Bijdrage tot de theorie van de harmonische bovenvelden in asynchrone motoren, in verband met de praktische toepassing van het kruipverschijnsel bij kooiankermotoren

BIJDRAGE TOT DE THEORIE VAN DE

HARMONISCHE BOVENVELDEN IN

ASYNCHRONE MOTOREN, IN

VER-BAND MET DE PRACTISCHE

TOEPAS-SING VAN HET KRUIPVERSCHIJNSEL

BIJ KOOIANKERMOTOREN.

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING -VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN

DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS, JHR. DR. G. J. E L I A S , HOOGLEERAAR IN DE AFDEELING DER ELECTROTECHNIEK, VOOR EEN COMMISSIE UIT DEN SENAAT TE VERDEDIGEN OP DONDERDAG 3 JUNI

1937, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR,

DC OR

FRITS TOLLENAAR

ELECTROTECHNISCH INGENIEUR GEBOREN TE AMSTERDAM

• BIBLIOTHEEK'^.

PROMOTOR PROF. DR. ING. C. F E L D M A N N 's | \

I

I

•

r

Reeds vele malen is getracht, den asynchronen draaistroommotor voor toerenregeling geschikt te maken. Weerstandsreguleering van sleepringmachines is dikwijls onmogelijk, omdat een te ,,vlakke" koppdkaraktcristiek ontstaat, en het toerental daardoor voor belas-tingsvariaties te gevoelig is. Toch bestaat er in vele gevallen be-hoefte aan een motor, die dient om een werktuig zoowel met nor-male snelheid als met een, naar verhouding, zeer kleine snelheid, bij hetzelfde koppel, aan te drijven. Voorbeelden daarvan zijn:

Liften met nastelinrichting;

Werktuigmachines, waarbij instellen van het gereedschap bij lage snelheid moet geschieden;

Kalanders, w^aarbij het product bij geringe snelheid voorzichtig moet worden ingebracht;

Bruggen met nastelbeweging bij het ,,opleggen"; Rotatiepersen.

In zulke gevallen is gebruik gemaakt van verschillende hulpmid-delen, zooals;

Aandrijvingen, die, door het verzetten van een koppeling, op een andere tandwieloverbrenging worden geschakeld;

Overbrengingen met planetenrad; Zgn. ,,übcrholungs" koppelingen,

kortom de zoo gewenschte toepassing van kortsluitmotoren heeft ge-leid tot tal van min of meer ingewikkelde oplossingen.

De vermelde voorbeelden hebben één eigenschap gemeen: Het lage toerental wordt slechts gedurende een korte periode verlangd, ter-wijl den overigen tijd met het hooge toerental wordt gedreven. Voor zulke gevallen kan men redelijker-wijze, ten behoeve van een bruikbare oplossing, de voorwaarde van gunstige electrische eigen-schappen bij het lage toerental laten varen.

Daar gebleken is, dat een kortsluitmotor kan blijven ,.kleven ' of bij lager toerental kan gaan ,,kruipen', is de vraag gewettigd, of

8

van dit verschijnsel door doelbewuste berekening in de beschreven (jcvallen een nuttig gebruik kan worden gemaakt. * ) .

Nieuw is deze vraag niet; STIEL, die zijn proeven reeds in 1911 uitvoerde, heeft deze doelstelling in zijn publicatie ^*) vermeld, en sindsdien zijn er ook octrooien verleend op bijzondere motorcon-structies, waarbij getracht is hetzelfde oogmerk te verwezenlijken.

Om deze methode te kunnen hanteeren, is een duidelijk inzicht in de oorzaak der kruipverschijnselen van kortsluitmotoren allereerst noodzakelijk. Over kruipen van kortsluitmotoren bestaat een uitge-breide literatuur, en de wetenschap der laatste 15 jaren heeft dit probleem practisch geheel opgehelderd. Het streven is daarbij steeds geweest, het kruipverschijnsel door doelmatige constructie te ver-hinderen, terwijl de taak, die bij deze studie gesteld is, zich juist richt op nuttige toepassing ervan. De meeste publicaties hebben zich beziggehouden met herkomst en aard der kleef- en kruipverschijn-selen te verklaren en geven daarbij verder slechts oppervlakkige be-schouwingen over de grootte van de te verwachten koppels.

Ik zal trachten het juiste verband op te sporen tusschen de kop-pels, die de oorzaak zijn van het kleven of kruipen, en de zgn. har-monische spreiding — een verband, dat bij nader onderzoek zeei voor de hand ligt — en langs dezen weg een berekeningsmethode te ontwikkelen, waardoor deze koppels naar grootte en eigen-schappen kunnen worden bepaald.

De geschiedenis van het ,,kleef'probleem en het vraagstuk der dubbelgekoppelde spreiding toont een groot aantal los van elkaar staande publicaties. BRAGSTAD (1902) ^^) heeft, in een studie van den draaistroommotor, de ontbinding van het magnetisch veld in een Fouriersche reeks als uitgangspunt gekozen, en de motoreigen-schappen bij stilstand en bij vollasttoerental onderzocht. * *). W e weten tegenwoordig, dat dit niet voldoende is, omdat juist in de tusschengelegen periode — gedurende het aanzetten — de grootte en de invloed der parasitaire velden sterk kan toenemen. In 1908 ontwikkelden ROGOWSKI en SIMONS -) het begrip van de

dubbel-*) Indien de ingeschakelde motor niet uit den stilstand .,los"komt, spreken we van „kleven"; indien de motor, in nuUast of bij belasting, niet tot zijn nomi-nale toerental versnelt, doch bij een veel kleiner toerental volhardt, spreken we van „kruipen".

**) De ontbinding van het magnetisch draaivcld in harmonische componenten heeft BLONDEL reeds in 1895 beschreven (Quelques propriétés générales des champs magnétiques tournants, L'éclairage Electrique 1895).

gekoppelde spreiding en HALLO '") gaf in 1914 hiervan een voor onze electrotechnische denkwijze duidelijker interpretatie. DREYFUS

is de eerste, die in 1919 de dubbelgekoppelde spreiding mathema-tisch met de theorie der harmonische velden verbindt ( H E U B A C H

schrijft in ,,Der Drehstrommotor" (1922), dat de formule voor de dubbelgekoppelde spreiding nog gevonden moet worden, en leidt de spreidingsverschijnselen uit de geconstrueerde veldverdeeling af). De publicatie van STIEL '•*) luidt dan een periode van onderzoek in betreffende parasitaire koppels, waarna hun herkomst allengs door verschillende onderzoekers wordt opgespoord. DREYFUS en FRITZE

hebben hiertoe wel het meest bijgedragen.

Het is mij opgevallen, dat verschillende schrijvers veelal andere pu-blicaties over eenzelfde onder-werp onopgemerkt, althans onvermeld laten. Het gevolg hiervan is, dat de lezer een zeer onsamenhangend beeld van de genoemde problemen verkrijgt. Door uitvoerige bron-vermelding zal ik trachten mij aan dit verzuim niet schuldig te maken.

Door het reeds gepubliceerde samen te vatten, hoop ik integendeel bij te dragen tot een duidelijk inzicht in het vraagstuk van parasitaire velden en koppels. Een nauwgezet onderzoek van het gedrag dezer velden lijkt daartoe onontbeerlijk.

Hoofdstuk I wijst den weg tot oplossing van het theoretisch pro-bleem, hoofdstuk II en III geven de mathematische uitwerking. Hoofdstuk IV behandelt in gelijk verband de eigenschappen der parasitaire koppels. In hoofdstuk V is het dan mogelijk, aan de hand van het mathematisch apparaat, den invloed der parasitaire velden op de spreiding volledig te verklaren, en het terrein af te bakenen waarop gestreefd kan worden naar practische resultaten met behulp van de ,,kruip'koppels. De hoofdstukken VI en VII geven de uit-werking van twee naar mijn meening meest verkieslijke oplossingen.

H O O F D S T U K L

Harmonische spreiding en parasitaire koppels.

§ 1. Het magnetisch veld in de luchtspleet van een motor kan worden ontbonden in een grondharmonisch veld en hooger harmo-nische velden. De hooger harmoharmo-nische velden, met stator- en rotor-wikkeling gekoppeld, hebben geen nuttig aandeel aan het ontstaan van het nominale motorT<oppel. Men zal dus verband zoeken tus-schen den invloed van deze parasitaire velden en de

dubbelgekop-pelde spreiding. DREYFUS ' ) heeft de dubbelgekoppelde spreiding voor machines met driefazig gewikkelden stator en rotor uit de har-monische velden afgeleid. Hij concludeert, dat de spreiding van deze machines beter uit den draaienden toestand van den motor kan ^vo^den bepaald, en dat het verkregen resultaat overeenstemt met de gemiddelde waarde van de spreiding bij stilstand, bepaald volgens de methode van BLONDEL.

Zoodra echter de dubbelgekoppelde spreiding voor den draaien-den motor uit de harmonische veldraaien-den wordt berekend, kan niet meer nauwkeurig aan de definitie van de dubbelgekoppelde spreiding worden vastgehouden. Immers, reeds bij de beschouwing van den Blondelschen coëfficiënt

blijkt het onmogelijk den factor IH te bepalen, omdat de inductie ten-gevolge der harmonische velden, die spanningen van verschillende frequentie in stator resp. rotor opwekken, voor elk toerental van den motor anders is. Hierop berust natuurlijk ook de verwarring, die ontstaat, zoodra het begrip transformatieverhouding wordt inge-voerd. Deze kan immers voor elk der beschouwde harmonische bovenvelden weer anders zijn.

Indien wij het direct verband tusschen de harmonische velden en de dubbelgekoppelde spreiding erkennen, doen wij dus beter de oor-spronkelijke definitie te verlaten.

Als uitgangspunt van mijn beschouwing kies ik daarom de volgen-de stelling: De harmonische velvolgen-den bepalen volgen-de dubbelgekoppelvolgen-de spreiding en zijn tevens de oorzaak van alle, gedurende het aan-zetten van den motor, optredende parasitaire koppels.

Door mij tot taak te stellen de parasitaire koppels kwalitatief af te leiden uit het gedrag der harmonische velden, zal het dus mogelijk zijn, tevens een bijdrage te leveren voor de berekening van de dub-belgekoppelde spreiding uit deze velden.

Om tot een zoo exact mogelijken grondslag voor de veldverge-lijkingen van Hoofdstuk III te geraken, is het noodig de omschrij-ving van de andere soorten van spreiding nader te preciseeren.

Onder enkelgekoppelde spreidingsvelden worden steeds verstaan de lekvelden in gleuf en spoelkop, d.z. krachtlijnen, die alleen in den stator of alleen in den rotor verloopen. Zij induceeren in de win-dingen, die zij omsluiten, een spanning, die evenredig is met de frequentie en met de stroomen in de beschouwde windingen:

E = I w £,

De waarde van •"«, voor de statorwikkeling bijv., wordt dus niet door de stroomen in het stilstaande of roteerende anker beïnvloed. Zij is een, door de afmetingen en ligging van het koper en het ijzer bepaalde, onverander'lijke coëfficiënt (indien we althans den invloed van de magnetische verzadiging buiten beschouwing laten).

Met deze laatste omschrijving voor oogen, is het echter mogelijk, het begrip enkelgekoppelde spreiding over nog meer velden uit te strekken. Als voorbeeld nemen wij een kortsluitmotor. De stroomen van het kooianker wekken ook hooger harmonische velden op, die de luchtspleet oversteken, doch in de statorwikkeling — hoewel zij deze omsluiten — geen spanning opwekken, of nog nauwkeuriger gezegd: die in de statorwikkeling geen stroomen teweegbrengen. Omge-keerd kunnen, volgens de wet van de wederkeerige inductie, de sta-torstroomen dan ook geen invloed op deze velden uitoefenen, en het effect van deze krachtlijnen op het kooianker is dus, alsof deze krachtlijnen alleen in den rotor zouden verloopen. Wij zien daaruit, dat de hooger harmonische velden niet uitsluitend een bestanddeel van de dubbelgekoppelde spreiding zijn, doch dat zij ook een bij-drage kunnen leveren voor de enkelgekoppelde spreiding in ruimeren zin.

12

H e t b e g r i p zigzagspreiding, dat aangeeft, dat de krachtlijnen bijv. in een r o t o r t a n d t r e d e n en w e d e r uit denzelfden r o t o r t a n d n a a r het statorijzer t e r u g k e e r e n , z o o d a t deze krachtlijnen het r o t o r k o p e r niet omsluiten, kan w o r d e n b e s c h o u w d als een tusschenvorm tusschen enkel en d u b b e l g e k o p p e l d e spreiding. Immers, zoolang een s t a t o r -gleuf is gelegen t e g e n o v e r een rotortand, keeren er krachtlijnen uit den rotor terug z o n d e r het r o t o r k o p e r te omsluiten, doch indien een statorgleuf t e g e n o v e r een rotorgleuf is gelegen, zullen de krachtlijnen r o n d o m het r o t o r k o p e r verloopen.

D a a r de krachtlijnen van de zigzagspreiding de luchtspleet over-steken, zullen ze implicite in de vergelijkingen, die rekening h o u d e n met de hooger harmonische velden, o p t r e d e n . E e n afzonderlijke plaats behoeft dus bij een methode, waarbij het veld in de lucht-spleet w o r d t o n t b o n d e n , voor de zigzagspreiding niet te w o r d e n ingeruimd.

Indien wij de bijdrage der hooger harmonische velden aan de enkelgekoppelde spreiding afscheiden, blijft een restant van velden, hetwelk wij als oorzaak van de dubbelgekoppelde spreiding zouden k u n n e n o p v a t t e n . Daarbij moeten wij b e d e n k e n , dat we reeds in de eerste alinea van deze § zijn u i t g e g a a n van een a n d e r e omschrijving van ,,spreiding" d a n gebruikelijk is; n.l. als spreidingsvelden te b e -schouwen alle krachtlijnen, die geen nuttig a a n d e e l hebben a a n het o n t s t a a n van het nominale koppel. H e t r e s t a n t is dus niet identiek met de d u b b e l g e k o p p e l d e spreiding, en w e zullen het begrip van d e d u b b e l g e k o p p e l d e spreiding dan ook niet meer bezigen.

A a n de h a n d van onze uitkomsten zullen w e den invloed van het r e s t a n t duidelijk k u n n e n w a a r n e m e n ; het blijkt een grillige functie van het toerental te zijn.

D e gezamenlijke invloed d e r harmonische velden zal in het ver-volg k o r t w e g harmonische spreiding genoemd w o r d e n .

D e b o v e n gegeven stelling is slechts juist, indien w e bij stilstand de gevolgen van de verkleining van den krachtlijnweg in het entrefer, bij b e p a a l d e s t a n d e n van den rotor, buiten beschouwing laten. U i t e r -a -a r d z-al een hieruit voortvloeiend kleefkoppel uitsluitend bij stil-stand practisch m e r k b a a r zijn, d o o r d a t de r o t o r een positie opzoekt, waarbij de krachtlijnweg zoo klein mogelijk w o r d t ; in d r a a i e n d e n toestand zal hetzelfde verschijnsel slechts uit het t a n g e n t i a a l d i a g r a m blijken, o m d a t positieve en negatieve koppelvariaties elkaar g e

-durende één omwenteling afwisselen, het gemiddelde koppel echter hierdoor niet van grootte verandert.

§ 2. De mathematische bepaling van de verschijnselen, die be-rust op superpositie der magnetische velden, kan bezwaarlijk reke-ning houden met de gevolgen van verzadiging in het ijzer. Zij geeft dus slechts een bevestiging van onze overwegingen, indien wij be-paalde verschijnselen, zooals kleefkoppelt'. eruit kunnen voorspellen, en deze aan de hand van proeven ook werkelijk optreden. Kwanti-tatief is de methode alleen een benadering, en in vele gevallen ook een, te voorspellen, grove benadering.

Bij de opstelling der veldvergelijkingen in Hoofdstuk III zal worden uitgegaan van de veronderstelling:

1ste. dat de klemspanning van den motor sinusvormig is. 2de. dat het net geen inwendige impedantie bezit.

De laatste veronderstelling is noodzakelijk, omdat soms de har-monische velden tengevolge van de rotorstroomcn, spanningen van andere frequentie in de statorwikkeling induceeren, de klemspanning dus in eerste instantie wel sinusvormig kan zijn, maar anders dooi de additioneeie spanningen weer vervormd wjrdt. Thans kunnen wij ten aanzien van alle spanningen, die in den stator geïnduceerd worden, het net als kortgesloten beschouwen, zoodat de primaire klemspanning aan geen verandering onderhevig is. Deze restrictie zal geen belangrijke fout in de berekeningen teweegbrengen.

De gedachtengang, die tot de hoofdvergelijkingen leidt, is de volgende:

Wij nemen aanvankelijk aan, dat er geen enkelgekoppelde sprei-ding bestaat, zoodat alle aanwezige krachtlijnen de luchtspleet over-steken. Het veld in de 'luchtspleet wordt daarbij ontbonden in een grondharmonisch veld en harmonische bovenvelden, en de spanning, die elk dezer velden in stator- en rotorwikkeling induceert, bepaald. De stroomen, die als gevolg van de aldus bepaalde spanningen zullen optreden, worden begrensd door den weerstand en de zelfinductie van de beschouwde wikkeling. Met behulp van den zelf inductie-coëfficiënt van de wikkelingen zijn wij dan in staat, om de enkelge-koppelde spreiding voor stator en rotor alsnog in rekening te brengen.

14

Ik zal het onderzoek beperken tot motortoestanden, gelegen tus-schen stilstand en het nominale synchrone toerental, kortweg ge-noemd het A-interval. Is n., het nominale synchrone toerental, dan geeft n = k . n.^ een willekeurig toerental tusschen stilstand en synchronisme aan: het /.-interval omvat dus de waarden /l = Otof 1.

§ 3. Parasitaire koppels in kooiankermotoren kunnen ontstaan als gevolg van verschillende eigenschappen der harmonische sprei-ding. MÖLLER 3) is een der eersten, die de koppels naar deze eigen-schappen in groepen heeft gedetermineerd. De meeste dezer groepen zijn in de literatuur uitvoerig behandeld, en de korte samenvatting hieronder dient slechts om de verschijnselen zuiver uit den gezichts-hoek der harmonische velden te beschouwen.

W i j onderscheiden parasitaire koppels;

1ste. tengevolge van mechanische trillingen. Zij vinden hun oor-sprong in ongelijken magnetischen trek rondom het anker. Deze trillingen kunnen een remmenden invloed op den rotor uitoefenen.

2de. tengevolge van electrische krachten:

a. omdat de, door de hooger harmonische statorvelden in den rotor, geïnduceerde stroomen slechts door een

kleine harmonische spreiding worden begrensd. b. omdat de harmonische velden, in den rotor opgewekt.

additioneeie stroomen in den stator induceeren, zoodat een soorl: cascadeschakeling ontstaat.

(koppels van synchronen a a r d ) .

c. omdat harmonische velden van gelijk pooltai, in stator en rotor opgewekt, elkaar versterken.

(koppels van synchronen aard).

De eerste groep valt buiten deze beschouwing; koppels, die ten koste van trillingen optreden, kunnen natuurlijk in de practijk nimmer voor nuttig gebruik worden toegepast. F R I T Z E ^ ) heeft trouwens de mechanische verschijnselen volledig uit de harmonische velden verklaard.

Ten aanzien van de drieledige verdeeling van groep 2 diene de volgende algemeene omschrijving; de mathematische uitwerking volgt in de Hoofdstukken 11^—IV.

Naast een draaiveld van het nominale pooltai worden door den stator steeds velden van hooger pooltai opgewekt, die met andere snelheden dan het hoofdveld roteeren. Tengevolge van de inductie van één dezer velden (Ha.) ontstaat in het kooianker een bepaalde stroom verdeeling, die op haar beurt behalve een tegenveld van ge-lijk pooltai als Hu., nog een reeks harmonische velden doet ontstaan, die de harmonische rotorspreiding bepaalt ten opzichte van het veild Ha. t +1 ft

h 1

1

F

Jll _ 1

1 l

>o 1 1 1

i

^ Tl £

f

>x Fig 1.

W i j nemen nu aan — en dat is de essentieele voorwaarde voor de bovenvermelde ondergroep 2a — dat genoemde harmonische rotorvelden pooltallen bezitten, die niet overeenkomen met de pool-tallen van de door den stator opgewekte harmonische velden. Met deze restrictie kunnen wij elk harmonisch veld, door den stator ge-vormd, afzonderlijk beschouw^en, door in gedachten aan te nemen, dat op een gemeenschappelijke as meerdere kortsluitmotoren van verschillend pooltai gekoppeld zijn. Elk dezer denkbeeldige motoren heeft een ideale statorwikkeling, waarvan de magnetomotorische kracht een zuivere sinusfunctie is; alle statorwikkelingen zijn in serie geschakeld. Elke denkbeeldige motor heeft een kooianker

(zie fig. 1).

Wij beschouwen nu een dergelijken denkbeeldigen motor met pooltai 2 px. Velden van een ander pooltai kunnen in zijn ideale statorwikkeling geen spanning induceeren; de harmonische rotor-spreiding kan dus in dit gev^l als enkelgekoppelde rotor-spreiding

wor-16

den opgevat. Voor een normaal kooianker met a staven is deze spreiding gegeven door de formule

a-

[stn

^ )

Hoe grooter het pooltai van den beschouwden denkbeeldigen motor is, hoe grooter ook de harmonische spreiding. Voor groote waarden van a neemt echter de harmonische spreiding bij toe-nemend pooltai slechts langzaam toe, in tegenstelling met de enkel-gekoppelde spreiding in engeren zin, die bij het nominale pooltai slechts enkele procenten zal bedragen, maar in de denkbeeldige motoren met hooger pooltai veel grooter is. De geringe waarde van de harmonische spreiding, bij hoog staafgetal in den rotor, manifes-teert zich door krachtige rotorstroomen, die, vooral in de nabijheid van synchronisme, correspondeerend met het pooltai 2 p,», de oorzaak zijn van groote parasitaire koppels.

De geringe waarde van de harmonische spreiding voor de boven-velden blijkt uit een getallenvoorbeeld nog duidelijker. W i j beschou-wen daartoe de rotoren III en IV, die door WANDEBERG •'') zijn

beproefd. Het zijn vierpolige motoren {pa=:2) met drie gleuven per pool en faze, zoodat de harmonische velden H,,- = 17 en Hj, := 19

sterk in het statorveld zijn vertegenwoordigd.

De spreidingsvelden, die in den rotor worden opgewekt, kunnen worden bepaald uit:

h.,

=

''-''

± H.,

Po

waarin c elk positief geheel getal (een veld h., heeft dus h.,\p^^ poolparen). **) De spreidingsvelden voor Ha,-=19 zijn dus met rotor III (a = 63 staven);

A, = 12,5; 50,5; 44; 82; enz. en met rotor I V (a= 57 staven);

h., = 9,5; 47,5; 38; 76; enz. *) Men vergelijke § 28. verg. (84).

**) De afleiding van deze formule wordt in § 10 gegeven. Men vindt (paars-gewijze) de harmonische getallen h-^ van de parasitaire velden, die worden opge-wekt door de rotorstroomen - op hun beurt geïnduceerd door een harmonisch statorveld Hx X po — door in deze vergelijking c achtereenvolgens 1, 2, 3 enz. te stellen.

Daar de velden met laag harmonisch getal het grootste deel tot de harmonische spreiding bijdragen (de invloed neemt met het kwa-draat van /zg af), zal dus de spreiding in rotor III kleiner zijn dan die in rotor IV. Het blijkt dan ook uit de proeven van WANDEBERG,

dat de parasitaire invloed van de 17de en 19de harmonische velden met rotor III. veel groo'ter is dan met rotor IV.

Kwalitatief zijn hiermede de parasitaire koppels volgens onder-groep 2a verklaard. Kwantitatief blijkt de overeenstemming met de proeven zeer slecht te zijn. Daarop wordt in Hoofdstuk V nader teruggekomen.

Om de parasitaire koppels der hooger harmonische statorvelden zooveel mogelijk te onderdrukken, schijnt het dus geboden de rotor-spreiding voor die velden zoo groot mogelijk te maken. Volgens het getallenvoorbeeld moeten dus rotorspreidingsvelden met laag getal /ij ontstaan; rotor I van WANDEBERG, met 40 staven, zou dus een gunstig resultaat doen vei-wachten, daar voor de harmonische H.,. ^ 19 in den rotor het spreidingsveld h.^ = 1 ontstaat. Wij moeten echter bedenken, dat dan aan de voorwaarde van groep 2a niet meer wordt voldaan; immers, indien in de rotorketen een grondharmonisch veld /ig ^ 1 wordt opgewekt, zal dit veld in de statorwikkeling H , = 1 een spanning induceeren, en de splitsing in denkbeeldige motoren van verschillend pooltai zou tot onjuiste resultaten leiden. Er bestaat dus een continue functie tusschen de harmonische spreiding en het rotorstaafgetal, doch voor bepaalde staafgetallen is deze functie niet van toepassing.

Het verschijnsel, behoorende tot groep 2a, is door ANDRONESCU ")

theoretisch behandeld. Ook HANSEN •) heeft een mathematische af-leiding gegeven, doch in de door hem afgeleide formule voor het koppel komt het staafgetal van den rotor niet voor. Zij is dan ook slechts een benadering en alleen bruikbaar in zulke gevallen, waarbij de harmonische rotorspreiding voor de harmonische H.^ klein is.

§ 4. Zoodra grondveld en harmonische velden meervoudig met elkaar gekoppeld zijn, ontstaat een meer ingewikkeld vraagstuk. Een nauwkeurig onderzoek van een dergelijken toestand is in de literatuur naar mijn weten nog niet gepubliceerd. W e l is een hieruit af te leiden verschijnsel, het zoogenaamde GöRGES-effect onderzocht, en

ver-18

moedelijk zullen verschillende schrijvers (o.a. KRONDL ^)) het ver-melde probleem met dezen verzamelnaam hebben afgedaan.

Dit is wel te verklaren. Het onderzoek toont n.l. het volgende aan: bij de meervoudige koppeling der velden treden parasitaire koppels op, die een gevolg zijn van een met het GöRGES-effect verwant verschijnsel, en die als asynchrone koppels kunnen worden opgevat

(groep 2b). Onder dezelfde omstandigheden treedt echter een ander verschijnsel aan den dag, hetwelk parasitaire koppels veroorzaakt, die zeer veel grooter zijn dan de eerstgenoemde. Het zijn koppels van synchronen aard (groep 2c), waarvan de oorsprong door

DREYFUS '•') en KRONDL ") het eerst is gevonden.

Bij het onderzoek in het A-interval zal men steeds bedacht moeten zijn op deze ,,ondersynchrone " koppels en, wanneer de omstandig-heden zoodanig gekozen worden, dat de ondersynchrone koppels klein blijven, zullen de asynchrone koppels zeker verwaarloosd kunnen worden.

Hoewel dus het onderzoek van deze asynchrone koppels gelijk staat met het pleiten voor een verloren zaak, is het voor een goed begrip van de functie der harmonische velden nuttig, de hierbij op-tredende omstandigheden nader te onderzoeken.

GORGES heeft aangetoond, dat een draaistroommotor met één-fazig gewikkelden rotor neiging heeft bij A = 54 ^^ kruipen. Het éénfazig anker wekt, naast het grondharmonisch veld, een veld van gelijk pooltai op, dat echter in tegengestelden zin roteert. Dit tegendraaiende veld is dus weder met de statorwikkeling gekoppeld, en induceert hierin, bij draaienden motor, stroomen met van de net-spanning af^vijkende frequentie. GORGES heeft dus het probleem van twee velden, die langs verschillende wegen gekoppeld zijn, voor één speciaal geval gesignaleerd. W a t is nu het algemeene vraagstuk?

§ 5. Wij beschouwen daartoe weer een normalen kooianker-motor. De statorwikkeling wekt naast het grondveld hooger har-monische draaivelden op; elk der velden induceert stroomen in den rotor, en, bij draaiend anker, zijn de frequenties der afzonderlijk be-schou\vde rotorstroomen verschillend. De stroomverdeeling in den rotor, die het gevolg is van één bepaald harmonisch statorveld, wekt een veld op met gelijk harmonisch getal, en bovendien op haar beurt

een reeks hooger harmonische velden, die in positieven of negatieven zin roteeren met draaisnelheden ten opzichte van den rotor, beant-woordend aan de frequentie der beschouwde stroomen. Sommige dezer velden correspondeeren met in den stator opgewekte velden, andere zijn met geen enkel statorveld gekoppeld. Het is duidelijk, dat op deze wijze een ontelbaar aantal velden van verschillend

-t

H,t

< • ï

M

EK ;: Tnotc J-I :• r o t o r c i r c u i t A * ' : » • " ::

:• statto»- .:

. . rotor-ciroMltB <

I

ra

r',

,h

> :» • ' t o r a Fig. 2.

pooltai, verschillende rotatiesnelheid en verschillenden draaizin ont-staat, hetwelk niet meer kan worden overzien. Gelukkig zijn de meeste dezer harmonische velden zóó klein, dat hun invloed ver-waarloosd mag worden. Dezulken, die niet mogen worden verwaar-loosd, kunnen in groepen worden bijeengebracht, en het gedrag van zulk een groep zal ik trachten te verklaren.

Daartoe beschouw ik een hypothetisch geval, waarbij de stator-wikkeling naast het grondveld slechts één harmonisch bovenveld opwekt.

Het vervangingsschema hiervoor is in fig. 2 gegeven. Wij kunnen den toestand vergelijken met twee motoren, op een gemeenschappe-lijke as gekoppeld, waarvan zoowel de statorwikkelingen onderling

20

in serie zijn geschakeld als ook de rotorwikkelingen onderling in serie zijn geschakeld.

De statorwikkelingen der denkbeeldige motoren 1 en 2 wekken elk, evenals in § 3, slechts één veld van bepaald pooltai op, kortweg Hj en H j genoemd.

De rotorketen moeten wij thans echter tweemaal beschouwen. Immers, Hj induceert stroomen I, in den rotor A. Deze stroomen wekken w^eder velden op:

het tegenveld H^; een veld h^;

en bovendien nog een serie harmonische velden, die op de stator-wikkeling geen invloed uitoefenen, en dus tot de enkelge-koppelde velden gerekend kunnen worden.

Het in den rotor gevormde veld h., is dus met de statorwikke-ling 2 gekoppeld en induceert hierin stroomen met een van het net afwijkende frequentie. De statorketen kan voor deze stroomen over het net als kortgesloten worden beschouwd.

Wij hebben hier dus een cascadeschakeling, waarbij de stator-wikkehng zoowel de rol van primaire als tertaire keten vervult.

Een dergelijke redeneering kan ook voor het, door de statorwik-keling van motor 2, opgewekte veld worden gegeven. De stroomen L, die dit veld in den rotor induceert, zullen, bij draaienden rotor, een andere frequentie vertoonen dan die, door het veld H, geïndu-ceerd en, in verband met de superpositie der grootheden, kan vooi deze stroomen in gedachten een tweede rotorcircuit B geteekend worden. Het door dit rotorcircuit opgewekte veld /ij is weer met de statorwikkeling 1 gekoppeld, en induceert hierin stroomen met van het net afwijkende frequentie. De statorketen kan hiervoor weer als kortgesloten worden beschouwd. Er bestaat dus een dubbele cas-cadeschakeling tusschen de denkbeeldige motoren 1 en 2. Daar-mede is het hypothetisch geval grootendeels gekarakteriseerd.

Opmerkelijk is hierbij, dat de rotorstroomverdeeling als gevolg van het veld Hj een groep harmonische velden opwekt met de-zelfde pooltallen, als de stroomverdeeling tengevolge van het veld H.,. Wij kunnen hieruit concludeeren, dat het aandeel der harmo-nische velden aan den zelfinductiecoëfficient der enkelgekoppelde spreiding voor de circuits A en B (zie fig. 2) evengroot is, zoodat

de zelfinductiecoëfficient voor de totale enkelgekoppelde spreiding voor beide circuits gelijk is. De spreidingsfactor T^,;, neemt dus bij toenemend pooltai sterk toe. Het verschillend gedrag van de har-monische spreiding ten opzichte van het in § 3 behandelde geval

(groep 2a) is hieruit dus duidelijk zichtbaar.

Wij kunnen nu 4 principieel verschillende groepen onderscheiden, die ontstaan uit de combinatie, twee aan twee, van de volgende mogelijkheden:

1. De door de statorwikkeling geïnduceerde draaivelden 1 en 2 hebben gelijke draairichting.

2. De door de statorwikkeling geïnduceerde draaivelden 1 en 2 hebben tegengestelde draairichting.

3. De door de rotorwikkeling geïnduceerde draaivelden 1 en 2 hebben gelijke draairichting.

4. De door de rotorwikkeling geinduceerde draaivelden 1 en 2 hebben tegengestelde draairichting.

De gevallen 1 en 2, elk met één der gevallen 3 er 4. zijn bestaan-baar, 4 combinaties dus, die in het vervolg aangeduid worden met 2 cijfers, correspondeerend met de nummers der vermelde alter-natieven: de gevallen 1—3, 2—4, 1—4, 2—3, vereenigd in tabel I.

Volgens de gegeven beschrijving bestaan er 4 velden, waar-van twee hun ontstaan danken aan de statorwikkeling, en twee aan de rotorwikkeling. De velden worden aangeduid door 2 indices, waarvan de eerste index aangeeft den oorsprong van het veld (statoi = 1, rotor = 2) en de tweede index het harmonisch veld. Aldus stelt voor:

</',, het grondveld, gevormd door de statorketen. </*]„ het harmonisch veld, gevormd door de statorketen.

'P„., het door den rotor gevormde harmonische veld, als gevolg

van de door 0^^ geinduceerde stroomen.

<p2i het door den rotor gevormde grondharmonisch veld, als ge-volg van de door 0,., geinduceerde stroomen.

In tabel I zijn verder vermeld slipfrequenties in rotor- en stator-keten als functie van A, en de indices zijn als volgt gekozen:

22

Vj stelt voor de slipfrequentie in het rotorcircuit tengevolge v a n het veld <I\i.

V., stelt voor de slipfrequentie in het rotorcircuit tengevolge van het veld

<I\2-Vj., stelt voor de slipfrequentie van de stroomen in het statorcir-cuit, geïnduceerd door het veld (!>.,,,.

j'.,j stelt voor de slipfrequentie van de stroomen in het statorcir-cuit, geïnduceerd door het veld <?2r

D e frequenties J'^., en )'.,j blijken zoowel in het geval 1—4, als in het geval 2—3 bij elk toerental aan elkaar gelijk te zijn, zoodat voor deze gevallen g e s c h r e v e n w o r d t

''12 ^ ''21 ^ ^

''a-D o o r de cascadeschakeling w o r d e n dus tertiaire stroomen in de s t a t o r k e t e n geïnduceerd, die m e d e hun a a n d e e l hebben aan p a r a -sitaire koppels. Z o o d r a in het A-interval één d e r frequenties r.,, v^.^ en j ' . ^ , , subs, i'., van teeken omkeeren, zal één dezer koppels e v e n -eens v a n teeken wisselen. O o k zullen in het algemeen r e m m e n d e krachten w e r k e n , w a n n e e r stator of rotor relatief ten opzichte van het b e s c h o u w d e draaiveld in tegenstelden zin roteeren. In tabel I zijn de verschillenden t o e s t a n d e n a a n g e g e v e n , die de motor doorloopt in het /l-interval. O p de g r e n s tusschen t w e e t o e s t a n d e n w o r d t één d e r frequenties nul en keert d a a r n a van teeken om. V o o r t o e s t a n d e n , dichtbij een dergelijke g r e n s gelegen, kan een positief en een negatief koppel-maximum v e r w a c h t w o r d e n , hetwelk dan van a s y n c h r o n e n a a r d is (groep 2 b ) . Of deze maxima en minima ten opzichte van het nominale koppel een w a a r d e van beteekenis verkrijgen, is afhankelijk van wikkelfactoren, staafgetal in den rotor, en spreiding in s t a t o r -en r o t o r k e t e n . In H o o f d s t u k I V zijn b e n a d e r d e formules ter bepaling v a n deze maxima en minima afgeleid.

D e splitsing der gevallen 1—3 en 2—4 eischt nog een n a d e r e preciseering. Z o o a l s bekend, k u n n e n de bovenvelden van den stator

((?>,„)' "^'^ ™2t het g r o n d v e l d in gelijken zin roteeren, w o r d e n b e -paald uit

/ij ^ = 2 c m -f- 1, en die in t e g e n g e s t e l d e n zin roteeren uit

/12 ! = 2 c m — I,

Evenzoo geldt voor de velden van den rotor {'P^^')' "i'^" ^^^ °P" zichte van 0 „ in gelijken zin draaien

h.,=C — -r 1,

P

en voor die ten opzichte van '/',, in tegengestelden zin draaien. P

waarin a het aantal staven van den rotor. Zoodra aan de voorwaarde

Zcm = c —

P

wordt voldaan — en dit zal in een driefaze-motor het geval zijn, la

wanneer ' een drievoud is — zullen tegelijk bovenvelden optreden, - P

die voldoen aan geval 1—3, en aan geval 2—4. Omgekeerd mag hieruit worden besloten, dat zoodra een veld H^, behoorende tot groep 1—3, optreedt, ook een bovenveld H,, zal bestaan, behooren-de tot groep 2—4, zoodanig, dat het verschil behooren-der harmonische ge-tallen 2 bedraagt.

Bij de uitwerking in de Hoofdstukken III en IV is met deze stelling rekening gehouden. De frequenties i',., en v^j, voortvloeien-de uit voortvloeien-de groepen 1^—3 en 2—4, blijken daarbij bovendien kruise-lings aan elkaar gelijk te zijn. Ontstaan in den rotor evenals in den stator bijv. de harmonische 11 en 13, dan is voor

A = 1 3 : » ' j 2 = l + 12/l K^, = 1 — 12/1

h=U : v^.,= \~l21 i'.^, = 1 + 121

Een dergelijke gecompliceerde onderlinge koppeling der harmoni-schen treedt voor de gevallen 1^—4 en 2-^3 niet op. Integendeel het onderzoek wordt voor die gevallen zeer eenvoudig, omdat slechts één tertiaire frequentie (v,,) ontstaat.

§ 6. Superpositie der electrische grootheden, op de wijze als in § 5 toegepast, d.w.z. de afzonderlijke beschouwing van de stroomen Ij en Ig tezamen met hun bijbehoorende induceerende en opgewekte velden, maakt het mogelijk de gemiddelde koppels op den rotor te

24

bepalen. Ongetwijfeld zullen er ook nog a n d e r e krachten o p d e n rotor o n t s t a a n , bijv. tengevolge v a n d e staafstroomen I„ in de velden <l>^^ en '/'.,.,, maar, d a a r d e frequentie v a n 1., niet o v e r e e n komt met de d r a a i s n e l h e d e n der velden 'Z*,, en 'P.., zijn dit p u l -seerende krachten, die het g e m i d d e l d e koppel niet beïnvloeden.

D e p u l s e e r e n d e krachten k u n n e n w é l d e o o r z a a k zijn v a n torsie-trillingen, hetgeen L U N D ' " ) door proeven met behulp van een kristal-koppeling heeft a a n g e t o o n d . Z u l k e pulseerende koppels t r e d e n steeds op, w a n n e e r er hooger harmonische velden bestaan, en k u n n e n dus in eiken motor w o r d e n w a a r g e n o m e n , indien a l t h a n s de rotor-staven niet in scheef geplaatste gleuven zijn a a n g e b r a c h t .

Z o o d r a echter d e draaivelden 0 , , en '/>.,,, resp. 0 , . , e n 'IK^., d e n -zelfden draaizin en dezelfde rotatiesnelheid verkrijgen, e n d u s d e .''troomen I, en I„ in d e n rotor, evenals d e primaire en tertiaire stroomen in d e n stator, gelijke frequentie vertoonen, k a n de geschei-den b e h a n d e l i n g der g r o o t h e d e n niet meer w o r d e n toegepast. D a n smelten d e draaivelden v a n gelijk pooltai tot één grootheid samen, die als d e vectorieele som d e r oorspronkelijke c o m p o n e n t e n k a n w o r d e n b e s c h o u w d , en hetzelfde geldt voor de stroomen in den stator en voor d e stroomen in d e n rotor. D e p u l s e e r e n d e koppels g a a n over in c o n s t a n t e koppels, die tezamen met d e reeds b e s t a a n d e parasitaire koppels d e oorzaak zijn v a n het zgn. o n d e r s y n c h r o n e kruipen

( g r o e p 2 c ) .

D e o v e r g a n g v a n pulseerend tot constant koppel gaat met een interferentieverschijnsel g e p a a r d ; wij k u n n e n d u s in zeker opzicht ook v a n , , s y n c h r o n i s e e r e n " spreken.

D e o n d e r s y n c h r o n e kruipverschijnselen zijn reeds door

verschil-l e n d e schrijvers b e h a n d e verschil-l d : D R E Y F U S " ) . K R O N D L **), D R E E S E ^>), M Ö L L E R ' ^ L U N D i " ) , S C H U I S K Y ' ) , K R E B S en JORDAN I ' ' ) . E e n a l

-gemeene b e s c h o u w i n g behoef ik d u s hier a a n deze groep niet meer te wijden. V e r m e l d zij slechts, d a t het o n d e r s y n r c h o o n kruipen in alle gevallen 1—3. 2 — 4 . 1—4 en 2 — 3 bestaat; d a t de motor bij stilstand kleeft in d e gevallen 1—3 en 2—4 (die weer tezamen

2 o p t r e d e n ) ; het kruipen voor het geval 1—4 optreedt bij A = en voor het geval 2—3 buiten het b e s c h o u w d e interval, bij

§ 7. Bij de afleiding in § 5 werd aangenomen, dat er slechts één — hoogstens twee — harmonische bovenvelden, die met het grondveld meervoudig zijn gekoppeld, in den stator aanwezig zijn. Dit beantwoordt niet volkomen aan de werkelijkheid. In feite zijn er in eiken motor wel meerdere harmonische velden aan te wijzen, die aan een dergelijke voorwaarde voldoen. De invloed der hooger har-monische velden op spreiding en koppel neemt echter met toenemend harmonisch getal sterk af, en het is veelal voldoende, het onderzoek •slechts uit te strekken over één of twee harmonische velden, die in de functie, die de magnetomotorische kracht van de statorwikkeling voorstelt, het sterkst aanwezig zijn. Bij de mathematische afleiding blijkt weldra, met welke harmonische velden moet worden rekening gehouden, en welke verwaarloosd mogen worden. Daarbij zal even-eens blijken, dat meervoudige koppeling tusschen twee hooger har-monische velden onderling, practisch geen invloed op stroom en koppel uitoefent, zoodat uitsluitend behoeft te worden gelet op meervoudige koppeling met het grondveld.

§ 8. Het verband tusschen de harmonische velden en de sprei-ding eenerzijds, en tusschen de harmonische velden en de parasitaire koppels anderzijds vormen dus een parallel, die hiermede in alge-meene trekken is beschreven.

Bij de mathematische behandeling in de volgende hoofdstukken heb ik getracht deze parallel te behouden, zoodat de parasitaire koppels uit het diagram kunnen worden afgeleid. Daarbij wordt gebruik gemaakt van het impedantiediagram, omdat dit diagram zich het beste leent voor meetkundige voorstelling van de afgeleide vergelijkingen, die het verband tusschen klemspanning en stator-stroom weergeven. Het stator-stroomdiagram kan hieruit steeds op een-voudige wijze worden afgeleid, daar de stroom evenredig is met de reciproke waarde van de impedantie, en, zooals bekend, bij de reciproke transformatie in het complexe vlak, cirkels cirkels blijven (waarbij rechte lijnen als grensgevallen van cirkels worden opgevat).

26 Tabel L 5tlij' kqtrtcht. t«Jfnj«stelot jcficht v'l = ' I - A A « 0 te j tn^ttlt\d jiKJckt rator\/iiien gtlijk gericht. \i, = 1 - A \ii = 1 -t- A h l/3=1+A(t,-1j A = 0 f t a t o r v e l c l e n gelij k g t i - i ü h t . fatai-ve lei&ty gelij kgffricl^ t . \/, = 1 - A 1^ = 1 - A K l/ij = 1+A(),-l) \/i, = 1-A(l,-1j A = 0 i t a t o r i ^ e l c i e n te5trL^ff3t:elc{ ^tricht. rctorv%\dtn t a g m j e a t e M q«ricKt >/, ='I-A \/^ = •) -I- A 11 l / i i ^ l - A f H t l ) V'il = 1+A(l)+Ij A = 0

TOELICHTING BIJ TABEL I.

De eerste kolom geeft de aanduiding der gevallen, die in den tekst is gebezigd.

De tweede kolom geeft de v o c r w a a r d e n , w a a r a a n de draaizin der vcHcn in de afzonderlijke gevallen moet voldoen.

De derde kolom geeft de grootte der frequenties in sta'.or en rotor, als functie van / .

De vierde kolom laat zien in welke o n d e r d e d e n het interval kan worden gesplitst, alsmede de w a a r d e n van ^ op dö grens van deze onderintervallen. Telkens op de grens wordt één der frequenties van de derde kolom nul, en keert daarna van teeken om.

De vyfde kolom noemt telkens de frequentie, die nul wordt bij de bij-behoorende grenswaarde van de vierde kolom.

Tabel II.

i=

q=l

q=£

q=3

q=4

5

+1,00 + 0,2^5 +0,227

+o,m

7

+ t'oo -0,26B -0,185 -0^\65

w

+ 1,00

-too

-0,185

-qi3Z

13

•*-too

-too

+0,2Z7

+q,^3z

17

+ 1,00 -0,268 + 1,00 +Q155

15

+toa

+0,268 + 1,00 -0,214

23

+ 1,00

+too

+0,227

-too

Z5

+too

+ 100

-qiss

-1,00

De factoren, die het verband aangeven tusschen inducticvlociing en geinduceerde spanning, en tusschen stroom en

opgewekte inducticvlociing.

§ 9. In het vervolg zal gebruik gemaakt worden van factoren, die het verband aangeven tusschen inductievloeiing en geinduceerde spanning; en tusschen stroom en opgewekte inductievloeiing. Het zijn de factoren k resp. [ voor den stator, en / resp. g voor den rotor.

In een fazewikkeling van den stator wordt op elk oogenblik een spanning geïnduceerd

£ = 2" E*.

De spanningsvectoren Es kunnen in verschillenden fazetoestand verkeeren.

Wij definieeren.

(1) EA.,7/-. = — i k h V ^ h .

kh omvat dus alle factoren van de wikkeling, zooals aantal draden

per gleuf en wikkelfactor, en de vereischte constante voor den over-gang van Maxwell op Volt.

Voor een statorwikkeling van nominaal p poolparen, N , staven in serie per faze, q gleuven per pool en faze, en Sg staven per gleuf is dus:

(2) kn^n^yip s,j q /„., . 10-« = 2,22 N^ ƒ„., . 10-«.

Voor een normale fazewikkeling is de wikkelfactor van de h''" har-n'.onische: sin [wh = h n 2 m h n q sin ^-— 2mq

Het door de magnetomotorische kracht van een wikkeling opge-wekte veld wordt voorgesteld door

28

De vectoren ^;, kunnen in verschillenden fazetoestand verkeeren, en stellen, in absolute grootte, de maximale flux voor, gemeten over één pooJsteek van het met h overeenkomende pooltai.

Wij definieeren:

(3) *fc = f;, Irft.

[h omvat alle factoren van de wikkeling, zooals aantal draden per

gleuf, wikkelfactor, fazenaantal (de veldvulfactor is natuurlijk steeds 2

— ) , alsmede de factoren van de motorafmetingen, zooals poolsteek, axiale breedte van het ijzer, vrijslag; verder de vereischte constante voor overgang van Ampère op Maxwell.

Voor een m-fazigen stator van nominaal p poolparen is dus: (4) / . ^ 0 , 4 V 2 ^ i ' . ' " ' ^ . ( ? =

o p

h-^0,283. °-JlmN, ^:l-.

o n-n~

D is de binnendiameter van den stator, L is de axiale lengte van het ijzer, ö' is de aequivalente vrijslag, in cm.

Zooals bekend, is de factor ƒ„;, een zoodanige functie van h, dat in een normale fazewikkeling slechts harmonische velden h p worden opgewekt, waarvoor h voldoet aan

/ij = 2 c m -|- 1 en h., = 2 c m — 1,

waarin c elk positief geheel getal. Het blijkt, dat de velden /?, p in gelijken zin, en de velden h., p in tegengestelden zin als het grond-veld p draaien.

Voor één en dezelfde wikkeling geldt de stelling: (5) k,[^ = kj„.h-. en verder is: n T / f . . \2 . 10-». ( 6 ) k„ f„ = Om de verhouding:

-o.e2.°^4n,-';;-kufk 1 Ifu^kV f

te berekenen, bevat tabel II de waarden ^;, = - / - ^ voor verschillende gleufgetallen q, en voor de waarden h in een driefazemotor.

De vectorvergelijkingen (1) en (3) geven de relatie tusschen grootheden in het tijddiagram. Ter bepaling van den fazetoestand, waarin de vector SPA verkeert, is het noodig, een vast punt aan den binnenomtrek van den stator te kiezen. Dit punt laten we samen-vallen met de symmetrieas van de wikkeling, waarin E en I bepaald worden; en de fazetoestand van ^h is die van de luchtinductie BA in deze symmetrieas. De vergelijkingen (1) en (3) zijn dan onaf-hankelijk van den draaizin der beschouwde velden.

§ 10. Is de rotor een gewikkeld anker, dan kunnen de factoren

h en gh op gelijke wijze als kn resp. fh bepaald worden.

Is de rotor echter een kooianker, dan moeten we anders te werk gaan. ANDRONESCU '"') denkt het kooianker vervangen door een op speciale wijze gewikkeld anker, en kan daardoor de berekening voortzetten, alsof hij met een fazenanker te doen heeft. Deze methode bevredigt mij niet, omdat daardoor het principieele verschil tusschen kooianker en fazenanker niet tot uiting komt.

Stel, een draaiveld van p poolparen (kortweg p genoemd) indu-ceert in een kooianker stroomen, die behalve een tegenveld van gelijk pooltai ook een hooger harmonisch veld p, opwekken. Omgekeerd zal dan veld pj in hetzelfde kooianker stroomen induceeren, die be-halve een tegenveld pj, ook een veld p opwekken. Wij mogen nu verwachten, dat de stroomen, geïnduceerd door het veld p, niet alleen in grootte verschillen van die, geïnduceerd door het veld p,, maar dat de relatieve fazetoestand der staafstroomen, tengevolge van de beide velden van verschillend pooltai, eveneens verschillend is. Anders gezegd: het veld p zal wellicht een andere ,,stroomver-deeling" in het kooianker induceeren dan het veld p j . En dan is dus ook te verwachten, dat deze twee verschillende stroomverdeelingen in verschillend verband staan tot de door hen opgewekte velden. Definieeren wij den factor /,, als verhouding tusschen het veld p en de spanning e,,, opgewekt in een staaf van het kooianker, dan moeten wij twee factoren, g,,,, en ^,„,, invoeren om het verband aan te geven tusschen stroom '' en de door de bijbehoorende

stroom-z

verdeeling opgewekte velden p resp. p^.

Ter toelichting van deze definitie, en ter bepaling van de betref-fende factoren / en g, beschouwen we een willekeurig geval (zie fig. 3 ) .

30

In een draaiveld # „ van p poolparen bevinden zich a gelijke o n d e r -ling kortgesloten s t a a f g r o e p e n met een staafverdee-ling, zooals bijv. in fig. 3 w e e r g e g e v e n . W i j leggen een c o ö r d i n a t e n a s in het hart van eèn der staafgroepen. H e t draaiveld b e w e g e zich in de richting van de pos. jr-as.

D e s p a n n i n g , die door het draaiveld in een d e n k b e e l d i g e staaf ter p l a a t s e x = 0 geïnduceerd w o r d t , is evenredig met het a a n t a l per

s.^

Fig. 3.

tijdseenheid g e s n e d e n krachtlijnen. D e effectieve w a a r d e van deze s p a n n i n g is dus:

(7) E,,ff, = ± 2.22 V ^ „ . 1 0 - ^

D e fazetoestand van ^,, is die van de luchtinductie .B,, in de coör-d i n a t e n a s .

W i j maken v e r d e r gebruik van de stelling, dat de m a g n e t o m o t o -rische k r a c h t a a n den Omtrek van den rotor w o r d t gegeven door de formule

M:^f{x)= _ Z ^~-2 lksinp{x — x,c) n p ( p k

In w o o r d e n : om een willekeurige harmonische Mp^ v a n de m a g n e -tomotorische kracht a a n den omtrek van den rotor te bepalen, moet de w a a r d e

\u sin p , {x — Xk) voor de staaf met coördinaat Xk, oor alle staven van het kooianker g e s o m m e e r d w o r d e n :

1

(8) M„, =

.Tp,

N u moet h w o r d e n afgeleid uit de s p a n n i n g in d e c o ö r d i n a t e n - a s Sp. D a a r t o e schrijven wij v o o r de momenteele w a a r d e v a n d e veldsterkte van het i n d u c e e r e n d e veld p in het p u n t

Xk-Bp ^= Xk-Bpmaa; COS {ü) t p Xk)

( H e t veld b e w e e g t in pos. x - r i c h t i n g ) . D e momenteele w a a r d e v a n de s p a n n i n g in de staaf a l d a a r is d u s

Ek = Ep nmx COS ((O t p Xk) .

D e stroom I^ in d e staaf, ter p l a a t s e Xk, w o r d t b e p a a l d d o o r a a n -tal en ligging van d e staven, b e h o o r e n d e tot dezelfde kortgesloten g r o e p , en d e momenteele w a a r d e b e d r a a g t :

i Z COS (co t— p Xt)) (9) I f c ^ -^^ \ COS (co t — p Xk)— r /

D e sommatie heeft plaats over alle staven v a n één kortgesloten g r o e p , t e n getale b.

z is d e impedantie v a n één staaf, en a a n g e n o m e n is, d a t de impedantie voor alle staven even groot is. Dit is niet geheel juist, o m d a t w e e r s t a n d en reactantie v a n d e n kortsluitring niet v e r w a a r -loosd m o g e n w o r d e n , en de verschillende t a k k e n ongelijke deelen van d e n korstluitring b e v a t t e n . Bij b e n a d e r i n g k u n n e n wij echter wel a a n eiken tak een gelijk deel van d e n ring toeschrijven.

M e t behulp verg. (9) kan de sommatie — v a n verg. (8) w o r d e n

k

uitgevoerd:

lik sin p, (x — Xk) = ^ ^ 1 2 ' [sin <j (co ^ + p , x ) — ( p + p , ) x* }• •

k ^ Z. k

—- 2 ' sin \(cx)t ^ p^x) — ( p Xi p , X;,-) \ — sin {(cat — p , x )

-|-h

+ fPi — p ) ^^\ + X ^ ' ^ ' " " ! (cDt — p^x) + (p^xk — pxi) \\ D e sommatie 2 ' heeft p l a a t s over de staven van één g r o e p , d e som-matie 2" over alle staven. W o r d t de somsom-matie 2 eerst ten deele

uit-*:

gevoerd, met dien v e r s t a n d e , d a t de som g e n o m e n w o r d t over d e staven, di^ in elk der a groepen dezelfde ligging hebben, d a n is de som steeds nul, behalve voor w a a r d e n p j , die voldoen a a n :

32

I- P i — P = a - c II. p j + p = a . c, waarin c elk geheel getal kan zijn. *)

W o r d t aan v o o r w a a r d e I voldaan, dan heeft het h a r m o n i s c h veld Pi denzelfden draaizin als het veld p, w o r d t a a n v o o r w a a r d e II vol-d a a n , vol-d a n is vol-de vol-draaizin van het velvol-d p , tegengestelvol-d aan vol-dien van p . S t e e d s w a n n e e r a a n één der v o o r w a a r d e n 1 of II w o r d t v o l d a a n is: a e Jl imiu: 2 ' sin •{ (fo t ± p.^ .\ (10) 2 1,,s/np, (x —X,,) = = L k ^ ^ — (p± p , ) x , , | — - :L :^ \sin (o)t ± p , x ) — ( p x ; ± P I X,,) 1^ o i k

D e sommaties 2 en 2 hebben nu verder uitsluitend p l a a t s over de

k i

Staven v a n één g r o e p .

Zijn de staafgroepen symmetrisch, zooals in fig. 3 — en d a a r m e d e o m v a t t e n wij alle gevallen, die in het vervolg b e h a n d e l d w o r d e n — d a n kan verg. (10) v e r e e n v o u d i g d w o r d e n tot: **)

( l O a ) 2' 1/, sin p (x — .x;,) r^- zi= - - ;-^^^^' sin (o) t ± p , x) X k l z

X \~ cos ( p , ± p)xk — - 2 cos p X, X - co^ Pi Xk\,

k n i k

waarbij de sommaties 2 ' en 2 p l a a t s hebben over de staven van de g r o e p met het hart in de c o ö r d i n a t e n a s . M e t behulp van verg. ( l O a ) kan nu de m a g n e t o m o t o r i s c h e kracht in het c o ö r d i n a t e n n u l p u n t w o r d e n bepaald. D a a r

•3.4'T , ,

B, .-= - - , M ,

*) Genoemde staven liggen op afstanden - gelijkmatig over den rotoromtrek verdeeld. De sommatie van elk der sinus-termen heeft dus plaats over a waarden, die één voor één (p ± pi) — met elkaar verschillen; de som is dus steeds nul,

a

tenzij —^--' een geheel getal is.

a

**) De termen zijn van den vorm — sin (« — /ik) = — , sin n cos />k — cos a sin pk^.

k k ' ^

waarin » constant is; de waarden fik komen zoowel pos. als neg. Tn de symme-metrische groep voor, zoodat — sin fik = O

en

0 , , = — T ; , L B , = - — B,, n p , is de momenteele w a a r d e van 0,,^ volgens verg. (8) en ( l O a ) :

(11) $ , , = ± 0,2 ^ ^ . ^ . ^ ^ ^ ^ ^ s i n « M ^ c o s ( p , d = p ) x . -o P\ z k

7-2 cos p Xi X ^ cos p , Xk [.

b i k

D a a r de momenteele w a a r d e v a n e,, in het c o ö r d i n a t e n n u l p u n t

Ep ^—— Ep jtuix cos CO i ,

k u n n e n wij t h a n s schrijven:

(12) epeff. = ±lpv^p (13) ^n = ^i9.. ' ^ .

H e t teeken in verg. (12) en (13) h a n g t af van de staaf richting (d.i. d e a s r i c h t i n g v a n den m o t o r ) , w e l k e v o o r de b e p a l i n g v a n e als positief is a a n g e n o m e n . N e m e n wij het n e g a t i e v e teeken in v e r g .

(12) v o o r de positieve d r a a i r i c h t i n g v a n het i n d u c e e r e n d e veld, d a n moet ( v o l g e n s de r e c h t e r h a n d r e g e l bijv.) in v e r g . (13) het positieve t e e k e n g e n o m e n w o r d e n v o o r de positieve d r a a i r i c h t i n g v a n het opge^vckte veld.

Blijkens verg. (7) is /,, onafhankelijk van het pooltai van het in-d u c e e r e n in-d e velin-d: / , = / , = 2 , 2 2 . l O - s . U i t v e r g . (11) volgt (14 ( 9PP = 0.2 \ / 2 . -j^ . ~^lb~ -,- (2 cosp Xk)- [ \ o p- ( b k ) / 9vvi = 0.2 V 2 . -jr • -^v,^ cos ( p , ± p) Xk~ \ o Pi~ [ k 1 V \ / V ^ 7-2 cos p Xi }<^2 cos p , X;,-, . b i k ' de sommaties 2 en 2 hebben plaats over één s t a a f g r o e p .

gppj is dus de factor, w a a r m e d e de stroomen , geïnduceerd door een p-polig veld, moeten w o r d e n vermenigvuldigd om de

34

g i o o t t e v a n het d o o r deze s t r o o m e n o p g e w e k t e h a r m o n i s c h e veld 0,,, te bepalen, g,,,, is de factor, die e v e n z o o het v e r b a n d aangeeft tusschen dezelfde s t r o o m e n en het p-polig t e g e n v e l d 0,,.

S t e e d s geldt dus ( 1 4 a ) p i - X lp 9pPi = P" X /p| 9PiP-T o e g e p a s t op een kooianker: lpg„ = 0 , 6 2 8 ^ , ^ . 4 -lO-^ lp g„,,= 0.628 ^^ . V l O ~ ' of = 0 , <) p,-w a a r u i t de stelling volgt (15) gpiP X 9w\ '= 9v\P\ X Qw

T o e g e p a s t op een a n k e r met a groepen, elk van slechts 2 o n d e r -ling kortgesloten staven, dus een a-fazig anker, is

D L a

hgpp = 1 , 2 5 Y • •• sin- ( / ^ P ' - f ) • 10~», D L a

hgppy = ± 1,25 ^ . ^ sin (^2 P «) •'!'" ( j ^ p , «) • 10-»,

o P y

w a a r i n « de hoek tusschen de beide s t a v e n v a n één g r o e p . V o o r een f a z e n a n k e r geldt d u s e v e n e e n s v e r g . ( 1 5 ) .

V o o r m o t o r e n met n o r m a a l k o r t s l u i t a n k e r of f a z e n a n k e r geldt dus steeds v e r g . ( 1 5 ) . V o o r r o t o r e n met een a n d e r e s t a a f v e r -deeling is

9P-[P X 9PP\ ^ 9prPi X 9PP

§ 11. D e m e t h o d e van § 10 ter bepaling van de s p a n n i n g s - en v e l d f a c t o r e n is a l g e m e e n e r d a n die v a n § 9. V o o r d e s t a t o r w i k k e -ling is het echter overbodig, voor één veld 2 factoren te bezigen. V o o r de r o t o r w i k k e l i n g zal de beteekenis v a n de factoren gpp en gppy uit hoofdstuk V I blijken. D e m e t h o d e van § 10 toont ook a a n , dat in een kortgesloten m-fazewikkeling van nominaal p poolparen door een m - h a r m o n i s c h veld s p a n n i n g e n k u n n e n w o r d e n o p g e w e k t , 'tcrwijl toch d o o r de s a m e n w e r k i n g v a n de m w i k k e l i n g e n in de m a g n e t o m o t o r i s c h e functie geen i?i-de h a r m o n i s c h e a a n w e z i g is. H e t is bekend, dat in driefaze-motoren door de statorwikkeling geen

derde harmonische wordt opgewekt. Toch kan een derde bovenveld spanningen induceeren in de afzonderlijke fazewikkelingen. Is de statorwikkeling in driehoek geschakeld, dan zullen in de fazewik-kelingen, tengevolge van derde harmonische bovenvelden, stroomen vloeien, daar de geinduceerde spanningen, in de afzonderlijke wik-kelingen met elkaar in faze, in rondgaande richting in serie zijn ge-schakeld. Elk dezer parasitaire stroomen zal wél derde harmo-nischen in de magnetomotorische functie veroorzaken. W e g e n s het éénfazig karakter zullen deze bovenvelden pulseerende velden zijn. Om de complicaties in de vergelijkingen niet te vergrooten, zal in het vervolg aangenomen worden, dat de statorwikkeling in ster is geschakeld. In dat geval zal een derde bovenveld geen stroomen in de statorwikkeling veroorzaken.

H O O F D S T U K III. De hoofdvergelijkingen.

§ 12. Met behulp van de factoren k, f, l en g kunnen nu de algemeene vergelijkingen voor een asynchronen motor worden op-gesteld. In dit hoofdstuk worden de verg.n voor den normalen kooiankermotor afgeleid.

Zooals in § 3, 4, en 5 uiteengezet, moet een splitsing worden gemaakt:

1ste. Motoren, waarin de harmonische rotorspreiding geheel tot de enkelgekoppelde spreiding kan worden gerekend. 2de. Motoren, waarin harmonische velden met het grondveld

meervoudig gekoppeld zijn; onderverdeeling in: geval 1.—4

geval 2—3 groep 1—3, 2—4

§ 13. De harmonische rotorspreiding kan geheel tot de

enkel-gekoppelde spreiding worden gerekend.

Uit het vervangingsschema fig. 4 volgt voor de statorketen:

(16) Ek^j (k, <?, + lu ^ 2 + k.,^., ....)v, + l^z, V Efc is de klemspanning aan de fazewikkeling. Onder z^ r^ verstaan we de impedantie van de statorketen; zij omvat den weerstand, en de reactantie, overeenkomend met de enkelgekoppelde spreiding (in engeren zin). Op dezelfde wijze zullen wij onder znv^, verstaan de impedantie in een staaf van één der denkbeeldige rotoren, en daar-mede rotorweerstand en enkelgekoppelde spreiding inachtnemen.

In afwijking van de veelal gebruikelijke notatie, zijn in het vervolg alle weerstands- en impedantiegrootheden, die aangeduid worden met de letters r, z. y, gedeeld door de frequentie van de beschouwde

stroomen en spanningen. Den weerstand van den stator vindt men

dus uit Rstatur = »'„ X ''u- I" den rotor stellen de genoemde letters dus in 't algemeen variabele grootheden voor.

Om de velden $ , , $ 2 . snz. te bepalen, beschouwen wij deze af-zonderlijk met bijbehoorende rotorketen, waarbij wij aannemen, dat de rotor met een willekeurige snelheid draait. Als voorbeeld nemen wij het grondharmonisch veld ?Pj. Het veld # , wordt, behalve door den primairen stroom, beïnvloed door de stroomverdeeling, die het

• i 1 < • < : -< •< <1

1»,

: • : > : > P f>,c •zc -> f IV "fib 5

rotor

stator

> > >• > >• > «: 1 1 I I ;« ; • ; • Fig. 4.

veld # j en de harmonische ,,lekvelden" $ i „ , «Pu, $i^ enz. in de rotorstaaf induceeren; de spanningsverg.n voor de staven luiden:

(17) ej = — / j * , r j . ei„ = =F/,.$,„ >'j. e,fc — + 4 ^ibr^.

W o r d t met de stroomverdeeling aangeduid, geïnduceerd door het lekveld ^ , , dan is

lx (18) S'jO « 5 , . = / f T l a / £ f l 6 «1 2 1 J - , e, C l » Z , V , Z j J ' l « l a ]9b\ 1 gba jgm Clb e i i eifc

38

Door het ± teeken wordt rekening gehouden met de a priori on-bekende draairichting der lekvelden, die natuurlijk op de formeele uitkomst geen invloed kan hebben.

Verg. (17) in verg. (18) ingevuld, levert:

z, ihg,t\ (19) 0 Z , i ' i 9\ ± j II g<ih z z - ±ihgb * i f c ± ] U gba - — ] h giib - - — z,

Voor een normaal kooianker is volgens § 10 (toepassing van verg. (14) op een normaal kooianker)

9u = g"^==9bi- gm = g\n'=gim. gi.i,=^ gii,:= gah.

Uit verg. (19) kan 5?, als functie van I„ opgelost worden: (20) «f,=

waarin:

^1 = ^1 + / (^ 9u + i^g"" + i''9"i' + — ) = ^ 1 + y i^ig),-Passen wij dezelfde berekening op de andere harmonische velden van den stator toe en vullen wij de gevonden uitkomst in (16) in, dan volgt:

(21) -^-^ =l(z,, + ikJy-^jk.J., + ....+

De term ƒ (2 l g) ^ stelt de harmonische spreiding vcx)r ten op-zichte van het veld ^ , . Zij kan in dit geval met de enkelgekoppelde spreiding samengetrokken worden. De enkelgekoppelde spreiding is bestanddeel van

(22) Zj = — - f y ( 2 7 t £ , ) .

(23)

Wij zullen voortaan schrijven: R

Aldus is

en op analoge wijze voor den stator ^0 = '•„ + i K Ier

Met deze nomenclatuur gaat verg. (21) over in:

,24, I=..;„.+,.,../.,+2-.-^Ms^j

Daar de netfreguentie v,, constant is, stelt dus de term tusschen accolades op bepaalde schaal de impedantie voor als functie van de parameters r;,, die op hun beurt functies zijn van X.

§ 14. De harmonische velden zijn met het grondveld

meer-voudig gekoppeld. Geval 1^4.

Het vervangingsschema volgens fig. 5 is een copie van fig. 2. De electrische en magnetische grootheden, die thans worden gebezigd, zijn ingeschreven.

1"

*i\

— m —

s t a t

ot-tt

Fig. 5.

40

Wij kunnen het vraagstuk als volgt omschrijven:

1ste. Het veld ^ , , induceert stroomen van de frequentie )', in den rotor. Deze stroomen wekken een veld ^.^^ op, dat ook met de statorwikkeling gekoppeld is, en daar weer op zijn beurt een spanning induceert met frequentie )'.,. 2de. Het veld #,., induceert stroomen van de frequentie v,, in

den rotor. Deze stroomen wekken een veld ^.,j op, dat cok met de statorwikkeling gekoppeld is, en daar op zijn beurt een spanning induceert met frequentie )'.,.

3de. Als gevolg van de door #0^ en #,,, geinduceerde span-ningen treedt een stroom I., in den stator op, waarvoor het net als kortgesloten kan worden beschouwd.

De veldvergelijkingen kunnen op gelijke wijze worden opgesteld als in § 13, met dien verstande, dat de invloed van den stroom I.j in de verg.n van $.,„ en $^j in aanmerking moet worden genomen.

In deze vergn. moet evenwel, nauwkeurigheidshalve, nog een relativiteitsfactor betrokken worden, die als volgt kan worden ver-klaard.

Stel, de statorcoördinatenas in het hart van één der fazewikke-lingen gekozen, en de rotorcoördinatenas in een staaf van het kooi-anker. De verg.n van 0,^ en 0 j . , luiden ten opzichte van den stator-coördinaat Xs bijv.

0 , 1 = 0 , 1 „w-r sin (ü)t — p X.,) 0 , 2 ^ 0 , 2 m,i.r sin (co t — hp x., - f ?/>)

Ten tijde t= O is dus de inductie van 0 , , in het coördinatennulpunt juist nul, terwijl de vector 0,., in het tijddiagram, voor het punt X,, = O, in faze vóór is (in het tijddigram komt natuurlijk de draaizin der velden niet tot uiting).

Daar de rotor beweegt in de richting van het grondveld ( 0 , , ) is het verband tusschen statorcoördinaat x., en rotorcoördinaat x,-:

(rotatiesnelheid I?)

Xs = X,- + ^ ^ -j- a.

Ten tijde t = 0 bestaat er een willekeuige hoek «, in graden van den rotoromtrek gemeten, tusschen de beide coördinatenassen.

De veldvergelijkingen ten opzichte van den rotorcoördinaat luiden dus:

0^j = 0j,,„„,,. sin-j (oj — p ü) t — p Xr — pa\

cp^.^ = ^ig""" sin-{(ai — hpü) t ^ hpx,- — h p a-\~ ip}

In het vectordiagram van den rotor, waarin de electrische vectoren, die met een snelheid co — p ü oi co — hpü roteeren, stilstaand ge-dacht worden, treden dus alle grootheden op, alsof ze een hoek p a

ol h p a verschoven zouden zijn ten opzichte van dezelfde

groot-heden in het vectordiagram van den stator. Dezelfde omstandigheid treeedt ook op voor de velden <P.^.^ en 0 2 , , die in den rotor ontstaan. Indien we deze velden in het stator-diagram beschouwen, moeten we rekening houden met de verschuivingen h p a resp. p a ten opzichte van het rotordiagram.

Wij kunnen deze relatieve verschuivingen in de algemeene veld-vergelijkingen tot uitdrukking brengen door een factor e~-'''P"' of e±-''P" . Beschouwen we de grootheden $ , die in stator èn rotor aanwezig zijn ten opzichte van den rotorcoördinaat, dan moet in de ,,rotor"vergelijkingen de invloed van den stator, i.e. de magnetori-sche krachten van I„ en I.j in rekening worden gebracht, alsof de be-treffende vectoren hoeken p c^ of h p (x verschoven waren, en dan moeten in de ,,stator "vergelijkingen de grootheden 5p in rekening worden gebracht, alsof zij h p a of p u verschoven waren. De rich-ting, waarin deze verschuivingen optreden, is afhankelijk van de draairichting der velden in vergelijking met de relatieve beweging tusschen stator en rotor, en zij zal dus voor de gevallen 2—3, 1—3, 2—4 afwijken van die voor het thans beschouwde geval 1—4. Bij een willekeurig toerental zullen de factoren eJ geen invloed op de impedantie uitoefenen, daar de stroomen I„ en I., van ver-schillende frequentie zijn en in den stator onafhankelijk van elkaar bestaan; de primaire stroom is natuurlijk onder zulke omstandigheden niet afhankelijk van den relatieven stand der stator- en rotorcoör-dinaten op een bepaald tijdstip. Alleen voor zulke punten in het ?.-interval, waarbij de frequentie van I.j gelijk wordt aan die van I,,, zullen de draaiingsfactoren eJ inachtgenomen moeten worden. Dit geldt bijv. voor den stilstaanden motor. Voorloopig beschouwen we echter de veldvergelijkingen voor een willekeurige rotatie.

42

g r o o t h e d e n # gelden ten opzichte van rotorcoördinaten, voor d e n rotor: / „ v W n = — ^ i < ^ n > ' , • «22 = + ^, * 2. ^ • ^ ' ( ^,. = -1.^..^.- «., = + ' t ^.,v..

I * , , = / , I „ e - > " + / ^ „ ; ' ' + / ? . t . ' f •

] ^,' = f-, I3 e^^""* - /• 9v2 -~- /• ff"-' '' (26) z., ?'._, ^^ Z2 v.^ en voor den s t a t o r : ^ E,. : = ƒ A:j <f,, e +> P " r,, + y Av ^ , 2 e +>'' P " r , + I , z„ v„. ^ ' ( I.jZ.;r., = — i k.,^22^~-''''"''':: — ƒ ^1 *•.! <?"•""'

''s-Uit deze verg.n lossen wij !„ op. Bij eliminatie w o r d t weer gebruik g e m a a k t van

£ ? 2 i = ^ n en gy. = g.,.,. D e oplossing der v e l d v e r g . n luidt d a n

(28) ^' = i„ (z„ + ; k, f, + j k., f., + '^dAln ^ K fJ^g^,

_ I (KLk9_ii ^ K11kg^A ^+,,„„+„

(29) l^(y^ + ^^f^l^3^+'bLh9.,:

— I (A?-L _'li'^:i -^ _^i_/2i^JL) g-i p o (h -H)

" ^ i/i y^ '

waarbij

^1 = ^1 + /• /, S'n + /• '2 y-Z ^^-Z^i h 9ll + J ^2

^22-y:^ = z-i + ji^Ju

+i^-iï->-Als 1.5 uit verg. (29) w o r d t gesubstitueerd in verg. ( 2 8 ) , valt de factor e'P "*'•"'"'' w e g , hetgeen dus met de verwachting o v e r e e n -stemt.

§ 1 5 . - Geval 2—3.

De veldverg.n kunnen op dezelfde wijze als voor geval 1—4

wor-den opgesteld. De impedantieverg. van I„, die gevonwor-den wordt na eliminatie van I.^, is voor de gevallen 1—4 en 2—3 volkomen gelijk. Natuurlijk moeten de afwijkende frequenties (volgens tabel I) bij de parameters r,, r2 en r^ in acht worden genomen.

§ 16. Groep 1—3, 2—4.

Fig. 5 is hiervoor niet meer geldig, omdat naast het grondveld nog twee harmonische bovenvelden worden beschouwd. Onder-stellen we, dat in het kooianker, naast het grondveld van p pool-paren, harmonische bovenvelden h., p en h.^ p worden opgewekt, die elk met de statorwikkeling gekoppeld zijn, waarbij h., p behoort tot geval 1—3 en /t,, p tot geval 2—4, dan is overeenkomstig § 5

''s P + P = a • c = /12 p — p ; /13 + 1 = ^2 — 1 waarbij a het aantal staven in den rotor.

Beschouwen we de frequenties, die volgens tabel I in de gevallen 1—3 en 2—4 optreden, dan blijken de frequenties r.jj en v.^..^ voor deze gevallen steeds kruiselings aan elkaar gelijk te zijn

''81 (geval 1—3) = y 32 (g:cvaa2—4) »'32 (Keval 1 - 3 ) = ' ' 31 (gevall 2—1) .

In het tertiaire circuit zijn dus de beide harmonische velden op tweeërlei wijze met elkaar gekoppeld.

I m n I HE I I 1 _ % f}3 3i %. 7o %, Js \. i 1 1 1 1 1 1 Fig. 6.

In fig. 6 zijn de in elk tot een bepaald harmonisch getal be-hoorend magnetisch circuit (I, II, III) optredende velden van ver-schillende frequentie uit elkaar gerafeld, en de door de stroomen in stator- en rotorwikkeling bestaande koppeling aangegeven.