Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze: (a) f (x

dr Krzysztof ›yjewski IP›; S-I⁰.in». 27 listopada 2018

Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium 1

1. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

(a) f (x) = _1+x¹ 2 dla x ∈ [0, +∞), (b) f(x) = x²− 2x dla x ∈ (−∞, 1].

2. Korzystaj¡c z denicji zbadaj ró»nowarto±ciowo±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

(a) f (x) = 2x³− 1 dla x ∈ R, (b) f(x) = _x−1^2x dla x ∈ (1, +∞).

3. Które z podanych funkcji f : X → Y s¡ na (suriekcja), a które s¡ typu w? Czy jest w±ród nich bijekcja?

(a) f (x) = 5^x gdzie X = (0, 2), Y = (1, 25], (b) f(x) = sin x gdzie X = [−π, π], Y = [−1, 1].

4. Zbadaj parzysto±¢ podanych funkcji:

(a) f (x) = ^{cos x}_x3 − x|x| (b) f (x) = cos³x + tg x.

5. Okre±li¢ zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g gdy:

f (x) =√

x − 1, g(x) = x²+ 1.

6. Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do funkcji:

(a) f (x) = 4e^3x−1+ 5 (b) f (x) = 5 arctg(log₂(3x)) − 1.

7. Oblicz granice poni»szych ci¡gów:

(a) a_n= ³ⁿ_2n³3⁺²ⁿ⁻⁵−n+7 (b) b_n= ²ⁿ_n5⁷−4n⁺⁴ⁿ³³+2n−5⁻³ⁿ⁺⁵ (c) c_n = ²ⁿ_4n²3⁻³ⁿ⁺¹+2n+3

(d) d_n=√

3n²+ 2n − 5 − n√

3 (e) e_n = √ⁿ

10ⁿ+ 9ⁿ+ 8ⁿ (f ) f_n= ²³ⁿ⁻²₄2n+3^−53n+32n+1

(g) g_n= _4n²ⁿ2−3 cos n^{2+sin n2} (h) h_n = ⁿ q 2

3

n

+ ³₅
n

(i) i_n = sin^nπ₄ (j) jn =

3n²+2 3n²+1

n²−3

(k) kn=

n²+2 3n²+1

n²−3

8. Korzystaj¡c z odpowiednich kryteriów zbadaj zbie»no±¢ szeregów:

(a)

∞

P

n=1 n−1

n³+1 (b)

∞

P

n=1

n ⁷₃
4n

(c)

∞

P

n=1 4²ⁿ (2n−2)!

(d)

∞

P

n=1 4n−3

2n+4 (e)

∞

P

n=1 2n

4ⁿ (f )

∞

P

n=1 4n+3 6n−1

2n

(g)

∞

P

n=1

n²+1 n²+n

n²

(h)

∞

P

n=1

(−1)^{n 3n−1}_n2+4 (i)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ln(n+1)

9. Zbadaj zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡:

(a) P^∞

n=1

(−1)ⁿ_4n²ⁿ3+1, (b) P^∞

n=1 (−1)ⁿ

4n+2, (c) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ln(n+1)

10. Oblicz granice funkcji (lub wyka» nieistnienie granicy):

(a) lim

x→+∞

x³−2x²+x−2

x³−x²−4x+4 (b) lim

x→−∞

x²−12x

x³+64 (c) lim

x→∞

x⁴³+3x⁷−1

−2x⁴⁰+x⁴+x

(d) lim

x→2

x³−2x²+x−2

x³−x²−4x+4 (e) lim

x→−4

x³+x²−12x

x³+64 (f ) lim

x→+∞

√4x²+ 3x − 1 − 2x

(g) lim

x→0 sin 5x

3x (h) lim

x→∞

x²+3x+5 x²+2

2x

(i) lim

x→1 1 1−x²

(j) lim

x→02^|x|x (k) lim

x→0 sin 4x sin 5x

1

dr Krzysztof ›yjewski IP›; S-I⁰.in». 27 listopada 2018

11. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w dziedzinie, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci:

a)f(x) =







sin 2x

x dla x ≤ 0

x−1

|x−1| dla 0 < x < 1

x²− 2 dla x ≥ 1 b) f(x) =







2^x− 1 dla x ≤ 1 1 + log x dla 1 < x < 10

5

x dla x ≥ 10

12. Dobra¢ parametry tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

 _{sin ax}

3x dla x 6= 0

a dla x = 0 (b) g(x) =

 _x²₋₉

x+3 dla x > −3 x²+ bx + 3 dla x ≤ −3.

2