Seria zadań z równań różniczkowych, Analiza II Zadanie 1. Rozwiązać następujące równania sprowadzając je do równania o rozdzielonych zmiennych: a) sin(x)

(1)

Seria zadań z równań różniczkowych, Analiza II

Zadanie 1. Rozwiązać następujące równania sprowadzając je do równania o rozdzielonych zmiennych:

a) sin(x)

^dy_dx

= y cos(x)

b) cos(y)

^dy_dx

= 3 sin(y)(5 cos

³

(x) − 3 cos(x) c) (y + x)

^{2 dy}_dx

= 1

d)

_dx^dy

= y

^q

1 + (

^dy_dx

)

²

Zadanie 2. Rozwiązać następujące równania sprowadzając je do równania jednorodnego:

a) x

^{2 dy}_dx

= x

²

+ xy + y

²

b) 2xy

_dx^dy

= x

²

+ y

²

c) (x

^dy_dx

− y) arc tg(

^y_x

) = x d)

_dx^dy

=

_3x−2y+5^2x+y−1

e) xy

²

(x

^dy_dx

+ y) =

²₃

- wstawić zmienną ˜ y = yx

^p

przy odpowiednio dobranym p.

Zadanie 3. Rozwiązać następujące równania sprowadzając je do równania liniowego nie- jednorodnego (jeśli nie jest tej postaci):

a) y

⁰

= y +

^e_x^x

b) y

⁰

=

^{1−y sin(x)}_cos(x)

c) y

⁰

+ y + y

²

sin(x) = 0 - równanie Bernulliego: podstawić ˜ y = y

^α

przy odpowiednio dobranym α ∈ R

d) 3xy

²

y

⁰

= 2y

³

+ x

³

- równanie Bernulliego e) y

⁰

+

_1−x^x2

− x

²

√

y = 0 - równanie Bernulliego

f) y

⁰

+ y

²

=

_x²2

- znaleźć rozwiązanie postaci

_x^c

dla odpowiednio dobranego c ∈ R oraz podstawić ˜ y = y −

_x^c

co sprowadzi powyższe do równania Riccatiego.

Zadanie 4. Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkt (2, 3) takiej, że każdy odcinek stycznej do krzywej zawarty między osaimi współrzędnych jest dzielony na połowę przez punkt styczności.

1