor Bouwmaterialen en Bouwconstructies is een onderzoek inge-steld, ten doel hebbende meer inzicht te krij-gen in de stabiliteit van hoge gebouwen uitge-voerd in systeembouw en de weerstand van deze construe ties tegen horizontale krachten.

D d . k' spanning en opnemen.

it onderzoek geschie t m samenwer mg met de (N ederlandse) Vereniging van

Sys-teembouwers, die het onderzoek financieel steunt, en concentreert zich hoofd-zakelijk op de bovengenoemde twee problemen.

Enkele jaren geleden heeft Ir. D. DICKE in een artikel getiteld "Stabiliteits-problemen en de 1,5%-regel voor hoge gebouwen" [3] een methode gegeven, die ais aiternatief wordt voorgesteld voor de stabiliteitsberekening, in plaats van de 1,5%-regel. Zijn beschouwing is gewijd aan constructies zoais in fig. 2a en 2b zijn gegeven. Deze methode komt neer op de berekening van de knikveiligheid van de stijve kern waarop de rest van de constructie steunt. Ret is een belangrijke bijdrage tot een wetenschappelijk meer verantwoorde aanpak van het stabiIiteitsprobleem bij hoge gebouwen; aan verder onderzoek in die richting wordt aandacht besteed.

De hierna volgende beschouwingen hebben echter betrekking op het onder b. genoemde probleem, en bevatten een theoretische uitwerking inzake de stabiliteit van een wand, door een vertic ale belasting geklemd tussen twee aangrenzende vloeren, ben evens de resultaten van een experimenteel onder-zoek op wandmodellen van microbeton, uitgevoerd ter verificatie van de theo-retisch verkregen afleidingen [1] en [2].

Aan het geheel kan in dit stadium van het onderzoek niet meer dan een experimentele betekenis worden toegekend. Ret beoogt echter tevens aan te sporen tot verder onderzoek van het probleem, in hoeverre aan de draag-constructie van een gebouw, zoals in fig. I en 3 geschetst, voidoende betrouw-baar een eigen stabiliteit in de Iengterichting is toe te kennen.

1 Theoretische beschouwing

Een wand die volgens het schema in fig. 4 is uitgevoerd en door een vertic ale kracht P geklemd is tussen de twee aangrenzende vloeren, verzet zich tegen horizontale verplaatsing van de vloeren ten opzichte van elkaar. De wand geeft dus aan de draagconstructie van het gebouw een zekere stabiliteit, af-hankelijk van de grootte van de kracht P, de materiaaleigenschappen en de af-metingen van de wand en de vloeren en van de kwaliteit van de verbinding tus-sen wand en vloer. Er is een horizontale kracht nodig om de wand te doen kantelen. Deze kracht kan worden bepaald uit de evenwichtsbeschouwing.

(Lijst van gebruikte notaties op biz. 71).

1.1 Oneindig stiJve wanden en vloeren

Wanneer zowel de wand en als de vloeren van een gebouw oneindig stijf wor-den ondersteld, dan voigt voor een constructie volgens fig. 4 uit de evenwichts-beschouwing:

H d-o d-o

P = -h +-il-h = tg tp = ~V h=2=+=2=do=O=2 . . . (1) Voor de gebruikelijke verhouding dlh bij hoge gebouwen (dlh

<

0,1) is

ilhlh

<

0,5%, zodat men ilh t.O.v. h kan verwaarlozen. De vereenvoudigde

evenwichtsvergelijking wordt dan voorgesteld door de rechte lijn

H

d-o

P = -h- (zie fig. 5a). . . (2)

Door vermenigvuldiging van beide Ieden met hid wordt deze vergelijking H h d-o 15

P'd

= -d-= 1 -

d

(zie fig. 5b) . . . (3) Ret gearceerde oppervlak tussen de coordinaten en de Iijn gegeven door (2)

a

IT

p I - ---1 H 54 \ I , 1 \1 __ A d P I I

of (3) stelt de arbeid voor die nodig is om de con-structie te do en bezwijken = omvallen.

Fig. 4.

Fig. 5. Verloop van de grootte van de kracht H als functie van o.

Ret gedrag van deze constructie is te vergelijken met dat van een mecha-nisch systeem bestaande uit een staaf AB

=

r

=

Vh

2

+d

2

=

_{constant, onder}

invloed van de krachten Pen H (zie fig. 4).

Voor n gelijke wanden in een verdieping (zie fig. 6) vindt men een

soort-gelijke formule:

H h 0

;--:P·d

= 1 -

d . . .

(4)

Dit is dezelfde vergelijking als voor een wand belast met een kracht n· P.

1.2 Eindige stijjheid van wanden en vloeren

a. Om een stap verder naar het gedrag van de rede constructies te gaan wordt nu een wand beschouwd met een eindige stijfheid Ew1w, geklemd

tussen twee vloeren met een eindige stijfheid Evlv, doch met de onderstelling

dat het aansluitingsvlak van wand op vioer een oneindig stijve plaat is. Tevens wordt aangenomen dat, ten gevolge van horizontale krachten in de lengte-richting van het gebouw, momentennulpunten optreden in het midden van elke vloeroverspanning, en in de wand en ter halver verdiepingshoogte. Men kan zich dan beperken tot de beschouwing van een detail zoals in fig. 7 sche-matisch is weergegeven en het gedeelte van de horizontale kracht dat op een wand werkt. (Grotere afwijkingen van deze afspraak zullen aIleen optreden in de buitenste vloervelden en de bovenste verdiepingen).

Onder de aldus gestelde voorwaarden zal de wand, evenals in het geval van oneindig stijve wand en en vloeren, pas gaan kantelen nadat bij A het moment

MOmax = p.

d/2

is bereikt. Fig. 7. Fig. 6. H Heron 12 (1964) no. 2 H 7ifL~

--

~~-,

--

--I

=_

_~_--- A A c --- - ! i 2 I /i

~

: ! I I I I I 55

Zolang Mo

<

P(d/2) vervormt de constructie elastisch, terwiji de aansluiting

wand-vloer zich gedraagt als een stijf knooppunt van een portaalconstructie. Uit fig. 7 voIgt op grond van de elasticiteitstheorie:

d;y Mx 1

- = - - - = - - -(P 'y+H. x) . . . . (5) dx2 _{Ew1w Ew1w}

Aan deze vergelijking voldoet de algemene oplossing:

y = C1 sin ax

.

P

waann: a2 _{= ~~-.} Ew1w H C2 cos ax - -·x P . . . (6)

De constanten CI en C2 volgen uit de randvoorwaarden:

d;y x = 0 -7- Mx = 0 -7- - = C2 = 0 dx2 h dy dy x = - -7- - (wand) = - (vloer) : 2 dx dx

CIa cos ah _ H = Mo(l/2)

2 P 3Ev1v . . . (7)

o

h Mo = P

2

+

H

2 . . . .

(8) zodat: Uit (6), (7) en (9) voIgt:

y -

( POl 12Ev1v Hhl

+

H)

sin ax _ _ H.x I2Ev1v P ah P . . . (10) a cos

2

. . . (11)

56

Heron 12 (1964) no. 2

De vergelijking (11) wordt grafisch voorgesteld door de rechte lijn II in fig. 8.

De helling a van deze lijn wordt bepaald door:

y

Ph2 _cotg

y.

_Ph2

-.~

4Ew1w 4Ew1w l2E v1v

a = tg1fJ =

--V

Ph2

Y

Ph2 Plh

1 - - - c o t g

+

-4Ew1w 4Ew1w 1 2 Ev1v

De maximale horizontale kracht die nodig is om de constructie te doen bezwijken is bepaald door het snijpunt T van de lijnen I en II in fig. 8. Dit punt stelt het ogenblik voor wanneer de excentriciteit van de kracht P de grootste waarde eo = dj2 heeft bereikt. Daarna blijft het moment Mo constant (Mo = MOmax = P(dj2)), zodat de grootte van de horizontale kracht bij verdere verplaatsing verloopt volgens lijn I, die dezelfde is als in fig. 5. De maximale horizon-tale kracht voIgt uit het even wicht:

h (h d H max '-

+

P- = Mo = p.-2 2 max 2 of :r:

r

io..₁

I

, T II I I I I . . . (12) Fig. 8. . . . (13)

Uit (11), (12) en (13) voIgt dan:

(~ ~)

= _a_. . . . (14)

. P d max 1 +a

of Hmax = p - . -d a . . . (15)

h l+a

Deze kracht treedt op bij de horizontale verplaatsing:

. . . (16)

Langs deze weg kan men ook de knikformule van Euler terugvinden, wan-neer men stelt:

a = 0 en Ev1v = 00 • • • • • • • • • • • • • • • •• ( 1 7)

Dan wordt: cotg

V

Ph2 = 0 -+

V

Ph2 =

~

4E w1w 4Ew1w

2

of n2Ew1w P = = Pk • • . . . • . • • • . . . • . • • • • (18) h2

De knikkracht Pk voor de constructie met niet oneindig stijve vloeren voIgt uit

de voorwaarde:

. (17a)

of . (19)

b. Zoals uit (15) is te zien is de grootte van de maximale horizontale kracht

(Hmax) o.a. afhankelijk van de verticale belasting op de wand. Voor P=O

(eigen gewicht van de wand inbegrepen) en

P = Pk is Hmax = O.

Voor 0

<

P

<

Pk doorloopt Hmax

verschil-lende positieve waarden. In fig. 9 is het verloop van Hmax als functie van P uitgezet voor het

geval van een oneindig stijve vloer. De grootste waarde kan worden berekend door (15) een-maal te differentieren en gelijk nul te stellen. Stelt men Ev1v = 00, en

dan voIgt uit (15):

~

,

::r:

r

dHmax 1 ~ = 0 -+ sin (nV~) = 3nV~ waaruit maxHmax Fig. 9. d4 ~ = 0,525; en max. Hmax = 0,227 Ew h3 . . • . . . . (21)

Een wand heeft dus maximale stabiliteit bij een vertic ale belasting gelijk aan ongeveer de helft van de knikkracht volgens Euler. Een zo grote belasting komt echter in de praktijk van de systeembouw niet voor.

c. In normale praktijkgevallen is de grootte van de verticale belasting P

op een wand veel kleiner dan de knikkraeht. Voor een 20 em dikke wand van ongewapend beton met een hoogte van 2,60 m, een toelaatbare druk-spanning van 30 kgfjcm2 en Ew = 3.105 _{kgfjem2 is de bijbehorende}

knik-kracht van Euler:

:n;2Ew1w

Pk = h₂ = 2,92.104 kgf per strekkende centimeter wand.

De maximum toelaatbare belasting zou zijn:

P = 30·20 = 600 kgf R::J 0,02Pk per str. cm. wand . . . (22)

De belasting op de wand bedraagt dus slechts 2% van de knikkracht. Wanneer P

«

Pk , hetgeen, zoais hier is aangetoond, bij de normaal

voor-komende afmetingen van draagwanden het geval is, kan men met voidoende nauwkeurigheid voistaan met een rechtlijnig verloop van Mx over de wand-hoogte.

Stel dat: Mx =

(H+P~)

x . . . (23)

In plaa ts van (5) krij gt men dan:

~~

= _ Mx = __

~~

(H

+

p~)

x .

dx2 _{Ew1w Ew1w h} De oplossing v?-n deze vergelijking kan men direct opschrijven wannecr men de wand en de vloer ziet ais twee balken op twec

steun-~

-punten resp. AB en AC (zie fig. 10), met op het gezamenlijke steunpunt A het inwendige moment:

Mo =

(H

-L

p~) ~

=

H

~

+

P

~

(8)

I h 2 2 2

Dan voIgt uit de verdraaiing van beide balken in punt A:

o

h 2 = (tpAwand+tpAvloer)'2 . . . (5a) rpA wand rpAvlocr

---=-:1

2 Fig. 10. (24)

of:

o

(Moh Mol) h

2

=6Ew1w

+

6Ev1v

'2

. . . (25)

Uit (8) en (25) voIgt:

o

Hh3 _{POh2 Hlh2 P6lh}

- = + - - - + ~~ + ~~ of:

2 24Ew1w 24Ew1w 24Ev1v 24Ev1v Ph2 Plh 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. 1-~---. (26) H h 0 12Ew1w 12Ev1v P d d Ph2 Plh Heron 12 (1964) no. 2 -~~- +~-12EuJw 12Ev1v 59

Analoog met de formules (13) tim (16) voIgt uit (26): OT 1 -d a l+a d a Hmax = p . -h l+a 1 OT

=

d -l+a Nu is a echter volgens (26): Ph2 _Plh -12Ew1w 12Ev1v a = -Ph2 _Plh

+

-12Ew1w 12Ev1v · (l3a) · (14a) · (15a) · (16a) . . . (27)

d. Als basis voor (15a) en (16a) diende de veronderstelling dat het aan-sluitingsvIak tussen de wand en de vloer een oneindig stijve plaat is. In werkelijkheid kan in de doorsnede A-A (zie fig. 7) als gevolg van een eindige stijfheid en eindige sterkte van het materiaal de excentriciteit eo =

dl2

nooit worden bereikt. Stel dat het materiaal een a-s-diagram volgens fig. 11 he eft. Ret diagram verloopt rechtlijnig totdat een spanning av is bereikt, waarna bij toenemende vervorming de spanning constant blijft. Uitgaande van dit diagram is in fig. 12 het spanningsbeeld in de wanddoorsnede A-A gete-kend voor verschillende excentriciteiten van de normaalkracht P.

- c

Fig. 11. Fig. 12. Spanningsbeeld in de randdoorsnede A-A bij verschillende stadia van de excentriciteit van de normaalkracht P.

Ret lineaire verloop slechts geldig voor

ofwel: 60 d eo

<:

6 .

H h 1 a ~-<--­ P d 31+a

van H als functie van 0 volgens formule (26) IS nu

(28) (29)

en: - -<; -

o

1 1

--~-d 31+a . . . (30)

Dit echter onder de voorwaarde dat

P

1

a =

d

-<;

2

av (zie fig. 12c) . . . (31) Ret verdere vcrloop van H wordt mede beheerst door:

1. het ontstaan van een gaping over een steeds groter gedeelte van de door-snede naarmate het moment Mo verder toeneemt (fig. 12d tim g);

2. het plastisch vervormen van het materiaal van de wand (fig. 12f en g). e. Een gaping in de doorsnede A-A bij

eo

>

dl6 resulteert in een ingewikkeld spanningsbeeld bij de uiteinden van de wand en in een grot ere verplaatsing 0 dan

door (26) is voorgesteld. Dit spannings-beeld wordt echter veel eenvoudiger wan-neer men onderstelt dat ook nergens in de wand trekspanningen kunnen worden op-genomen. De draagwanden in systeem-bouw worden immel's in de regel gemaakt van ongewapend beton of een ander bros en ongewapend materiaal waar norma-liter trekspanningen worden verwaar-loosd. Bij verwaarlozing van trekspannin-gen in de wand strekt de geldigheid van de formules zich ook uit tot ongewapende wanden (metselwerk) in de traditionele bouw.

H

P·eo

Fig. 13.

Wanneer een wand geen trekspanningen kan opnemen, dan krijgt men voor

eo

>

dl6 een wand volgens fig. 13, met variabele dikte boven en onder:

d'

=

3

(~ ~

ex)

-<; d . . . . (32) In een publikatie over de samenwerking van wand en en vloeren [4] geeft

S. SAHLIN voor de verdraaiing van zo'n wand in A de volgende oplossing:

Moh

ipAwand = ---E-- . . . . (33)

c· 6 Wltv

waar lw = d3jl2 = constant, en c een factor is die de invloed van (32) op de

verdraaiing van de doorsnede A-A weergeeft. De factor c als functie van de excentriciteit eo vindt men uit het diagram in fig. 14, overgenomen uit de

noemde publikatie. Wanneer men nu deze door SAHLIN gegeven correctie

invoert in (25), dan krijgt (26) de volgende vorm:

Hh Pd Ph2 Plh <5 1 -12-c-E-w-I-w - -12-E-vI-v d--~P~h2----~P~lh~­

+

-12cEw1w 12Ev1v . . (34) Uit (8) voIgt: o 1.0

I

0.9 0.8 0.7 0,6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 h <5 Mo = H -

+

P - = P·eo of

2

2

Hh <5 eo = - -

+-P 2 2 . . . (35)

~

eld c

'\

"'-

. I

\

1 -I

\

0,0 1,0 0,1 1,0 0,2 0,997 0,3 0,845 0,4 0,480

\

0,45 0,255 0,475 0,133

1\

0,480 0,485 0,108 0,082

\

\

\

\

0,487 0,070 0,490 0,056 0,492 0,044 0,495 0,030 0,496 0,024 0,497 0,018 0,498 0,012 0.1 0,2 0,3 0.4 0.5 0,499 0,006 - ( j e _{0,500 0,000}

Fig. 14. Diagram voor factor c volgens SAHLIN.

Door substitutie van (35) in (34) krijgt men tenslotte:

en: <5 2eo (Ph2 Plh )

d

=

d

12cEw1w

+

12Ev1v . . . (36)

Hh--=2;---;51

Pd-d-d

. . . (37)

---~---Aan de hand van de formules (36) en (37) kan voor ieder afzonderlijk geval het verloop van H als functie van <5 worden getekend. Voor willekeurige

waar-den van eo (0

<

eo

<

dj2) voIgt uit het diagram in fig. 14 de grootte van c.

Door invoering in (36) en (37) kan men de bij de gekozen excentriciteit be-horende waarden van <5 en H bepalen.

f. Bij het construeren van het diagram voor factor c (fig. 14) he eft SAHLIN

geen rekening gehouden met de eindige sterkte van het wandmateriaal. Wanneer men het verioop van H als functie van 0, berekend volgens (36) en (37), in een diagram uitzet, krijgt men ais resultaat een kromme zoais in fig. 15a is aangegeven. Deze kromme nadert asymptotisch tot de karakteristieke lijn I

die bepaaid is door (3). Dat betekent dat ais grenswaarde voor de excentriciteit

eo geldt:

d

. . . (38)

Fig. 15.

Dit is echter bij rede materialen niet mogelijk. Wanneer men uitgaat van het spanningsverloop in de doorsnede A-A volgens fig. 12, dan blijkt de geldigheid van de factor c beperkt te zijn tot

d

2P

d(

G).

eo <;

2 - -3;;;

=

2

1 -

3;;;:

(Zle fig. I2e). . . (39) De theoretisch grootst mogelijke excentriciteit voIgt uit fig. 12g:

eo max

=

~

(1 -

~J.

. . . . ..

(40)

Uit (39) en (40) bIijkt dat de kromme in fig. I5a slechts geldig is tot punt R, dat bepaald is door

eo

= ;

(1 -

i;;;:) ... . . . (

41 ) en dat de kromme verdeI' asymptotisch nadert tot een karakteristieke lijn, be-paald door (40), of andel's geschreven door:

1 - - - -- - - - I

I

~ ~

= 2eo

;ax -

~

I . . .

(42)

1___ ______ ____

I

Ret verloop van H als functie van (j is nu in fig. I5b weergegeven. De karak-teristieke Iijn III voIgt uit (42).

g. Recapitulerend kan men over het verloop van het H-15-diagram (zie fig. 15 b) het volgende vaststellen:

1. Ret verloop van H als functie van 15 is tot punt R bepaald door de for-mules (36) en (37).

2. Punt R voIgt uit (41).

3. Na punt R nadert de kromme asymptotisch tot de rechte lijn III, bepaald door (42).

4. Ret verloop van het H-15-diagram is lineair tot het punt S dat bepaald is door (29) en (30).

Over de waarde welke voor av moet worden aangehouden is moeilijk iets te zeggen. Ret a-s-diagram in fig. 11 is sterk geschematiseerd. Uit de proeven die hieronder worden beschreven bleek av groter dan de kubussterkte van het materiaal van de beproefde wandjes.

2 Experhnenteel onderzoek

Ter verificatie van het door de theoretische beschouwing verkregen diagram, (fig. 15b) en vooral om na te gaan hoe groot de maximale horizontale kracht is die nodig is om een wand te do en omvallen en bij welke verplaatsing deze kracht optreedt, werd in het laboratorium van het Instituut een modelonder-zoek verricht. Uitgegaan werd van in de systeembouw veelvuldig toegepaste draagwanden van ongewapend beton met een dikte van 20 cm. De vloeren werden als oneindig stijf beschouwd.

De modelwanden werden uitgevoerd in microbeton bij een lineaire ver-kleiningsschaal van 1 : 10. Proeven met werkelijke constructies zijn niet gedaan omdat deze moeilijk uitvoerbaar en tevens kostbaar zouden zijn.

Beschrijving van de modellen en de pro~fopstelling

De afmetingen van de modellen zijn in fig. 16a gegeven. Er is een dertigtal van zulke wandjes vervaardigd, die paarsgewijs werden beproefd.

a

2 em

dikke stalen plaat

(E,I,~ =)

b

Fig. 16. Afmetingen van het model. Schema van de proefopstelling en belasting.

64

De eigenschappen van micro-bet6n zijn nagenoeg gelijk aan die van gewoon beton. De afme-tingen van de proefstukken en de kwaliteit van het modelmateriaal vertoonden weinig spreiding.

(Vk28 ~ 390 kgf/cm2,

Ew ~ 320.000 kgf/cm2).

Fig. 16b geeft het schema van de wijze van belasting weer. Voor elke proef werden twee wandjes evenwijdig aan elkaar opgesteld

op een stijve stalen plaat. Boven op de wandjes werd eveneens een stijve stalen pIa at gelegd. Door het tegelijk beproeven van twee wandjes werd bereikt dat de stalen platen, die de oneindig stijve vloeren voorstcllen, tijdens de proef horizontaal bleven.

De verticale belasting werd op de bovenste plaat, in het midden tussen de twee wandjes, aangebracht. Deze belasting is zo gckozen dat de spanning P/(d. b) R:J 15 kgf/cm2 resp. 30 kgf/cm2 bedroeg.

Om bij de aansluiting tussen wanden en vloeren zo goed mogelijk tc voldoen aan de voorwaarden die hiervoor in de theorie zijn gesteld, werden onder- en bovenvlak van de wanden zorgvuldig vlak geslepen. Met kleine afwijkingen die nog overbleven in de vertic ale stand van de wandjes is later rekening ge-houden bij de verwerking van de proefresultatcn.

Door middel van instrumenten werd aan de stijve bovenplaat steeds tege-lijkertijd zowel 2H als

a

ge-meten, terwijl 2P constant werd gehouden.

Fig. 17 geeft een overzicht van de proefopstelling. De twee groepen veren die men achter elkaar ziet waren nodig om de variatie in de grootte van de verticale belasting verwaar-loosbaar klein te houden. Door-dat de trekstangen waarmee de verticale belasting werd aan-gebracht ver beneden de vloer-plaat van het model waren ver-ankerd, was de horizontale component van de kracht in de trekstangen die ontstond t.g.v. de horizontale verplaat-sing

a,

klein.

In de uitwerking van de proeven is niettemin steeds H

met deze horizon tale compo-nent van P gecorrigeerd.

Fig. 17. Foto van de proefopstelling.

66

11= 15 kgf!cm 2 __ p = 30 kgf/cm1

markanre punten 5(0,0012; 0,332) en R(O,094; 0,882) [O"v = 858 kgf/cm2]

J-;,...~_---jnaderin9Slijn t~~:re~~:c~'::~~le:;e (~~:~2~~ 0)

gemlddelde kromme Ult de proeven grenzen waarblflnen de proefresultaten vlelen

0,8 1+!'-f---+""~2k---,~--.--,-- --,---, 0,5 , 0,4 :: 5 0,3 0,2 0,1 0,1

"

_"

9

L "

';Z'

"''''

_"''''

0,2 0,3 0,4 0,5 Fig. 18. u= 30 kgf/cm2 __ p = 60 kgf/cm1 0,6 0,7 0,8 -1 0,9 1,0 b - - - ; ]

markanre punten 5(0,0023: 0,331) en R(O,0662; 0,860) [a, = 545 kgfjcm2]

naderingsliJn door (0; " (0,945; 0)

_ . - theoretl5ch kromme

- -

gemiddelde kromme Wit de proeven

0,

"if

/fr.-' ,,',\ grenzen waarbinnen de proefresultaten vlelen

8

i/fi

71

i!!

,1

I

0, 0, 6

t---!

0, 5 0, 4 V5 0, 1 0, 2 ,1 0,1

,~~"

~l-- I i

'\

_"

I

"

,"'-

_"

i

'\

-~-t -i

"

I

"

",

"-

_~""

, i I

,\,'',

I I' I i I I i I I i .1 I I 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Fig. 19. ~-~- ~--~-, - ~~--~-. . ~~----,-~ , i I ,

-i

i I

-"

~T

"

I

1'\.,,,

J

'i:"

I 0,7 0,8

'"

I"

1'\.,

0,9 1,0 ,j Heron 12 (1964) no. 2

Resultaten van het modelonderzoek

De resultaten die verkregen zijn uit de hierboven beschreven proeven ziet men in fig. 18 en 19. De uitgezette kromme stelt het gemiddelde H-o-diagram voor van de betreffende groep wandjes. De beide stippellijnen geven de grenzen aan waartussen alle afzonderlijke diagrammen vielen. Ter vergelijking met de theOl'ie is ook de kromme getekend die voIgt uit (36) en (37).

Ret merkwaardige maar toch wel verklaarbare verschijnsel deed zich bij alle proeven voor, dat de stijfheid van de constructie ook voor eo

<

(dj6)

belangrijk lager was dan die uit de theoretische berekening volgens (27) :

aproeven

<

atheoretisch • . • . . • . . • . . . • . (43)

De oorzaken die hiertoe geleid kunnen hebben zullen in het volgende hoofd-stuk worden besproken.

Uit fig. 18 en 19 voIgt, dat bij alle afzonderlijke proeven

d

H max

>

0,75.Ph . . . . . . (44)

Hmax behorende bij het gemiddelde diagram was:

d

Hmax R:i 0,825· Ph' . . . . . . . (45) Deze waarde werd bereikt bij een horizon tale verplaatsing

o

R:i 0,075d . . . (46)

3 Factoren die een belangrijke invloed hebben op de stabiliteit

a. Er zijn verschillende storende factoren te noemen die in de praktijk niet helemaal te vermijden zijn, en die een belangrijke verkleinende invloed hebben op de stijfheid en de stabiliteit van een wand, maar waarmee bij de theoretische beschouwing geen rekening is gehouden. B.v.

het niet verticaal zijn van wand en (zie fig. 20a)

- het niet evenwijdig zijn van de aansluitingsvlakken boven en onder (fig. 20b) beschadigingen aan de rand en (20c)

- het niet vlak zijn van de aansluitingsvlakken (fig. 20d en 20e)

Fig. 20. ~---~I rl ----~ I -~---~I r i ----~ Heron 12 (1964) no. 2

llillJ

67

Zelfs bij onze modelproeven, waar bijzondere aandacht werd besteed aan de bewerking van de aansluitingsvlakken tussen de wandjes en de vloerplaten, kon niet worden vermeden dat er een belangrijke afwijking is opgetreden in de stijfheid van de constructie t.o.v. de theoretisch berekende.

De genoemde factoren (behalve het niet verticaal zijn van wanden) zijn te verminderen door elk element te stellen op een laag verse fijnkorrelige beton-specie die tevoren op het oplegvlak is aangebracht. De beton-specie vult dan de even-tueel overgebleven ruimte tussen wand en vloer.

Verticale belasting op de vloeren en temperatuursverschillen in de vloeren boven elkaar introduceren initiele rpAvloer en 15, waardoor eveneens kleinere waarden voor a en Hmax worden gevonden.

b. Bij de beschouwing van de eigen stabiliteit van een gebouw is uitgegaan van het schema van de draagconstructie volgens fig. 1. De resterende elementen van het gebouw (gevels en scheidingswanden, fig. 21) zijn wegge-laten, hoewel deze de stabiliteit van de draagconstructie sterk kunnen ver-groten.

De invloed hiervan op het verloop van het H-b-diagram is in fig. 22 en 23 weergegeven. Een gevel is hier voorgesteld als een veer die aan de bovenkant van een draagwand deze steunt met een kracht H' = k· b. Zowel de stijfheid als de maximale horizon tale kracht (a en Hmax) kunnen op deze wijze sterk

worden vergroot. Fig. 21. 68 b

-I Ie - - - - ! c -~-a = draagwanden b = gevels c = scheidingswanden Fig. 23. H _H' Fig. 22. :r:

r

Heron 12 (1964) no. 2

Men kan Hmax ook vergroten door tussen wand en vloer een verbinding aan te brengen die tot op zekere hoogte trekspanningen kan opnemen. In dat geval kan 2emax/d> 1 worden, zodat men een H-o-diagram krijgt volgens fig. 24. De twee karakteristieke reehte lijnen zijn hier II en IV. Met de ge-broken lijn is hier het verloop van het diagram weergegeven wanneer in Q

4 Conclusie

de trekspanningen weg zouden val-len. Dan geldt voor het verdere verloop het diagram in fig. 15b.

Fig. 24. - - - - de doorsnede kan trekspanningen opnemen:

(2emax/d) > I

- - - het verloop van het diagram wanneer bij P de trek-spanningen wegvallen

. . . .. het diagram uit fig. ISb.

Onder ideale omstandigheden, d.w.z. wanneer aan de voorwaarden die in de theoretisehe besehouwing zijn gesteld wordt voldaan, is het gedrag van een draagwand, die door een vertic ale belasting P geklemd is tussen twee aan-grenzende vloeren, in de formules (36) en (37) vastgelegd.

Bij de werkelijke eonstrueties zijn deze ideale omstandigheden nooit helemaal aanwezig. Zelfs bij de proeven, waar bijzondere aandaeht is besteed aan de afwerking van de aansluitingsvlakken tussen de wandjes en de vloerplaten, is t.g.v. de onnauwkeurigheden een lag ere waarde vool' Hmax en een aanzienlijk lagere a gevonden dan de theoretiseh berekende. Een verbetering kan men hierin bereiken door het aanbrengen van een laag verse fijnkorrelige beton-specie op de oplegvlakken, voordat een volgend element op zijn plaats wordt gesteld. De specie voegt zieh naar de vorm van de aansluitingsvlakken, en vult de andel's overgebleven ruimte tussen wand en vloer.

Wanneer men de resultaten van de modelproeven toepast op een 20 em dikke en 260 em hoge wand, dan voIgt uit (44) :

20

H max

>

_{0,75· 260 ·P} = 0,0575P

Met andere woorden: een 20 em dikke wand kan een horizontale kraeht groter dan 5% van de vertieale belasting weerstaan, vool'dat hij omvalt. Deze kraeht wordt eehter volgens (46) pas bereikt b~j een aanzienlijke verplaatsing:

o

R:> 0,075·20 = 1,5 em

Ret is niet bekend met welke nauwkeurigheid in de praktijk de theoretisch gestelde voorwaarden kunnen worden benaderd. Bovendien zijn in de praktijk verschillende vloeroverspanningen en verschillende wanddikten in eenzelfde gebouw aan te treffen. Ook moet worden rekening gehouden met initiele momenten in wand en Lg.v. de verticale belasting op vloeren en de tempera-tuursverschillen in de boven elkaar staande vloeren t.o.v. elkaar.

Een en ander beperkt de betekenis van de bij de proeven bereikte resultaten en maakt verder speurwerk noodzakelijk, voordat een gegronde uitsprak kan worden gedaan over de mogelijkheid om bij de stabiliteitsberekening van een gebouw aan de draagwanden een zekere mate van eigen stabiliteit als mee-werkende factor toe te kennen.

Lijst van gebruikte notaties

b c d d' eo n a av 'PAvloer 'PAwand wandbreedte

factor volgens SAHLIN (zie literatuurlijst [4]) wanddikte

geredueeerde wanddikte

exeentrieiteit van de kraeht P, t.O.V. de as van de wand, in het vlak tussen de wand en de aangrenzende vloer

stijfheidsfaetor van een vloer per eenheid van wandbreedte stijfheidsfaetor van een wand per eenheid van breedte wandhoogte, afstand h.o.h. van twee vloeren

horizontale kraeht op een wand per eenheid van wandbreedte vloeroverspanning, afstand h.o.h. van twee draagwanden moment in de wand

moment op de wand in het vlak tussen de wand en de vloer aantal wanden per verdieping

vertieale belasting op een wand per eenheid van breedte knikkraeht

kubussterkte van het materiaal na 28 dagen stijfheidsfaetor van de eonstruetie

horizontale verplaatsing van twee opeenvolgende vloeren t.o.v. elkaar gemiddelde spanning in een wand bij eentrisehe belasting P, (a= P/d)

spanning waarbij plastisehe vervorming optreedt hoekverdraaiing van de vloer in punt A

hoekverdraaiing van de wand in punt A

Literatuurlijst

I. Ir. M. DRAGOSAVIC, Stabiliteit van wanden. Rapport T.N.O. no. BI-62-7.

Dimensie: em em em em kgfcm2_/em' kgfem2_/em' em kgf/em' em kgfem/em' kgfem/em' kgf/em' kgf/em' kgf/em2 em kgf/em2 kgf/em2 rad rad

2. Ir. M. DRAGOSAVIC en B. G. TEN DAM, Stabiliteit van wanden. Rapport T.N.O. no. BI-62-22.

3. Ir. D. DrcKE, Stabiliteitsproblemen en de 1,5%-regel voor hoge gebouwen. Cement 13, I (1961) no. 7.

4. S. SAHLIN, Structural Interaction of Walls and Floor Slabs. Transactions nr. 35, Statens namnd for byggnadsforskning, Stockholm 1959.