rozwiązania

2. Miara - rozwi¡zania

‚w. 2.1

µ(A) + µ(B) = µ(A \ B + A ∩ B) + µ(B) = µ(A \ B) + µ(B) + µ(A ∩ B) = = µ(A \ B + B) + µ(A ∩ B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B).

‚w. 2.2 a) Sprawdzamy warunki z denicji miary: • µ(Ø) = ]Ø= 0

• Niech A1, A2, ... ∈ F , Ai∩ Aj =Ø, i 6= j.

Rozwa»amy osobno przypadki, gdy dla sko«czenie wielu b¡d¹ dla niesko«czenie wielu n zachodzi An∩ Ω0 6=Ø.

I przypadek: tylko dla sko«czenie wielu n mamy An∩ Ω0 6=Ø, tzn.

∃n0∀n>n0An∩ Ω0 =Ø .

Wtedy dla ka»dego n > n0 mamy µ(An) = 0 oraz

( ∞ X n=1 An) ∩ Ω0 = ∞ X n=1 (An∩ Ω0) = X n≤nO (An∩ Ω0) = ( X n≤n0 An) ∩ Ω0

Je±li dla ka»dego 1 ≤ k ≤ n0 zbiór Ak∩ Ω0 jest sko«czony, to

µ( ∞ X n=1 An) = µ( X n≤n0 An) = ]( X n≤n0 (An∩Ω0)) = X n≤n0 ](An∩Ω0) = X n≤n0 µ(An) = ∞ X n=1 µ(An) .

Je±li istnieje 1 ≤ k ≤ n0 takie, »e zbiór Ak∩ Ω0 jest niesko«czony, to

µ(Ak) = +∞oraz ( X n≤n0 An) ∩ Ω0 = X n≤n0

(An∩ Ω0)jest niesko«czony, wi¦c

µ( ∞ X n=1 An) = µ( X n≤n0 An) = +∞ = ∞ X n=1 µ(An) .

II przypadek: dla niesko«czenie wielu n mamy An∩ Ω0 6=Ø, tzn. istnieje ci¡g

(kn) taki, »e Akn ∩ Ω0 6=Ø. Wtedy

( ∞ X n=1 An) ∩ Ω0 = ∞ X n=1 (An∩ Ω0) ⊇ ∞ X n=1

(Akn∩ Ω0)jest niesko«czony, czyli

µ( ∞ X n=1 An) = +∞oraz ∞ X n=1 µ(An) ≥ ∞ X n=1

b)µ jest miar¡ sko«czon¡ ⇔ µ(Ω) < +∞ ⇔ Ω ∩ Ω0 = Ω0 jest zbiorem sko«czonym

c)

⇒ µ jest miar¡ σ-sko«czon¡, tzn. ∃(Aj)⊆FΩ =

∞

[

j=1

Aj i µ(Aj) < +∞dla j = 1, 2, ... .

Zatem dla ka»degoj zbiór Aj∩ Ω0 jest sko«czony i

Ω0 = Ω ∩ Ω0 = ( ∞ [ j=1 Aj) ∩ Ω0 = ∞ [ j=1 (Aj ∩ Ω0)

jst zbiorem przeliczalnym jako przeliczalna suma zbiorów sko«czonych.

⇐ Niech Ω0 b¦dzie zbiorem przeliczalnym, oznaczmy Ω0 = {ω1, ω2, ω3, ...}. We¹my

A0 = Ω \ Ω0, A1 = {ω1}, As = {ω2}, ... . Wtedy Ω = ∞ [ j=1

Aj oraz µ(A1) = 0, µ(An) = 1 dla n ≥ 1 .

d) µ jest miar¡ probabilistyczn¡⇔ µ(Ω) = 1 ⇔ ](Ω ∩ Ω0) = ]Ω0 = 1

‚w. 2.3 Sprawdzamy warunki z denicji miary: • α(Ø) = 0, bo x0 ∈/Ø.

• Niech A1, A2, ... ⊆ X i Ai∩ Aj =Ø dla i 6= j.

Rozwa»my dwa przypadki. I przypadek: α( ∞ X j=1 ) = 0 ⇔ x0 ∈/ ∞ X j=1 Aj ⇔ ∀j x0 ∈ A/ j ⇔ ∀j α(Aj) = 0 II przypadek: α( ∞ X j=1 Aj) = 1 ⇔ x0 ∈ ∞ X j=1 Aj ⇔ ∃j0 x0 ∈ Aj0 i ∀j6=j0 x0 ∈ A/ j ⇔ ⇔ ∃j0α(Aj0) = 1i ∀j6=j0α(Aj) = 0 W obu przypadkach α(P∞ j=1Aj) = P∞ j=1α(Aj).

α jest miar¡ probabilistyczn¡, gdy» α(X) = 1. ‚w. 2.4 Sprawdzamy warunki z denicji miary.

• µ(Ø) = 0.

• Niech A1, A2, ... ∈ B1, Ai∩ Aj =Ø, i 6= j.

Je±li dla ka»dego i zbiór Ai jest przeliczalny (µ(Ai) = 0), to P ∞

i=1Ai jest te»

przeliczalny, wi¦c µ( ∞ X i=1 Ai) = 0 = ∞ X i=1 µ(Ai) .

Je±li istnieje i0 takie, »e zbiór Ai0 jest nieprzeliczalny (µ(Ai0) = +∞), to P

∞ i=1Ai

jest te» nieprzeliczalny, wi¦c µ( ∞ X i=1 Ai) = +∞ = ∞ X i=1 µ(Ai) . ‚w. 2.5 a) Zauwa»my, »e [0, 1] = {0} ∪ (1 2, 1] ∪ ( 1 3, 1 2] ∪ ( 1 4, 1 3] ∪ ... . Przyjmijmy A1 = {0}, An = ( 1 n, 1 n − 1], n ≥ 2 . Mamy wówczas µ(A1) = 1, µ(An) = ln 1 n − 1 − ln 1 n = ln nn − 1 < +∞ . b) µ([0, 1]) = µ({0}) + ∞ X n=2 µ((1 n, 1 n − 1]) = 1 + ∞ X n=2 (ln 1 n − 1 − ln 1 n) = = 1 + lim n→∞(− ln 1 n) = 1 + limn→∞(ln n) = +∞. ‚w. 2.6 µ([1,√2]) = µ((−∞,√2] \ (−∞, 1)) Niech an& √

2, an∈ Q+. Ka»da miara jest ci¡gªa z góry, wi¦c

µ((−∞,√2]) = µ( ∞ \ j=1 (−∞, aj]) = lim j→∞µ((−∞, aj]) = limj→∞a 2 j = 2 .

Ka»da miara jest ci¡gªa z doªu, wi¦c µ((−∞, 1)) = µ( ∞ [ n=1 (−∞, 1 − 1 n]) = limn→∞µ((−∞, 1 − 1 n]) = limn→∞(1 − 1 n) 2 _{= 1 .} Zatem µ([1,√2) = µ((−∞,√2]) − µ((−∞, 1)) = 2 − 1 = 1 .

‚w. 2.7 µ(A) = µ(X i∈Z (i, i + 1] × {0}) =X i∈Z µ((i, i + 1] × {0}) Wystarczy pokaza¢, »e dla ka»dego i ∈ Z zachodzi µ((i, i + 1] × {0}) = 0.

µ((i, i + 1] × {0}) = µ( ∞ \ j=1 (i, i + 1] × [0,1 j]) = limj→∞µ((i, i + 1] × [0, 1 j]) ≤ ≤ lim j→∞µ([i, i + 1] × [0, 1 j]) = limj→∞(i + 1 − i) · 1 j = limj→∞ 1 j = 0.