Wykad nr 2 (Rwnania rniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych)

(1)

2 Równania ró»niczkowe zwyczajne o

rozdzie-lonych zmiennych

Równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz¦du o rozdzielonych zmien-nych nazywamy równanie ró»niczkowe postaci

(RRZ) x0 = p(t)

q(x).

2.1 Zagadnienie pocz¡tkowe dla równania

ró»niczkowe-go o rozdzielonych zmiennych

Twierdzenie 2.1 (Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno±ci rozwi¡zania za-gadnienia pocz¡tkowego dla równania ró»niczkowego o rozdzielonych zmien-nych). Zaªó»my, »e p: (a, b) → R i q : (c, d) → R\{0} s¡ funkcjami ci¡gªymi. Niech t0 ∈ (a, b) i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje rozwi¡zanie ϕ: (α, β) →

(c, d), (α, β) ⊂ (a, b), zagadnienia pocz¡tkowego (RRZ-ZP)      x0 = p(t) q(x) x(t0) = x0.

Rozwi¡zanie to jest jednoznaczne w nast¦puj¡cym sensie: je»eli ϕ1: (α1, β1) →

(c, d) i ϕ2: (α2, β2) → (c, d) s¡ rozwi¡zaniami zagadnienia (RRZ-ZP), to ϕ1(t) = ϕ2(t) dla wszystkich t ∈ (α1, β1) ∩ (α2, β2).

Dowód. Zaªó»my, »e ϕ: (α, β) → R jest rozwi¡zaniem zagadnienia (RRZ-ZP). Zachodzi wtedy

ϕ0(t) = p(t)

q(ϕ(t)), czyli p(t) = q(ϕ(t))ϕ

0

(t) ∀t ∈ (α, β).

Caªkuj¡c powy»sz¡ równo±¢ od t0 do t otrzymujemy

(2.1) t Z t0 p(s) ds = t Z t0 q(ϕ(s))ϕ0(s) ds = ϕ(t) Z x0 q(ξ) dξ

(w ostatniej równo±ci wykorzystali±my wzór na caªkowanie przez podstawie-nie). Oznaczmy P (t) := t Z t0 p(s) ds, t ∈ (a, b), Q(x) := x Z q(ξ) dξ, x ∈ (c, d).

(2)

W powy»szych oznaczeniach równo±¢ (2.1) mo»na zapisa¢ jako

Q(ϕ(t)) = P (t), t ∈ (α, β).

Powy»sz¡ równo±¢ mo»na formalnie zapisa¢ w postaci

ϕ(t) = (Q−1◦ P )(t), t ∈ (α, β).

Funkcja Q: (c, d) → R jest funkcj¡ klasy C1 _{o niezerowej pochodnej, zatem}

jest ±ci±le monotoniczna, i obraz Q((c, d)) jest przedziaªem otwartym (γ, ζ). Dalej, Q przeprowadza przedziaª (c, d) na przedziaª (γ, ζ) w sposób ró»no-warto±ciowy. Zatem funkcja odwrotna Q−1 _{przeprowadza przedziaª (γ, ζ) na}

przedziaª (c, d) w sposób ró»nowarto±ciowy. Ponadto, z twierdzenia o pochod-nej funkcji odwrotpochod-nej wynika, »e Q−1 _{jest klasy C}1_.

Funkcja P jest ci¡gªa oraz P (t0) = 0 = Q(x0). Niech ε := min{−γ, ζ}.

Z ci¡gªo±ci funkcji P wynika, »e istnieje δ > 0 takie, »e je±li |t − t0| < δ

i t ∈ (a, b), to P (t) ∈ (−ε, ε) ⊂ (γ, ζ). Dziedzina funkcji zªo»onej Q−1 _{◦ P}

zawiera zatem przedziaª otwarty (t0− δ, t0+ δ).

c x0 d

ζ

γ

a α t t0 b = β

ϕ(t)

Koloremczerwonymoznaczony jest wykres funkcji Q, koloremniebieskim wykres funkcji P . (α, β)to najwi¦kszy przedziaª otwarty zawarty w (a, b) i zawieraj¡cy t0, na którym funkcja P

przyjmuje warto±ci z (γ, ζ).

Warto±¢ rozwi¡zania w chwili t otrzymuje si¦ gracznie prowadz¡c na prawym wykresie pionowy odcinek do przeci¦cia si¦ z wykresem funkcji P , nast¦pnie poziomy odcinek do przeci¦cia si¦

z wykresem funkcji Q; wspóªrz¦dna x-owa punktu przeci¦cia to warto±¢ rozwi¡zania.

Przechodzimy teraz do dowodu jednoznaczno±ci. Niech ϕ1: (α1, β1) →

(c, d) i ϕ2: (α2, β2) → (c, d) b¦d¡ rozwi¡zaniami zagadnienia pocz¡tkowego

(RRZ-ZP). Zaªó»my nie wprost, »e zbiór Θ := { t ∈ (α1, β1) ∩ (α2, β2) : ϕ1(t) 6= ϕ2(t) }jest niepusty. Dla ustalenia uwagi zaªó»my te», »e Θ∩(t0, b) 6= ∅. Niech t1 := inf(Θ ∩ (t0, b))). Z cz¦±ci pierwszej twierdzenia wynika istnienie δ > 0 takiego, »e t1 > t0 + δ. Jako »e ϕ1(t) = ϕ2(t) dla wszystkich t ∈

[t0, t1), ci¡gªo±¢ gwarantuje nam, »e ϕ1(t1) = ϕ2(t1) =: x1. Lecz zagadnienie

pocz¡tkowe      x0 = p(t) q(x) x(t1) = x1

(3)

ma jednoznaczne rozwi¡zanie na pewnym przedziale otwartym zawieraj¡cym

t1, co przeczy naszemu wyborowi t1.

Przykªad. Znale¹¢ rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego

(2.2)    x0 = x2 x(0) = 1

Mamy tutaj p(t) ≡ 1, (a, b) = (−∞, ∞), q(x) = 1/x2_{, (c, d) = (0, ∞),} P (t) = t, Q(x) = 1 − 1/x, (γ, ζ) = (−∞, 1). Wzór (2.1) przyjmuje posta¢ t Z 0 ds = ϕ(t) Z 1 dξ ξ2, czyli t = 1 − 1 ϕ(t), co daje ostatecznie ϕ(t) = 1 1 − t (tutaj (α, β) = (−∞, 1)).

Powy»szy przykªad pokazuje, »e w odró»nieniu od rozpatrywanego wcze-±niej zagadnienia pocz¡tkowego dla równania ró»niczkowego zwyczajnego li-niowego (patrz Wykªad nr 1), w przypadku równania o rozdzielonych zmien-nych mo»e si¦ zdarzy¢, »e dziedzina rozwi¡zania jest wªa±ciwym podzbiorem czasowego czynnika dziedziny prawej strony równania.

2.2 Caªka ogólna i rozwi¡zanie ogólne równania o

rozdzielonych zmiennych

W praktyce, podobnie jak w przypadku równa« ró»niczkowych liniowych, równania o rozdzielonych zmiennych rozwi¡zuje si¦ nieco inaczej. Mianowicie, w równaniu

(RRZ) x0 = dx

dt = p(t) q(x)

(4)

i nakªadamy na obie strony caªk¦ nieoznaczon¡:

Z

q(x) dx =

Z

p(t) dt.

Ustalmy teraz funkcj¦ pierwotn¡ Q funkcji q, i funkcj¦ pierwotn¡ P funkcji

p. Powy»sz¡ równo±¢ mo»emy zapisa¢ jako

(2.3) Q(x) = P (t) + C,

gdzie C jest dowoln¡ staª¡ rzeczywist¡. Wyra»enie takie nazywane jest niekie-dy caªk¡ ogóln¡ równania ró»niczkowego o rozdzielonych zmiennych (RRZ).

Caªk¦ ogóln¡ mo»emy traktowa¢ jako rodzin¦ rozwi¡za« równania (RRZ) b¦d¡cych funkcjami uwikªanymi. Istotnie, ró»niczkuj¡c równo±¢ (2.3) po t (pami¦tamy, »e x = x(t)!), otrzymujemy

x0(t)Q0(x(t)) = P0(t), czyli x0 = p(t)

q(x).

Je»eli caªka ogólna da si¦ rozwikªa¢ wzgl¦dem x, tzn. zapisa¢ w postaci

(2.4) x = Φ(t; C),

powy»sze wyra»enie b¦dziemy nazywa¢ rozwi¡zaniem ogólnym równania (RRZ). Przykªad. Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe

x0 = 1 + x2. Mamy Z _dx 1 + x2 = Z dt, czyli arc tg x = t + C, co da si¦ rozwikªa¢ jako

x = tg (t + C),

gdzie C jest staª¡ dowoln¡.

Z Twierdzenia 2.1 wynika, »e otrzymany wzór wyczerpuje wszystkie mo»-liwe rozwi¡zania równania. Istotnie, niech ϕ: (α, β) → R b¦dzie rozwi¡za-niem. Ustalmy t0 ∈ (α, β), i poªó»my x0 := ϕ(t0). Oczywi±cie funkcja ϕ jest

rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego

  

x0 = 1 + x2

(5)

Niech C b¦dzie liczb¡ rzeczywist¡ tak¡, »e x0 = tg (t0+ C)(w istocie, takie C

jest okre±lone z dokªadno±ci¡ do dodania caªkowitej wielokrotno±ci π). Zatem, na podstawie jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia pocz¡tkowego, ϕ(t) = tg (t + C) dla ka»dego t ∈ (α, β).

Na podstawie Twierdzenia 2.1, metod¦ rozdzielania zmiennych mo»na bezpiecznie stosowa¢ do równa« ró»niczkowych zwyczajnych postaci

x0 = p(t) r(x)

w tym obszarze, gdzie r jest ró»ne od zera (zakªadaj¡c, rzecz jasna, »e funkcje

pi r s¡ ci¡gªe). Poza tym obszarem mog¡ czasami pojawia¢ si¦ rozwi¡zania,

których nie da si¦ wyrazi¢ poprzez rozwi¡zanie ogólne, co ilustruje nast¦pu-j¡cy

Przykªad. Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe

x0 = 3x2/3. Mamy Z dx 3x2/3 = Z dt, co daje x1/3 = t + C. Zatem rozwi¡zanie ogólne to

x = (t + C)3.

We¹my C = 0. Funkcja ϕ: R → R, ϕ(t) = t3 jest rozwi¡zaniem zagadnienia

pocz¡tkowego    x0 = 3x2/3 x(0) = 0.

Ale funkcja ψ(t) ≡ 0 te» jest rozwi¡zaniem tego zagadnienia, a nie da si¦ jej zapisa¢ w postaci (t + C)3 _{przy »adnym doborze staªej C. Co wi¦cej, funkcja} χ zdeniowana jako χ(t) =    0 dla t ¬ 0 t3 dla t 0,

(6)

2.3 Autonomiczne równania ró»niczkowe

Wa»n¡ klas¡ równa« ró»niczkowych zwyczajnych s¡ równania ró»niczkowe (pierwszego rz¦du) autonomiczne, tzn. równania postaci

(RA) x0 = f (x).

Wnioskiem z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagad-nienia pocz¡tkowego dla równa« o rozdzielonych zmiennych (Tw. 2.1) jest nast¦puj¡cy fakt:

Fakt 2.2. Zaªó»my, »e f : (c, d) → R \ {0} jest funkcj¡ ci¡gª¡. Niech t0 ∈ R

i x0 ∈ (c, d). Wówczas istnieje rozwi¡zanie ϕ: (α, β) → (c, d) zagadnienia

pocz¡tkowego (RA-ZP)    x0 = f (x) x(t0) = x0.

Rozwi¡zanie to jest jednoznaczne w nast¦puj¡cym sensie: je»eli ϕ1: (α1, β1) →

(c, d) i ϕ2: (α2, β2) → (c, d) s¡ rozwi¡zaniami zagadnienia (RA-ZP)), to ϕ1(t) = ϕ2(t) dla wszystkich t ∈ (α1, β1) ∩ (α2, β2).

Po»yteczn¡ rzecz¡ jest zastanowienie si¦ nad znaczeniem pewnych caªek wyst¦puj¡cych w dowodzie powy»szego faktu. Przypomnijmy, »e x = ϕ(t) jest to stan naszego ukªadu (zycznego, biologicznego, itp.) w chwili t, w szczególno±ci stan ukªadu w chwili pocz¡tkowej t0 to x0. Zauwa»my, »e ϕ to

funkcja ±ci±le monotoniczna o niezerowej pierwszej pochodnej. Wybierzmy dwa momenty czasowe t1 < t2, i oznaczmy odpowiadaj¡ce im stany x1 := ϕ(t1), x2 := ϕ(t2). Caªkuj¡c równo±¢

1 ≡ ϕ

0_(t)

f (ϕ(t))

i stosuj¡c wzór na zamian¦ zmiennych otrzymujemy

(2.5) t2− t1 = t2 Z t1 ds = x2 Z x1 dξ f (ξ),

co mo»na wyrazi¢ sªowami w nast¦puj¡cy sposób: caªkaRx2

x1 dξ/f (ξ) jest

(7)

2.4 Równania ró»niczkowe daj¡ce si¦ sprowadzi¢ do

rów-na« o rozdzielonych zmiennych

1) Równanie ró»niczkowe postaci

x0 = f (at + bx), gdzie b 6= 0

daje si¦ sprowadzi¢ do równania o rozdzielonych zmiennych przy pomocy podstawienia

u = at + bx

(u = u(t) jest now¡ zmienn¡ zale»n¡).

2) Równanie ró»niczkowe zwyczajne pierwszego rz¦du jednorodne, tzn. równanie postaci

x0 = f

x

t

daje si¦ sprowadzi¢ do równania o rozdzielonych zmiennych przy pomocy podstawienia

u = x t

Istotnie, ró»niczkuj¡c równo±¢ x = ut po t otrzymujemy x0 _{= u}0_{t + u}_{, co po}

podstawieniu do równania i prostych przeksztaªceniach daje

u0 = f (u) − u