1. Równania o zmiennych rozdzielonych. (a) yy0 + 4

1. Równania o zmiennych rozdzielonych.

(a) yy⁰+ 4x = 0

(b) y⁰ + 2xy², y(1) = 1.

(c) x(y²− 1) + y(x²− 1)y⁰ = 0.

(d) 2√

xy⁰ =√

1 − y².

(e) y⁰ = 1 + x + y + xy , y(−1) = 2.

(f) y⁰ + 4y = y(e^−x+ 4).

(g) (1 − x²)y⁰ = 2y.

(h) y⁰sin x = y ln y, y(^π₂) = e.

2. Jednorodne.

(a) xy⁰ =√

x²− y² + y.

(b) (x − y) + xy⁰ = 0.

(c) xy⁰ = y(ln y − ln x).

(d) xy⁰ − y = x tg^y_x. (e) (x²− y²) + xyy⁰ = 0.

3. Liniowe

(a) y⁰ + y = sin x.

(b) y⁰ + 2xy = e^−x2. (c) xy⁰ − 2y = x³cos x.

(d) xy⁰ − 2y = 4x⁴. (e) xy + e^x− xy⁰ = 0.

(f) (2x + 1)y⁰ = 4x + 2y.

4. Znaleźć rozwiązanie szczególne metodą przewidywania.

(a) y⁰ + y = 2 cos 2x + sin 2x.

(b) y⁰ + 2y = x²+ 3x + 1.

(c) y⁰+ y = e^2x(x + 1).

5. Bernoulli.

(a) xy⁰ + y = y²ln x, y(1) = 1.

(b) y⁰ − 2y = 2√

ye^xln x, y(1) = 0.

1

(c) y⁰+ 2xy = 2xy². (d) 3xy²y⁰− 2y³ = x³. Odpowiedzi.

1. (a) y²+ 4x² = C.

(b) y(x) = −_x2¹+C oraz y = 0.

(c)y² = 1 + _1−x^C2. (d) y = sin(C +√

x), y = −1.

(e) ln(|1 + y| = x +¹₂x² + C.

(f) y = Ce^−e−x. (g) y = C^1+x_1−x. (h) y = e^tgx2.

2. (a) y = x sin ln |Cx|, y = x, y = −x.

(b) y = x(C − ln |x|).

(c) y = xe^Cx+1. (d) y = x arc tgCx.

(e) |y| = |x|√

C − ln x².

3. (a) y = Ce^−x+ ¹₂(sin x − cos x).

(b) y = (C + x)e^−x2. (c) y = x²(C + sin x).

(d) y = Cx²+ 2x⁴. (e) y = (ln |x| + C)e^x.

(f) y = (ln |2x + 1| + C)(2x + 1) + 1.

4. (a) y = ³₄ cos 2x +¹₄sin 2x.

(b) y = ¹₂x²+ x.

(c) y = e^2x(¹₃x + ²₉).

5. (a) y = _{1+ln x}¹ .

(b) y = (x ln x − x + 1)²e^2x. (c) y = ¹

1+Ce^x2. (d) y = √³

Cx²+ x³.

2