Beitrag zum problem der hydrodynamischen trägheitsgrössen bei elastischen schiffs-schwingungen

kRCH1EF

von

Dipl.-Ing. Claus Kruppa, Berlin

Lab.

_{v. Scheepsbouwkunde}

Tecitnische flopschool

Delft

Beitrag zum Problem

der hydrodynamischen Trigheitsgrolien

Inhaltsiibersicht

Einleitung und Aufgabenstellung

Potentialtheoretische Untersuchungen am dreiachsigen Ellipsoid

2,1. Stromungspotential in unbegrenztem Medium 2,2. Allgemeine kinematische Randbedingung-. 2,3Randbedingung-. Bildung von Entwicklungskoeffizienten

2,4. Kinetische Energie bei elastischen Schwingungen mit freier Flassigkeitsoberflache 2,5. Randbedingungen bei elastischen Biege- und Torsionsschwingungen

2,6. Langstragheitskoeffizient für einen Sonderfall der vertikalen Biegeschwingungen

Berechmingsergebnisse

3,1. Reduktions- and modifizierte Entwicklungskoeffizienten 3,2. Beispiele und Vergleiche für spezielle Schwingungsfalle

Zusammenfassung

Anhang

5,1. Schrifttum

5,2. Beweis einer Integraleigenschaft 5,3. Beweis einer Entwicklungsbeschrankung

5,4. Hydrodynamische TragheitsgrOf3en bei Beriidcsichtigung innerer Dampfung

5,5. Q, (L/B, B/T) und G.8,i(L/B, B/T)

Beitrag zum Problem der 'hydrodynamisizhen Tragheitsgro

bei elastischen Schiffskhwingungen

Dipl.-Ing. Claus K r u pp a:, Beiiini)

Die Vorliegende Arbeit entstaizd wdhrend meiner Assistententiitigkeit,aM Lehrstuhl Iiir Theorie des SdziffeS der ;Technischen Universitiit Berlin Ich -mOdzte Herrn Prof.`Di-.-Ing:14.2Arlitsberg far das meiner Arbeit ent-. gegengebrachte lnteresse und die verstiindizisvolle Forderzing :eben,so ?Vie fur die freundlidze Unterstiitzung bei der:Beschaffung der Mittel fur: die numerische Auswertung der Ergebnisse herzlich danken. Ebenfalls dcznken nzodite-idi "Herrn Prof. Dr.-Ing..: E. Metzfizeier fur wertvolle.HinWeise und die. Vbernahme des. Korrefercites. Meizvbank gilt dariiber.hinzus def. Gesellsehaft von Freinzden:der 'Tecliiiis-dzeri..Universitat Berlin, die,einen wesentlichen Teil der finanziellen Mittel fur die nurnerischen,Bereduiungen "zur Verfiigung stellte;'.und den Herren des Sektdrs Mathematik des Hahn-Meitner-Instincts fur Kern/orschung Berlin, die die umfangreidiezi Prograirirnierungs- und Recheizarbeiten mit groBer Ausdàzierzuni Ziele fiihiteii:

Berlin,:irri August 1961

_{C. KruPPa}

1..,Eiirdeitung und Aufgabenstellung

AuSgangspiinkt fiii- die . Anwendung heute gebraudilicher

Verfahren znr 'Beredmung der freien und

erzw,ungenen

.:.,Schwingungeii Von sehwinimenden Schiffskorpern [1]2) bis a. nil ist- die Kenntnis des iiber die Schiffslange ver-' anderlithen:Nerlatifs der versdnedenen Steifigkeiten -und Tragheitsgr.813en Es ist dabei zulassig, die durch die instatio-flare Fliissigkeitsbewegung auf den Schiffskorper einwirken-.. den, beschleunigungsproportionalen Krafte-und Momente als 'sogenannte:hydro_dynarriische TragheitsgroBen mit den Mas--s,en bzw MassentragheitsinOmenten des Schiffskorpers zu vir,

tuelleu TrigheitSgrol3en:zusammenzufassen [0]. Der hydro-dynainische Atiteii an den virtuellen TragheitsgroBen dad sei-ner GiCifSentirdnung Wegen nicht vernachlaSsigt widen, was in.gariz besonderem MaBe far. den Fall der vertikalen

Biege-.seliwingungeii.

Da elastiSclie:SChwhigungen von Schiffskarpern durdi hohe Frequenzen -:und kleine Amplituden gekennzeichnet sindi

diirfte der grenZschichteinfluB auf die hYdrodynamischen .Tiiigheitsgraenvertiachlassigbar klein bleiben, so daB sich

dereif Berechriting reit Hilfe der Potentialtheorie anbietet. Wie Taylor erstinalig gezeigt hat [9], liefert dann die

Potential-, ,

-theOrie. als 'Randbedingung fill- die freie

flac.he. 'das VeiScliWinden:.' des Geschwindigkeitspotentials, da_,

der mit der. SchiffS- Oder Spantbreite gebildete Froudesche Freifuenzparaineter im Fall elastischer Schiffssdiwingungen groBei,Werte'anninimt. Es viird demnach bei der Behandlung

elastiseher SchiffsSchwingungen davon ausgegangen, daf3 keine

Energie durch fortlaufende Wellen abgefiihrt wird, das

scliyingende System also hydrodynamisch ungediimpft ist.

-!Mese grundlegenden Annahmen werden durch neuere ex-perimentelle Untersuchungen bestatigt [10], [11] u. a. m.

wobei.insbesondere die Ergebnisse von Kumai zeigen,.dal3 -bei elastischen Schiffsschwingungen die sogenannte auflere Dainpfung (Fliissigkeitsreibung und Energieentzug durch -Wellenbildung) bedeutungslos ist, die Zahigkeits- und Schwerekrafte also gegeniiber den Tragheitskraften vernach-lassigt werden diirfen und damit von dieser Seite eine Fre-.

I) Von der Fakultdt fiir Maschinenwesen der Technischen Tint-'versitat Berlin genehmigte Dissertation. Berichter: Prof. Dr.-Ing. H. Amtsberg, .Prof. Dr.-Ing. Metznzeier. Eingereicht am 24. Mai

.1961,, miindliche Pritfung am 22. Juli 1961.

2) Zahlen in eckigen Klammern . . .J siehe Abschnitt 5,1.

1

-.

quenznbiningigkeit der hydrodynamischen Tragheits_groBen nicht zu,erwarten

Man darf Weiterhin annehmen, da13 b.eielastischen

Schiffs--schwingungen em n Fahrteinfluf3 ad die. :hydrodynarnischen

,TragheitSgriiBen'nieht besteht, solange

clie:i.Schiffsgesc.hwinclig-keit koristarit bleibt und die Fliissigclie:i.Schiffsgesc.hwinclig-keitsoberflache sichan der AnI3enhaut nicht allzusehr verformt. Dagegen -sollte man

et-waige FlachWassereffekte nicht auf3er acht.lassen [121.

-Bei-der Ermittlung der iiber die SchiffslangeVeranderlichen,

von del.. :Form des UnterwasserschiffeS'und der Sdiwingungs=..

forin abhangigen hydrodynamischen Tragheitsgrof3en ist man his heute mangels allgerneingilltiger mathematisdier Losun-gen, die der Dreidirnensio:nalitat bei der 'Unistronning des SchiffskOrPers Rechnung tragen, auf NaheriingSlasungen

an-gewiesen. Hierbei iSt es üblich, die hydrodiriainiSChen Ma.ssen

bzw.- assentrag eitsmomente nach der St rei4 en method e d. tinter der Voraussetzung zweidUnensionaler

,Vmstro-:

-mung, fiir eine Reihe von Schiffsqiiersdfriitten zu eitnitteln Und -den T.Effekt der dreidimensionaleri' Pnistriiinung durch

einen iiber die- Scliiffsliinge kOnstanten..KO.rilek turf alt- to zu berfickSichtigen, den man aus Betrachtinigen an Ersat-kiirpern gewinnt. Ersatzkorper soldier Art, sind.beiSpielswelse das ROtaticinsellipsoid und der unendlA

Linter der zuriiiehst eirischrankenden Voraussetzung-zwei

dimensionaler Umstromung (StreiferunethOde) erhalt man die. Verteilung der hythodynamischen Massen bv. 1VIassentrag: heitsmomente iiber die Lange eines gegebenen UnterWasser: schiffes mit der Randbedingung fiir die freie Fliissigkeitsober.:; flathe 4)z. o = 0 aus potentialtheoretischen .Unterstichungen -an starren prismatischen Korpern unendlicher:L-angenausdeh- ,

nung (x-Richtung), deren Quersdinittskonturen :_:den

getauchten Schiffsspantformen entspredien (Bild 1)-.: in einer Vielzahl von Arbeiten [13] bis [17] u. a. m...--.Sindhente nahezu liickenlose Unterlagen vorhanden, aus denen .sich in.., Abhangigkeit von .Breiten-Tiefgangs-Verhaltnis B/T und lauf der jeweiligen .Spantform em n sogeriannter Trag he is

koef lizi en t entnehinen fat, der fiir eine bestimmte 'un:

gleichformige Bewegung das Verhaltnis der hydrodynann, schen Masse bzw. des hydrodynarnischen Massentragheits-.. momentes je Prismenlangeneinheit zu einer bekafinten Be, zugsmasse bzw. einem bekannten MassentragheitsmOnient

, .

angibt.

xr-Bild 1 Ausschnitt aus unendlich langem Spantprisma, halb-getauchtem Kreiszylinder gleicber Breite und elliptischem

Zylinder mit gleichem BA'

Fiir den Fall der Translation senkrecht zur freien Fliissig-keitsoberfiache (z-Richtung) und bei Rotation urn eine in der Ebene des Fliissigkeitsspiegels gelegene Langsachse des

Pris-mas wegen der Symmetrieeigenschaften von Schiffskorpern wird dies gewohnlich die x-Achse sein gestaltet sich die Be-redmung der Tragheitskoeffizienten insofern besonders ein-fach, als man den prismatischen Korper durch Spiegelung an der freien Fliissigkeitsoberflache zu einem Doppelkorper er-giinzen kann, far den in unbegrenztem Medium bei den an-gegebenen Bewegungsarten das Potential in der Ebene z = 0 aus Symmetriegriinden versdiwindet. Die aus den Unter-suchungen am Doppelkorper in unbegrenztern Medium gewon-nenen Ergebnisse lassen sich dann auf das Spantprisma durch Halbierung der hydrodynamischen Massen bzw. Massentrag-heitsmomente ilbertragen.

Weniger einfach ist die Erfallung der Randbedingung an der freien Fliissigkeitsoberflache im Fall horizontaler Trans-lation des Prismas in y-Richtung (Bild 1), da hier die Benut-zung des Doppelkorpers in unbegrenztem Medium nicht wei-terhilft. Systematische Untersuchungen von Landweber aus neuerer Zeit haben jedoch wesentlich dazu beigetragen, die bei hochfrequenten Horizontalschwingungen prismatischer Spant-kiirper auftretenden Probleme zu Risen [16].

Fiir den Fall der Rotation prismatischer Korper mit spant-iihnlichen Querschnitten urn eine Llingssymmetrieachse xT XT, die um zT gegen die freie Fliissigkeitsoberflache verscho-ben ist (Bild 1), liegen Berechnungsergebnisse von Kumai vor, der die zugehorigen Triigheitskoeffizienten in Abhangig-keit von zT/T, BIT und der Spantkontur angibt [17]. Diese Bewegungsart laBt sich bekanntlich immer auf eine Trans-lation in y-Richtung and eine Drehung um die x-Achse zurack-fiihren.

Die konsequente Anwendung der Streifenmethode

be-schrankt sich auf die Ermittlung der hydrodynamischen Trag-heitsgroBen für zwei Freiheitsgrade der Translation und einen

Freiheitsgrad der Rotation und setzt nur die Kenntnis der

Form des Unterwasserschiffes sowie der Torsionsachsenlage voraus. Der EinfluB der S ch w in gungsform mit den

charak-teristischen GroBen Schwingungsgrad, Knotenlage usw. lliBt sick als Effekt der dreidimensionalen Umstromung bei der Bestimmung der hydrodynamischen TrigheitsgroBen nach der Streifenmethode nicht erfassen und bleibt daher Korrektur-faktoren vorbehalten. Das gleiche gilt

fiir den Effekt der

Querschnittsrotation, die bei vertikalen und horizontalen

Biegeschwingungens) der Translationsbewegung der Schiffs-querschnitte iiberlagert ist und im Fall dreidimensionaler Urn-stramung einen EinfluB auf die hydrodynamischen

Tragheits-grol3en hat.

3) Die bei ilberwiegendern Einiluf3 der Schubdurchsenkung vont eiastischen Gestchtspunkt her gewohnlich als Schubschwingungen bezeichneten Vertikal- und Horizontalschwingungen sollen in dent Sarantelbegriff Biegeschwingungen enthalten sein.

Schiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45

2

-Korrekturfaktoren fiir eine bestimmte Art elastischer Schwingungen: vertikale oder horizontale Biegeschwingungen bzw. Torsionsschwingungen (letztere beide im allgemeinen gekoppelt), gewinnt man aus potentialtheoretischen Berech-nungen der dreidimensionalen Strlimung urn mathematisch definierte Ersatzkorper, fiir die ein Stromungspotential be-kannt ist, das die Randbedingungen an der freien Fliissig-keitsoberflache ebenso wie auf dem Kiirper selbst erfiillt. Man erhalt dabei einen Ausdruck fiir die kinetische Energie bei raumlicher Umstromung Till, der ins Verhaltnis zur kine-tischen Energie T11 gesetzt wird, die der zweidimensionalen Umstriimung des Ersatzkorpers entspricht (Streifenmethode):

= T111/T11 <1. (1)

Mit diesem Korrekturfaktor J, dem

Langstragheits-koeffizienten, wird alsdann die Verteilungskurve der

ilber die Schiffslange nach der Streifenmethode ermittelten hydrodynamischen TragheitsgroBen einheitlich reduziert. Wendel hat far Kugel und Rotationsellipsoid nachgewiesen [15], daB die iiber die Lange konstante Reduktion für diese Ersatzkiirper selbst exakt ist und daher bei Anwendung auf den Schiffskiirper eine zulassige Naherung darstellen (lathe. Es ist leicht einzusehen, daB sick der Langstragheitskoeffi-zient von Schwingungsgrad zu Schwingungsgrad infolge der unterschiedlichen Schwingungsformen andert, so &LB man auf diesem Wege eine Frequenzabhangigkeit der hydrodynami-schen TragheitsgroBen erhalt, die die Streifenmethode allein nicht liefert.

Die verschiedenen Verfahren zur Beredmung von Langs-tragheitskoeffizienten unterscheiden sich nun dadurch, daB in einem Fall fiir einen bestimmten Schwingungsgrad, d. h. eine vorgegebene Knotenzahl, die Schwingungsform von vornherein festgelegt ist, im anderen Fall die Darstellung der Schwin-gungsform gewisse Variationsmoglichkeiten (z. B. Knotenlage oder Grad des approximierenden Polynoms) zulaBt. Da man aber beispielsweise bei der Berechnung der Eigenfrequenzen fiir eine bestimmte Schwingungsart die Schwingungsformen eingangs nicht kennt, ist das zweite Verfahren iterativ anzu-wenden. Man bestimmt dabei zunlichst die hydrodynamischen Tragheitsgraen nach der Streifenmethode, reduziert deren Verteilungskurve mit einem geschatzten Korrekturfaktor und

ermittelt dann nach einem der bekannten Verfahren die

Schwingungsform. Für diese karm man anschlieBend den Langstrligheitskoeffizienten berechnen und bei grof3eren Ab-weichungen vom geschatzten Wert die Rechnung wiederholen. Hier geniigt jedoch meist em n Iterationsschritt den Genauig-keitsanforderungen.

Als Ersatzkiirper wird heute bei der Beredmung elastischer Schiffsschwingungen gewohnlich das halbgetauchte

Rota-tionsellipsoid benutzt, dessen Hauptabmessungen man

der Schiffslange and -breite gleichsetzt (Bud 2 mit B/T = 2). Im Fall vertikaler Biegeschwingungen darf man wieder deh Vollkorper in unbegrenztem Medium als Ersatzkiirper zur

Be-'V

Nes:=

sitt

Mid 2 namgetauchtes dreiachsiges Ellipsoid 1 = konst.°) 4) Ober die Bedeutung von ). siehe Abschnitt 2,1.

rechnung _von Lang4raghe1tskoeffizienten heranziehen, da hierbei automatisch das P,otential in der horizontalen Meri-dianebene verschwindet, wenn die x4chse g,leichzeitig

Biege-achse ist.

Für das Rotationsellipsoid liefert die bekannte Arbeit von

Lewis

Langstragheitskoeffizienten für vertikale

Biege-schwingungen ersten und zweiten Grades (Zwei- und Drei-Knoten-Sc.hwingung), wobei die Querschnittsrotation yernach,

lassigt wind und die Schwingungsform der Biegeachse (x-Achse) durch em n gerades Polynoni ziveiten bzw. durch em n ungerades

-Polynom dritten Grades in approximiert werden kann

L/2

(freie Wahl der Knotenlage) [13]. Demgegeniiber enthalten die Ergebnisse von Taylor zwar den Effekt der Querschnitts-rotation, beschriinken sich jedoch bei einer_ unveranderlichen Knotenlage auf die Darstellung der Schwingungsform durch em n gerades Polynom zweiten Grades (vertikale Biegeschwin-gung ersten Grades) [9].

Ebenfalls mit vertikalen Biegeschwingungen des Rotations-_,

.

ellipsoids befaBt sich eine neuere Arbeit von Maca gno und Landweb her [18]. Von den Diskrepanzen in den-

Ergebnis-sen von Lewis und Taylor ausgehend wird hier in erster

Linie geklart, daB Anderungen der Knotenlage auf die GroBe des Langstragheitskoeffizienten geringeren Einfluf3 haben als Querschnittsrotation und Grad des .Polynoms, rait dem man die Schwing-ungsform bei einem bestirnmten Schwingungsgract approximiert. Die Arbeit enthalt die mathematischen Grund-lagen zur Approximation von Schwingungsformen durch Poly-nome hoheren Grades, die_Ergebnisse dieser Untersuchungen sind jedoch in der vorliegenden-Form noch nicht auf prak-tische Verwendbarkeit zugeschnitten5).

Lä& man den EinfluB der endlichen Schiffslange auf die dreidimensionale Umstromung zunachst aul3er acht, _so.kann man aus Beredmungen an halbgetauchten _Zylindern un-e n dl ichun-er Langun-enausdun-ehnung (Bud 1) un-ebun-enfalls Korrun-ektur- Korrektur-faktoren ermitteln, wie erstmalig Taylor fiir vertikale Biege-schwingungen von Halbkreiszylindern allerdings ohne Be-riicksichtigung der Querschnittsrotation gezeigt hat [9]. In diesem Fall wird der Zylinderdurchmesser der Schiffsbreite B gleichgesetzt und die Schwingungsform der Biegeachse

(x-Achse) durch eine Kreisfunktion beschrieben. Der Schwin-gungsgrad wind bei gegebenem L/B durch eine bestimmte Wahl des Verhaltnisses Knotenabstand zu Zylinderbreite

er-fat. Die Ergebnisse von Taylor wurden in neuerer Zeit

durch Sy a r en berg [1916) und Grim [20] bestatigt. AuBerdem 1st dieses Berechnungsverfahren von Kumai auf unendlich lange,. halbgetauchte elliptische Zylinder (Bud 1) angewandt [21] und fiir den Fall horizontaler Biegeschwin-gungen sogar auf den HalbkreisZylinder endlicher Lange ausgedehnt worden [22]. Kumai gibt neben dieser Korrektur noch eine zusatzliche fiir die endliche Lange an, die bei verti-kalen Biegeschwingungen [21] etwa dem Reduktionskoeffi-zienten 111(L/B) nach Lewis [13] entspricht (reine Trans-lation), bei horizontalen Biegesthwingungen hingegen_{aus der}

Nach Fertigstellung der vorliegenden Arbeit erschien von Ma

-cagno, E. 0., und Macag no,' M.: Kinetic. Energy of a Liquid Surrounding a Prolate Spheroid Vibrating at Its Free Surface",

Journal of Ship Research vol. 4, 1961. Hier werden entsprechende

Unteriuchungen am Rotationsellipsoid fur den Fall horizo

n-t ale r Biegeschwingungen durchgefilhrn-t.

Eine kiirzlich erschienene Arbeit von Joosen, A., und Sparenberg, J. A.: On the Longitudinal Reduction Factor for the Added Mass of Vibrating Ships with Rectangular Cross-Sec-tion", ISP vol. 8, 1961, liefert dariiber hinaus Korrekturfaktoren

fur Rechteckprisrnen unendlicher Langenausdehnung.

RotationSbewegung eines Ersatzkorpers endlicher Lange ab-geleitet wind [22]. Da im Fall vertikaler Biegeschwingungen das F'rodukt dieser Korrekturfaktoren mit Modeftversuchs-ergebnissen yon K urn a i mir mangelhafte Obereinstimmung zeigt, werden in dem angegebenen Verfahren [21] die an halb-getauchten, unendlich- langen elliptischen Zylindern rechne-risch ermittelten Langstragheitskoeffizienten durch Nersuchs-werte ersetzt, die Kumai an Zylindern endlicher Lange ermit-telt. Die Modellversuchsergebnisse [21] zeigen ebenso wie die Berechnungen [22] fiir die Zylinder endlicher Lange einen wesentlich starkeren EinfluB der. dreidiinensionalen Urnstrii-mung; als er sich fiir das Rotationsellipsoid ergibt.

Wahrend also fiir die praktische Anwendung der Streifen-methode nahezu vollstandige Berechnungsgrundiagen vorhan-den sind, mul3 auf dem Gebiet der riumlichen Umstromung bei elastischen Schwingungen von Schiffskorpern trotz der

um-fangreichen bereits vorliegenden.Untersnchungen nadi wie vor eine Reihe von Fragen als ungelost angesehen werden. Durch

das Rotation sell ip soid kann der, EinfluB des

Breiten-Tiefgangs-Verhaltnisses nicht erfalit werden, das beispiels-weise, bei Schiffen inn Ballastzustand_ Werte in der Nahe von BIT = 4 erreicht und.dann sicker einen Einflul3 auf die drei-dimensionale Umstromung hat AuBerdern liefert dieser Er-satzkiirper keineri Korrekturfaktor fur Torsionsschwingungen. Der un end 1 ich lange Zylinder .elliptischen Querschnittes mag zwar als geeigneterErsatzkorper fiir Schiffe rnit ausgeprag-xern parallelen Mittelteil angesehen-werden, hingegen fiihrt helm Zylinder en dlicher Lane die auf die Enden konzen-trierte raumliche Umstromung inn Hinblick auf tatsaddiche Schiffsformen ,sicher zu einer Vberschatzung dieses Effektes. Vor allem,bleibt aber die Wiedergabe tatsachlicher Schw in-gungsf or men dnrch einfache Kreisfunktionen ebenso wie durch Polynome niederen Grades unrealistisch,: wie aus zahl-reichen Messungen hervorgeht ,[3].

Da erwartet werden darf, daB sich - mit Hilfe des d r ei-achsig en Ellipsoids als Ersatzkiirper und Approximation der Schwingungsformen durch Polynome 'hoheren Grades emn Tell der noch offenen Fragen Risen läBt, 1st beabsichtigt, in .den folgenden AbSchnitten theoretische Berechnungen zur Er-mittlung der Striirnung urn das halbgetauchte *dreiachsige Ellipsoid mit.dem Ziel anzustellen, die.kinetische Energie der Stromung für alle vorkommenden SchWingungsarten

(ein-schliel3lich B'erUcksichtigung von .Querschnittsrotation sowie exzentrischer Biege- und Torsionsac.hsen) zu bestimmen, wo-bei die Untersuchungen auf tatsachlidie Breiten-Tiefgangs-Verhaltnisse von Schiffen (BIT > 2; Bild 2) beschrankt ben. Aul3erdem sollen fiir den wichtigsten Fall der elastischen Schwingungen, die vertikalen Biegeschwingungen, numerische Unterlagen zur Berechnung von Langstrigheitskoeffizienten J in Abhangigkeit von LIB und B/T .gegeben werden, wobei allerdings zur Vereinfachung vorausgesetzt wird, dal3 die

Biegeadise mit der Langssymmetrieachse des Ellipsoids

zu-sammenfallt.

2. Potentialtheoretische Untersuchungen

am dreiachsigen' Ellipsoid

2,1. Striimungspotential in unbegrenitem Medium Um Losungen der Potentialgleichung Mo

_{= 0}

_{fiir den}

x2 _{y2 z2}

Raum auBerhalb eines Ellipsoids -= 1

(L/2)2 (B/2)2 T2

zu erhalten (Bud 2 jedoch Erganzung zum Doppelkorper), empfiehlt sich die Einfiihrung von E 1 1 ip soidk

rdinat en

(X, !.J., v) die mit den karthesischen Koordinaten (x, y, z) durch folgende Beziehungen verkniipft sind:

2Z2

x Y2

±

1 1 x2 A2 h2

+

A2

=

k2 2 r2 Z2 X

+

1 (2) [L2 R2 h2 k2 112

,

X2 .72 Z2

-

1,

_/ V2 h2 v2 k2 v2 wobei k2<k2< 00, h2 <1,2 < k2 und 0 < v2 < h2 . Die Funktionen (2) bedeuten em n konfokales System von Ellipsoiden = konst.) sowie em- - (Ix = konst.) und zwei-schaligen Hyperboloiden (v = konst.) und stellen eine drei-fach-orthogonale Gruppe von Flachen dar [23]. Die Lange der Ellipsoidhalbmesser in x-, y- bzw. z-Richtung betragt

L12 =- A, B/2 = 0.2h2 und T = i/X2

k2.

Aus (2) ergeben sich folgende Transformationsgleichungen:

IX V X X h k 1/ X2

h2 vp.2_112 0,2v2

h k2 h2

02k2 vk2-1.0 vio_v2

z k V k2 h2

Alle Punkte (x, y, z) im Raum erhalt man, wenn alle Werte von k bis 00,

1.t alle Werte von h bis k und zuriick sowie (4)

v alle Werte von h bis h und zuriidc durchlauft. Passiert

i

den Wert k,

so andert der Wurzelausdrudc

k2 1.1,2 sein Vorzeichen. Dasselbe gilt fiir -vh2 vz,

so-bald v den Wert h erreicht hat.

Die Laplacesche Differentialgleichung 324, 324) 324,

6,4)

o

3,2 3y2 _aZ2 lautet in Ellipsoidkoordinaten [23] 32 32 41 (12 v2) + (A2 v2) r. ± (A2 R2) _{0 , (5)} 3

ar

E(v) dt2 (3) v=0

Der Aufbau von (5) legt es nahe, sogenannte Norma

l-1 sung en von der Form EN E(l-1l-1)

E(v) zu suchen, wobei

die Faktoren analoge Funktionen der unterschiedlichen Argu-mente darstellen. Dieser Produktansatz fiihrt (5) fiber in:

1 d2 E (X) 1 d2 E (Ix) (12 v2) (k2 v2)

EN

d2

E(t)

42

1 d2 E (v)

± 0.2

. (₇₎ 1 d2 E (k)

Man kann sich leicht davon iiberzeugen, daB

EN

d2

nur eine lineare Funktion von A.2, z. B. U1 A2 U2 mit den

Schiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45

4

-zunachst noch unbestimmten Kone'stanten U1 und U2, und

ent-1 d2 E (R) 1 d2 E (v)

sprechend - und nur jeweils

E(R) di2 E(v) dt2

lineare Funktionen von und v2 sein konnen. Daher laBt sich unter Hinzufligung der in k2, 11,2 und v2 linearen Identi-taten 1.11A2 (112 V2) ± 1J1 112 (A2 1,2) Ui V2 (A2 112) = 0 und U2* ([1.2 v2) U2- (k2

v2) + U2 (k2 112) = 0

(7) fiberfiihren in: r 1 d2 E (k)

(2

v2) (ix, u.2)

E N

± (A2 v2) [ 1 d2 E (R) _{+ (U1 1..E2}

2U2)]

_±

E

1 d2 E (v)

0,2 p.2) _{(U1 v2 U2) I -= 0.}

E (v) dt2

Die Funktionen EN bzw. E(R) und E(v) miissen also den gewiihrdichen linearen Differentialgleidiungen 2. Ordnung

(Ui U2)

= 0

± (U1 IL2 U2) E (4) = 0

(Ui v2 U2) E (v) = 0

geniigen. Die Differentialgleichungen (8) sind identisch, was sich durch zyklische Vertauschung der Variablen ohne wei-teres zeigen laBt, wenn man die Definition der elliptischen Integrale (6) beriicksichtigt, gelten jedoch fur die verschie-denen Bereiche der Variablen (2). Sie sind unter der Bezeich-ming Lame sche Differentialgleichungen bekannt.

Diese lassen sich fiir den Fall U1 = n (n ± 1) mit n 0,

ganzzahlig, und geeignete Wahl eines Parameters p

U2

gerade durch 2n ± 1 voneinander linear

unabhan-h2 k2

gige P ol ynome E integrieren [23], die im Argument vom

Grade n sind und Lamesche oder Ellipsoidfunktionen

n-ter Ordnung genannt werden. So bedeutet z. B. E(A) emn

Polynom in ?I.2 oder em n solches multipliziert mit einem oder

mehreren der Faktoren A, vx2_h2 und 0.2

k2, woraus

man je nach Aufbau der Funktionen 4 Klassen unterscheidet. Fiir die En(i.t) und En(v) gilt Entsprechendes. Die Lamesdaen Produkte En(k) En(R) En(v) sind auf der Obeiffache sowie im Innern eines jeden Ellipsoids ?, = konst. endlich, stetig und eindeutig.

Tm vorliegenden Fall jedoch interessieren Losungen der Potentialgleichung, die im Unendlichen verschwinden. Man

findet sie in den Lameschen Produkten ERN E(t) En(v),

wobei die k(k) sog. Lamesche Funktionen zweiter Art sind und das zweite partikulare Integral der Lameschen Differen-tialgleichung darstellen.

Sofern als Losung der Lameschen Differential-gleichung bekannt ist,

fiihrt der iibliche Ansatz kn(A) =

En(k) auf die Differentialgleichung

d [Enoo dEn E(A) dEn (X) I d2 E (k) d2 E (R) d2 E (v) dt2 wobei Integrale definiert (1) (R) (v)

und t durch folgende unvollstandige elliptische sind: dA (6) X=k 1.` -1/ X2 h2 I/12 ..1E2 P=h V 1.J.2 h2 V k2 dv h2 v2 vk2 v2 1 (8)

deren Losung

d(A) En- (X) =- (2n + 1) En (A)

[En (k)]2

(),)

lautet, wenn man die Bedingung erfiillt, dal3E(A) für A =

verschwindet und mit An-1 gegen unendlich geht. Die

Lameschen Produkte En(k) En(u) En(v) sind auf der Ober-flache jedes Ellipsoids A. = konst. sowie im Raum auBerhalb desselben eindeutig, stetig und beschrankt.

Wie bereits erwahnt, zerfallen die Lameschen Funktionen

E

m = 2n+ 1 Funktionen E..., die man in vier Kla

s-s en, namlich K, L, M und N, einteilen kann [23]. Fahrt man jetzt an Stelle des Zahlindex m", der bei festem n die 2n + 1 Lameschen Funktionen unterscheidet, den Zahlindex s" em, der bei festem n die verschiedenen Funktionen einer Klasse betrifft, so erhalt man beispielsweise

fiir die E,

m(k) eine

Zerlegung in folgende Funktionen:

Kn, s (A) = al,n, s An a2, n, s An 2 + a3,n, s Xn 4 . . ai,n,axn-21+2 Ln, s (X) = h2 (hi, n, s Xn-1 b2,n,s

+

b3,

An 5 ±

bi,

21+ 1 ±

(9) d2, 4 + da,n, An 6 ±

di... kn 2i

...)

Vertauscht man unter Benutzung positiver

Wurzelaus-driicke (4) die Variablen, so entstehen fiir die En,m OA) und

En. (v) ebenfalls jeweils vier analoge Klassen von Lame-schen Funktionen mit den gleichen Koeffizienten. Die ent-

-sprechenden Larnesdien Funktionen zweiter Art- (K, L, M und N) ergeben sich aus (9).

Werden nacheinander die vier verschiedenen Klassen von Lameschen Funktionen (10) einer bestimmten Variablen in die zugehorige Lamesche Differentialgleichung (8) eingefiihrt, so erhalt man nach der Methode des Koeffizientenvergleiches jedesmal homogene Systeme von linearen Gleichungen. far

die Koeffizienten ai, bzw. bi, , ci, s und di, ,, in denen

pn als Parameter auftritt. Die Bedingung, daf3 in den nach fallenden Potenzen der Variablen geordneten Polynomen (10) Glieder mit negativen Exponenten nicht auftreten, alle Koef-fizienten mit einem Index i> j also verschwinden, beschrankt die Zahl der sich bei festem n fiir eine spezielle Klasse er-gebenden Gleichungen ebenfalls auf j. Wie man sich leicht iiberzeugen kann, betragt die Zahl j:

= r + 1 fiir die Klasse K, jeweils

JL= jm = n

r fiir die Klassen L und M sowie (11)

jN = r far die Klasse N,

n

wobei r = fiir n gerade und r 1 n ungerade.

2 2

Da die Determinanten der Gleichungssysteme fiir die

Koef-fizienten a,. n. s bzw. ci,n,, und

(i = 1, 2, ... j)

zwecks nichttrivialer Losungen verschwinden miissen, erhalt man bei festem n für jede Klasse Bestimmungsgleichungen fiir die Parameter pn, die jeweils vom Grade j in pn sind und j voneinander verschiedene, reelle Wurzeln p,

= 1, 2,... j)

liefern. Den jeder Klasse von Lameschen Funktionen

zu-geordneten j Wurzeln p,s entspredien jeweils j Lasungen

der Lameschen Differentialgleichung. Mithin betragt die Zahl

Koordinaten

v) mit as ---

+ (3y)2 + (3z)2 und as

(3) die Linienelemente ds,z sowie ds, und ds,, (ds,t ist ax

senkrecht auf der Flache A = konst., ds, senkrecht auf der

Flache = konst. usw. orientiert) zu:

Uber den Anwendungsbereich theses Produktansatzes siehe

Abschnitte 2,5 und 5,4.

Komponentendarstettung von Vektoren in geschweif ten

Klanz-nzern , ,

...}.

Mn. N., (A) = 1.A2 _k2(c1.

5r 1 ± c2.

An 3 +

c3,n,8xn 5 ±

ci,

xn 2i+ 1 ±

.) (10) 1/A2 h2 0.2 _{k2 (d1,n,} Ark 2 4_

aller voneinander verschiedenen Parameter p,m und damit aller linear unabhangigen Lasungen E, m

E j =

+ + jm + jN = 2n + 1, d. h. m =- 1, 2, 3,.. . 2n + 1.

Es laBt sich nachweisen, da13 die Wurzeln der Gleichungen m = 0 alle voneinander verschieden, reell und dem Be-trage nach nicht groBer als k sind [23].

Setzt man nun nodi die Koeffizienten mit dem Index i = 1 etwa in der Weise fest, daB

= bl,n,, = ci,

s = di,n, s = 1, (12) so sind die iibrigen Koeffizienten in Abhangigkeit von den fiir die betreffende Klasse ermittelten Parametem pn, s

(s = 1,2, ... j) eindeutig rekursiv bestimmbar. Es empfiehlt sich bereits an dieser Stelle insbesondere im Hinblick auf numerische Berechnungen mit Hilfe Lamescher Funktionen

die Indizes s 1,2, ... j den verschiedenen Wurzeln pn in der Weise zuzuordnen, dal3 die dem Betrage nach grol3te Wurzel den Index 1 erhalt, die dem Betrage nach niichst klei-nere den Index 2 usw.

Die vollstandige, auf der Ellipsoidoberflache A = konst. gleichmaBig konvergente L ö sung der Potentialgleichung (5)

fiir den Raum auBerhalb des Ellipsoids sowie n > 0, ganz-zahlig, laBt sich nunmehr unter Hinzufiigung von frei verfilg-baren Faktoren q mit

co 2n +1

E

qn, in En, ,n (A) En, m (A) En, m (V) (13)

n=0 m=1 angeben.

2,2. Allgerneine kinematische Rand bedingung In einer raumlich unbegrenzten, im Unendlichen ruhenden

Fliissigkeit fiihre ein fester Korper von der Gestalt eines

dreiachsigen Ellipsoids freie oder erzwungene elastische Schwingungen aus. Setzt man ideales Medium voraus und laBt nur kleine Schwingungsamplituden zu, schliat also den Fall ungedampfter Resonagzschwingungen aus, so kann der sich unter dem Zwang einer derartigen Karperbewegung ein-stellende Stromungsverlauf potentialtheoretisch mit

aus-reichender Naherung dadurch beschrieben werden, dal3 man die von der Schwingungsform des Ellipsoids abhangende und auf dessen sich standig verformender Oberflache in Form einer bestirnmten Normalgeschwindigkeitsverteilung zu erfiillende Randbedingung auf der unverformten Flache A = konst. be-friedigt (sogenanntes Neumannsches Problem der

Potential-theorie).

Die zeitlich veranderliche, auf der Ellipsoidoberfiache

konst. jeweils von Fall zu Fall zu definierende G

e-schwindigkeitsverteilung sei einschlieBlich ihrer

Ab-leitungen nach t und v stetig und werde bei verschwindendem Gesamtdurchfluf3 durch die Ellipsoidoberflache durdi folgen-den Summenansatz für einen Vektor charakterisiert:

= E [0

v) f MP) (14)

mit t) = {u, v, w}8); u f (t), v (t) und w f (t) sind hierbei Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung, u, v und w deren Amplituden.

112 1/k2 v2 ds2 dk. hz 0,2 k2

-0.2_1.014,2_ v2

as.

/4,2 h2 yk2 1/A,2 ____ v2 012 v2 ds dv vh2_ v2 Vk2 v2,

Ferner erhalt man fiir den Einheitsvektor

normalen eines Ellipsoids k = konst. mit (15) ax @y az @A. ak

=

dsx dk wobei aus (3): ax ak hk ay

A 141.2 h2 Vh2 v2

h 1/X2 h2 1/k2 h2 3z A yk2_2 1/k2____ v2

der Lameschen Funktionen, der die nachstehenden Integr al-ei gens ch a f ten zur Folge hat. Es läl3t sich zal-eigen, da8 (15) [E0,5 (11) En,B(v)l[En', s' (1-1) Elf, S' (V)) (12 2) di dt=

(17)

3A k /Az

]/k2h2

Aus der Zuordnung von Geschwindigkeit und Gradient des Potentials liil3t sich nun fiir die Ableitung des Potentials (I) (13) nach der Normalen zur Ellipsoicloberfliiche folgende Bedin-gung formulieren:

= Z

9).

asA

Definiert man weiterhin eine Funktion P Qt, v; t) =

d-sx

B , die sich wegen (14) und (16) such mit

dk

ax y z

P

v; t) =

[13(R, V) ' a , a f (01 (18)

angeben laBt, so erhalt man als allgemeine kinemat is c he

Randbedingung

a(1)

P (It, v; t). (19)

2,3. Bildung von Ent#,c1clungskoeffizienten

Unter Beachtung von (19) erhalt man mit der nach den Vier Klassen der E.,E. aufgelOsten Gleichung (13) als kinematische

Randbedingung

71= 0 t=-/'

0 (22)

fiir n*n'. oder s*s', wie in Abschnitt 5,2, noch naher

ge-zeigt wird. Die Doppelintegrale (21) und (22) sind also rtur dann nicht Null, wenn E0 und E11,5 identische LOsungen der Lanieschen Differentialgleichung sind. Ferner eigibt sich

J

[En, s (11) En, s (v)] [En,' s' (Ft) En', s' (v)] ( 2 v 2) clk, .(23) wenn sich

die Produkte E.,s

En,, aus ICombinationen

Kn, 8 L0

oder K,s

L0,M0,

bzw. M,s

aufbauen. Unier den Urnlaufintegralen iiber bzw. ist die Integration iiber den gesamten Wertevorrat in 1 bzw. ent-sprechend (4) zu verstehen, wobei die Wurzeln 1/k2 p.2 und

1/112 V2 ihr Vorzeichen in der angegebenen Weise wediseln.

Beriicksichtigt man diesen Vorzeichenwechsel, so lassen sich die Integraleigenschaften (21) und (23) durc.h Einsetzen der aufgefiihrten Lameschen Produkte ohne Schwierigkeiten

nach-weisen.

Sind an die LOsung .der Potentialgleichung jetzt. keine weiteren Bedingungen gekniipft, hat man es also mit unbe-grenztem Medium zu tun, so wird man beide Seiten von (20) mit [E.,s(R) E0, 5(v)] (R2 v2,) di d multiplizieren und Ober

den gesamten Wertevorrat in 1 und integrieren. LA& man dann die E0,8 nacheinander elle Klassen durchlaufen, so er-geben sich bei schrittweiser Integration -Ober die einzelnen Sununanden der linken Seite tinter Ausnutzung der Integral-eigenschaften (21) und (22) vier Klassen von Entwiddungs-koeffizienten folgender Art:

01, v t) [E0,5 n, s (v)] 012 v2) di dl

t

(18' 8 (t) s (k)

dk

[E0,5 Qi)- E.,, (v))2 (R2--- v2) ctri

(24)

Wenn in (18) die Ortsfunktionen 13 01, V)

1

IA '

' ak

in karthesischen Koordinaten sPolynorne endlicher Glieder-zahl in x, y, z darstellen, so kann man zeigen, da8 sich die Funktion P (tt, v; t) in jeweils mit einer Klasse der Lameschen Produkte E11,8 (p.) E.,, (v) korrespondierende Funktionen

POI, v ; t) zerlegen 15.13t P (p., v; t) = PK(R,v;t) + PL (14 v ; 0 + f'Di (R,v ; 0 + + PK (R,v; t), (25) 00 JK" (k) K., (v) n = 0

I

[ s = n,B Kn,s(II) s dA Schiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45

6

-= 0 , (21)

wenn die Lameschen Funktionen E,5 und E0,5 verschiedenen Klassen angehoren. Das Doppelintegral (21) kannnur dann einen von Null verschiedenen Wert annehmen, wenn die Lameschen Funktionen von gleicher Klasse sind Für Lamesche Funk-tionen der gleichen Masse gilt dann aber mit 1 (k) = x tmd

(±

= ± x'- entsprechend (6) bereits in engeren Grenzen (16)

x x'

[En, s (R) 'Es,, (v)] [En,' s' ([9 ' (v)] (1.2 V2) d1d

s=1. dk (IL ,n, s dLn, (A) L.. 01) (v)

64,

s (A) _{M,8 (to . mn,s (v)} dk s =3.

iNd5in, (A)

_{) N. (v) I = P (FL, v; t).}

+ y qN, n,

N3.(1

n, n dk.

S1

(20)

Da8 sich nun die Funktion P (tt, v; t) in eindeutiger Form nach Lameschen Produkten Enm 0.0 En.. (v) entwickeln

sich 'also Entwiddungskoeffizienten angeben

lassen, resultiert aus dem Orthogonalitiitscharak ter

9) untei. dern Produkt zweier Vektoren iSt hier grundstItzlich des skalare zu verstehen.

Flachen-und

q.11.5 (t) =

n, s

= 1)=4

[PK 01, v; + Pm (ix, v ; t)] [Mn,s (R) MT, s (v)] (i2 172) did,

d1V/I.,5 (X) f dA [PL (R, v; + PN (A, v; t)] [N,5 (R) N5 (R2 V2) d1 dN.,, (X) I dX ri=0 (27)

Multipliziert man nun beide Seiten von (27) nacheinander mit allen Produkten [E., s (u) E., s (V)] 0-L2

v2) di dt der

Klassen M und N, so ergeben sich durch Integration unter Ausnutzung der Integraleigenschaf ten (23) und (22) sowie unter Berfidcsichtigung der Zerlegung von P (u, v; t)

in die

Teilfunktionen P (t, v; t) (25)

_{folgende Ent wick lungs}

-koeffizienten:

PL v; t) und pN (R, v ; liefern fiir qm, n, 5 ebensowenig einen Beitrag wie PK (1.1,, V ; und Pm ox, v ; qN da

hier die Umlaufintegrale iiber t stets verschwinden. AuBerdem bleibt die Zahl der von Null verschiedenen Entwicklungskoef-fizienten beschrankt, wenn die Funktion P (t, v; t) keine Teil-funktionen PK (A, v; t) und PL (u, v;

enthalt, wie in

Ab-schnitt 5,3 fiir P (u,v; = Pm (x, v; t) gezeigt wird. 2,4. Kinetisch.e Energie bei elastischen Schwingungen

mit freier Oberfliiche

Die ineinem Stramungsfeld

enthaltene

kin etische

Energie ist allgemein nach Lamb [8]

=

_f

dO_ds dO,

sofern sich em n Geschwindigkeitspotential0 angeben lal3t. Die Integration ist iiber die Begrenzungsflache 0 des Stramungs-feldes zu erstrecken. Q bedeutet die Fliissigkeitsdichte und c140/ds die Ableitung des Potentials nach der in den Fliissig-keitsraum gerichteten Fliichennormalen.

Im Falle der Stromung um das halbgetauchte Ellipsoid X = konst. ergibt sich die kinetische Energie zu:

cl(131)

_{dF =}

_ie

_Cli

d dF

T111

t,

ds2 dX. ds2/dX.

wobei F der benetzten Oberflache des Ellipsoids entspricht, da das Potential im Unendlichen ebenso verschwindet (9) wie an der freien Fliissigkeitsoberflache (26). Mit der zugehiirigen Potentialfunktion gemaB (13) m (I) = n1=

y qm,.,

s (t) s (X) M.,, (u) M.,,(v) s=i N

±

CIN, , s (t) (A) N,5 (1) N,5 (v) s =1

sowie wegen (15) und (6) mit dem Oberflachenelement des Ellipsoids dF = ds

ds = 0.2

jA2

,2 (v2) di dt

und ds2/e1X. nach (15) laBt sich der Ausdruck fiir die kinetische

Energie iiberfiihren in

10) In diesem Fall braucht der Gesamtdurchflufl durch die be-netzte Ellipsoidoberflache nicht zu verschwinden. Das Geschwin-digkeitsfeld (14) 1st beliebig wahlbar, wenn es nur einschliefl-lich seiner Ableitungen nach und v auf der benetzten Ellipsoid-oberfleiche stetig 1st. Daf3 hierbei die Kontinuitatsgieichung nicht

verletzt wird, 'kat sich wie folgt zeigen: Man fiige auf der

un-benetzten Ellipsoidoberflache (z 0) em n an der Ebene z = 0 ge-spiegeltes Geschwindigkeitsfeld mit umgekehrtem Richtungssinn

hinzu und betrac.hte das Vollellipsoid in unbegrenztem Medium

unter Beachtung der Bedingung =0 0. Fiir dieses verschwindet dann der Gesamtdurchflu fi, und die infolge etwaiger

Geschwindig-lceitsspriinge in der Ebene z = 0 unstetigen Funktionen ()t, V; t)

werden durch Entwicklung nach den Lameschen Produkten der

Klassen M und N stetig approximiert.

[Mn. (1) Mil, S (12 V2) chi at [Nn, s (Ix) N., s (v)]2 (IA2 v2) di at (28) (29) [ diVin, (A) Aln,9 GO Mit, (v) n=o

+

s=1 iN s=1 qN,. elk dN N.,s (II) Nn, (V) elk wobei PK (x, v; t) = [DK (0] PL v ; t) = E [0.,2 h2 1/h2 _ v2 DL (t)] Pm (pL, v ; t) = E [j/k2 u2 1/k2 v2 Dm f (t)] P.:, v

=

= E [vii2

h2 1/h2 v2 yk2 112 yk2 v2 DN .f (t)]

Die Funktionen D sind dabei Polynome in i, v von endlicher

Gliederzahl.

Nach dieser Zerlegung ist aber offenbar der Zahler in (24) immer nur von Null verschieden, wenn die zu entwickelnde Teilfunktion P (ix, v; t) mit der Masse der Lameschen Pro-dukte korrespondiert. In (24) kann man daher P (u, v; t) durch P v; ersetzen, wobei dann P (1, v ; t) der jeweiligen Klasse der E., zugeordnet ist.

Fiir den hier interessierenden Fall des halbgetauchten Ellip-soids mit B/T > 2 (Bild 2) ist nun die Randbedingung an der

freien Fliissigkeitsoberflache zu erfiillen. Im Fall

hochfrequenter Schwingungen muB daher das Potential in der Ebene z = 0

d. h. Yk2 u2 = 0 wegen (3)

verschwin-den, eine Bedingung, die aber offenbar von den Lameschen Funktionen der Klassen K und L nicht erfiillt wird. Man hat daher von vornherein

(TR, n, s = CIL, n, s = (26) zu setzen und die Funktionen P (x, v; t) (25) nur nach den Lamesdien Produkten der Klassen M und N zu entwickeln, wobei die Integraleigenschaft (23) auszunutzen ist, da die Randbedingung nur auf der benetzten Oberflache des

Ellip-soids (z > 0) zu erfiillen ist.10)

Man erhalt demnach aus (20) als kinematische Randbedin-gung bei freier Fliissigkeitsoberflache

Tilt = ip 1/k2h2

k2 qm, n, (t) n=0 L 8=1 Rn,s (k) s M11,5 (v)

+

n, s (0 Rn, S (X) Nn, s GO Nn, s (v)I s=1 dmns 0.) (t) m., s (g) M11,5 (v) n=0 8=1 (11 dN.,, (X) qrr,n,s N11,5 (R) ' N11,8 M (R2 v2) di d. dA

Setzt man ferner allgemein

dE,5(?)

E., s (X)

dk

und fiihrt unter Beachtung der Integraleigenschaften (23) und (22) die Integration schrittweise iiber die sich nach Ausmulti-plikation des Integranden ergebenden Glieder aus, wobei fiber die benetzte Oberflache des Ellipsoids (z > 0) zu integrieren ist, so erhalt man

co f

=

1/Mh2 0.2

k2

/ q2.11,8 (t)

n=0 I 8-1

2

mn.s (k) - ga, s M11,s(II) M11,5 (v)l2 (112y2) did + n-=0 t

+ I q2.,.. s

co s (k) s (X)

2

[Nn, (11.) Nn, (v)] 2 4t2 v2) di at 1

11=0 t

Fiihrt man weiterhin fiir die Masse der durch das halb-getauchte Ellipsoid 7 = konst. verdangten Fliissigkeit

2

nok1/12 h2 VA2k2

(30)

3

em, so erhalt man mit den Entwicklungskoeffizienten (28) und (29) sdilieBlidi: s=1 Nn.s (A) s=i fS.In s (1) xf /1=0 t Sehiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45

-8-

8-2,5. 2,5. Randbedingungen

bei elastischen Biege- und Torsionsschwingungen

Der Ansatz fiir die Funktion P

v; t)

(18) ist von der

jeweiligen Schwingungsart abhangig, wobei zwischen vertika-len und horizontavertika-len Biegeschwingungen sowie Torsions-schwingungen zu unterscheiden ist (Indizes V, H und T), und wird wesentlich davon beeinfluBt, in welchem MaBe die stets vorhandene innere Damp f ung eines Schiffes die Schwin-gungsform und damit die Untersuchungen am Ersatzkiirper Ellipsoid" bestimmt. In diesem Zusammenhang sollte man das an sich ungewohnliche Phanomen im Auge behalten, daB sich die virtuellen Tragheitsgrof3en eines Schiffes infolge der hydrodynamischen Anteile nicht nur von Schwingungsgrad zu Schwingungsgrad andern, sondern auch auf dens Wege iiber die Schwingungsform von der inneren Dampfung

be-einflul3t werden.

Wahrend nun im Fall erzwungener Schwingungen und

haherer Schwingungsgrade der EinftuB der Dampfung die Schwingungsformen bestimmt und diese mit den zugehorigen ungedampften Eigenformen kaum mehr vergleichbar sind, dominiert im Resonanzfall bei niederen Schwingungsgraden

und schwacher Dampfung die entsprediende Eigenform

der ungedampften Schwingungn). Diese laBt sich

ffir das

Ellipsoid durch eine einzige, von der Koordinate x (Bud 2) abhangige Amplitudenfunktion angeben, wenn man in Analo-gic zur Theorie der ungedampf ten elastischen Schwingungen von Staben (bzw. gleidiwertiger Ersatzsysteme) rait

kon-tinuierlicher Massen- und Steifigkeitsverteilung davon aus-geht, daB die Schwingungsform durch die Deformation der Biege- bzw. Drillachse ausreichend beschrieben werden kann. Der Summenansatz fur das Geschwindigkeitsfeld 3 (14) auf der .Ellipsoidoberflache schrumpft in diesem Fall zusammen

auf 3 =

Qi, v) f (t), mid man erhalt filr die die

Randbedin-gung bei einem bestimmten SchwinRandbedin-gungsfall und -grad kenn-zeichnende Funktion P Qi, v; beispielsweise

ax@y

az

P (1.1 v; t) = at, v) ak } co. w

Unter niederen Schwingungsgraden ist in diesem Zusarn-menhang etwa an die ersten vier Eigenwerte der elastischen

Schwingungen gedacht, bet Biegeschwingungen also an die Zwei-bis Filnf-Knoten-Schwingung.

Der Verlauf von Durchbiegungs- und Verdrillungsamplitu-den, gewohnlich Schwingungsform oder -profit genannt, geht

durch Erweiterung mit dam Faktor cc in die AmptitudenIturve der Schwingungsgeschwindigkeiten von Biege- bzw. Drillachse fiber.

Bei der Beschreibung des Geschwindigkeitsfeldes auf der Etlip-soidoberflache kann man daher unter Beachtung der Dimension auch von dem Schwingungsprofil der Deformationsachsen

aus-gehen. 2 [[K OA, V ; Pm (14 v t)] [M115(R) M115 (v)J 012 v2) di

\

at /

[PL 01,v; t) + PN 04 v; oi [Nn, s 01) Nn, s (v)i 0.1.2

v2) didt

) 2 1 [N., s (R) (v)I2 (R2

v2) di g

n=o [Mn, s GO Mn, (v)l2 012 v2)

dt

(32) (31) . 3

,

°° ill Mil.s 00

( i

.

n=0

t

4 itk n=o 1 s=3. An,s (A)

z=

L B T

6

Dieser fiir ungedimpfte Eigenformen geltende und

auf schwach gedampfte Resonanzschwingtmgen niederen

Grades anwendbare Ansatz tragt der bekannten Tatsache

Rechnung, dal3 die zu verschiedenen Zeiten bestehenden Schwingungsformen der Biege- oder Drillachse affine Kurven sind, wobei die Nullstellen der" Ortsfunktion

ax. ay

az 1

lax'

' ax

Demgegeniiber kann man mit dem eingliedrigen Ansatz (32) sowohl bei nichtresonanten Schwingungen niederen Grades als auch allgemein bei erzwungenen Schwingungen hiiheren Grades infolge des stiirkeren Einflusses der

in neren

D iim pfung die Schwingungsform nicht mehr beschreiben. Hierfiir ware vielmehr wenigstens em n zweigliedriger Ansatz von der Form.

P v; t) (//, v) cos w t /7(4 v) sin ca t]

ax ay az 1

ax' ax '

ax I

natig, wenn man von den Ergebnissen der Theorie gediimpf-ter Schub- und Biegeschwingungen von Balken mit artlith veranderlicher Massen- und Steifigkeitsverteilung ausgeht. Ein kurzer Ausblick auf die Konsequenzen, die sich fiir die Be-redmung hydrodynamischer TragheitsgroBen aus der Beriidc-sichtigung.der inneren Dampfung ergeben, ist in Abschnitt 5,4

enthaltem-Die folgenden Untersuchungen bleiben dagegen auf den Fall ungediimpfter Eigenformen und schwach gediimpfter Re-sonanzschwingungen niederen Grades beschriinkt. Es soil

dabei zunachst die Funktion P v; t) entsprechend (32) fiir die einzelnen Schwingungsarten angegeben werden. Dabei wird die Annahme zugrunde gelegt, daB die Auslenkung der Biegeachsen ebenso wie die Verdrillung der Torsionsachse jeweils naherungsweise durch Polynome in x (Bid 2) vom Grade g approximiert werden }carmen. Die Ellipsoidquer-schnitte sollen bei allen Schwingungsarten unverwolbt bleiben. Im Fall der Biegeschwingungen stellen sie sich senkreduzur deformierten Biegelinie, ohne ihre Kontur zu verandern; die

Beracksidnigung dieses als Querschnittsrota ti on

be-zeichneten Effektes soil durch den Index R gekennzeichnet sein. Die Biegeachse xv xv bei vertikalen Biegeschwingun-gen liege in der Ebene y = 0 urn den Betrag zv unter dem Fliissigkeitsspiegel, die Torsionsachse _{XT... xT habe die} ver-tikale Exzentrizitat (Bid 2). Bei Horizontalschwingungen falle die Biegeachse aus Symmetriegriinden in die Ebene y = 0 und sei mit der x-Achse identisch.

Unter diesen Voraussetzungen erhalt_{man mit den fiir jede} Schwingungsart zur Beschreibung der Schwingungsform frei verfiigbaren g 1 Koeffizienten V1, 111 und T1, die im

einzel-nen durch Bedingungen wie Knotenlage, Amplitudenmaxima usw. festzulegen sind, fiir die Amplituden der einzelnen Ge-schwindigkeitskomponenten auf der Ellipsoidoberfliche

ge-mal3 (14): (33)

9

-WV = U11 y VII = l=0 WH = UT = 0 gT vT = (z

zT) LT,

z=0 Lx/2 gT wT = Y T1 1=0

Mit der Einfiihrung von Ellipsoidkoordinaten (3) und den auf der Ellipsoidoberfliiche konstanten Substitutionen

Cmv (A) k _{k2 1/k2_h2} dwv

uv = (Zzv)

dx VV = 0 V x L/2 gv

1=0/

h 3/A2_ h2 ]/k2h2

hk VA2h2 VA.2k2

erhiilt man fiir P v; t) mit (34) die folgende, (25) entspre-chende Zerlegung:

PV V; = PKV(19V; t) Play (j4 V; t) PH (P-; V; t) = PLR (R, v; t)

PT (i1, V; t) -= PLT (1-1, V; t) PNT (A, V; t).

Mit den Beziehungen

uv \I

(R, v) = h k v) -= 012 h2 y112 v2 W1 01, = 1/k2 --112 1/k2 V2 N'1 (A, V) = = 1/112 112 V112 1/k2

)A2_

v2( k V y h

gilt fiir (36) im einzelnen:

L/2

(34)

(35) sogenannte Schwingungsknoten darstellen. Alle Punkte der

Ellipsoidoberflache schwingen hierbei im Fall erzwungener Schwingungen harmonisch und gleichphasig mit der Erreger-frequenz CLH (A) = h 1/A2

h2 j/k2 h2

za, dvll dx x yH/ L/2

cur

cNT

₌

Die Zerlegung der fiir jede Schwingungsart ermittelten Funktionen P Qi, v; t) (36) in die Teilfunktionen entsprechend

(25) gestattet in Verbindung mit dem fiir

die kinetische

Energie erhaltenen Ausdruck (31) bereits einige wichtige SchluBfolgerungen:

V er kale e Biegeschwingungen diirfen bei gleichzeitig

auftretenden Horizontal- oder Torsionsschwingungen vom hydrodynamischen Standpunkt aus stets fiir sich behandelt werden, da die Funktion Pv v; t) nur nach den Lameschen

Produkten der Masse M zu entwickeln ist (Superposition

zulassig)

Bei gleichzeitigen Horizontal- und

Torsionsschwin-gung en hat man es dagegen mit der bekannten Tatsache

einer hydrodynamischen K oppltra g zu tun. Es ist in diesem Fall streng nicht zuliissig, die kinetische Energie der Stromung

fiir beide Schwingungsarten getrenn zu ermitteln und zu

superponieren, da im vorliegenden Fall sowohl Pg (R, V; t) als auch PT (IL, V; t) gemeinsam nach den Lameschen Produkten der Klasse N entwidcelt werden miissen.

Wie man weiterhin aus (34) und (39) sieht, laBt sich bei vertikalen und horizontalen Biegeschwingungen mit zv = 0

(Bud 2)

die Querschnittsrotation durch Einfiihrung

von substituierten Parametern beriicksiditigen, ohne daB hier-zu neue Entwicklungskoeffizienten hier-zu berechnen sind. Die getrennte Behandlung der fiir vertikale Biegeschwingungen charakteristischen Bewegungen Translation und Rotation, wie sie von K urns i vorgeschlagen wird [21], kann dagegen nicht

als exakt bezeichnet werden.

SchlieBlich wird deutlich, daB bei vertikalen Biegeschwin-gungen mit zv --- 0 und TorsionsschwinBiegeschwin-gungen mit zT = 0,

d. h. Pv OA, v; t) = P.v v; und PT (ii, V; t) NT v;

die Zahl der von Null verschiedenen

-- P

Entwicklungs-koeffizienten qm, (t)

(28) und q

(t)

(29) endlich

13) Filr die Behandlung gekoppelter Horizontal- und

Torsions-schwingungen wdren ggf. noch Phasenwinkel einzufilhren.

Sehiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45

10

-bleibt und nur vom Grad g des Polynoms abhangt, mit dem man die Schwingungsform approximiert. Hierauf wurde be-reits in Abschnitt 2,3 verwiesen, in Absdmitt 5,3 wird fiir Pv v; t) Pmv v; t) der Beweis gefiihrt. Lediglich fiir die iibrigen Teilfunktionen pKv (11., V; t), _Put (IX, V; t) und

PLT (11, v; t) bleibt die Zahl der Entwiddungskoeffizienten

nicht beschrankt, woraus u. a. der hohe numerische Aufwand bei der Behandlung horizontaler Biegeschwingungen im Ver-gleich zum Fall vertikaler Biegeschwingungen resultiert.

2,6. Lcingstriigheitskoeffizient fur einen Sonderf all der vertikalen Biegeschwingungen

Da die hydrodynamischen Tragheitsgrol3en bei v er tik a -len Biegeschwingungen von Schiffskiirpern einen wesentlich bedeutenderen Anteil an den virtuellen TragheitsgroBen haben, als das bei horizontalen Biegeschwingungen und Tor-sionsschwingungen der Fall ist, liegt auf diesem Gebiet deren moglichst genaue Bestimmung im Vordergrund des Interesses. Daher soll im folgenden fiir das halbgetauchte dreiachsige Ellipsoid der Langstragheitskoeffizient für vertikale Biege-schwingungen bestimmt werden, wobei vorausgesetzt sei, daB die Biegeachse mit der x-Achse zusammenfallt (zv -= 0 in Bild 2). Fiir diese Bedingungen ergibt sich entsprechend (36)

und (38) der Ansatz

Pv v; t) = Pmv v ;

=

gv

= Cmv (k) [ VKi (p., V)] coS Wv t

1=0

Da diese Funktion entsprechend (28) nach den korrespon-dierenden Lameschen Produkten der Masse M zu entwickeln ist, erhalt man fiir die kinetische Energie der Striimung ge-maB (31), jedoch mit eingeschranktem Integrationsbereich

($211=0 t=

Mn, (V)] (R2v2) chi clt

x x'

[M-n,s (Ft) Mn. s (v)i2(112 v2) (111

7)=0 t=

Mit Riicksicht auf die numerische Auswertung empfiehlt es sich, von der Schreibweise mit dimensionsbehafteten

Koordi-naten und Funktionen auf eine dim ensionslos e

Darstel-lung iiberzugehen. Die im folgenden aufgefiihrten Substitu-tionen sind so gewiihlt, daB sich damit die Integrale iiber Lamesche Produkte auf vollstandige elliptische Integrale und die bei der Bildung der Lameschen Funktionen zweiter Art nach (9) auftretenden Integrale auf unvollstiindige elliptische Integrale zuriiddiihren lassen. Es gelte im einzelnen:

1/1-x2 =

= cr

= V1 x'2 sin2 cp

k = x sin .

Die Lameschen Funktionen erster Art (10) der Klasse M

lassen sich mit diesen Substitutionen in folgende dimensions-lose Form Uberfiihren:

(40) (41) Hierin bedeutet: Vitt = V/ Hp/ = H/ 1 1 = 0 4 / (39) (L/T)2

11

(L/B)2 PLH = Cul (k) [ 1 PLT = CLT (A) [ PNT = CNT (k) = gH = gT = gT 0

FIR/ (-1,9 v)] cos COR t 0

T1 ' L'1 (E1, v)] cos (OT t 0 T1 1\1'1 v)] cos WT t 13) . (38) gV PKV = CKv 0.) K'1 v)] cos WV t = o gV

Pmv = Cmv (A) iL VII/ 1V1'1 (p., V)] cos Wv t

3 R... (A)

TIIT = 2 ;a

wobei

Mn, S (v)

kn

fl-2j11+1

yjm, n, s (1 sin2cp) 2

=

S (IP) = X2 Sin2 0. s (xsin11))11-1

+ 72, n,8 (x sin V)n-3

±

n,8 (x sin 11))11-5

dM*n, s (a) M*ns(a)

da

a11+1 as n ?I, , s

[(n 1) yj,n, s

(n-2) 72, n, 02

1

[(n-3) Y2,n,s (n 4) 73, n, sl (34

+ Vim, n, s (X sinl)n-2im+1I

Fiir die dimensionslosen Koeffizienten gilt hierin:

Ci, n, s Yi, n, s _k2(i.4)

Da die auftretenden Lameschen Funktionen zweiter Art (9)

vom Grade n-1 in Jt. sind, erhalt man mit (41) und mit

s (a) nach (42) :

a

Für die. .entsprechende Ableitung nach it. ergibt sich::

(2 n 1) a2 1 filn. 00 km-I-2

±

M*12, (g) / 1

as vi _as

a 1

+ m*n, (a) . ipin,

(a) Vi _x2 02 Vi a2

f

M* da (a)12 yi

_{xs as Vi _2}

as

r '

a=0 da [(n 25m ± 3) Yjm- 1, n, s (n-2 ju ± 2) yjm, n, d 132(M4) (n-2 jm 4- 1) yjm, s 042j141 .

Setzt man ferner fUr 111'1(p., v) (37)

W141' M'1* (cp,

= sin cp (1

x'S sin2 (p)I/2 1/1 x2 sin2

k2

so erhalt man mit (41) bis (46) folgende drei Ausdriicke: x x' 1 S5, 1(x2) _{2 x's k2} (I-4v) [Mn, (R) (V)] (R2 V2) dr' 11=0 t (42) (45) (46)

- 11 -

Schiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45 Mn.s (A) Ys, n , s 04 ± - m1, fl, s Cr2(311-1) 1 a2 M*n, s (a) _an {Yi, n,8 + 12, n, s CF2 ± kn Mn, (1) Mien, S (CP) = sin (p n-3.

+

[2 sin2

?I, n, 2 (1 x: 4.,) 2 kn n-3 ± 1'2, n, s (1 x,'2 sin2cp) 2 _L n-5

± y

s (1 sin2cp)

2 +

1R11, (A) kn+1 = (2 n + 1) Pens(a) [M*11. _(a)]2-1/1 x2 u2

_02

₍₄₄₎

mid

3 B

TilI = Z

re/2

11+1

=

((p) sin cp (1 x'2 sin2 orp) 2

2 qp =0

x2f

M* (w) sin cp (1 x'2 sin2cp) cp =0 [m...0.0mn,B0912 ([1.2 -112) di.' dt = rel2 X'2 sin2 (1) dcl) [M*n. s (W))2 = 7c12 = 0 a (cr, x2) k V1 x2 02 1/1 a dcr [M*n.s [M*n, 8 (a)? 1/1 02 a = 0 a

wobei Q (cr, x2) (49)

im folgenden als R

eduktions-koeffizient bezeichnet werden soil.

Fiihrt man auBerdem sogenannte mod if izierte En

t-wicklungskoeffizienten

mit (47) und (48)

2 [1

5 ... (2n-1)1 V2n + 1

Ss., (x2)

(x2) - _{[(n 1) !] Vrcn (n I)} i/Rn, s (x2) 7'0 dcp M*, (W) sin1 sp &p-ly= n/2 dcp

f

AVID, 8 (W) sin1+2113;i1P v= Mn,sOL)

fk,

1 -I- a2 s (a)

*8 (a) 1/1

fl, x2 02 1/1 _02

Schiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45

12

-a = 0

em, so erhalt man mit Cmv (A) nach (35) und

B

2 y1-.2 02

1- /1 cr2

schlialich folgendes normierte Ergebnis fiir die kinetische Energie (40): 3 Z

L

y

B n (n

1) [(n 1) !]2

Till =

T n = 0

_s1

(2n + 1) [1

3 5 .. (2n 1)12

Fiir die numerische Auswertung von (51) ist von

Wichtig-keit, daB der Summationsbereich durch die folgenden Bedin- wormn

gungen weiter eingeschriinkt werden kann:

Es existieren für n = 0 keine Lameschen Funktionen der Klasse M, es kann also als untere Summationsgrenze n = 1 gesetzt werden.

Fiir S,8,1 (x2) gema13 (47) wird in Absdmitt (5,3) gezeigt, dal3 bei ungerader Summe n / Ss. s. 1 (x2) = 0 für n>/ + 1. Daher kann als obere Grenze bei der Summation iiber n all-gemein n = gv + 1 gesetzt werden.

"V1 x2 sin21)

Da aill3erdem wovon man sich leicht iiberzeugen kann bei gerader Summe n / die Integranden des zweiten mid vierten Integrals in (47) im Intervall ai) = n/2 his = n12 ungerade Funktionen sind, ergibt sich stets Ss, 8,1(i.c2) 0

für n 1 gerade.

Man erhalt also folgenden vereinfachten Ausdruck far die

(50)

kinetische Energie (51):

n (n

1) [(n 1) !]2

(2n ± 1) [1 3

... (2n

1)12 - Q,8 (a, x2) { VR1 G, 2 (x2) I cos2 cov t , gv 4n, (1, x2) = 0

ti

dip WI.. X

n + 3

do M*n, (4:1)l2 1/1 x20'2 VI a2

I2

VR/ G,8,1 (x2) cos2cov t. (51) für gv n ungerade für gv n gerade. (47) (49) (52) 1 (53) Rn' (x2) X 2' 0 = 2 x'2 = x/2

=

21 { [M*0,8 (q)12 1/1 re/2 = 0 dcp x2 [M*n, s (W)]2 1 = 1 s = n/2 sins [M*n, (V)12 V1 - x2 sin2V (111) (48) 1-1 2 tg

tg =

2 gv

n + 3

2

gv n ± 2

2

Die Koeffizienten ci der Lameschen Funktionen der

Klasse M findet man durch Einsetzen einer Funktion gema.13

(10) z. B. M.,, (X) in die zugehOrige Differentialglei-chung (8). Mit der Methode des Koeffizientenvergleiches ergibt sich hierbei em n homogenes System von jm linearen Gleichun-gen, das sidi mit (41) und (43) dimensionslos gemacht folgendermaBen aufbaut: + x2 (n 1) 2) Yi.n.s

6 (2n 5) y4..,8 =

= (1 + x2) [1)8 (n-5)2]

(2n-9) x2} Y3,/Ls ±

± (n 3) (n

4hf2, n, s

0=

(1 + x2) [pn, (n

2j m + 1)2]

(2n-4jm 3) x2} yjm, 0. 8 -I-+ x2 (n

2jm + 3) (n 2jm + 2) yj

- L n,

Die Bedingung yjm + 1, n, = 0 lii8t dabei automatisch alle Koeffizienten yi, 0,8 mit i> jm verschwinden und beschrankt die Zahl der linearen Gleichungen auf

J u`

T11

(54)

Zur Ermittlung des Langstriigheitskoeffizienten J (1) mull

nun die kinetische Energie T11 bei zwei dim ensionaler

Umstriimung des EllipsoidhalbkOrpers bekannt sein. Hierfiir ist lediglich die Translationsbewegung der Ellipsoidquer-schnitte zu beriicksichtigen (reine Transyersalschwingung), so

da.11.gema.8 (34) gilt

gv

wv V/ x

)1-! =0 L/2

Die andere Komponente der Geschwindigkeitsamplitude uv leistet bei Anwendung der Streifenmethode keinen Beitrag. Mit dem bekannten Wert der hydrodynamischen Masse pro Liingeneinheit eines halbgetauchten elliptischen Zylinders

ni2

gV 2

= I neX

(X.2h2)f [

V1sin1 cos3 d cos2 wv t

z.= 0

Nadi Ausfiihrung der Integration ergibt sich mit der ver-dringten Fliissigkeitsmasse Z gemii8 (30) und einer

zwedc-miii3igen Normierung B gik1+1 Tg 2 3 Z n (n + 1) [(n 1) ! 12

Vi /v

8 T n4-!=.3.

(2 n11-4 [1 -35 .

.. (2 n

1)12 Ti./

G,

1 cos2cot .

G,1 sind hierbei die in der .nachstehenden Tabelle bis gv = 7 (Polynome maximal siebenten Grades) aufgefiihrten

Koeffi-zienten :

Tabelle 1

Man erhiilt also fiir den gesuchten L

iingstriigheits-koeffizienten (1):

gv+1f

n (n + 1) [(n 1) !]2

I =1 (2 n 1) [1 - 3 - 5 . . . (2 n

1)]2

Qn, s (y,2) s, (x2)12} n=1 s

gV+1n (n + 1) [(n-1)!]2

_{. c}

2

vi

i

d

n11 (2n + 1) [1 -3-5.

.. (2 n

1)]2

T1-1

Dieser im Fall

vertikaler Biegeschwingungen fiir

un-gediimpfte Eigenformen geltende mid bei schwach gedampften Resonanzschwingungen niederen Grades verwendbare Kor-rekturfaktor für dreidimensionale Umstromung (56) 1st erwar-umgsgemii8 eine rein genmetrische Grae, die sich allerdings von Schwingungsgrad zu-Sdiwingungsgrad infolge der unter-schiedlichen Schwingungsformen andert und dadurch frequenz-abhiingig ist. Die Approximation der Sdiwingungsform unter Beriidcsichtig-ung des Effektes der Querschnittsrotation ist durch geeignete Wahl der frei verfiigbaren Koeffizienten IT1 (34) bzw. Vg/ (39) miiglich"). Fiir a und x2 erhiilt man wegen

(41) und (2) (56) (55) n=1 2 3 4 5 6 7 8 1=0 1 1 0 1 2 1 1 5 3 3 1 7 4 3 2 1 35 3 5 10. 1 0 21 11 6 1 0 5 0 15 0 1 0 21 11 13 7 0 5 33 0 105 143 0 7 5 0 1

2 (2n-1) y2,. =

= {(1 ± R2) [N, 4 (2n

3) y38 =

= ((1 + x2) [p8

(n-1)2]

(n-3)2]

(2n-1) x2}

(2n-5) x2}

+

(yz 0)2 (Bud 1) ergibt sith dann

2 L/2

c,gV

x 12

0=

(57) L

)

Ly_iBy

T )

Tii =

n

y

v1(

-

dx -COS2 (Ov t .

4

_{f [1-}

- -- o L/2

)1 [yz,.0(x)12

x=L12

Durch Einfiihrung von Ellipsoidkoordinaten (3) mit IA2 1.L2

= 0.-wegen z-= 0 und den Substitutionen (41) erhalt man L \2

womit die Abhangigkeit der Reduktionskoeffizienten s (a, x2)

sowie der modifizierten Entwicklungskoeffizienten s. 1(x2)

von den Ellipsoidproportionen L/B und B/T und damit von den Abmessungen des Schiffskorpers gegeben ist.

Für BIT = 2 und gemaB (57) x2 = 1 liefert (56) den

Langs-tragheitskoeffizienten für das Rotations ellip so id. Man

kann durch Grenzwertbetrachtungen zeigen, daB in diesem Fall fiir s = 115) die Reduktionskoeffizienten Q, s (a, x2) (49) mit den Lewis-Reduktionskoeffizienten (L/B) [13] identisch sind und G

(50) fur s = 1 in

G1 nach Tabelle 1

fibergeht bzw. für s 1 verschwindet. Man erhalt demnach für das Rotationsellipsoid: 1.0 gv+1

n (n+1) [(n-1)!]2

t (2 n + 1) [1 . .. (2 n-1)12

lim J =

-Rn(L/81 0.9 -0 L/8 3 4 5 6 7 10 11 12 13 Bild 3 Lewis-Reduktionskoeffizienten R. (L/B)

Die Red uktionskoeffizienten R (L/B) sind in der Arbeit

von Lewis fiir n = 1 bis n = 4 enthalten [13], fiir n = 5

bis n = 8 sind sic kiirzlich von Mune f berechnet worden [24] und insgesamt Bild 3 zu entnehmen. Es ist damit unter Ver-wendung der Tabelle 1 moglich, Schwingungsformen durch Polynome vom Grade gv = 7 zu approximieren und dafiir die Langstragheitskoeffizienten für das Rotationsellipsoid unter Beriicksichtigung des Effektes der Querschnittsrotation

anzu-geben.

Vernachlassigt man den Einfluf3 der Querschnittsrotation und ersetzt dementsprechend im Zahler von (58) Viti durch vi, so liefert (58) direkt die Langstragheitskoeffizienten fiir die 2- bzw. 3-Knoten-Schwingung nach Lewis [13], wenn man alle V1 bis auf Vo und V2 bzw. alle V1 his auf V1 und V3 Null

setzt.

3. Berechnungsergebnisse

3,1. Reduktions- und modifizierte Entwic.lclungskoeffizienten Beschrankt man die Anwendung des Ergebnisses fiir den Langstragheitskoeffizienten (56) entsprechend den beim An-satz fiir die Schwingungsform (32) getroffenen

Voraussetzun-Da (56) dimensionslos ist, darf man mit V1 direkt das Schwin-gungsprofii der Biegeachse approximieren, die dirnensionsbehafte-ten Geschwindigkeitsamplituden der Deformationsachse brauchen nicht bekannt zu sein, siehe Fuf3note 12).

Die Zuordnung des Index s zu den bei festem n

vorhande-nen jm Losungen der Lameschen Dit ferentiatgleichung 1st in

die-sem Zusammenhang in der in Abschrritt 2,1 angegebenen Weise

zu verstehen.

Schiffstechnik Bd. 9 1962 Heft 45

14

-gen auf vertikale Biegeschwingun-gen maximal vierten

Grades (Fiinf-ICnoten-Schwingung), so wird man die zu-gehorigen Schwingungsformen durch Polynome ben

en-te n Grades (gv = 7) mit ausreichender Genauigkeit

ap-proximieren konnen. Die Ermittlung des

Langstragheits-koeffizienten J (56) kann dann erfolgen, wenn die

Reduktions-koeffizienten s (a, x2) (49) sowie die modifizierten

Ent-wicklungskoeffizienten 5. 1 (x2) (50) für n = 1,2 ... gv + 1 (gv + 1 =-8) bekannt sind. Für gegebene Verhaltnisse L/B und B/T, die mit a und x2 entsprechend (57) verkniipft sind, erhalt man wegen (11) mit gv = 7

gv +1

= 20 verschiedene Reduktionskoeffizienten sowie

n = 1

wegen (53) gv +1

E(jm

= 40 modifizierte Entwicklungskoeffizienten.

n

Die Ermittlung der Reduktions- und Entwicklungskoeffi-zienten setzt die Kenntnis der Lameschen Funktionen his zum

Grade n = 8 mit den entsprechenden Koeffizienten yi,,,

(i = 1, 2, ... jm) voraus. Man erhalt ys aus (54) unter der Bedingung da13 yim +1, n, 8 = 0 und wie verabredet

= 1

(12). Die AuflOsung der gleich Null zu setzenden

Koeffizienten-determinanten der Gleichungssysteme (54) nach den Parametem s der LameschenDifferentialgleichung kann dadurch

umgan-gen werden, daB man aus (54) rekursiv eliminiert und dann fiir Y2.n,5 eine Bestimmungsgleichung vom Grade jm erhiilt, die jm voneinander verschiedene reelle Wurzeln liefert. Ordnet man nun den jm Wurzeln y2.., s die Zeiger s so zu, dal3 die dem Betrage nach kleinste Wurzel den Index 1 erhalt, die dem Betrage nach nachst grOBere Wurzel den Index 2 usw., so wird den bereits in Abschnitt 2,1 festgesetzten Zuordnungen der Zeiger s zu den Wurzeln p. entsprochen. Die ggf. von Null verschiedenen Koeffizienten y mit i> 2 ergeben sich dann in Abhangigkeit von aus eindeutigen

Zuordnungs-funk tionen.

Man erhillt im einzelnen fur n = 1,2, 3 ... 8 mit y s = 1 folgende Bestimmungsgleichungen: Y22.4.5 ± 2

=

2} x2 Y2,3,8 ± 5

=

jm = 2 3 x2 + 2 3 x2 Y2, 4, 13 + 7 7 (58) (59)

III Id

MEMINFINIIE

wimagram-EMMIIMETOP"

MEEZIMUll

9.6

IIIMEMEN

VaNIIIEEME

Er.%

Tg

(L/B)VRZG.,1

Ti=1. (x2-.1) gv+1

n (n+1) [(n-1)

2 .Cg (2 n + 1) [1 - 3 5 . . .

(2n_1)]21

V/ Gn, 2

n = 1, d. h. jm = 1

Y2,1, s = 07 = 2, d. h. jm 1 72, 2, s 0 n = 3, d. h. _{= 2.} 2 x2 + 1 253 s ₂ 5 Y3, 3, s = n = 4, d. h. 0.5 9.4

n = 5, d. h. jm = 3

102 + 7

Y32, 5, s ± 2 9 8x4 17x2+ 4 Y22, 5, s 72, 5, s 8

zugeordnete y3, 5, 5 aus: y3, 5, s =

1 14 [9y2258 ± 2 (4x2 + 3) Y2,5, 8 + 6x2] Y4, 5, s = 0

n = 6, d. h. jm = 3

13x2 + 10 "Y32, 6, s ± 2 Y22, 6, s 11 40%4+ 103x2 ± 24

+4

121 4 x2 + 3 40

x0

121

zugeordnete ys, 6, s aus: Y3, 6,s =

1 [11 Y22,6, s 2 (5 x2 4) ?2, 6, s 18 74, 6, s = 0,

n = 7, d. h. jm = 4

14x2 ± 11 504 x4 + 973x2 + 314

Y42, 7, s -r- ₁₃ Y32, 7, s 2 Y22, 7,s

169

480 x6 + 2150 x4 ± 1681 x= + 240 160x4+ 257%2+ 96

12 Y2, 7, s + 45

2197 2197

1

zugeordnete y3, 7. s sus: y3. 7, - [13 y22, 7, ± 2 (6x2 ± 5) Y2, 7, B ± 15x2] zugeordnete y4, 7, s aus: y4, 7, 5

-Y5, 7,- s n = 8, d. h. jm = 4 3 x2 ± 2 + 10%9 (59) 22 1 [1691'32,7,s ± 26 (16x2-1- 13) .Y22, 7, 13 ± 594 ± (240x4 ± 719x2 ± 160) y2, 7, s ± 60 (5 x2 ± 4) x2] 82x4 + 173x2 ± 56 25 Y22, 8, s 48x4 + 85x2 ± 32 Y2, 8, s 7 ₇₅

x2 - 0

zugeordnete y3, 8, s aus: y5, 8

5 -

1. [15y22,8,5 + 2 (7 x2 ± 6)1/2,8,s + 21x9

26

1

8 zugeordnete y4, 8, s aUS _{?4,8. s = [75 Y32, 8,}s+ 10 (19x2 ± 16) Y22, 8, ±

286

(112x4 + 381x2 + 80) 72,s,s + 28 (6 x2 + 5) x=1 Y5, 8, s = 0.

Die Berechnung der bestimmten Integrale in S, s,/ (x2) (47)

und 11.5 (x2) (48) zur Ermittlung von G8 (x') (50) kann

streng durch Reduktion auf vollstfindige elliptische Integrale erster und zweiter Gattung erfolgen. In diesem Fall erhalt man unter Benutzung der Identitat KE'

EK'-KK' =3t/2

[25]16) fiir G, s, (x2) eine Funktion von x2 multipliziert mit 1/t/2. Abgesehen von der Schwierigkeit, geniigend genaue Losungen der kubischen mid biquadratischen Gleichungen

die Koeffizienten )13, s zu erhalten, benotigt die Reduktion der Integrale in Sn, s, (x2) und ftn. s (x2) bereits bei Lameschen

18) E und K bzw. E' und sind in diesem Pat uottstandige elliptische Integrate ?reit den Parametern x bzw. x'.

Funktionen von der Ordnung n = 5 einen kaum noch zu fiber-sehenden Aufwand, so dal3 dieser Weg zu numerischen Losun-gen nicht weiter verfolgt wurde.

Die gleichen Komplikationen ergaben sich bei der strengen Auflosung der Integrale in den Reduktionskoeffizienten

Qi, s (a, x2) (49). Diese lassen sich zwar auf dem Wege der Partialbruchzerlegung auch auf unvollstandige elliptische

Integrale erster und zweiter Gattung reduzieren - die Summe der dabei auftretenden Integrale dritter Gattung wird stets

Null [23] -, der Rechenumfang ist jedoch bei Ordnungen

n> 4 praktisch nicht mehr zu

Aus diesem Grund schien es angeraten, die Integrationen (47) his (49) naherungsweise auszufiihren und wenn moglich

dazu einen Digital-Rechenautomaten zu Hilfe zu

zie-hen. Eine graphische Auswertung der Integrale konnte aus Griinden der Genauigkeit nicht in Erwiigung gezogen werden. Es wurde deshalb dem Sektor Mathematik des Hahn-Mei t-n e r - It-n s tit utes für Kert-nforschut-ng it-n Berlit-n der Auftrag zur Tiumerischen Auswertung der Ausdriicke Q, (a, x2) (49) und

(X2) (50) erteilt. Die numerischen Berechnungen auf dem

Rechenautomaten vom Typ Siemens 2002" umfafiten die Auf-losung der Gleichungen fiir die Koeffizienten yi. (50), die Ermittlung der dimensionslosen Lameschen Funktionen (42) sowie der auftretenden Ableitung (45) mid die notwendigen Integrationsprozesse, wobei fiir letztere durch die Wahl der Substitutionen (41) die Beschriinktheit der Integranden

ge-wahrleistet war. Einzelne Riidienoperationeni insbesondere die Auflosung der kubischen und biquadratischen Gleichungen fur die Koeffizienten y2, s (59) wurden seitens desHMIKB auf 20stellige Genauigkeit programmiert, da das lOstellige Pro-gramm fiir die Indizes s> 1 keine befriedigenden Resultate lieferte. An Hand umfangreither Kontrollrechnungen nach der strengen Methode, bei denen die elliptischen Integrale aus den

lOstelligen Tafeln von Pearson [26] mit Hilfe von

Inter-polationsfichen vierter Ordnung (24 Stiltzstellen) entnommen wurden, konnten die maschinellen Ergebnisse laufend fiber-priift werden. Daher darf die Genauigkeit der in Abschnitt 5,5 in Abhangigkeit von 42 Verhiiltniswerten L/B und B/T tabel-17x2 ± 14 Y42, 8, 8 + 4 56%6+ Y32,8, s + 2 15 285x4 ± 234%2+ 32

+4

75 x2 = 0 27 4 27 X2 - 0 (59)