Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą uzmienniania stałych

Przykłady rozwiązywania

układów równań liniowych

niejednorodnych o ...

Autorzy:

Julian Janus

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą

Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą

uzmienniania stałych

uzmienniania stałych

Autor: Julian Janus Rozważmy układ równań:

gdzie

Jeżeli funkcje

stanowią układ fundamentalny rozwiązań dla układu jednorodnego : to macierz

nazywamy macierzą fundamentalną układumacierzą fundamentalną układu ( 2 )( 2 ).

Z twierdzenia 3 wynika, że rozwiązanie ogólne układu równań ( 1 ) jest postaci

gdzie , a -są to dowolne stałe.

Natomiast rozwiązanie układu równań ( 1 ) spełniającego warunek początkowy

gdzie są dane, a jest ustalonym punktem przedziału jest postaci:

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) gdy i Wyznaczamy wartości własne macierzy :

więc i są pierwiastkami tego równania. Dla

Dla wyznaczymy podprzestrzeń własną

(t) = A ⋅ x(t) + f(t)

dla t ∈ I ⊂ R

x

′

x(t) =

⎡

,

A =

,

f(t) =

.

⎣

⎢⎢

(t)

x

1

⋮

(t)

x

n

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

a

11

⋮

a

n1

…

⋱

…

a

1n

⋮

a

nn

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

f

1

⋮

(t)

f

n

⎤

⎦

⎥⎥

(t) =

,

(t) =

,

…,

(t) =

x

1

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

11

⋮

(t)

x

n1

⎤

⎦

⎥⎥ x

2

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

21

⋮

(t)

x

n2

⎤

⎦

⎥⎥

x

n

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

n1

⋮

(t)

x

nn

⎤

⎦

⎥⎥

(t) = A ⋅ x(t) ,

x

′

X(t) =

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

11

⋮

(t)

x

n1

(t)

x

12

⋮

(t)

x

n2

…

⋱

…

(t)

x

1n

⋮

(t)

x

nn

⎤

⎦

⎥⎥

x(t) = X(t) ⋅ (C + ∫

X

−1

(t) ⋅ f(t)dt)

C =

⎡

⎣

⎢⎢

c

⋮

1

c

n

⎤

⎦

⎥⎥

c

1

, …,

c

n

( ) =

,

( ) =

, …,

( ) =

,

x

1

t

0

x

01

x

2

t

0

x

01

x

n

t

0

x

0n

, …,

,

x

01

x

0n

t

0

I,

x(t) = X(t) ⋅ (

X

−1

( ) ⋅ +

_t

₀

_x

₀

_∫

t

(s) ⋅ f(s)ds) .

t0

X

−1

A = [

2

₂

1

₃

]

f(t) = [ ] .

1

e

t

A

|A − λI| =

∣

_∣∣

2 − λ

₂

_{3 − λ}

1

∣

_∣∣

= (2 − λ)(3 − λ) − 2 =

λ

2

− 5λ + 4 = 0

= 1

λ

1

λ

1

= 4

= 1

λ

1

= {x : (A − I) ⋅ x = 0, } gdzie x = [ ] .

V

₁(0)

x

1

x

2

(A − I) ⋅ x = 0

Rozwiązujemy układ równań :

Zatem

Podprzestrzeń jest generowana przez wektor własny . Dla

Dla wyznaczymy podprzestrzeń własną

Rozwiązujemy układ równań :

Zatem

Podprzestrzeń jest generowana przez wektor .

Wyznaczymy teraz macierz która jest macierzą fundamentalną rozważanego układu.

Ponieważ gdzie

więc

Ponieważ macierz odwrotną do macierzy jest macierz , więc rozwiązanie rozważanego układu jest postaci

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

(A − I) ⋅ x = 0

[

1

₂

1

₂

] ⋅ [ ] = [ ] ⟺ {

x

1

⟺

= − .

x

2

0

0

x

2 + 2 = 0

x

11

+

x

2

x

= 0

2

x

2

x

1

= {[

] = [

]

∈ R} .

V

₁(0)

x

1

−x

1

1

−1

x

1

x

1

V

₁(0)

v

(0)₁

= [

1

]

−1

= 4

λ

1

= {x : (A − 4I) ⋅ x = 0, } gdzie x = [ ] .

V

₂(0)

x

1

x

2

(A − 4I) ⋅ x = 0

[

−2

₂

₋₁

1

] ⋅ [ ] = [ ] ⟺ {

x

1

⟺

= 2 .

x

2

0

0

2 −

−2 +

x

1

x

1

x

2

x

= 0

2

= 0

x

2

x

1

= {[

] = [ ]

∈ R} .

V

₂(0)

x

1

2x

1

1

2

x

1

x

1

V

₂(0)

v

(0)₂

= [ ]

1

₂

,

e

tA

A = P ⋅ J ⋅

P

−1

,

J = [

1

₀

0

₄

] , P = [

₋₁

1

1

₂

] ,

P

−1

= [

23

]

1 3

−

1 3 1 3

= P ⋅

⋅

= [

] ⋅ [

] ⋅ [

] = [

] .

e

tA

_e

tJ

_P

−1

1

−1

1

2

e

t

0

e

0

4t 2 3 1 3

−

1 3 1 3

+

2 3

e

t 13

e

4t

−

2

+

3

e

t 23

e

4t

−

1

+

3

e

t 13

e

4t

+

1 3

e

t 23

e

4t

e

tA

_e

−tA

x(t) = [

x

1

(t)

] =

⋅ (C + ∫

⋅ f(t)dt) =

(t)

x

n

e

tA

_e

−tA

[

23

e

t

+

13

e

4t

] ⋅ ([ ] + ∫ [

] ⋅ [ ] dt) =

−

2

+

3

e

t 23

e

4t

−

1

+

3

e

t 13

e

4t

+

1 3

e

t 23

e

4t

c

1

c

2

+

2 3

e

−t 13

e

−4t

−

2

+

3

e

−t 23

e

−4t

−

1

+

3

e

−t 13

e

−4t

+

1 3

e

−t 23

e

−4t

1

e

t

[

23

e

t

+

13

e

4t

] ⋅ ([ ] + ∫ [

] dt) =

−

2

+

3

e

t 23

e

4t

−

1

+

3

e

t 13

e

4t

+

1 3

e

t 23

e

4t

c

1

c

2

+

+

−

1 3

e

−4t 13

e

−3t 23

e

−t 13

−

2

+

+

+

3

e

−t 23

e

−4t 23

e

−3t 13

[

23

e

t

+

13

e

4t

] ⋅ ([ ] + [

]) =

−

2

+

3

e

t 23

e

4t

−

1

+

3

e

t 13

e

4t

+

1 3

e

t 23

e

4t

c

1

c

2

∫(

1

+

+

− )dt

3

e

−4t 13

e

−3t 23

e

−t 13

∫(−

2

+

+

+ )dt

3

e

−t 23

e

−4t 23

e

−3t 13

[

23

e

t

+

13

e

4t

] ⋅ [

] =

−

2

+

3

e

t 23

e

4t

−

1

+

3

e

t 13

e

4t

+

1 3

e

t 23

e

4t

−

1

−

−

− t +

12

e

−4t 19

e

−3t 23

e

−t 13

c

1

−

−

+ t +

2 3

e

−t 16

e

−4t 29

e

−3t 13

c

2

[

361

(−27 + 12( + ) − 4 (1 − 6 + 3 + 3t))

c

1

c

2

e

4t

e

t

c

1

c

2

] .

(9 + 12( + ) + 2 (−2 − 6 + 3 + 3t))

1 18

c

1

c

2

e

4t

e

t

c

1

c

2

A = [

]

f(t) = [

] .

2t

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu ( 1 ), gdy i Wyznaczamy wartości własne macierzy :

więc i są pierwiastkami tego równania.

Dla

Dla wyznaczymy podprzestrzeń własną

Rozwiązujemy układ równań :

Zatem

Podprzestrzeń jest generowana przez wektor własny .

Do wyznaczenia układu fundamentalnego rozwiązań dla układu jednorodnego wykorzystamy zależności 3 i 4.

Ponieważ więc

Stąd z zależności 3 i 4 mamy następujące rozwiązania liniowo niezależne, odpowiadające wartościom własnym i

Macierz fundamentalna układu jednorodnego ma postać:

Ponieważ macierz odwrotna do macierzy jest następująca

więc rozwiązanie rozważanego układu jest postaci

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

A = [

1

]

1

−1

1

f(t) = [

cos t

sin t

] .

e

2t

A

|A − λI| =

∣

_∣∣

1 − λ

₁

_{1 − λ}

−1

∣

_∣∣

= (1 − λ + 1 = 0

)

2

= 1 − i

λ

1

λ

2

= 1 + i

= 1 − i

λ

1

= {x : (A − I) ⋅ x = 0, }, gdzie x = [ ] .

V

₁(0)

λ

1

x

_x

1 2

(A − (1 − i) ⋅ I) ⋅ x = 0

[

i

] ⋅ [ ] = [ ] ⟺ {

⟺

= i.

1

−1

i

x

1

x

2

0

0

x

x

11

i −

+ i = 0

x

x

22

= 0

x

2

x

1

= {[

] = [ ]

∈ R} .

V

₁(0)

x

1

i

x

1

1

i

x

1

x

1

V

₁(0)

v

(0)₁

= [ ] = [ ] + [ ] i

1

i

1

0

0

1

α = 1 i β = 1,

R( ) = [ ] i I( ) = [ ] .

v

1

1

₀

v

1

0

₁

λ

1

λ

2

:

(t) = ([ ] cos t − [ ] sin t) ,

x

1

1

₀

0

₁

e

t

(t) = ([ ] sin t + [ ] cos t) .

x

2

1

₀

0

₁

e

t

X(t) = [

e

t

cos t

] .

− sin t

e

t

e

sin t

t

cos t

e

t

X(t)

(t) = [

] ,

X

−1

e

−t

cos t

sin t

e

−t

−

e

sin t

−t

cos t

e

−t

x(t) =[

x

1

(t)

] = X(t) ⋅ (C + ∫

(t) ⋅ f(t)dt) =

(t)

x

n

X

−1

[

_{− sin t}

e

t

cos t

] ⋅ ([ ] + ∫ [

] ⋅ [

] dt) =

e

t

e

sin t

t

cos t

e

t

c

_c

1 2

cos t

e

−t

sin t

e

−t

−

e

sin t

−t

cos t

e

−t

_{cos t}

sin t

e

2t

[

e

t

cos t

] ⋅ ([ ] + ∫ [ ] dt) = [

] ⋅ [

] =

− sin t

e

t

e

sin t

t

cos t

e

t

c

_c

1₂

_e

0

t

e

cos t

t

− sin t

e

t

e

sin t

t

cos t

e

t

_c

₂

c

₊

1

_e

t

[

e

_{(− sin t + ( + ) cos t)}

t

( cos t + ( + ) sin t)

c

1

c

2

e

t

] .

e

t

_c

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:24:12

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=80fcaed476ad3a9e885c11c8763c7f7e