Prognozowanie stopy zysku portfela akcji

Nr 1 2004

Jan MIKUŚ*

PROGNOZOWANIE STOPY ZYSKU PORTFELA AKCJI

Określono stopę zysku portfela akcji zarówno w okresie retrospektywnym, jak i prognozowa-nym. Wykorzystując aproksymację interpolacyjną, wyznaczono średni błąd prognozy ex ante stopy zysku portfela akcji.

Słowa kluczowe: prognozowanie, operator predykcji, portfel

1. Wstęp

Decyzje dotyczące inwestowania w papiery wartościowe są decyzjami podejmo-wanymi w warunkach niepewności. W sytuacjach niepewnych, ze względu na skąpy zbiór informacji, problem prognozowania jest znacznie trudniejszy od prognozowa-nia w sytuacjach losowych. Główną cechą sytuacji niepewnych jest brak informacji o zmiennych i rozkładach prawdopodobieństw, którym one podlegają. Zwykle znane są jedynie przedziały, w których wartości zmiennych mogą być zawarte i ewentualnie szacunkowe prawdopodobieństwo ich występowania. Sporządzenie prognozy dostar-cza pewnego rodzaju informacji, co może przyczynić się do zwiększenia skuteczności podejmowania decyzji, zwłaszcza w rozważanej sytuacji. Zauważmy, że inwestora giełdowego interesuje stopa zysku, którą otrzyma od zaangażowanego kapitału. Stopa zysku może w okresie retrospektywnym przyjmować różne wartości z określonymi prawdopodobieństwami. Wartości te zależą od sytuacji na rynku papierów warto-ściowych (m.in. od ogólnej sytuacji gospodarczej) [5]. Użyteczną miarą stopy zysku jest tzw. oczekiwana stopa zwrotu określona z definicji wzorem

i m i ip R R E

∑

= = 1 ) ( (1)

* Instytut Organizacji i Zarządzania, Politechnika Wrocławska, ul. Smoluchowskiego 25, 50-372 Wrocław.

gdzie:

E – operator wartości oczekiwanej, Ri – i-ta możliwa wartość stopy zysku,

pi – prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej możliwej wartości stopy zysku.

Za miarę ryzyka przyjmuje się zwykle wariancję oraz odchylenie standardowe. Wariancja, określona wzorem

i m i i E R R V [ ( )]2p 1 − =

∑

= (2) papieru wartościowego jest, jak widać, ważoną średnią kwadratów odchyleń możli-wych stóp zysku od oczekiwanej stopy zysku.

Przeciętna wielkość stopy zysku w okresie prognozowanym może być określona na podstawie analizy retrospektywnej różnych stóp zysku.

Podstawą racjonalnego inwestowania w papiery wartościowe jest maksymalizacja stopy zysku i minimalizacja ryzyka. Naturalna jest więc preferencja akcji z wyższą oczekiwaną stopą zysku przy tym samym ryzyku. Przy tej samej oczekiwanej stopie zysku inwestor preferuje akcje o niższym ryzyku. Przy zakupie akcji w przypadku: wyższe ryzyko i wyższa oczekiwana stopa zysku można posłużyć się znanym z eko-nometrii współczynnikiem zmienności C, który w kontekście rozważanego problemu określa ryzyko, jakie przypada na jednostkę stopy zysku papieru wartościowego:

) (R E S C= gdzie: S – odchylenie standardowe,

E(R) – oczekiwana stopa zysku papieru wartościowego.

Łatwo zauważyć, że wielkość ryzyka przypadająca na jednostkę stopy zysku po-winna być jak najmniejsza.

Ryzyko inwestowania można zmniejszyć, dokonując zakupu kilku papierów war-tościowych. Inaczej mówiąc, gdy inwestor posiada portfel papierów wartościowych, którego struktura zapewnia maksymalizację dochodu całkowitego inwestora, bezpie-czeństwo inwestycji oraz dużą płynność walorów w nim zawartych, wtedy ryzyko inwestowania może się zmniejszyć.

W strukturze portfela papierów wartościowych należy uwzględnić nie tylko stopę zysku i ryzyko, lecz również korelację stóp zysku, której miarą jest współczynnik korelacji. Współczynnik ten w przypadku portfela złożonego z dwóch akcji A i B jest określony następująco [5]: 2 1 2 2 1 1 1 12 ) ( ) ( p S S R R R R r i i m i i − − =

∑

= ₍₃₎

gdzie:

r12 – współczynnik korelacji pierwszej i drugiej akcji,

pi – prawdopodobieństwo wystąpienia możliwych stóp zysku akcji, R1 – oczekiwana stopa zysku pierwszej akcji,

R2 – oczekiwana stopa zysku drugiej akcji,

R1i – możliwe stopy zysku pierwszej akcji,

R2i – możliwe stopy zysku drugiej akcji,

S1 – odchylenie standardowe pierwszej akcji,

S2 – odchylenie standardowe drugiej akcji.

Przy konstrukcji portfela wartościowego korzystamy z następującej interpretacji współczynnika korelacji papierów wartościowych:

• jeżeli współczynnik korelacji wynosi 1, co oznacza pełną pozytywną korelację stóp zysku, to dla uniknięcia ryzyka nie należy kupować skorelowanych w ten sposób akcji,

• jeżeli współczynnik korelacji wynosi –1, co interpretuje się jako pełną negatyw-ną korelację stóp zysku, pakiet akcji jest w pełni bezpieczny,

• jeżeli współczynnik korelacji spełnia nierówność –1 < r < 1, należy zastanowić się nad możliwością doboru bardziej optymalnego portfela.

Zauważmy, że w rozważanych sposobach obliczania oczekiwanej stopy zysku, od-chylenia standardowego oraz współczynnika korelacji stóp zysku (zob. wzory (1), (2), (3)) niezbędna jest znajomość możliwych do zrealizowania stóp zysku oraz prawdopo-dobieństw wystąpienia różnych stanów gospodarki. Uzyskanie tych informacji nie zaw-sze jest możliwe. W takiej sytuacji stopa zysku może być wyznaczona za pomocą stóp zysku osiągniętych w okresie retrospektywnym. Wymaga to modyfikacji wzorów służących do szacowania oczekiwanej stopy zysku (1), odchylenia standardowego stopy zysku S = V (2) oraz współczynnika korelacji stóp zysku (3). Przyjmują one następującą postać:

∑

= = n t t R n R E 1 1 ) ( 2 1 )] ( [ 1 1 _{R E R} n S n t t− − =

∑

= (4) 2 1 1 2 2 1 1 12 ) 1 ( ) ( ) ( S S n R R R R r n t t t − − − =

∑

= gdzie:

n – liczna okresów z przeszłości, z których pochodzą informacje, Rt – stopa zysku papieru wartościowego osiągnięta w t-tym okresie,

R1t– stopa zysku pierwszej akcji osiągnięta w t-tym okresie,

R2t– stopa zysku drugiej akcji osiągnięta w t-tym okresie,

R1– oczekiwana stopa zysku pierwszej akcji [E(R1) = R1],

R2– oczekiwana stopa zysku drugiej akcji [E(R2) = R2],

S1 – odchylenie standardowe pierwszej akcji,

S2 – odchylenie standardowe drugiej akcji.

Jak już zaznaczyliśmy, podstawą racjonalnego inwestowania w papiery warto-ściowe jest maksymalizacja stopy zysku i minimalizacja ryzyka. W celu zwiększenia stopy zysku i zmniejszenia ryzyka związanego z inwestowaniem w akcje można do-konać zakupu portfela akcji. W przypadku dwóch akcji stopa zysku i ryzyko określo-ne są następującymi wzorami [5]: ) ( ) ( ) ( (2) 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( _{K E R K E R} R E _p = + (5) 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 _{K S K S 2K K S S r} S_p = + + (6) gdzie: ) ( (2) p R

E – stopa zysku portfela dwóch akcji,

Sp – ryzyko (odchylenie standardowe) portfela dwóch akcji, K1 – udział wartościowy pierwszej akcji w portfelu,

K2 – udział wartościowy drugiej akcji w portfelu,

E(R(1)_{) – oczekiwana stopa zysku pierwszej akcji,}

E(R(2)_{) – oczekiwana stopa zysku drugiej akcji,}

S1 – odchylenie standardowe pierwszej akcji,

S2 – odchylenie standardowe drugiej akcji,

r12 – współczynnik korelacji pierwszej i drugiej akcji.

Minimalna wartość ryzyka portfela dwóch akcji osiągana jest dla następujących udziałów akcji w portfelu (zob. wzór (6)):

12 2 1 2 2 2 1 12 2 1 2 2 1 _{S S 2SS r} r S S S K − + − = 12 2 1 2 2 2 1 12 2 1 2 1 2 _{S S 2SS r} r S S S K − + − = (7) K1 + K2 = 1

Zauważmy, że (zob. wzór (6)) ryzyko portfela dwóch akcji jest tym mniejsze, im bardziej współczynnik korelacji między akcjami zbliża się do –1.

2. Konstrukcja operatora predykcji stopy zysku portfela akcji

Określenie stopy zysku portfela akcji, której miarą jest tzw. oczekiwana stopa zwrotu E(Rp) oraz ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym Sp w okresie

pro-gnozowanym wymaga znajomości oczekiwanej stopy zysku pierwszej akcji E(R1),

oczekiwanej stopy zysku drugiej akcji E(R2), udziałów wartościowych K1, K2

odpowied-nio pierwszej i drugiej akcji w portfelu, odchyleń standardowych pierwszej akcji S1,

oraz drugiej akcji S2, jak również współczynnika korelacji tych akcji r12 (zob. wzory

(5), (6), (7)). Inaczej mówiąc, wyznaczenie prognozy stopy zysku portfela dwóch akcji _ˆ( (2)_{) (} (2)_{)| 1} + = = p t n p E R R

E wymaga znajomości następujących prognoz:

1 | 2 2 1 | 1 1 1 | ) 2 ( ) 2 ( 1 | ) 1 ( ) 1 ( _{) ( ) ,} ˆ_{( ) ( ) ,} ˆ _, ˆ ( ˆ + = + = + = + = = = = =E R t n E R E R t n K K t n K K t n R E .

Do wyznaczenia prognozy ryzyka Sˆp =Sp_|t=n+1 niezbędna jest znajomość

progno-zy udziałów wartościowych pierwszej i drugiej akcji w portfelu Kˆ₁,Kˆ₂, odchyleń standardowych pierwszej i drugiej akcji Sˆ₁=S_1|t=n+1,Sˆ₂ =S_2|t=n+1oraz współczynnika korelacji stóp zysku rˆ₁₂ =r_12|t=n+1. Do wyznaczenia prognozy _ˆ( (1)_{) (} (1)_{)| 1} + = = p t n p E R R E , Sˆp =Sp_|t=n+1, zdeterminowanej

wymienionymi prognozami wykorzystać należy metody prognozowania na podstawie następujących szeregów czasowych:

1 | ) 1 ( ) 1 ( | ) 1 ( 2 | ) 1 ( 1 | ) 1 ( _{) , ( ) ,..., ( )} ˆ_{( ) ( )} (R t₌ E R t₌ E R t₌n →E R =E R t₌n₊ E , 1 | ) 2 ( ) 2 ( | ) 2 ( 2 | ) 2 ( 1 | ) 2 ( _{) , ( ) ,..., ( )} ˆ_{( ) ( )} (R t₌ E R t₌ E R t₌n →E R =E R t₌n₊ E , 1 | 1 1 | 1 2 | 1 1 | 1t= ,K t= ,...,K t=n →Kˆ =K t=n+ K , 1 | 2 2 | 2 2 | 2 1 | 2t= ,K t= ,...,K t=n →Kˆ =K t=n+ K , 1 | 1 1 | 1 2 | 1 1 | 1t= ,S t= ,...,S t=n →Sˆ =S t=n+ S , 1 | 2 2 | 2 2 | 2 1 | 2t= ,S t= ,...,S t=n →Sˆ =S t=n+ S , 1 | 12 12 | 12 2 | 12 1 | 12t= ,r t= ,...,r t=n →rˆ =r t=n+ r .

Ostatecznie prognozy Eˆ(R_p) stopy zysku E(Rp) oraz prognoza Sˆp ryzyka Sp

) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ (2) 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( _{K E R K E R} R E _p = + (8) 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 _ˆ ˆ _ˆ ˆ _{2 ˆ ˆ} ˆ ˆ _ˆ ˆ _{K S K S K K S S r} S_p = + + (9)

Prognozy składowych wzorów (8) i (9) określających: udział wartościowy pierw-szej akcji w portfelu (Kˆ1), udział wartościowy drugiej akcji w portfelu (Kˆ2),

ocze-kiwaną stopę zysku pierwszej akcji (_Eˆ(_R(1)))_{, oczekiwaną stopę zysku drugiej akcji} ))

( ˆ

(_{E R}(2) _{, odchylenie standardowe pierwszej akcji (}ˆ ₎ 1

S , odchylenie standardowe drugiej akcji (Sˆ2) oraz współczynnik korelacji pierwszej i drugiej akcji (rˆ12)

wyzna-cza się na ogół różnymi metodami. Metody te zdeterminowane są własnościami poda-nych szeregów czasowych. Jeżeli np.:

• w szeregu czasowym zaobserwujemy trend (tendencję rozwojową) i wahania przypadkowe, do prognozowania możemy wykorzystać modele analityczne oraz mo-dele adaptacyjne: model liniowy Holta, model trendu pełzającego [2];

• wartości szeregu czasowego tworzą ciąg geometryczny lub szereg generowany jest przez krzywą wykładniczą, do prognozowania można wykorzystać metodę ekstra-polacji średniego tempa wzrostu opartego na ciągu indeksów łańcuchowych; wyko-rzystując średnią geometryczną ciągu indeksów łańcuchowych, otrzymujemy wartość odpowiedniego predyktora [3];

• rozważany szereg czasowy należy do niesezonowych szeregów czasowych i jest generowany przez model ARIMA ( p, d, q), to dla praktycznych obliczeń prognoz po-dejście oparte na wykorzystaniu tego modelu w postaci równania różnicowego jest najprostsze i obserwację zt+l* generowaną przez proces ϕ*(β)zt = θ(β)at, gdzie ϕ*(β) =

ϕ(β)∇d_{, można wyrazić bezpośrednio za pomocą równania różnicowego [1]} l t q l t q l t d p l t d p l t l t z z a a a z₊ =ϕ1* ₊₋1+...+ϕ*_{+ +− −} −θ1 ₊₋1−...−θ ₊₋ + ₊ (10) Prognoza zˆ lt( ) o najmniejszym błędzie średniokwadratowym z wyprzedzeniem l jest warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej zt+l w momencie t tzn. zˆ lt( )

= [ t l]

t z

E ₊ . Przechodząc we wzorze (10) do warunkowych wartości oczekiwanych w momencie t i wprowadzając oznaczenia [at+l] = E_t[at+l], [zt+l]=E_t[zt+l], otrzymujemy

[zt+l]=zˆt(l)=ϕ1*[zt+l−1]+...+ϕ*p+d[zt+l−p−d]−θ1[at+l−1]−...−θq[at+l−q]+[at+l] (11) Aby obliczyć warunkowe wartości oczekiwane występujące w wyrażeniu (11), należy zauważyć, że jeżeli j jest liczbą całkowitą dodatnią, to (zob. [1]):

... , 2 , 1 , 0 , ] [ ] [z ₋ =E z_t−j =z_t−j j= t j t , ... , 2 , 1 ), ( ˆ ] [ ] [z₊ =E zt₊j =zt j j= t j t , ... , 2 , 1 , 0 ] [ ] [a₊ =E a_t+j = j= t j t , ... , 2 , 1 , 0 ), 1 ( ˆ ] [ ] [a− =E at−j =at−j =zt−j−zt−j−1 j= t j t .

Składniki po prawej stronie wzoru (11) traktujemy zatem zgodnie z następującymi regułami:

zt–j, ( j = 0, 1, 2, ...), w momencie t już znane pozostawiamy bez zmiany,

zt+j, ( j = 1, 2, ...), jeszcze nie znane zamieniamy ich prognozami w momencie t,

), ( ˆ j zt

at–j, ( j = 0, 1, 2, ...), już znane określamy jako zt–j – zˆt− j−1(1),

at+j, ( j = 1, 2, ...), jeszcze nie znane zastępujemy przez zera.

Z podanych reguł i wzoru (10) wynika, że jeżeli operator średniej ruchomej θ(β) jest rzędu q, to równania prognoz dla zˆ_t(1), zˆ_t(2), ..., zˆ qt( ) będą zależały bezpośred-nio od a, natomiast dla prognoz z większym wyprzedzeniem takiej bezpośredniej za-leżności nie ma.

W praktyce w wielu przypadkach niezbędne jest wyznaczenie prognozy dla róż-nych wyprzedzeń, np. na 1, 2, 3, ..., l kroków naprzód. Można wówczas korzystać ze wzoru (11) i podanych reguł. Wykorzystanie wzoru (11) wymaga znajomości wag

. ..., , , , ..., , * _{1 2} * 1 ϕp d θ θ θq

ϕ ₊ Wagi te można wykorzystać również do obliczenia progno-zy punktowej wartości zt+l–1 w momencie t + l ze wzoru

1 1( ) ˆ ( 1) ˆt₊ l =zt l+ + lat₊ z ψ , gdzie: ) 1 ( ˆ l+

zt – prognoza wartości zt+l+1 w momencie t,

) 1 ( ˆ 1 1 t t t z z

a₊ = ₊ − – błąd prognozy na jeden krok naprzód,

1 * 1 1 ϕ θ ψ = − 2 * 2 1 * 1 2 ϕψ ϕ θ ψ = + − ……… j d p j d p j j ϕψ ϕ ψ θ ψ = 1* −1+...+ *+ − − − ,

gdzie: ψ0 = 1, ψj = 0 dla j < 0 i θj = 0 dla j > q.

Jeżeli k jest większą z liczb p + d – 1 i q, to dla j > k wagi ψ spełniają równanie różnicowe

d p j d p j j j =ϕψ − +ϕψ − + +ϕ +ψ − − ψ * 2 * 2 1 * 1 ... .

Prognozę przedziałową dla zadanej z góry wiarygodności prognozy p konstruuje się w następujący sposób [1]:

ε − = = + < < − _{+ +} +( ) ( )) P 1 ( P z_{t l} z_{t l} z_{t l} , gdzie: a l j j t l t z l u S z 2 / 1 1 1 2 2 / 1 ) ( ˆ ) (         + ± = ±

∑

− = + ε ψ , Sa – estymator wariancji σa2,

uε/2 – kwantyl rzędu 1 – ε/2 standardowego rozkładu normalnego.

Rozpatrywane dotychczas portfele zawierały jedynie dwa składniki. W skład port-fela może wchodzić również wiele składowych. W dalszym ciągu rozważymy więc portfel akcji mocy u, u >> 2.

Aby dla portfela kilku akcji otrzymać prognozę stopy zysku, należy posłużyć się metodą kolejnego dołączania. Ze wzoru (8) otrzymujemy początkowo prognozy par akcji, następnie – nowe ich pary i proces kontynuuje się dopóty, dopóki otrzyma się ostateczną prognozę ˆ( (k)) p R E stopy zysku ( (k)) p R

E portfela akcji. Prognozę tę można również otrzymać, korzystając z następujących wzorów (zob. [4]):

) ( ˆ ) ˆ 1 ( )) ( ) ˆ 1 ( ) ( ˆ ˆ ( ˆ ) ( ˆ (3) 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2 ) 3 ( _{K K E R K E R K E R} R E _p = + − + − , ) ( ˆ ) ˆ 1 ( )] ( ˆ ) ˆ 1 ( )) ( ) ˆ 1 ( ) ( ˆ ˆ ( ˆ [ ˆ ) ( ˆ (4) 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2 3 ) 4 ( _{K K K E R K E R K E R K E R} R E p = + − + − + − , , ) ( ˆ ) ˆ 1 ( )} ( ˆ ) ˆ 1 ( )] ( ˆ ) ˆ 1 ( )) ( ) ˆ 1 ( ) ( ˆ ˆ ( ˆ [ ˆ { ˆ ) ( ˆ ) 5 ( 4 ) 4 ( 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2 3 4 ) 5 ( R E K R E K R E K R E K R E K K K K R E _p − + − + − + − + = ……… gdzie Eˆ(R(kp)) – prognoza stopy zysku portfela k akcji.

W praktyce wygodnie posługiwać się względnym średnim błędem predykcji Φ(k)_,

który jest równy błędowi średniemu predykcji podzielonemu przez wartość progno-zy, tzn. 2 , 1 , ) ( ˆ )] [var( 1/2 ) ( _{= k=} R E kk k β Φ (12) gdzie ( k) ˆ( k) k =E R −E R

β – błąd predykcji stopy zysku pierwszej akcji (k = 1) i dru-giej akcji (k = 2).

Łatwo zauważyć, że Φ(k) _{(k = 1,2) jest zmienną losową, której wartości}

zdetermi-nowane są przez prognozę oraz przez rzeczywistą realizację zmiennej prognozowanej w okresie, na który wyznacza się prognozę.

Jak widać, choć sama definicja błędu prognozy z formalnego punktu widzenia jest oczywista, nie pozwala ona jednak na obliczenie błędu prognozy _Eˆ(_Rk) _{(k = 1, 2)} ze względu na brak wartości rzeczywistej w okresie prognozowanym. Błąd taki można jednak w pewnych przypadkach (przy odpowiednich założeniach) oszaco-wać. Wykorzystując analizę retrospektywną, a ściślej wykryte w jej trakcie prawi-dłowości dotyczące oczekiwanej stopy zysku kolejnych akcji rozważanego portfela i prognozy wygasłe, można za pośrednictwem błędu prognozy ex post dokonać jego oszacowania ex ante, co w konsekwencji umożliwi wyznaczenie w okresie progno-zowanym względnego błędu średniego predykcji Φ(k)_{. Znajomość tego błędu będzie}

potrzebna do konstrukcji kryterium jakości prognozy _Eˆ(_Rk) _{stopy zysku E(R}k₎

portfela akcji.

Niech zmienna prognozowana ( ) 1

k T

R przyjmuje w przedziale obserwacji T1

nastę-pujące wartości: n j t t k T t t k T t t k T t t k T E R E R E R R E _{= = =} ( ) _|= | ) ( | ) ( | ) ( _{) , ( ) ,..., ( ) ,..., ( )} ( 1 1 2 1 1 1 , a n j t t k T t t k T t t k T t t k T E R E R E R R E _{= = =} ( ) _|= | ) ( | ) ( | ) ( _{) , ˆ( ) ,..., ˆ( ) ,..., ˆ( )} ( ˆ 1 1 2 1 1 1

oznaczają jej prognozy wygasłe w chwilach t1, t2, ..., tj, ..., tn dotyczące k (k = 1, 2)

akcji. Podzielmy przedział obserwacji T1 na l podzbiorów (l < n): T1(1) = {1, 2, ..., n1}, )

2 ( 1

T = {n1 + 1, n1 + 2, ..., 2n1}, ..., T1(l) = {(l – 1)n1 + 1), (l – 1)n1 + 2, ..., n} i

wy-znaczmy w każdym z nich średni błąd prognozy (miernik dokładności ex post) zdefi-niowany jako pierwiastek kwadratowy z wariancji błędu, tzn. [4]:

2 / 1 2 | ) ( ; 1 | ) ( ; 1 1 1 2 / 1 ) ( ; 1 ) ( ; 1 ( ( ) ˆ( ) ) 1 ))] ( ˆ ) ( [var( _{1 1} 1 _{1 1}         − = − = = =

∑

i t ti k T t t k T n i k T k T E R _n E R E R R E , 2 / 1 2 | ) ( ; 2 | ) ( ; 2 2 1 1 2 / 1 ) ( ; 2 ) ( ; 2 ( ( ) ˆ( ) ) 1 ))] ( ˆ ) ( [var( 1 1 1 1 1 _       − = − _{= =} =

∑

i t ti k T t t k T n i k T k T E R _n E R E R R E , ……… 2 / 1 2 | ) ( ; | ) ( ; 1 ) 1 ( 1 2 / 1 ) ( ; ) ( ; ( ( ) ˆ( ) ) 1 ))] ( ˆ ) ( [var( 1 1 1 1 1 1         − = − = = = + − =

∑

i t ti k T l t t k T l n ln n l i k T l k T l E R _n E R E R R E , k = 1, 2.

W konsekwencji otrzymujemy ciąg wartości 2 / 1 ) ( ; ) ( ; 2 / 1 ) ( ; 2 ) ( ; 2 2 / 1 ) ( ; 1 ) ( ; 1 ) ˆ( ))] ,[var( ( ) ˆ( ))] ,...,[var( ( ) ˆ( ))] ( [var( k T l k T l k T k T k T k T E R E R E R E R E R R E − − −

średniego błędu prognozy określonego odpowiednio na podzbiorach (1) 1 T , (2) 1 T , ..., () 1l T . Wyznaczenie błędu prognozy oczekiwanej stopy zysku k-tej akcji sprowadza się do znalezienia średniego błędu prognozy _{[var( (} ( )₎ ˆ₍ (k)_))]1/2

T k

T E R R

E − w okresie

pro-gnozowanym T = {n + 1, n + 2, ..., n + m} w punktach leżących poza zbiorem T1 =

{1, 2, ..., n1, ..., 2n1, ..., rn1, ..., n}. Inaczej mówiąc, wyznaczenie błędu prognozy

w przedstawionej propozycji sprowadza się do aproksymacji interpolacyjnej. Błąd ten może być wyznaczony np. za pomocą przekształconego interpolacyjnego wzoru La-grange’a, przekształconego interpolacyjnego wzoru Newtona.

Względny błąd średni predykcji stopy zysku k-tej akcji w okresie prognozowanym wyraża się wzorem (zob. (11))

2 , 1 , ) ( ˆ ( ))] ˆ ) ( ( [var ) ( 2 / 1 ) ( ) ( ) ( ₌ − _k= R E R E R E Φ _k T k T k T k ₍₁₃₎ gdzie ˆ( (k)) T R

E – prognoza oczekiwanej stopy zwrotu k-tej akcji w okresie prognozo-wanym.

Względny średni błąd prognozy stopy zysku portfela k-akcji (k)

P

Φ w okresie pro-gnozowanym T wyraża się wzorem

) ( ˆ )] ( [var ) ( ; 2 / 1 ) ( ) ( k T P k T k P R E β Φ = , gdzie ( ) ˆ( ( )). ; ) ( ; ) ( k T P k T P k T =E R −E R β Bibliografia

[1] BOX G.E.P., JENKINS G.M., Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i sterowanie, PWN,

Warszawa 1983.

[2] CIEŚLAK M., Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, PWN, Warszawa.

[3] ČETYRKIN E.M., Statističeskije metody prognozirovanija, Statistika, Moskva 1975.

[4] GALANC T., MIKUŚ J., The method for constructing a combined forecast en bloc, Advances in

Mo-delling and Analysis, 1992, C, Vol. 35, No. 4.

Forecasting of the portfolio profit rate

The profit rate of the portfolio of shares in retrospective and forecasted periods is determined. Atten-tion is paid to the different forecasting methods taking into account the properties of the forecasting operator time series components of the profit rate and risk of portfolio of shares. To determine a profit rate of some shares forecast, a method of successive adding is proposed obtaining initially pair shares forecast, then new pairs. The process is continued until the final forecast of the profit rate is obtained. Using the approximation method applied to discrete sets, the mean relative error of ex ante forecast of the profit rate of the portfolio of shares is determined.