Das kentern von schiffen in unregelmässiger längslaufener see

Lab.

y.

Shepj!1wkunde

Technische Hgeschod

Das Kentern von Schiffen in unregelmäßiger 1ängslaufender

Sigismund Kastner,

Institut für Schiffbau, Hamburg*)

ARCHI EF

1.Ubersicht

Dem Problem der Kentersicherheit von Schiffen gelten seit mehr als hundert Jahren viele Bemühungen der Schiffbaukon-strukteure. Séf t durch die Anwendung statistischer Methoden

zur Beschreibung der Unregelmäßigkeit des Seegangs neue

Wege zur Behandlung des Seegangsverhaltens von Schiffen

er-schlossen wurden, erscheint auch das Kentern eines Schiffes

durch Seegangseinwirkung in einem anderen Licht. Am Schiff entlanglaufende Wellen bewirken Anderungen der aufrichten. den Momente des Schiffes, mit denen oft eine Kentergefahr des Schiffes verbunden ist. Für unregelmäßigen Seegang sind

der-artige Untersuchungen unter Einbeziehung des nichtlinearen Verlaufes der Hebelarmkurven eines Schiffes über dem Nei. gungswinkel bisher nur expe.rimentell durchgeführt worden. Es hat in den letzten Jahren nicht an Stimmen gefehlt, diese als ,,Plöner Kenterversuche" bekanntgewordenen Messungen theoretisch stärker zu untermauern. Eine Methode zur

prak-tisth sinnvollen Durchführung statistischer Berechnungen des Roliverhaltens bei großen Neigungswinkeln wird in der

vorlie-genden Arbeit eingeführt. Dabei konnte das bei der

Durch-führung der Kenterversuche gewonnene anschauliche Bild der Kentervorgänge eine Hilfe sein. Die Untersuchungen

beschrän-ken sich auf eine Fahrtrichtung des Schiffes in oder entgegen

der Laufrichtung des Seegangs.

2. Der Einfluß des Seegangs auf die

Kentersicherheit von Schiffen

2.1 Praktische Bedeutung

Es ist Aufgabe des Entwurfsingenieurs, ein Schiff so zu dimensionieren, daß es den während seines Betriebes auftre-tenden Anforderungen genügt. Zu dieser Aufgabe gehört es

auch, das Schiff seetüchtig und kentersicher zu machen. Es ist Aufgabe der Forschung, hierfür geeignete Berechnungsunter-lagen und Methoden zu entwickeln.

Für das Problem der Kentersicherheit von Seeschiffen wurde

auf Vorschlag von Wendel [69] der Weg verfolgt, alle bei

Fahrt des Schiffes wirksamen aufrichtenden .und krängenden

Momente im einzelnen zu berechnen Und bilanzartig

gegen-überzustellen. Es sei hier auf den zusammenfassenden Vortrag von Wendel vor der Schiffbautechnischen Gesellschaft im Jahre

1965 verwiesen

[741-In dieser Bilanz kommt den Änderungen der aufrichtenden

Momente im längslaufenden Seegang besondere Bedeutung zu

Es ist bekannt, daß Momentenschwankungen im Seegang zu

großen Rollamplituden bzw. zum Kentern eines Schiffes führen können. Für unregelmäßigen Seegang konnten Kentervorgänge bisher nicht berechnet werden. Um Aussagen über die

Kenter-sicherheit machen zu können und Kriterien zu entwickeln, ist aber eine Kenntnis der zu erwartenden Bewegungsvorgänge

eines Schiffes bei großen Rollamplituden erforderlich.

) Gekürzc Fassung ctner von der FakulUlt für Masc?ttnefl wesen der Tcchnisc!wn Universität Kannover genehmigten Dissertation.

Ref. Prof. Dr-Ing. k. Wendet. Korrcf. Prof. Dr.-Ing. O. Grim.

Mündliche Prüfuny am 29. 6. 1969.

22 Bisherige Methoden

In historischer Folge kann etwa folgende Einteilung gelten: Man baute seetüchtige und kentersichere Schiffe nur nach

Erfahrung: Tria1 and Error"-Methode. .

Eine bestimmte Lage des Gewichtsschwerpunktes der

Höhe nach wurde beachtet.

. Der Frèibord und die Hebelkurve für Glattwasser

wur-den berücksichtigt (,,Captain" und Monarch" 1870).

Stabilitätskriterien an Hand der Hebelkurve für

Glatt-wasser, wobei der Seegangseinfluß ohne nähere Kenntnis pauschal mit einbezogen ist. Dazu gehören verschiedene

Versuche, durch das Integral der aufrichtenden Hebel

über den Roliwinkel dynamische Einflüsse zu erfassen; sie sind heute Bestandteil verschiedener nationaler Sta-bilitätsvorschriften bzw. Empfehlungen [41 ] .

Stell'ertre-tend für diese Methode nennen wir das

Rahola-Krite-. rium 1939 [57].

Momenten- bzw. Hebelbilanz aus aufrichtenden und krängenden Momenten: Wendel 1958 [69, 70]. Dabei werden die maximalen Hebelsthwankungen und eine Mittelkurve der Hebel in lärigslaufenden regelmäßigen Wellen als Kriterium herangezogen. In den folgenden

Jahren wurden durch Vergleich mit Kenterversuchen in natürlichen unregelmäßigen Modellwellen eines

Binnen-sees sinnvolle Forderungen für diese Kriterien

aufge-stellt [44, 731

Für die meisten praktischen Fälle scheint diese Methode

ausreichend zu sein. Zumindest wird hierbei die

Ver-sdiiedenartigkeit der Schiffsformen und der

Schiffsgrö-ßen gut erfaßt. Allerdings sind weitere Messungen und Berechnungen zur Verfeinerung dieser Kriterien

wün-schenswert.

Eine explizite Darstellung der zu erwartenden

Schiffsbe-wegungen im Seegang, insbesondere des Rollens unter

dem Einfluß krängénder Momente und der Hebeischwan-kungen des aufrichtenden Momentes im Seegang, ist z. Z.

noch auf Bereiche der Forschung bzw. auf Einzelfälle

beschränkt. Erste Lösungen der Rolibewegung bis zum

Kentern in unregelmäßigem Seegang sind bisher

nur im Experiment ermittelt worden.

Diese ,,Plöner Kenterversuche" wurden mit freifahren-den Modellen in freifahren-den vom Wind erzeugten natürlichen Wellen auf dem See mit einem dem Seegang auf dem

Meer ähnlichen kontinuierlichen Spektrum durchgeführt.

Sie ergaben für definierte Modellzustände verschieden

lange Fahrzeiten eines Modells im Seegang, bis Kentern

eintrat. Eine statistische Auswertung dieser experimen-tellen Kenterfahrzeiten gab Aussagen über die

Kenter-sicherheit. tYber diese Versuche wurde zuerst 1962

be-richtet [42, 58]. Seither wurden diese Versuche

fortge-setzt und die Meßmethode weiterentwidelt [44. 45].

Zur Erfassung der Unregclmäßigkeit des Seegangs ¡n bezug auf seinen Stabilitätseiniluß machte G r i ni 1961 [38] einen

- 121 -

Schiffstechnlk Bd. 16 19G9 - Heft 84

Ansatz mit einer sog. effektiven Welle. Hierbei werden die un-regelmäßigen Ordinatenschwankungen der Wasseroberfläche

eitlang des Sthiffsrumpfei durch eine der Form nach regel-mäßige stehende Welle mit zeitlich unregelregel-mäßiger

Ampli-'ude angenähert.

Im Jahre 1962 veröffentlichte K r app i n g e r [50] ein ,,Neues Kenterkriterium", in dem er unter Verwendung der Grimsdien effektiven Welle einen wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatz

für die Kentersicherheit eines Schiffes macht. Zugrunde liegt eine Berechnung der Häufigkeit von gefährlichen Grenznei-gungswinkeln durch Lösung einer Bewegungsgleichung in regelmäßigen Wellen über maximal eine Passierperiode mit

verschiedenen Anfangsbedingungen. A bic h t [25] berichtete über die Durchführung der Rechnungen.

2.3 Aufgabe

Es soli hier ein Ansatz eingeführt werden, mit dem die Erre-gung eines Schiffes zu großen Rollaussthlägen durch längslau.

fenden unregelmäßigen Seegang berechnet werden kann.

Das bedeutet die Lösung einer Bewegungsgleichung für das

rollende Sdiiff über eine längere Fahrzeit des Schiffes in einer

Folge von Wellen wechselnder Höhe und Länge. Dabei wird besonderer Wert auf das Auftreten extremer Roliwinkel

ge-legt, die zum Kentern des Schiffes führen können. Der Ansatz ermöglicht es, Vergleichsrechnungen zu experimentellen Ergeb.

nissen von Kenterversuchen in unregelmäßiger See

durchzu-führen. Andererséits soll er Hinweise über die Auswahl der im Modellversuch zu untersuchenden kennzeichnenden Fälle lie-fern, da ein experimentelles Abtasten aller Parameterbereiche mit den vorhandenen M.ög]ithkeiten zu aufwendig ist. Ferner

soll der Zusammenhang der Kentersitherheit mit wichtigen

Einflußgrößen des Schiffes, wie Höhenlage des

Gewichtsschwer-punk tes, Form des Schiffes, Freibord, Elgenperiode, Dämp.

fung, Fahrtgesthwindigkeit etc. berechnet werden können.

Die dabei anzuwendenden statistischen Methoden und die

Denkweise sind auch im Schiffbau nichts Neues mehr. Die stati. stische Behandlung von Schiffsbewegungen in unregelmäßigem

Seegang wurde von St. Denis und Pierson mit ihrem Vor-trag vor der SNAME 1953 auf der von Rice entwickelten

Grundlage in die Schiffstheorie eingeführt [611. Auch für an-dere Probleme des Entwurfs finden statistische Methoden schon

Anwendung. So zog Wendel 1960 die zufallsbedingten, d.h.

also nicht voraussehbaren Leckfälle von Schiffen mit Hilfe eines wahrstheinlichkeitstheoretischen Ansatzes zur Beurteilung der Sinksicherheit heran [71, 72].

2.4 Was ist Kentern?

Wir wollen unter Kentern das Annehmen einer neuen stabi-len Schwiminlage des Schiffes bei so großen Neigungswinkeln

verstehen, bei der mit Verlust des Schiffes durch Betriebsun-fähigkeit oder Wasseréinbruch zu rechnen Ist. Unter Kentern

wird also ein bestimmter Bewegungsablauf am Schiff

verstan-den.

Für das Schiff als dynamisches System, das Rollschwingun-gen ausführt, können wir saRollschwingun-gen:

Wird ein Schiff zu Rolischwingungen angeregt, die so große Aniplituden annehmen, daß es in eine andere stabile

Schwimm-lage übergeht, bei der mit Betriebsunfiihigkeit oder Wasser.-einbruch zu rechnen ist, so nennen wir diesen Vorgang

Ken-t e r n.

Es ist leicht einzusehen, daß beim Kentern infolge unregel-mäßiger, d. h. nichtdeterminierter Schwankungen des aufridi-tenden Momentes auch dié Fahrtdauer des Schiffes bis zuiii Ein-treten cines Kenterfalles nichtdeterminiert sein wird.

2.5 Kentersicherheit

Durch die Anwendung der Wahrstheinlichkeitstheorie ist der

Begriff der Sicherheit zu einer definierten und zahlenmäßig

angebbaren Größe geworden. Es wird hierzu auf das umfang-reiche Schrifttum verwiesen. Wir verstehen unter Kentersither-heit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Schiff in einem be-stimmten Zeitraum ñ ich t kent.ert. Zur Ermittlung der Kenter-sidierheit ist es nun zweckmäßiger, die \Vahrscheinlichkéit für das Eintreten eines Kenterfalles in diesem Zeitintervall zu

be-stimmen.

Da Sicherheit und Ausfallwahrscheinlichkeit komplementär sind, ist damit auch die Kentersicherheit gegeben:

FK (t) = 1 --- FK (t) - (2.5.1)

Man kann auch sagen, daß die Zeitdauer, die ein Schiff vorn

Fahrtbeginn bis zum Kentern braucht, eine Zufallsgröße ist.

Es muß nun die Verteilung FK der Kenterfahrzeit tK bestimmt werden. Hierzu gehen wir aus von der sog. Intensitätsfunktion oder spezieller, von der ,,Ausfallrate".

(t) K (t) (2.5.2.)

1FK(t)

Der Ausdruck tK (tdt gibt die bedingte Wahrsclieinlithkéit dafür an, daß das Ereignis, in unserem Falle das Kentern des

Schiffes, im Zeitabschnitt (t, t + dt) auftritt, unter der Voraus-sezung, daß es bis t noch nicht eingetreten ist:

tK (t) dt = W [t <tK <t + dt

tK > t] - (2.5.3) Dabei, ist K (t) dt die Wahrscheinlichkeit eines Schiffes, das

zur Zeit t zu fahren beginnt, zwischen den Zeitpunkten t und t + dt zu kentern:

K (t) dt = W[t<tK<t

+ dt].

(2.5.4)

Der Nenner in Gleichung (2.5.2) gibt diè Wahrscheinlichkeit dafür an, daß Kentern im Zeitintervail (0,t) nicht eintritt:

1 FK (t) = FK (t) = W[tK > t] -

(2.5.5)

Dabei ist FK (t) die Wahrscheinlichkeit, daß Kentern im Zeit-intervall (0,t) eintritt:

FK (t) = W [tK < t.

(2.5.6)

Unter der Voraussetzung, daß in jedem Zeitintervall dt

wäh-rend der Fahrt eines Schiffes die Wahrscheinlichkeit für das

Kentern konstant ist, d. h. bei konstanter Ausfalirate

u (t) = = const

ergibt sich die Verteilungsfunktion für das Kentern

FR (t) = i . exp (

t)

mit der Verteilungsdichtefunktion

dFK

fK(t) =

exp (t'K t).

Hierbei Ist P-K

TR

Bei radioaktivem Zerfall ist für TR der Ausdruck ,,Halb-wertszeit" üblich. Hier ist TK die mittlere Kenterfahrzeit. Sie bestimmt als Parameter die Exponential-Verteilung für die

Fahrzeit des Schiffes bis zum Kentern und Ist gleich dem Null-moment erster Ordnung der Vertcilungsdidite K (t):

TR = St- K (t) dt.

(2.5.13)

o

Liegt eine Ziehung von n Werten tKj vor, so erhalten wir TR über den Mittelwert

(2.59)

(2.5.10)

(2.5.11)

(25.12)

-M

=

E tj = <tK> I).

(2.5.14)

M t='

Anschauung und Experiment zeigen, daß für die Fahrzeit

eines Schiffes bis zum Kentern eine minimale Zeit erforderlich ist, die eientlidle Kenterzeit des Schiffes, die nicht

untersdtrit-ten werden kann. \Vir können diese Zeit t, die

,Jnkubations-zeit' nennen [34]. Diese Inkubationszeit gibt die Zeitdauer für den eigentlichen Kentervorgang an, entspricht also einer Ken.

terzeit, im Gegensatz zur längeren ,Kenterfahrzeit" 1K Es

kann angenommen werden, daß

die Kenterzeit t, nach

N (< t >, ci,,) verteilt ist.

3. Berechnungsansatz für das kenternde Schiff

3.1 Systemtheorie und Stochastik

Das rollende Schiff wird als ein System mit Eingangs- und Ausgangssignal aufgefaßt. Dabei seien die äußeren Bedingun-gen. denen das Schiff ausgesetzt ist, die Eingangssignale. Das zugehörige Schiffsvcrhalten sei dic Systeniantwort auf die

Ein-gangssignale. ist über die innere Struktur des Systems nichts

bekan oder ist sie mathematisch schwierig darzustellen, kann zur Beschreibung des Systems die Kenntnis von Eingang und

Ausgang genügen. Man nennt dieses Vorgehen die

,,Black-Box-Methode". Für die bisher durchgeführten Plöner

Kenter-versuche in unregelmäßigem Seegang wurde diese Methode

praktisch angewendet.

Für eine weitergehende Kenntnis und Berechnung des

Systernverhaltens ist eine Analyse der Struktur des Systems

und der.bestimmenden Parameter für das Schiffsverhalten er-fcirderlith. Dieser analytische Weg wird ergänzt durch die syn-thetische Methode, bei der versucht wird, aus einem einfachen

Ansatz durch Hinzunahme von weiteren Einflußgrößen das

theoretische Modell immer besser dem wirklichen Geschehen anzupassen.

Bild 1 zeigt die Aufgliederung eines in längslaufender See rollenden Schiffes in zwei Teilsysteme. Das erste System be-schreibt die hydrostatische Ermittlung der Hebel des aufrich.

tenden Moments im Seegang. Das zweite System beschreibt das rollende Schiff als dynamisches System. Wegen der Unregel.

mäßigkeit des Seegangs ei-weist sich die Behandlung beider

Systeme als aufwendig. Zur mathematischen Beschreibung der

Systeme spielen die Art des Eingangssignals und die Verfor-mung" des Eingangssignals im System eine entscheidende

Rolle.

Zur Behandlung des Kenterns von Schiffen ist ein großer Roliwinkelbereich zu erfassen, für den auch näherungsweise

eine Linearisierung nicht m*glich ist. Eine der linearen Theorie

vergleidibare Darstellung gibt es für nichtlineare Systeme-leider nicht. Es niiissen also bei niclitlinearen Systemen mit

stodìastischem9 Eingang alle Einzelfälle für sich durchgerech-< > Die Klammer gibt den statistischen Mittelwert der

einge-klammerten Größe an. Sie ersetzt hier aus drucktechnischen

Grün-cien die sonst übliche Quer-überstreichung des jeweiligen

Aus-drucks.

Eine stochastische Größe Ist eine Zufaitsvariabte, die nicht

analytisch darstellbar Ist. Stochastisch steht synonym für regeuos,

unregelmäßig (englisch ,,random'). Teilweise wird auch tier

Aus-druck ,.ateatorlsch verwendet (von tat, ateos - der Würfel).

net werden. Für allgemeinere Aussagen auf statistischer Çrund-. lage können dann wieder die Ausgangssignale yerwendet

wer-den. - - ..

Für das oben definierte Teilsystern I lassen sidi die aufrich. tcndeii Hebel an Hand der SchifTsforni audi für unrcgelmiißi-.

gen Seegang zu äquidistanten Zeitabsdìnitten quasi-stationär

berechnen. Allerdings steigt der numerische Aufwand beträdit. lidi im Vergleich zu regelmäßigen Wellen. Es erscheint mög. lidi, nach Durdirethnung einiger Sthiffsformen hier mit

zuver-lässigen Näherungen zu arbeiten. Näheres hierzu unter

Ab-schnitt 4.1.

Nodi aufwendiger ist die Behandlung des Systems II. Die Vielzahl von zu berechnenden Kentervorgängen aus der

Lö-sung der Bewegungsgleichung bzw. die erforderlichen statisti-echen Langzeitrechnungen ergeben zusammen mit der Variation

,O!1 Sdiiffsparametern, wie Fahrtgesdiwindigkeit oder Damp-fung des Schiffes, selbst bei vereinfachteni Ansatz umfangreiche numerisdie Rechnungen.

Das Suchen nach Bereichen, die für das Schiff eine große Kentergefahr darstellen, ist bei vielen Parametern mit z.T.

stodiastisehen Größen trotz Einsatz moderner Rechenhilfsmittel

sehr miihsani. Es erscheint sinnvoll, die durebzurechnenden Fälle auf wichtige Bereiche zu beschränken und durch die Kenntnis der Tendenz von Paranietereinflüssen den Rechen.

umfang zu beschränken. In noch stärkerem Maße trifft das für

statische Kenterversuche zu. Sie sollten

sich, sobald eine

Berechnungsmethode wi die hier vorgeschlagene vorliegt, auf kennzeichnende Einzelfälle beschränken, um den theoretischen

Ansatz priifen und verbessern zu können. Dazu sind auch

determinierte Fälle durchzumessen, bei denen die Anfangsbe-dingungen und die Wellenfolge am Schiff meßtechnisch erfaßt

werden. Unter Einzelfällen seien hier aber audi statistische Versuchsreihen verstanden, die statistische Daten der Bewe-gungsgrößen und experimentelle Kenterzeitverteilungen

lie-fern. Trotzdem ist der Aufwand f iir Durchführung und

Auswer-tung solcher Versuche noch beträchtlich.

Lösungsverfahren mit Hilfe eines Zufalisprozesses werden heute oft als Monte-Carlo.Methode bezeidinet Ursprünglich

war es nach y. -Neumann [16] nur die Lösung eines

ein-fachen stodiastisdien Problems, dessen experimentelle Lösung

der des ursprünglichen Problems, das zwar formuliert, analy-tisch aber zu schwierig zu lösen ist, beliebig nahekommt. Ein t) berdecken des gesamten wichtigen Parameterbereiches im

Experiment im Sinne einer Monte-Carlo-Methode wäre zu

auf-wendig. Insofern kann der im folgenden beschriebene Ansatz

als notwendige Ergänzung von Kenterversudien gelten.

3.2 Spektrale Darstellung stochastischer

Größen

Bei unregelmäßiger See kann man nidit angeben, welche

Ordinate t die Wasserol)erfläche des Meeres zu einem

bestimm-ten Zeitpunkt an einem bestimmbestimm-ten Ort haben wird. Zur Be-schreibung soldier Vorgänge dient die Theorie der

stochasti-sehen

Prozesse. Mit Hilfe des

Wahrsdieinlidikeitskalküls

lassen sich Aussagen über kennzeichnende Eigenschaften sol--cher Prozesse machen. Zahlenwerte erhält man über statistisdie Mittelwerte durch Integration über hinreichend große Strecken

bzw. Zeiten.

Unter der \'oraussetzung, daß unregelmäßiger Seegang ein

ergodischer und stationärer stochastischer Prozeß ist, können wir mit den zeitlichen Ordinatensehwankungen an nur einem Punkt der Wasseroberfläche arbeiten [46].

Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, zur mathematischen

Beschreibung stochästischer Prozesse ein relatives

Leistungs-(i)

stochastisdw

h(t).t32 ah(H41tti Sto itlsd,.r Heb.Iwm

VC') .tochostisdwr Eriatz-Syst.mt Schiff Schiffuts hydro-statisch Schwinger .5.,gang s&!) w(!) Sp.,(f) w(h) Roiiwfrtkel Spy(t) w (?) w (V)

Bild I Ersatzsysteme für das rollende Schiff in längstaufendem

Seegang

maß einzuführen, und zwar den zeitlichen Mittelwert des Zen-tralmomentes zweiter Ordnung:

m () = <t2 (t) > =

et1 = hm --

1t2

(t) dt. (3.2.1)

T 2T J

_T

Das Spektrum stellt nun die Verteilungsdichte der Leistung über der Frequenz dar:

S (f)

d <t. (t)>

(3.2.2)

df

S Seegangsspektrum f Frequenz

In Gleichung (3.2.2.) ist im Prinzip das sog. Parsevaisdie

Theorem enthalten.

Es wird hier die Darstellung über f bevorzugt. Es gilt:

w2,f

dw2rdf

S(f)

2tS(o).

(3.2.3)

Manchmal wird das Spektrum nur über den positiven Fre. quenzen dargestellt. Dann ist zu beachten, daß sich der Wert

für das Spektrum verdoppelt.

S.,. (f)

2S(f).

Damit ist dann

<te>

S 2S(f)df=

S+ (f)df.

(3.2.4)

Die Teilkomponenten des Seegangs haben eine unregel.

mäßige Phasenlage. Die Wahrscheinhichkeitsdichte der Phasen. winkel £ ist gegeben durch eine Rechteckverteilung:

w(e)

OC42T.

(3.2.5)

2t

Es ist daher nicht möglich, ein Amplitudenspektrum zu be-rechnen. Die zeitliche Mitteiwertbildung liefert uns jedoch mit

dem Leistung s spektrum eine statistisch determinierte

Funktion zur Kennzeichnung des stochastischen Prozesses. Für nichtlineare Systeme kann keine Ubertragungsfunktion angegeben werden. Zur Durchführung von Einzelreclinungen

muß aus dem Spektrum wieder eine Zeitfunktion entwickelt

werden.

t(t)

5 C(f)sin {2ft + e(f) )df.

C (f)

j/2

f)

{

(3.2.9)

Die Größe C (f) bedeutet hier eine Amphitudendichte. Bei kontinuierlichen Spektren besitzt also eine diskrete Frequenz

nur eine infinitesimale Amplitude. Die aus dem Spektrum ab-geleitete Amplitudendithte beschreibt den stothastischen

Pro-zeß nicht mehr vollkommen, sondern nur in Verbindung mit den regehlosen Phasen e (f) in Gleichung (3.2.8). Gleichung (3.2.8) kann damit einen zeitlichen Ausschnitt T aus der

See-gangsfunktion t (t) liefern.

Es ist möglich, das kontinuierliche Spektrum durci, diskrete Tcilkomponenten über eine bereichsweise Integration der

Spek-tialdkhte anzunähern. Aus (3.2.8) folgt dann der

Summen-ausdruck:

N

t (t) =

V2 S (fr) f sin (2 t f

t + e)

(3.2.10)

p = I

Praktisch müssen dann für e Ziehungen aus der gleidiver-teilten Grundgesamtheit eingesetzt werden.

3.3 Bewegungsgleich'ung

Das Schiff wird als ein starrer Körper aufgefaßt. Jeder Kör-per in Bewegung verfolgt seinen Bewegungsablauf so, daß zwi-schen zwei Zeitpunkten die Differenz zwizwi-schen kinetisdier und

potentieller Energie ein Minimum wird (Hamiltonsdes

Prin-zip).

Wir erhalten dann die allgemeine Form der

Bewegungs-gleichung für einen Freiheitsgrad

I,'

+ N4,

+ g 'c

- h (p, t) = Mk (t). (3.3.7)

Ein Schiff kann im längslaufenden Seegang solche

Änderun-gen seiner aufrichtenden Hebel h erfahren, daß es kentert

Roilbewegungen mit sehr großen Amplituden werden also

da-bei durch zeitliche Anderungen der Kennlinie des Systems

Schiff erzeugt, wobei hier unter Kennlinie die graphische

Dar-stellung des aufrichtenden Hebels h über dem Rollwinkel q)

zu verstehen ist, im Schiffbau als Hebelarmkurve geläufig. Ein System, dessen Eigenschaften sich zeitlich ändern,

nen-nen wir nach Kiotter ,,rheonom" [12]. Man spricht dann je nach Form der Kennhinien des S>-stems von ,,rheohinearen"

bzw. ,,rheonichthinearen" Schwingungen.

Für ein Schiff in unregelmäßigem Seegang sind die zeitlichen

Anderungen der Systemkennlinien stochastische Funktionen.

Das System Schiff wird dann nach obigen Definitionen charak-terisiert als ein ,,stochastisch rheonichtlineares System". Für die Art der Erregung wollen wir von ,,stodiastischer parametrischer Erregung" sprechen.

4. Analyse der Bewegungsgleichung

4.1 Aufrichtende Hebel

Wir können den zeitlich veränderlichen aufrichtenden Hebel für einen konstanten Winkel q) durch den zeitlichen Mittelwert

arid eine Schwankungsfunktion um diesen Mittelwert

dar-stellen:

hv(t) = <hr> ± L\h.r(t).

(4.1.1)

Btld 2 Aufrichtende Hebel, Passierperiode WelleSchiff !Cr regeimliflige Wellen mit als Parameter

Für eine regelmäßige Welle sind diese Kurven für verschie-dene Winkel q) in Bild 2 für das Sdiiff Nr. 4212 W der Series 60 dargestellt. Für die praktisch üblichen Schiffsformen muß die

Hebelfunktion h (q), t) aus der Seegangsfunktion punktweise

numerisch berechnet werden.

Die bisher übliche graphische Darstellung der Hebel über

eine Passierperiode mit q) als Parameter kann für allgemeinere

Aussagen nicht befriedigen. Auch andere Auftragungsarten

-E s e t o.' o.' 0.1 0.5 0.4 0.3 92 5tr,uw,0. lO 20 40 50

können hieran nichts ändern. Sicher aber hängt der Verlauf der Hebel mit charakteristischen Ligenscitaften der Schiffsform zu-sammen. So ist es heute schon üblich, kennzeichnende Punkte dieser Hebelkurven zu berechnen, etwa für die Lage des Sdiif-fes im Wellental und im Wellenberg. Damit hat man wohl für die üblichen Sthiffsformen den möglichen Sthwankungsbereich

der Hebel erfaßt. Neben den Hauptabmessungsverhältnissen

des Schiffes gehen hierbei besondere charakteristische

Eigen-schaften der Schiffsform wie etwa völliges Mittelschiff,

Kreuzer-oder Spiegeiheck, in das Ergebnis ein.

l.0

a

h,(I).i,..Ah?(t) fur

h1,(t),I cpsni,.,t.Cp)

R.a, 01

:.

3!L?;. _:- :

-

Ordnungszahl p Bild4 Fourierkomponenten der aufrichtenden Hebel in

regelmäßiger Welle 60 70 80 MO-OW M4nOW

'G, /

1

Ml -OW

-r

Bild3

Abweichungen des mittleren Seegangstebels vom Glatt-wasserhebel für verschiedene Phasenlagen in regel-mäßiger Welle

Zur Erfassung des periodischen Hebelverlaufes Ist jedoch die

Kenntnis der Hebel in Zwisthenlagen der Passierperiode

WelleSchiff erforderlich. Dabei ist mindestens jeweils ein Punkt zwischen Berg und Tal zu berechnen, um einen Anhalt über die Abweichung vom sinusförmigen Verlauf zu

bekom-men.

Da ein stetiger Verlauf der he (t)-Kurven in regelmäßigen Wellen für die üblichen Sdiiffsformen immer vorausgesetzt

werden kann, genügen diese vier Punkte bereits, um den typi-schen Verlauf zu kennzeichnen. Inwieweit das auch quantitativ zutrifft, ist in Bild 3 dargestellt. Hier sind über dem

Neigungs-winkel die Abweichùngen des mittleren Seegangshebels vom Glattwasserhebel aufgetragen. Der mittlere Seegangshebel

wurde aus zwei Phasenlagen - Berg und Tal -, aus vier

Phasenlagen Berg, Tal und den beiden Zwischenlagen

-und aus acht Phasenlagen gemittelt. Außerdem wurde der mittlere Seegangshebel durch Integration über alle Phasen.

lagen bestimmt. Es ist zu erkennen, daß für diese Schiffsform

der Sprung von zwei auf vier Phasenlagen erheblich ist, wäh-rend bei noch mehr Phasenlagen sich nicht mehr viel ändert.

Um die kennzeichnenden Eigenschaften zu erfassen, sollte man also die Hebel im Seegang für vier Phasenlagen eines Schiffes in einer regelmäßigen Welle berechnen.

Um auch quantitativ mehr Aussagen zu erhalten, die über

einen bloßen anschaulichen Vergleich der Hebel verschiedener Schiffe hinausgehen, wird eine harmonische Analyse der Hebel-schwankungen für verschiedene vorgeschlagen. Die Verfor-mung wird sich dann in Beträgen der Oberwellen ausdrücken, und es könnten sich Besonderheiten für verschiedene Schiffs-typen finden lassen. Bild 4 zeigt das Ergebnis solcher Analysen für unser Standardsdiiff der Series 60. Die Oberwellen können nach der dritten Ordnung abgebrochen werden, da die höheren Ordnungen meist sehr klein sind und die Hebel kaum noch ver-ändern.

Da der Rechenaufwand dmit sehr eingeschränkt werden

kann, könnten sehr bald für viele Schiffe solche Spektren vor-liegen. Es ist denkbar, daß auf, diesem Wege dann eine syste-matische Zuordnung von Seegangshebeln und Schiffsformeri er-folgen kann.

Wie Bild 3 erkennen läßt, weichen die Mittelkurven der He-bel in regelmäßigen Wellen stark von der Glattwasserkurve ab. Vor allem für große Neigungswinkel sind meist kleinere

mitt-- 125 mitt--

Schlffsteehnik Bd. 16 1969 Heft84 1.42GW I I I I j I

i

60 80 M8W 70 C3 Y I

?tl

30 45 60 75 [cw] 14.6 8,7 -7.8 -53.5 {cn] 27.4 33 25.9 193 Ei5 0,764 0.761 0.762 0,769 47 0,81 0.794 0.792 0.744 E3 0.56 0,695 0,763 0.80 C45 - 0.375 0,270 0.48 0.0 £,, 0.508 0.514 0.49 0.598 ¿5 0.676 0.614 Q594 0.815 I

L=L

OW Gfattwaaw

2GW

!!wi..

M2_M Mittelwert_Mittelwert aus_aust.B.eg_Plesentagenund Tat

/,N4..GWLw 15 _{MB Mittelwert} Mittelwert aus 8 Phasentagen integriert y/,148Gw p.cw .5 e 10

<h,.> = um

Tc T

i

Bi14 5 Hebelbereiche im Seegang

lere Hebel anzutreffen (siehe dazu die Hebeikurve in Bild 5).

Die daraus resultierende Gefährdung von Schiffen ist bekannt und besonders in den letzten zehn Jahren gab es intensive Be.

mühungen, dies in der praktischen Beurteilung der

Kenter-sicherheit heranzuziehen. Ursache ist, daß die

Hebelminderun-gen im Berg im Vergleich zu Glattwasser größer sind als der Hebelzuwachs im Tal. Bei Untersuchungen im Seegang muß

die Glatiwasserkurve also verlassen werden und kann auch als Bezugslinie keine Anwendung finden. Die Angabe von GM0w soll hier lediglich die Lage des Gewichtssdiwerpunktes kenn. zeichnen, da KMGv eine definierte Formgrölle des Schiffes ist:

KG = KMG\.GMu\..

(4.1.2)

In unregelmäßigem Seegang werden sich nun auch der

aufrithtende Hebel über der Zeit unregelmäßig ändern.

Stochastisehe Hebel können grundsätzlich in gleicher Weise wie für regelmäßigen Seegang unter der Annahme, daß die Wellen

vom Schiff unbeeinflußt bleiben (Froude-Krylowsthe Hypo-these), berechnet und tatististh durch Spektren und Vertei-lungsfunktionen beschrieben werden. Gegeben sind dabei die Linien des Schiffes und das Deplacement. Das

Unterwasser-volumen des Schiffes ist oben unregelmäßig begrenzt und

wech-seit diese Grenzkontur über der Zeit. Mit Hilfe digitaler

Pro-gramme ist es heute möglich, auch so umfangreiche numerische Rechnungen durchzuführen. In vorliegender Arbeit werden

vpr-erst für die verwendeten stodiastischen Hebel plausible

An-nahmen gemacht, die sich für spätere Rechnungen jeweils ab-ändern lassen. Es erscheint sinnvoll, diesen plausiblen Ansatz

auch künftig als gute Näherung zu verwenden. Eine Prüfung

durch genaue Rechnung an verschiedenen Schiflsformen ist aber

notwendig.

Die Hebelfunktion h0, (t) für einen konstanten

Neigungs-winkel sei ein stationärer stochastisdier Prozeß. Dafür existiert der Ausdruck:

T-dt.

(4.1.3)

o

Der Ausdruck (4.1.3) stellt den linearen Mittelwert der

sto-chastischen Hebel dar. Ermitteln wir <h> für alle ç im

Be-reich - çK

K, Wi =

900, so erhalten wir die

Mittel-kurve der aufrichtenden Hebel im Seegang <h (ç) >. Für

erste Untersuchungen wird es als zulässig angenommen, die sich aus regelmäßiger See ergebende Mittelkurve <h (ç)>

auch in unregelmiif3igem Seegang heranzuziehen.

Dic zeitlichen Schwankungen der stochastischen Hebel um die Mittelkurve sind dann fur einen konstanten Winkel ç:

Ah,,. (t) = h,,. (t) - < h,,.> - (4.1.4) lo Schiltstechnik Bd. 16 1969Heft84 ₁₂₆ 030 020 002 E

Unfong der Stichpoobe

lse T.M-ot 15,55m,n Il ro' ce, E,. E (s1 t' G. .ndgnaeItn, n. _ir.It,) ç.' 0 _le n 0.._ 0-7_ 0- O.,» 0.0,» 0.3,» h Co.i T'»".,.. Glatt.»,,., 0.17 n.

BIld 6 Ordinatenverteilung stochastischer Hebel bei 390 Neigung

Es kann weiter angenommen werden, daß die Ordinaten der

Funktion Ah normal verteilt sind. Für den Winkel ç 300

zeigt Bild 6 die für die gewählte Schiflsform der Series 60

be-rechnete Ordinatenverteilung der stochastisdien Hebel. Die

Varianz der Hebelverteilung ist nun eine Funktion des

Neigungswinkels:

= <Ah

(t) > = f (ç)

(4.1.5)

Das bedeutet, daß je nach Neigungswinkel ein anderer Be-reich Aq von den Hebelschwankungen überdeckt wird. Wir

wollen als Schwankungsbereich der Hebel die Hebeländerung im Seegang definieren, die nur nodi mit einer geringen Wahr-scheinlichkeit überschritten wird. Nehmen wir an, daß die maxi-malen Hebelschwankungen in einer Welle von Schiffslänge auf-treten, können wir aus einer Statistik der zugehörigen Wellen. höhe eine Berechnungshöhe wählen.

o

0,1

p 2 1.

5 10

-p (.1]

Bild 7 RelatIve Hliuflgkeit von kennzeichnenden Wellenhöhen für

100-m-WeIlen Im Nordatlantik nach Statistik Roll 1601

Bild 7 zeigt die Steigung über der relativen Hauflgkeit für 100-m-Wellen im Nordatlantik, berechnet aus statistischen

Daten von Roll [60]. Der Schwankungsbereich der Hebel

wurde für eine Wellenhöhe von 6,7 m berechnet, die für

100-m-Wellen nur noch von 2 0/oo aller 100-m-Wellen übertroffen wird.

Da Wellenberg und Wellental wegen des Einflusses der

Zwischenlagen auf den mittleren Hebel <h>

unterschied-lidie Abweichungen vom Mittelwert in regelmäßigen Wellen er-geben, wird hier für die Berechnung der Mittelwert aus

Berg-Bild 9

Vertetlungsdichte der Hebel-ordinaten in unregelmäßigem

längslaufenden Seegang

7 L3

Bild 8 Hebeldlfferenzen als Schwankungsbereich in unregelmäßlgem Seegang

und Talabweichungen als Schwankungsbereich festgelegt, siehe Bild 8:

ih ((p)

---- (hThB)

(4.1.6)

Nimmt man nun an, daß dieser so ermittelte Sdiwankungs-bereich den 3 oj,-Bereich der normalverteilten

Hebeischwan-kurigen darstellt, so ergibt sich etwa eine Darstellung der Ver. teilungsdichte der Hebel über dem Neigungswinkel nach Bild 9. Für die Darstellung der zeitlichen Schwankungen der Hebel

innerhalb dieses so gebildeten Bereiches muß nun noch eine unregclmäl3ige Zeitfunktion eingeführt werden. Dabei ist

je-doch zu beachten, daß zwischen den einzelnen Zeitfunktionen

mit (p als Parameter ein direkter Zusammenhang besteht. Es

dürfen daher nicht für eine Schwingungsrechnung für

versehie-BI d 10 Stochastlsthe Hebel in längslaufendem Seegang, dargestellt

Über der Zeit t mit dem Neigungswinkei als Parameter

dene (p = const verschiedene Ziehungen h, (t) genommen wer-den, sondern es müssen die vorher berechneten Hebelwerte in

der richtigen zeitlichen Zuordnung beibehalten werden. Die Spektren dienen hier nur als Aussage für statistische

Mittel-werte.

Ein kurzer Ausschnitt aus zeitlichen Schwankungen von

auf-richtenden Hebeln in unregelmäßigem Seegang für mehrere

konstante Neigungswinkel cp ist in Bild 10 dargestellt. Wie

schon angedeutet, sind die verschiedenen Kurven zeitlich direkt

miteinander gekoppelt. Phasenziehungen dürfen nur für den

erregenden Seegang vorgenommen werden, dem dann eine zu-sammenhängende Kurvenschar von Hebeln zugeordnet ist.

Es ist nun plausibel, daß die auf den Sthwankungsbereich

bezogenen zeitlichen Hebeisdiwankungen für verschiedene q nur unwesentlich voneinander abweichen werden. Um die Un-regelmäßigkeit grundsätzlich in die Rechnung einzubeziehen, scheint daher der näherungsweise Ansatz mit einem mittleren

normierten Spektrum für den ganzen Neigungswinkelbereich gerechtfertigt. Er ermöglicht es, für alle Neigungswinkel mit

nur einer normierten Schwankungsfunktion H,, (t) zu rechnen. Das ist besonders für eine Lösung am Analogrechner wichtig.

Der mittleren normierten Hebelsdiwankung Hr1 (t) zugeord-net ist das normierte Hebelspekirum S,, (f) . Es wurde für diese Untersuchungen als logarithmisch normalverteilt angenommen. Erste numerische Ergebnisse für Hebelspektren der Schiffsform Series 60 konnten die Berechtigung zu diesem Ansatz

bestäti-gen. Bild 11 zeigt eine Gegenüberstellung eines normierten Seegangsspektrums nach Pierson und Moskowitz [61) mit dem normierten Hebelspektrum für einen Krängungswinkel

von 30°.

\Venn wir annehmen, daß der Schwankungsbereich L\h ()

dem 3 ØLI,l-Bereich der nach N (0, aj/2) verteilten Hebelschwan.

kungen entspricht, so läßt sich die zugehörige Streuung s.j!1

leicht berechnen:

SJh((p) =

---L\h((p) = tL\h(q).

(4.1.7) 3

SJh

Allgemein sei

th - das

Verhaitnis Streuung zu

Lll

Sdtwankungsbereich.

BUd 11 Gegenüberstellung der normierten Spektren von unreget-mäßigem Seegang und der zugehörigen HebeY für 300 NeIgung in

längslaufender See

Mit Hilfe des Parsevalsehen Theorems, das besagt, daß die Fläche unter dem Spektrum gleich der Varianz des

Zeitvorgan-ges Ist, 00

$2 S4,

(f) df = <Ah2> =

((4.1.8)

o

ist dann bei Annahme eines Spektrums vom logarithmischen

Normaltyp auch das Spektrum bekannt (M = log e = 0,4343):

M

f (log flog med)2 i

SIhJii -

exp I

V2 <Ah2> f

L

2< Ah2>

j.

(4.1.9)

Das normierte Spektrum S ist das Hebelspektrum, bezogen auf seinen Effektivwert:

2 SJhj/ (f) S1(f) =

fürq = const.

<Ah2>

Es ist dann

V2SAf= V<Ah2>S0Af=

= th Ah (cp) ]/S0 - M. (4.1.11)

Damit erhalten wir für den stochastischen Hebel in Abhän-gigkeit vom Roliwinkel q und der Zeit folgenden Ausdruck:

h(q,t) = <h(q)> + thAh(ç)Hfl(t)

(4.1.12) mit N

H0(t) = EJ/SAf1«sin(co11t+E).

p=1

4.2 Stochastisehe Rolibewegung

Das Schiff wird durch Störungen zu Rolisdiwingungen ange-regt. Andern sich clic Kennlinien des Schiffes, oder anders aus-gedrückt, die Koeffizienten der Bewegungsgleichung, mit der Zeit, so wird die Roilbewegung zusätzlich beeinflußt. Selbst bei relativ geringen Störungen infolge krängender Momente kann

dann allein die Änderung der Systemkennlinien je nach Am-plitude, Frequenz und Phase dieser Schwankungen zum Ken-tern des Schiffes führen. Da wir uns in dieser Arbeit auf die

Untersuchung des Einflusses längslaufender See beschränken

wollen, sollen hier keine äußeren kriingenden Momente aus sdiriiglaufendem Seegang oder aus Winddruck angenommen

werden, die eine Erhöhung der Kentergefalir darstellen.

Die Roilbewegung des Schiffes - in Bild i als Ausgangs-signal des Ersatzsystems II gekennzeichnet - ist ein

dynami-seher Vorgang, siehe Gleichung (3.3.7) für einen Freiheitsgrad. Dabei wird vor allem der Einfluß von Tauthsthwingungen des Schiffes auf die Roilbewegung nicht berücksichtigt.

Es ist bekannt, daß für das schwingende Schiff im Seegang neben den hydrostatisch ermiitelten Schwankungen der aufrich.

tenden Hebel gemäß der Wellenkontur am Schiff, die in

Ab-schnitt 4.1 näher untersucht wurden, hydrodynamische Effekte eine Rolle spielen. Grundsätzlich scheint es möglich, sie wenig. stens näherungsweise auch für das Schiff im niditlinearen Be-reich bei unregelmäßiger See zu berechnen. Es soll jedoch hier mit der Gültigkeit der sog. Froude-Krylowschen Hypothese ge. rechnet werden, die voraussetzt, daß das Schiff die Wellen nicht beeinflußt. Auch der Smith-Effekt wird bei der Berechnung der aufrichtenden Hebel nicht berücksichtigt. Da beide Effekte

ge-genläuflge Wirkung haben, ist anzunehmen, daß sich diese

Vereinfachungen nicht zu großen Fehlern aulsummieren. Neben den hydrodynamischen Einflüssen auf die hydrostatisch ermit. telten aufrichtenden Momente eines Schiffes im Seegang sind am schwingenden System die dynamischen und hydrodynami.

sehen Größen des Schiffes beteiligt. Sie sind in Gleichung

(3.3.7) im Massenträgheitsmoment Iq' und in der

Dämpfungs-größe N, enthalten. Es ist sicher, daß die hydrodynamischen Größen bei stochastischer Anderung der Umströmung des Schiffskörpers ebenfalls stochastisdie Anderungen erfahren. t) ber die näheren Zusammenhänge und die Größe dieser An-derungen in unregelmäßigem Seegang bei großen

Rollampli-tuden ist jedoch nichts bekannt. Für die numerische Berech-nung werden daher vorerst starke Vereinfachungen gemacht, bei denen zu erwarten ist, daß sie die Ergebnisse nicht verfäl.

sehen.

Das resultierende Massenträgheitsmoment aus heitsmoment des Schiffes und hydrodynamischem

Massenträg-heitsmoment

(4.2.1.)

kann auf die Schiffsmasse bezogen werden:

(4.1.10) Iq .

iÇ2Q' (4.2.2)

Fur große Roliwinkel ist die Dämpfung nicht mehr linear. Bis etwa 200 Roliwinkel wird daher die lineare Dämpfung oft um

SctullÍsttc.hnlk Bd. 16 1969 Heft 84

₁₂₈

-Der Trägheitsradius i' wird hier proportional der

Schiffs-breite B gesetzt, wie es für vereinfachte Ansätze üblich ist:

= 0,4 B.

(4.2.3)

Die Dämpfungsgröße Nq, wird auf das dimensionslose

Dämpfungsmaß D zurückgeführt: LTP

'2ö2D(Om

(4.2.4) 1 In + I (4.2.5)

2t

q'11 8 Abklingkonstante [sec]

co11, mittlere Eigenfrequenz im Seegang [secJ

Dabei wird Wu aus dem mittleren GMm des Schiffes im See. gang unter der Annahme eines konstanten Rollträgheitsradius

ein dem Quadrat 'der Winkelgeschwindigkeit proportionales

Glied ergiinzt. Für noch größere Rollamplituden reicht der quadratische Term jedoch nicht. Vor allem durch das

Über-kommen von Wasser über Seite Deck wird die Dämpfung bei

sehr großen Neigungswinkeln beträchtlich erhöht. Man muß

dann noch Terme höherer Ordnung ansetzen:

b (4.2.6)

Man kann das Dämpfungsmaß auch in den linearen Anteil

für das aufrecht schwimmende Schiff und in den Anteil, der in Abhängigkeit vom Roliwinkel hirizukommt, aufspalten:

D = D0 ± Dg,. (4.2.7)

Es wird nach und nach sicher möglich sein, den vorliegenden Ansatz auch bezüglich der hydrodynamischen Kräfte am Schiff zu verfeinern.

Die bei Bewegung des Schiffes sich jeweilig einstellenden

Roliwinkel lassen sich nun aus der Betrachtung der

aufrichten-den Hebel und ihrer stothastisdien Schwankungen nicht ab-lesen. Zu ihrer Kenntnis ist vielmehr die Lösung der

Bewe-gungsgleichung erforderlich. Das erscheint selbstverständlich,

muß aber besonders hervorgehoben werden, da es bis heute praktisch nicht üblich ist, diese Lösung für ein zu bauendes

Schiff zu bestimmen. Das liegt einmal in der Schwierigkeit bei

der Erfassung aller Einflußgrößen und ihrer stochastischen

Schwankungen und in dem rfumerisc}ten Umfang der Berech-nung begründet. Andererseits können allein aus den aufrichten-den Hebeln schon grundsätzliche Tenaufrichten-denzen der Roilbewegung

abgelesen werden. So ist es sofort klar, daß die aufrichtenden

Hebel für einen bestimmten Rollwinkelbereich positiv sein

müs-sen, bzw. die Summe aufrichtender und krängender Hebel (h + k). Versuche, über Größe und Umfang dieses positiven

Hebeibereiches in Glattwasser Kriterien für die

Kentersicher-heit zu formulieren, haben sich jedoch als zu vereinfacht und

als Kriterium nicht hinreichend erwiesen.

Eine Erweiterung der Kriterien auf Mittelkurve der aufrich-tenden Hebel und Sdiwankungsbereidi erfaßt schon besser den Sadiverlialt. Ober erforderliche Größe und Umfang dieser

He-bel kann genauer aber audi nur die Kenntnis des zugehörigen

Bewegurigsablaufs Aufschluß geben. Dies gilt vornehmlich, da noch weitere, in der Hebeldarstellung nicht erfaßte Einflußgrö-ßen hinzukommen, wie die zeitliche Folge der Hebelschwankun-gen und ResonanzerscheinunHebelschwankun-gen oder die Rolidämpfung. Für Entwurfszwecke und als Sicherheitskriterium kann auch in Zu-kunft die Hebelbetrachtung ausreichend sein, wenn genügend zugehörige Lösungen bekannt sind.

Da es immer nur ein Pauschalurteil über die

Kentersicher-heit bei so unterschiedlichen Bedingungen geben kann, sollten als Kriterium mögliche kritische Betriebszustände herangezo-gen werden, und dazu gehören Fahrt des Schiffes in achterlither bzw. sdìräg adnerlidìer See mit bestimmten Froudeschen

Zah-len.

5. Einfluß der Schiffsgeschwindigkeit

5.1 Transformierte Hebelspektren

Fährt ein Schiff mit der Geschwindigkeit V im Seegang, so ändert sich je nadi Gesdiwindigkeit c der passierenden Wellen die Begegnungsfrequenz f* Entsprechend werden sich auch die

Frequenzen der zugehörigen Hebelschwankungen hv (t)

ver-schieben. Genau genommen erfährt" das Schiff je nach Fahrt-geschwindigkeit y und Kurs bezüglich der

Wellenfortschritts-richtung das auf das Schiff transformierte Seegangsspektrum

S*, aus dem das Hebelspektrum S11 berechnet werden muß.

Aus Gründen der Einfachheit soli hier jedodi das

Hebelspek-trum für das Schiff ohne Fahrt einer Geschwindigkeitstransíor'

niation unterworfen werden. Dazu können die von St. Den is und Pierson [61] angegebenen Beziehungen benutzt werden. Wir wollen das schiffsfeste Koordinatensystem zugrunde-legen, d. h. wir wollen betrachten, was ein Beobachter am

Schiff für Begegnungsfrequenzen erfährt. Die positive Richtung der Sdiiffsgesdiwindigkeit y und die positive Richtung der Wel-lengeschwindigkeit e seien in Richtung des Weges x gerichtet. Dabei ist das xy-System i-aumfest, das x*y*.System schiffsfest orientiert, wobei es jedoch von den Schwingungen des Schiffes

unbeeinflußt bleibt. Zwischen beiden Systemen gelten die

Transformationsbeziehungen:

= x - Vt

y*

_{= y}

= y. mit V Schiffsgeschwindigkeit x = Kurswinkel

-Die Begegnungsfrequenz zwischen Wellen und Schiff ist

/

V

w*11__ cos )w(1a-cos).

\

'c

J V

Darin ist a -

(5.L5) C

das Verhältnis von Schiffs- zu Wellengeschwindigkeit.

Für vorlidie See ergibt sich mit sign (V- cos x)

1, daß

die Begegnungsfrequenzen mit der Geschwindigkeit des

Sdiif-fes größer werden. Dagegen werden in aditerlicher See mit

sign (V - cos X) = i die Begegnungsfrequenzen kleiner. Je nach der Größe von vergeben sich bestimmte Bereiche:

V <e, a = 1.

Das Schiff ist langsamer als die Welle und wird von ihr überholt.

V= e, a = 1.

Das Schiff fährt mit Wellengesdiwindigkeit.

e) V>c,a>i.

Das Schiff ist schneller als die Welle und überholt sie.

Vom Schiff aus scheint es so, als käme die Welle von vorn.

Aus Gleichung (5.1.4) erhalten wir hierbei negative Begeg. nungsfrequenzen. Das negative Vorzeichen hat also einen

an-schaulichen Sinn. Es besagt, daß Wellen, bezogen auf das

Schiff, scheinbar aus der entgegengesetzten Richtung kommen, als es tatsächlich der Fall ist.

Wir wollen nun Gleichung (5.1.4) noch etwas umformen und schreiben mit

=

L':

f

=' _g

(5.1.4)

Daraus läßt sich mit den Eingangsgrößen L,%, A, F,,, f und X das zugehörige f* berechnen.

e Wellengesthwindigkeit

2 f (5.1.6)

V

FI=V_E

Froudesthe Zahl (5.1.7)

A=

Verhältnis Sthiffslänge (5.1.8) L- _{zu kennzeichnender} Wellenlänge

K=

[sec] Längenzahl (5.1.9) g

w = 2tf

Kreisfrequenz (5.i.10.)

folgende Beziehung für die Begegnungsfrequenz an:

= 1(1 - KF1, - cosx) - (5.1.11.)

Shh* (f41) Shh (f)

(14a)"

Dabei ist a41 analog Gleichung (5.1.4 und 11) definiert zu

V

KFf* = aa2 = KF5f(KF5f)2.

Bild 12 Aufteilung des Originalspektrums in drei Bereiche

bel achterlicher See für = 0,25

Für den Fall b) in achterlicher See, bei Fahrt des Schiffes

mit Wellengesdìwindigkeit,

X = 0, cos z = 1, V = c, a = i

luth sich nun leicht in Abhängigkeit von der Schiffsliinge und der Froudesdien Zahl die zugehörige Wellenfrequenz angeben.

Es folgt für f* = 0:

(5.1.12)

KF

Wir können für das trarsformierte Hebelspektrum schreiben

[61,32]:

(5.1.13)

C41

o

(5.1.14)

Mit (5.1.11) und (5.1.14) ergibt sich dann für die Frequenz

f nach (5.1.12) der transformierte Spektralwert in achterliclier See aus (5.1.13) sofort zu

Shh41 (0) = Shh (f5.)

wegen

= O,a41(f) = 0.

Das bedeutet, daß die Spektraldichte für die Frequenz f im transformierten Bereich ihren Betrag nicht ändert, ein auch

anschaulich zu erwartendes Ergebnis.

Sc u, 0,2 50 44q3, 42 45 A _{4375 035 425}

Bild 14 Transformierte Spektren In vorlicher und achterilcher See für verschiedene Froudesehe Zahlen - Übersicht

I ,io 2òo

0.1

A 0, 00 035* ç,'-,

Bild Y.3 Grenze Ç des Bereiches II! über der Froudeschen Zahl mit A ais Parameter

Im transformierten Spektrum kann nun bei aditerlidier See eine Unstetigkeit auftreten. Wird der Nenner irs (5.1.13) zu

Null, so wächst S1111* über alle Grenzen. Wir erhalten die

zuge-hörige Frequenz zu

1

(5.1.16)

4 KF

Im untransformierten Bereich wird die zugehörigé Frequenz

f, aus (5.1.14): fAO 2KF5 1 (5.1.17) mil

am =

1 2am41. (5.1.18) 2

Die Unstetigkeitsstelle ist gleichzeitig die maximale Fre-quenz im transformierten Bereich, wie aus Ableitung von

(5.1.11) nach f sofort zu sehen ist.

s., A 0.5 so' 025 achterl,ch, Se, A. I I. 100m

Bild 15 Die drei Bereiche

eines transformierten Spektrums

Schlfrstechnik Bd.16 1969Heft 84 ₁₃₀

,òo

t' (mHzl

Die beiden ausgezeichneten Punkte auf der Frequenzathse

und f im Originalsystem bzw. f* = O und L* im transh'r. mierten System teilen nun das Spektrum in drei Bereiche, die

sich auch anschaulich interpretieren lassen.

Bild 12 zeigt die Bereiche in einem untransformierten Spek-trum.

Zu beiden Seiten der Frequenz f werden die

transforrnier-ten Frequenzen f* wieder kleiner. Bei den Frequenzen f = O und f = Ç wird die transformierte Frequenz f* zu Null. Prak-tisch wichtig ist von beiden nur der Punkt Ç. Für Frequenzen f> f. werden die f* negativ.

In t)bereinstimmung'mit St. Denis und Pierson wollen

wir die Bereiche in steigender Frequenz mit römischen Ziffern numerieren. Es sind dann also:

Bereich I:

O<f<f, O<f*<f*

- <a < , -

<

Bereich II:

f00<f<f, f*> f*>O

<a <1, 1 > a*>O

Bereich HI:

f>

f* <o

1<a<eo,O>a*>_oO.

Die Grenze zwischen Bereiéh I und II ist bestimmt durch

f2f*mitf*_

i

4 KF

=

_{= 1.}

Da sich die Spektralbereiche oberhalb und unterhalb von f

im transformierten System unterhalb von f* überlagern, wird

für diese Bereichsgrenze f., der Begriff ,,Klappfrequenz" oder Faltfrequenz" eingeführt.

Die Grenze zwischen Bereich II 'und III ist bestimmt durch

Ç = 2f = 4f*

av = a* = 1.

Für f> Ç, f* <0 (Bereich III)

scheinen die Spektral.

komponenten vom Schiff aus von vorn zu kommen it),

ob-wohl sie die gleiche Laufrichtung wie das Schiff besitzen

(X = 0). Das Schiff ist also schneller als diese Komponenten. Die Lage der Frequenz Ç im Originalspektrum ist nun nach

(5.1.12) umgekehrt proportional der Froudeschen Zahl F und

der Wurzel aus der Schiffslänge L = A Haben wir ein be-stimmtes Originalspektrum vorliegen, so sei eine

Bezugs-länge, die nach der klassischen Wellenformel

T

LW

-2 t f-2

einer Begegnungsfrequenz des Spektrums entspricht. Es wurde

als Bczugsfrequenz der Median f1111 des Originalspektrums

gewählt mit = 0,125 Hz und L,110 = 100 m.

Diese Art der Darstellung ist sinnvoll, weil für praktische

Untersuchungen immer ein Seegangsspektrum des

Fahrtgebie-tes oder des UnfallorFahrtgebie-tes bekannt sein muß. Diesem Spektrum wird dann das Schiff mit seinen Daten zugeordnet, hier im

wesentlichen seine Länge und seine Fahrtgeschwindigkeit, wenn es sidi um aditerliche See handelt.

Je nach der Schilïslänge L erhalten wir nun für eine

kon-stante Froudesche Zahl verschiedene Grenzen Ç. Für Schiffs-längen L zwischen 50 und 200 ni entsprechend A-Werten

zwi-schen 0,5 und 2 sind die Ç iiber F11 mit A als Parameter in

Bild 13 aufgetragen.

Zur weiteren numerischen Behandlung beschränken wir uns auf den Sonderfall für

A = LL =

= L1i111. (5.1.19)

Die dazugehörigen transformierten Spektren sind in Bild 14 für verschiedene Froudesche Zahlen graphisch dargestellt.

Bild 15 zeigt das transformierte Spektrum in athterlithcr See für eine Froudesche Zahl von 0,25. Es enthält ferner das

resul-tierende transformierte Spektrum Sd* über dem Betrag der

Frequenz.

5.2 Transformation der Bandbreite

Gefährliche Resonanz des Schiffes zur unregelmäßigen Erre.

gung kann sicher um so eher auftreten, je schmaler das trans-formierte Spektrum am fahrenden Schiff ist, und wenn die

mittlere Eigenfrequenz des Schiffes im Seegang in dieses Band fällt. Von Bedeutung wird aber zusätzlich sein, ob sich in die-sem sdirnalsten Band auch die für das gegebene Originalspek.

trum maximal mögliche Leistungsdichte konzentriert. Das ist

sicher der Fall, wenn Bandmittenfrequenz m = f im Bereich

größter Spektraldichte liegt, etwa bei ,ned bzw. f0501 (Median

bzw. Modalwert). Dann wird sich die Spitze des Originaispek-trums auf das sehmalste Band Af111* abbilden.

ist das Schiff länger als die Wellen mit maximaler Spektral. dichte, so verschiebt sich die kritische Geschwindigkeit zu einer kleineren Froudeschen Zahl; ist das Schiff dagegen kürzer, zu einer größeren Froudeschen Zahl.

Das ist ganz offensichtlich, weil ja die absolute

Schiffsge-schwindigkeit V das gleiche Verhältnis zur Wellengeschwindig-keit e behalten muß, und dann wird

J/gL

mit größerem L kleiner und umgekehrt.

Innerhalb des transformierten Bandes ist die transformierte Spektraldichte S für einige Froudesche Zahlen stark

unsym-metrisch zur oberen Bandgrenze L* hin verschoben. Bild 16 zeigt das Ergebnis einer Momentenrechnung der in Bild 15 dargestellten transformierten Spektren in achterlichem

See-gang bezüglich der Unstetigkeitsstellef00* in Abhängigkeit von

der Froudeschen Zahl F mit A als Parameter. Die Größe M1 stellt hier den Schwerpunkt einer Fläche unter dem Spektrum bezogen auf f* dar. Es ergibt sich für A = 1, d. h. für

Schiffs-länge gleich kennzeichnender WellenSchiffs-länge, daß das Minimum bei F110 = 0,19 auftritt.

Bild 16 Schwerpunkt der transformierten Spektren bezUglich der Faltfrequenz

- 131 -

Schifistechnik Bd. 16 - 1969 - Heft 84 0 015 020 005 030 als z E .00 z

Änderungen von A = -- bringen Verschiebungen von Fn117j.

L-Da ein Schiff sicher häufig auf Seegangsspektren in diesem

A-Bereich treffen wird, ist ein sehr schmales Begegnungsspek. trum und damit Resonanz von Fall zu Fall innerhalb eines

recht großen Bereiches der Froudeschen Zahl möglich. Die Be-rechnung des Momentes zweiter Ordnung bezüglich f* ergibt die gleiche Tendenz der Kurven wie in Bild 17.

5.3 Diskrete Darstellung der

transformierten Spektren

Für die rechnerische Darstellung und Erzeugung von Zeit-funktionen aus den transformierten Spektren ist es

zweck-mäßig, diese durch diskrete Sinuskomponenten anzunähern.

N

H (t) = '' c

sin (w* t + a17*)- (5.3.1)

pl

Hierzu werden nun die zugehörigen Spektraldichten über

dem Betrag der Frequenz aufgetragen:

S

(jf*j) = S (í*)

+ S* (+ f*) - (5.3.2)

Das entspricht der Vorstellung, daß auch das Schiff in Wirk-lichkeit nur diese Oberlagerung erfährt und keine Unterschei-dung nach Richtung der Frequenz vornimmt. Für die diskrete

Darstellung birgt dieses Vorgehen aber den Vorteil, daß mit

der gleichen Zahl von Konponenten ein doppelt so breiter

Fre-quenzbereich (für + und ) erfaßt werden kann.

Es werden also die Sd* ermittelt aus der Summe der drei

Teilbereiche

S = S1' + S1

+ S1*.

(533)

Für die Art der Unterteilung ist ein sinnvolles Kriterium die Bedingung:

$Sd* (f*j) df* = constfüri

1,2... N.

(5.3.4)

Das bedeutet praktisch, daß an Stellen höherer

Leistungs-dichte die Frequenzachse entsprechend enger geteilt wird, also

eine genauere diskrete Erfassung der Spektralbereiche größe.

rer Dichte. Es wurden drei verschiedene feste Algorithmen für

die Bereichseinteilung programmiert. Je nach Typ des

Spek-trums wird nun eine dieser Teilungen genommen, die am

besten der gewählten Bedingung gerecht wird. 1. Logarithmisdie Teilung:

=

ni

u1", m = ENTIER (

2 Arithmetische Teilung:

Np + i

-

N

f*

(5.3.6) 1> i Schifistechnlic Bd. 1G 1969 Heft 84 ₁₃₂ f: SCHIFFSTECHNIK

Forschungshefte für Schlirbau und Schiffsmaschlnenbau

Verlag: Schlffahrts-Verlag Hansa" C. Schroedter & Co., Hamburg 11, Stubbenhuk 10. Tel. Sa.-Nr. 304981. ScIfriftleltung:

Prof. Dr.-Ing. Kurt Wendel, Hamburg. Alle Zuschriften sind an den obigen Verlag zu richten. Unaufgefordert eingesandte

Manuskripte werden nur auf ausdrücklichen Wunsch zurückgesandt. Nachdruck, auch auszugsweise, nur mit Genehmigung des

Verlages. Dl. SCHIFFSTECHNIK erscheint fünfmal jährlich. Abonnementspreise: Inland: jährlich DM 35.50 einschl. Versand-kosten und Umsatzsteuer von 5/, '1.; Ausland: jährlich DM 36,70 einschl. VersandVersand-kosten. Einzelpreis: DM 7,50 eInschl. Netto-Umsatzsteuer zuzüglich Versandkosten. Abonnements-Kündigungen müssen bis spätestens einen Monat vor Ablauf des

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F,,.025 OCP,t,rlithe Se. A. I L L. lOOm aritJiínetische T,Uui'g N Nu 7° I,.I 720.1

Bild 17 Dlskretislertes Spektrum in achterlicher See für eine

Frou-desche Zahl von 0,25 in arithmetischer Teilung

Die arithmetische Teilung liefert mit steigender Frequenz

eine enger werdende Teilung. Das schmalste Frequenzintervall liegt an der Unstetigkeitsstelle foo* (siehe Bild 17).

3. Lineare Teilung:

Loo* f ür alle p (5.3.7)

N

Nach Festlegung der Teilung werden nun die Integrationen

des Spektrums Sd* über die Frequenzintervalle in den

rück-transformierten Bereichen vorgenommen.

Ein Bereichsintegral im transformierten Bereich setzt sich

damit aus drei Teilintegralen im Originalbereich zusammen:

III

$ Sdf.

(5.3.8)

Afp i=t

Es muß noch erwähnt werden, daß die in den Bildern dar-gestellten Spektren alle normiert sind, d. h. ihre Fläche ist zu

eins gesetzt:

CC ¿00

f Sdf =SS,,*df* = SS0 df = 1.

(5.3.9) (Fortsetzung und Schrlfttumsverzeichnis folgen im nächsten Heft)

N

(5.3.5) 2