Turbulentie in de waterbouwkunde

i n d e w a t e r i o o p k u n d

h a n d l e i d i ng j a n u a r i 1 9 8 6 R. B o o i j

n i e t a l l e e n d e sto-f d i e n o d i g i s v o o r h e t a - f l e g g e n v a n h e t t e n t a m e n b S 2 . De h a n d l e i d i n g i s t e v e n s b e d o e l d om h e t r a a d p l e g e n v a n d e v r i j o n t o e g s i n k e l i j k e l i t e r a t u u r , z o w e l v a n d e m e e r s p e -c i a l i s t i s -c h e l i t e r a t u u r a l s v a n d e h a n d b o e k e n , t e v e r e e n v o u d i g e n e n om t e d i e n e n a l s n a s l a g w e r k . D e z e d o e l e i n d e n s t e l l e n v e r s c h i l l e n d e e i s e n a a n de. i n h o u d v a n d e h a n d l e i d i n g . H i e r v o o r i s e e n t y p o g r a f i s c h e o p l o s s i n g g e z o c h t . De s t o f d i e b u i t e n h e t c o l l e g e b S 2 v a l t e n d u s t e v e n s b u i t e n d e s t o f d i e g e l e e r d m o e t w o r d e n v o o r h e t t e n t a m e n i s i n e e n k l e i n e r e l e t t e r a f g e d r u k t . G r o t e d e l e n v a n d e p a r a g r a f e n 4 . 2 , 4.3 e n 8.3 z i j n v o o r d e v o l l e d i g h e i d o p g e n o m e n , d o c h i n e e n s t e r k g e c o m p r i m e e r d e v o r m .

I n h o u d ^ 1 „ I n l e i d i nq ^ 1.1 H e t o p t r e d e n v a n t u r b u l e n t e s t r o m i n g 5 1.2 K e n m e r k e n v a n t u r b u l e n t i e ^ 1.3 T u r b u l e n t e t r a n s p o r t e n 10 2. S t o c h a s t i s c h e b e s c h r i j v i n g v a n d e t u r b u l e n t i e 19 2.1 I n s t a b i l i t e i t 1*? 2.2 H o o f d b e w e g i n g e n t u r b u l e n t i e 21 2 . 3 T i j d g e m i d d e l d e e n e n s e m b l e g e m i d d e l d e 2 4 2.4 M e e t t e c h n i e k 2 6 3. B a s i s v e r o e l i j k i n q e n 2 9 3.1 B a l a n s v e r g e l i j k i n g e n 2 9 3.2 C o n t i n u ï t e i t s v e r g e l i j k i n g e n N a v i e r s - B t o k e s - 3 2 v e r g e l i j k i n g 3 . 3 De R e y n o l d s v e r g e l i j k i n g -^^ 3.4 H e t s l u i t i n g s p r o b l e e m 4. E n e r g i e 4.1 E n e r g i e v e r g e l i j k i n g e n 4.2 E n e r g i e s p e c t r u m 4.3 W e r v e l d y n a m i c a e n w e r v e l c a s c a d e 5 0 5. T u r b u l e n t e a-f s c h u i f s t r o m i nq ' 5 5 5.1 G r e n s l a a g b e n a d e r i n g 5 5 5 . 2 G e b i e d e n i n e e n t u r b u l e n t e s t r o m i n g l a n g s e e n wand 5 8 5.2.1 H e t t u r b u l e n t b i n n e n g e b i e d 5 . 2 . 2 V i s k e u z e s u b l a a g e n b u f f e r l a a g <^2 5 . 2 . 3 H e t t u r b u l e n t b u i t e n g e b i e d • ^ 5 5 . 3 C o h e r e n t e s t r u c t u r e n ''^

T u r b u l e n t e s t r o m i n g e n i n d e p r a k t i j k

73

6.

8,

0

117

1 O 1 H e t o p t r e d e n v a n t u r b u l e n t e s t r o m i ng De m e e s t e s t r o m i n g e n d i e we i n d e n a t u u r e n d e t e c h n i e k ( e n z e k e r i n d e c i v i e l e t e c h n i e k ) t e g e n k o m e n z i j n t u r b u l e n t . E n i g e v o o r b e e l d e n z i j n : - De s t r o m i n g e n i n i n t e r s t e l l a i r e g a s w o l k e n z i j n t u r b u l e n t . - De g r e n s l a a g v a n d e a a r d a t m o s f e e r i s t u r b u l e n t . - S t r o m i n g e n i n z e e ë n e n o c e a n e n z i j n t u r b u l e n t . - G r e n s l a g e n op v l i e g t u i g v l e u g e l s z i j n t u r b u l e n t . - De z o g s t r o m i n g v a n a u t o ' s , s c h e p e n e n v l i e g t u i g e n i s t u r b u l e n t . - S t r o m i n g i n r i v i e r e n e n k a n a l e n i s t u r b u l e n t . - S t r o m i n g v a n w a t e r , o l i e e n g a s i n b u i z e n i s i . h . a . t u r b u l e n t . L a m i n a i r e . s t r o m i n g komt w e i n i g v o o r i n d e v l o e i s t o f m e c h a n i c a . E e n m a a t v o o r h e t o p t r e d e n v a n t u r b u l e n t e o f l a m i n a i r e s t r o m i n g i s h e t ( d i m e n s i e l o z e ) g e t a l v a n R e y n o l d s , R e : met - U i s e e n v o o r d e s t r o m i n g k a r a k t e r i s t i e k s n e l h e i d s v e r s c h i 1 j L i s e e n k a r a k t e r i s t i e k e l e n g t e w a a r o v e r z o ' n s n e l h e i d s -v e r s c h i l o p t r e e d t ; — V i s d e k i n e m a t i s c h e v i s c o s i t e i t . L a m i n a i r e s t r o m i n g t r e e d t op b i j r e l a t i e f k l e i n e g e t a l l e n v a n R e y n o l d s ( R E ^ o r d e 1 0 0 0 ) . V o o r b e e l d e n v a n l a m i n a i r e s t r o m i n g z i j n g r o n d w a t e r s t r o m i n g e n d e s t r o m i n g v a n s m e e r o l i e i n e e n l a g e r . I n h e t l a a t s t e g e v a l g a a t e e n g r o t e v i s c o s i t e i t v g e p a a r d met e e n k l e i n e k a r a k t e r i s t i e k e l e n g t e L ( d e d i k t e v a n d e o l i e l a a g B i j s t r o m i n g s p r o b l e m e n i n d e c i v i e l e t e c h n i e k z a l t u r b u l e n t i i . v . m . d e g r o t e l e n g t e m a t e n e n s n e l h e d e n d u s s t e e d s e e n b e l a n g r i j k e r o l s p e l e n . V o o r b e e l d e n h i e r v a n z i j n : - S n e l h e i d s v e r d e l i n g e n i n a l l e r l e i s t r o m i n g s c o n f i g u r a t l e s . - B o d e m w e e r s t a n d i n r i v i e r e n ; w a n d w e e r s t a n d i n b u i z e n .

- D i s s i p a t i e v a n e n e r g i e i n s t r o m i n g e n e n g o l v e n . - K r a c h t e n op v o o r w e r p e n i n e e n s t r o m i n g . - V e r s p r e i d i n g e n m e n g i n g i n v l o e i s t o f - e n g a s s t r o m i n g ; t r a n s p o r t v a n s e d i m e n t . 1•2 K e n m e r k e n v a n t u r b u l e n t i e E e n p r e c i e z e d e f i n i t i e v a n t u r b u l e n t i e i s m o e i l i j k t e g e v e n . L i e v e r b e p e r k e n we o n s h i e r t o t d e l i j s t met k e n m e r k e n v a n t u r b u l e n t i e v o l g e n s T e n n e k e s — L u m l e y ; 1) o n r e g e l m a t i q h e i d , o f t o e v a l l i g h e i d ( r a n d o m n e s s ) . D i t i s k a r a k t e r i s t i e k v o o r t u r b u l e n t e s t r o m i n g e n . I . p . v J e e n d e t e r m i n i s t i s c h e a a n p a k i s d a a r o m s l e c h t s e e n a a n p a k met s t a t i s t i s c h e m e t h o d e n m o g e l i j k . 2 ) d i f f u s i v i t e i t . E e n g r o o t t r a n s p o r t v a n i m p u l s , w a r m t e e n s t o f t r e e d t s t e e d s op i n t u r b u l e n t e s t r o m i n g . ( H i e r m e e h a n g t s a m e n e e n s n e l l e u i t b r e i d i n g v a n t u r b u l e n t e s t r o m e n , b . v . g r e n s l a g e n . ) D i t a s p e c t i s b e l a n g r i j k i . v . m . b . v . v e r s p r e i d i n g v a n a f v a l s t o f f e n op z e e ; g r o t e w e e r s t a n d i n p i j p e n ; g r o t e w a r m t e o v e r d r a c h t i n k o e l w a t e r . 3) g r o t e g e t a l l e n v a n R e y n o l d s . B i j g r o t e g e t a l l e n v a n R e y n o l d s ( R e ) h e b b e n l a m i n a i r e s t r o m i n g e n d e n e i g i n g i n s t a b i e l t e w o r d e n . I n d a t g e v a l o n t s t a a t t u r b u l e n t i e . De i n s t a b i 1 i t e i t e n h e b b e n t e m a k e n met d e v e r h o u d i n g t u s s e n d e n i e t - 1 i n e a i r e t r a a g h e i d s t e r m e n e n d e v i s c e u z e t e r m e n i n d e i m p u l s b a l a n s v e r g e l i j k i n g ( b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ) . 4 ) d r i e d i m e n s i o n a l e w e r v e l s t e r k t e f l u c t u a t i e s . T u r b u l e n t i e i s 3 -d i m e n s i o n a a l e n w o r -d t g e k e n m e r k t -d o o r z i j n h o g e n i v e a u v a n f l u c t u e r e n d e w e r v e l s t e r k t e . T u r b u l e n t i e b e s t a a n d e u i t t w e e -d i m e n s i o n a l e w e r v e l s t e r k t e f l u c t u a t i e s z o u z i c h z e l f n i e t k u n n e n h a n d h a v e n . C y c l o n e n i n d e a t m o s f e e r z i j n i n p r i n c i p e 2 - d i m e n s i o n a a r , d u s z i j n z e l f g e ë n v o r m v a n t u r b u l e n t i e ; o n r e g e l m a t i g e g o l v e n op h e t o c e a a n o p p e r v l a k z i j n i n h o g e m a t e w e r v e l v r i j d u s z i j n n i e t e e n t u r b u l e n t e b e w e g i n g . 5 ) d i s s i p a t i e . E v e n a l s d e t r a n s p o r t e n i s ook d e e n e r g i e -d i s s i p a t i e b i j t u r b u l e n t e s t r o m i n g v e e l g r o t e r -d a n b i j l a m i n a i r e s t r o m i n g . T u r b u l e n t e b e w e g i n g e n z i j n s t e r k

d i s s i p a t i e - f . V e e l e n e r g i e v a n d e t u r b u l e n t e b e w e g i n g g a a t v e r l o r e n d o o r v i s c o s i t e i t b i j d e k l e i n e w e r v e l s . E e n g r o t e a a n v u l l i n g v a n t u r b u l e n t e e n e r g i e d o o r o n t t r e k k e n v a n e n e r g i e a a n d e g e m i d d e l d e s t r o m i n g i s n o d i g om d e t u r b u l e n t i e i n s t a n d t e h o u d e n . é>> c o n t i n u u m . De k l e i n s t e s c h a l e n d i e i n t u r b u l e n t i e o p t r e d e n z i j n g e w o o n l i j k v e e l g r o t e r d a n w e l k e m o l e c u l a i r e l e n g t e s c h a a l o o k . E e n c o n t i n u u m b e s c h r i j v i n g v o l d o e t d u s e v e n z e e r a l s v o o r e e n l a m i n a i r b e w e g e n d e v l o e i s t o f . 7 ) t u r b u l e n t e s t r o m e n z i j n s t r o m e n . T u r b u l e n t i e i s e e n e i g e n s c h a p v a n s t r o m e n , n i e t v a n d e v e r s c h i l l e n d e v l o e i s t o f f e n . E l k e v l o e i s t o f k a n a f h a n k e l i j k v a n d e o m s t a n d i g h e d e n l a m i n a i r o f t u r b u l e n t s t r o m e n . N.B. E e n p o g i n g t o t e e n d e f i n i t i e v a n t u r b u l e n t i e , m a a r i n h e t l i c h t v a n d e b o v e n s t a a n d e l i j s t e i g e n s c h a p p e n e e n o n v o l l e d i g e , g e e f t b . v . H i n z e : " T u r b u l e n t f l u i d m o t i o n i s a n i r r e g u l a r c o n d i t i o n o f f l o w i n w h i c h t h e v a r i o u s q u a n t i t i e s s h o w a r a n d o m v a r i a t i o n w i t h t i m e a n d s p a c e c o o r d i n a t e s , s o t h a t s t a t i s t i c a l l y d i s t i n c t a v e r a g e v a l u e s c a n b e d i s c e r n e d " . T u r b u l e n t i e z a l s l e c h t s o n t s t a a n i n s t r o m i n g e n , w a a r v a n u i t d e h o o f d b e w e g i n g e n e r g i e o v e r d r a c h t a a n d e t u r b u l e n t e b e w e g i n g k a n p l a a t s h e b b e n . H i e r v o o r z i j n s n e l h e i d s g r a d i ë n t e n n o d i g . E e n t u r b u l e n t e b e w e g i n g z a l t e r p l a a t s e v a n e e n s n e l h e i d s g r a d i ë n t e e n t u r b u l e n t e s c h u i f s p a n n i n g v e r t o n e n , w e l k e s a m e n met d e s n e l h e i d s g r a d i ë n t z o r g k a n d r a g e n v o o r b o v e n g e n o e m d e e n e r g i e o v e r d r a c h t . D i t m e c h a n i s m e z a l i n h o o f d s t u k 4 u i t g e b r e i d t e r s p r a k e komen. A f h a n k e l i j k v a n d e o o r z a a k v a n h e t o n t s t a a n v a n d e z e s n e l h e i d s g r a d i ë n t e n o n d e r s c h e i d e n we t w e e s o o r t e n t u r b u l e n t i e : 1) w a n d t u r b u l e n t i e , 2 ) v r i j e t u r b u l e n t i e . B i j d e e e r s t e s o o r t t r e e d t d e s n e l h e i d s g r a d i ë n t op d o o r d a t s t r o m i n g i n d e b u u r t v a n e e n wand d o o r d e k l e e f c o n d i t i e a a n d e wand e n d e i n v e r b a n d h i e r m e e o p t r e d e n d e s c h u i f s p a n n i n g

- g r e n s l a a g l a n g s e e n v l i e g t u i g v l e u g e l . ( u i s d e s n e l h e i d ) - s t r o m i n g d o o r e e n b u i s .

> u

V r i j e t u r b u l e n t i e o n t s t a a t d a a r w a a r t w e e a a n l i g g e n d e s t r o -m i n g e n v e r s c h i l l e n d e s n e l h e d e n h e b b e n . D o o r i -m p u l s o v e r d r a c h t ( s c h u i f s p a n n i n g ) z a l t u s s e n d e t w e e s t r o m i n g e n e e n a a n g r o e i e n d e l a a g o n t s t a a n w a a r i n e e n o v e r g a n g t u s s e n d e s n e l h e d e n v a n d e t w e l a g e n o p t r e e d t ( d e

lenglaag

in

B i j d e z e l a a t s t e t w e e v o o r b e e l d e n t r e e d t e e n d u b b e l e m e n g l a a g op b i j e e n s t r a a l u i t e e n s p l e e t o f e e n z o g s t r o m i n g a c h t e r e e n l a n g e c i l i n d e r . B i j e e n s t r a a l u i t e e n r o n d e o p e n i n g e n e e n z o g s t r o m i n g a c h t e r e e n b o l z a l e e n r i n g v o r m i g e m e n g l a a g o p t r e d e n . M.B» I n w i n d t u n n e l s w o r d t v e e l a l t u r b u l e n t i e o p g e w e k t a c h t e r e e n r a s t e r w e r k v a n s t a v e n . . . • i , , De h i e r a c h t e r o p t r e d e n d e • t u r b u l e n t i e ( d e r o o s t e r t u r b u l e n t i e ) o n t s t a a t d u s i n d i t g e v a l d o o r e e n | j ,. s a m e n s t e l v a n z o g g e n . De t h e o r i e w e r k t v a a k met g e ï d e a l i s e e r d e m o d e l l e n v a n d e t u r b u l e n t i e z o a l s : - h o m o g e n e t u r b u l e n t i e ( e i g e n s c h a p p e n o n a f h a n k e l i j k v a n d e p l a a t s ) - i s o t r o p e t u r b u l e n t i e ( e i g e n s c h a p p e n o n a f h a n k e l i j k v a n de r i c h t i n g - s t a t i o n a i r e t u r b u l e n t i e ( e i g e n s c h a p p e n o n a f h a n k e l i j k v a n d e t i j d ) E i g e n s c h a p p e n a l s b o v e n g e n o e m d e k u n n e n v a a k b i j z o n d e r v e r h e l d e r e n d z i j n i n d e t h e o r i e d o o r de b e l a n g r i j k e e r m e e s a m e n h a n g e n d e v e r e e n v o u d i g i n g e n . 1.3 T u r b u l e n t e t r a n s p o r t e n E e n b e l a n g r i j k e e i g e n s c h a p v a n t u r b u l e n t e s t r o m i n g e n i s d e g r o o t t e v a n t r a n s p o r t e n v a n g r o o t h e d e n a l s m a s s a ( b . v . v a n e e n v e r o n t r e i n i g i n g ) , i m p u l s , h y d r o d y n a m i s c h e e n e r g i e e n w a r m t e . De t r a n s p o r t e n o v e r t r e f f e n i n e e n t u r b u l e n t e s t r o m i n g d e m o l e c u l a i r s t r a n s p o r t e n met v e l e o r d e s v a n g r o o t t e . E e n v o o r b e e l d i s d e v i s c o s i t e i t , w e l k e e e n m a a t i s v o o r d e t r a n s p o r t m o g e l i j k h e i d v a n d e i m p u l s : De k i n e m a t i s c h e ( m o l e c u l a i r e ) v i s c o s i t e i t v a n w a t e r i s o n g e v e e r v 2: l . O x 10"*^ m^/s H e t i m p u l s t r a n s p o r t i n e e n t u r b u l e n t e s t r o m i n g k a n v e e l a l b e s c h r e v e n w o r d e n met e e n z o g e n a a m d e t u r b u l e n t e v i s c o s i t e i t . I n e e n r i v i e r met e e n d i e p t e , h , v a n 5 m e n e e n o v e r . d e d i e p t e g e m i d d e l d e s n e l h e i d , Ugem' "^^^ o n g e v e e r 1 m/s g e l d t v o o r d e v e r t i k a l e i m p u l s o v e r d r a c h t d a n e e n k i n e m a t i s c h e

t u r b u l e n t i e v i s c o s i t e i t ^ 1 x 1 0 ~ ^ m'^/s. < b e t e k e n t h i e r : i s v a n d e o r d e v a n . H i e r m e e w o r d t b e d o e l d : k a n v e r s c h i l l e n t o t b . v . e e n - f a c t o r 5 . ) C o ë f f i c i ë n t e n a l s v i s c o s i t e i t e n d i f f u s i e c o ë f f i c i ë n t g e v e n b i j l a m i n a i r e s t r o m i n g e e n g o e d e b e s c h r i j v i n g v o o r i m p u l s - e n s t o f t r a n s p o r t e n , e n z . . B i j t u r b u l e n t e s t r o m i n g z i j n z u l k e c o ë f f i -c i ë n t e n v e e l m i n d e r v a a k t o e p a s b a a r . Men s p r e e k t i n d a t g e v a l v a n g r a d i ë n t t y p e t r a n s p o r t e n . De t u r b u l e n t e v a r i a n t e n v a n d e c o ë f -f i c i ë n t e n z i j n e c h t e r a -f h a n k e l i j k v a n d e s t r o m i n g s c o n -f i g u r a t i e e n v e e l a l v a n p l a a t s , t i j d e n s n e l h e i d . B i j g e v o l g z i j n v e e l s t r o m i n g s -p r o b l e m e n a l l e e n o -p l o s b a a r m e t e e n b e h o o r l i j k e k e n n i s v a n d e t u r b u l e n t i e om b . v . d e t r a n s p o r t c o ë f f i c i ë n t e n t e k u n n e n b e p a l e n e n e e n u i t s p r a a k t e k u n n e n d o e n o v e r d e b r u i k b a a r h e i d v a n d e z e c o ë f f i c i ë n t e n . T e g e n w o o r d i g z i j n e r n u m e r i e k e m o d e l l e n w a a r i n d e c o ë f f i c i ë n t e n b e p a a l d w o r d e n ( b . v . k - e - m o d e l l e n ) . De t h e o r e t i s c h e f u n d e r i n g v a n d e z e m o d e l l e n i s e c h t e r v r i j z w a k , z o d a t c o n t r ó l e s t e e d s v e r e i s t i s . ( Z i e h o o f d s t u k 7 ) O n d e r s t a a n d e v o o r b e e l d e n l a t e n d e b e l a n g r i j k e r o l v a n d e g r o t e . t r a n s p o r t e n b i j e e n t u r b u l e n t e s t r o m i n g z i e n . Vb. 1) T m p u l s t r a n s p o r t e n e n e r g i e d i s s i p a t i e i n e e n r i v i e r . E e n g e s c h e m a t i s e e r d e r i v i e r m e t e e n d i e p t e v a n 5 m e n e e n . v e r h a n g , i , v a n 0.1 ° / D O w o r d t b e s c h o u w d a l s e e n o n t w i k k e l d e g r e n s l a a g s t r o m i n g . D.w.z. e e n s t r o m i n g w a a r i n o p i e d e r e d i e p t e , z , d e s c h u i f s p a n n i n g i s a a n g e p a s t a a n d e c o m p o n e n t G i v a n d e z w a a r t e k r a c h t , G, z o d a t g e e n v e r s n e l l i n g meer o p t r e e d t ( z i e é>.2. 1 ) . a ) We b e s c h o u w e n d e s t r o m i n g i n d e r i v i e r a l s e e n o n t w i k k e l d e l a m i n a i r e g r e n s l a a g s t r o m i n g . De g e m i d d e l d e s n e l h e i d v a n h e t w a t e r i s d a n a l s v o l g t t e b e r e k e n e n : De b a l a n s v e r g e l i j k i n g v o o r d e i m p u l s i n d e s t r o o m r i c h t i n g ( I ) v a n h e t m o o t j e w a t e r t u s s e n e n XR m e t b r e e d t e b e n t u s s e n w a t e r o p p e r v l a k e n e e n o p p e r v l a k met w i l l e k e u r i g e z ( 0 < z < h ) , z i e f i g . 3 , i s d a n :

d e z w a a r t e k r a c h t op h e t m o o t j e w a t e r , t d e t i j d , X d e s c h u i f s p a n n i n g , p d e d i c h t h e i d e n g d e v e r s n e l l i n g v a n d e z w a a r t e k r a c h t . I m m e r s d e i m p u l s t r a n s p o r t e n d o o r h e t l i n k e r v l a k e n r e c h t e r v l a k v a n h e t m o o t j e ( z o w e l d o o r d r u k a l s d o o r w a t e r b e w e g i n g ) h e f f e n e l k a a r o p . De s c h u i f s p a n n i n g a a n hét o p p e r v l a k w o r d t v e r w a a r l o o s d . De s c h u i f s p a n n i n g op h e t o n d e r v l a k i s d a n T = - p g ( h - z ) i <3) W a t e r i s e e n N e w t o n s e v l o e i s t o f z o d a t i n h e t l a m i n a i r e g e v a l g e l d t = - 4 i = - P g ( ^ - z ) i ^"^^ met u d e s n e l h e i d i n d e s t r o m i n g s r i c h t i n g e n Tl = p v d e d y n a m i s c h e v i s c o s i t e i t , z o d a t |H = ^ g ( h - z ) i = i g ( h - z ) i <5> I n t e g r a t i e o v e r d e d i e p t e v a n bodem t o t z . l e v e r t met u ( z = 0 ) = O u = ^ g i ƒ ( h - z ) d z = ^ g i ( h z - l z 2 ) XL) O ^ 2-De o v e r d e d i e p t e g e m i d d e l d e s n e l h e i d i s d a n

V 1 0 " ^ m-^/s; g Si 10 m/s^; i = O. 1 °/DO e n h = 5 m d a n v o l g t U g ^ ^ :^ -S x 1 0 ^ m/s. D i t i s e e n w a t o v e r d r e v e n s n e l h e i d . Z e l - f s b i j v o l l e d i g e a f w e z i g h e i d v a n w r i j v i n g , d u s b i j v o l l e d i g e o m z e t t i n g v a n p o t e n t i ë l e i n k i n e t i s c h e e n e r g i e i s e e n v e r v a l v a n 3 x 1 0 ^ m n o d i g om d e z e s n e l h e i d t e b e r e i k e n . E e n l a m i n a i r e g r e n s l a a g s t r o m i n g d i e v o l l e d i g o n t w i k k e l d i s o v e r d e d i e p t e i s d u s n i e t m o g e l i j k i n d i t g e v a l . B i j e e n t u r b u l e n t e g r e n s l a a g s t r o m i n g i s h e t I m p u l s t r a n s p o r t • v e e l g r o t e r . Nemen we b i j v o o r b e e l d e e n c o n s t a n t e t u r b u l e n t i e v i s c o s i t e i t a a n v a n = .8 x 10 "-^ m^/s, d a n i s b o v e n s t a a n d e o p l o s s i n g t e g e b r u i k e n met v = . E e n g e m i d d e l d e s n e l h e i d u ^ ^ ^ a 1 m/s w o r d t d a n g e v o n d e n . De g r o t e w a a r d e v a n de v i s c o s i t e i t o f w e l i m p u l s -s t r a n -s p o r t c o ë f f i c i ë n t b i j t u r b u l e n t e -s t r o m i n g l e i d t t o t e e n r e a l i s t i s c h e s n e l h e i d . De s t r o m i n g i n e e n r i v i e r l i j k t g o e d b e s c h r e v e n t e k u n n e n w o r d e n met e e n v o l l e d i g o n t w i k k e l d e t u r b u l e n t e g r e n s l a a g . U i t h e t b o v e n s t a a n d e i s ook e e n w e e r s t a n d s c o ë f f i c i é n t Cq r = _ I o ( 8 ) D l 2 2P"gem a f t e l e l d e n , w a a r b i j Xq d e b o d e m s c h u i f s p a n n i n g v o o r s t e l t . S u b s t i t u t i e v a n v e r g e l i j k i n g <3) e n ( 7 ) l e i d t i n h e t l a m i n a i r e g e v a l t o t

S - f T - - ' T ^ ,

log C j j "

J verschillende waarden van C bij ruwe wand

gladde wand

log Re

Fig. 4. Verband tussen Cp en ^ e

De a f l e i d i n g ( e n d e a f h a n k e l i j k h e i d v a n v a n R e ) v e r l o o p t b i j s t r o m i n g d o o r e e n b u i s g e h e e l a n a l o o g . Vb. 2 ) D i f f u s i e i n . e e n r e c h t e b u i s D o o r e e n r e c h t h o e k i g e b u i s met e e n b r e e d t e L v a n 1 m e t e r s t r o o m t w a t e r met e e n g e m i d d e l d e s n e l h e i d "gem ^ tn/B ( z i e f i g . 5 ) . A a n é é n k a n t w o r d t e e n v e r o n t r e i n i g i n g t o e g e v o e g d . Na h o e v e e l t i j d h e e f t d e z e z i c h ( v r i j g e l i j k m a t i g ) o v e r d e d o o r s n e d e v e r s p r e i d ? a ) B i j l a m i n a i r e s t r o m i n g b e w e g e n a l l e d e e l t j e s i n p r i n c i p e s t e e d s l a n g s l i j n e n e v e n w i j d i g a a n d e a s v a n d e b u i s . S l e c h t s d e m o l e c u l a i r e w a r m t e b e w e g i n g k a n v e r p l a a t s i n g v a n d e d e e l t j e s w a t e r ( e n v e r o n t r e i n i g i n g ) t . o . v . d e z e l i j n e n g e v e n . De v e r s p r e i d i n g v a n d e v e r o n t r e i n i g i n g o v e r d e d o o r s n e e z a l d u s i n d i t g e v a l d o o r d e z e m o l e c u l a i r e d i f f u s i e m o e t e n p l a a t s h e b b e n . H i e r v o o r g e l d t d e v e r g e l i j k i n g : "gem. Fig. 5. Verspreiding in een rechte buis

+ ^^^^ ( 1 1 ) met c d e c o n c e n t r a t i e , D^^ d e m o l e c u l a i r e d i f f u s i e c o ë f f i c i ë n t e n X, y , z d e r i c h t i n g e n e v e n w i j d i g a a n d e b u i s e n . i n d w a r s -e n h o o g t -e - r i c h t i n g r -e s p -e c t i -e v -e l i j k . W-e g -e b r u i k -e n h i -e r D/Dt om a a n t e g e v e n d a t d e a f g e l e i d e n a a r d e t i j d m e e b e w e g e n d met d e v l o e i s t o f i s b e d o e l d . De v l o e i s t o f w a a r i n d e v e r s p r e i d i n g p l a a t s h e e f t b e w e e g t i m m e r s i n z ' n g e h e e l l a n g s d e x - a s . c i s o n a f h a n k e l i j k v a n z g e n o m e n e n i s ( b i j

e e n c o n t i n u e l o z i n g ) h a a s t n i e t a f h a n k e l i j k v a n x z o d a t v g 1 . ( 1 1 ) v e r e e n v o u d i g t t o t D

1^

T > 10 'V' 100 — t s u • u rms gem 100 s ( 1 6 ) r

u

gem

w' pos

c' neg

w' neg

^ c' pos

Fig. 6 Het turbulent transport nechan istte

n e e r : w ' c = w ' c ' + w'c. met n e g w p o s c

d u s t o t a a l w ' c ' ( w a a r i n w ' c ' , d e g e m i d d e l d e w a a r d e v a n w ' c ' , n e g a t i e f i s b i j e e n p o s i t i e v e g r a d i ë n t , o v e r e e n k o m e n d met t r a n s p o r t v a n h o g e w a a r d e n v a n c n a a r l a g e ) .

1^ 2! 7 X 1 0 " ^ ni, d e o r d e l^hc/tiZ z i j n . w w a r m t e b e w g i n g . De t r a n s p o r t e n d o o r d e w a r m t e b e w e g i n g z i j n e c h t e r v e e l k l e i n e r d a n d e o v e r e e n k o m e n d e t u r b u l e n t e t r a n s p o r t e n d o o r d e v e e l k l e i n e r e l e n g t e s c h a a l b i j de w a r m t e b e w e g i n g . I n e e n g a s i s b . v . d e v r i j e w e g l e n g t e v a n d e m o l e c u l e n b i j k a m e r t e m p e r a t u u r c ' z a l d a n v a n d e z - c o m p o n e n t v a n de b e w e g i n g s s n e l h e i d d e r m o l e c u l e n i s v a n d e o r d e v a n d e g e l u i d s s n e l h e i d Vg 5! 3 4 0 m/s. De t r a n s p o r t -c o ë f f i -c i ë n t v a n G i s d a n v a n d e o r d e v a n 3 4 0 x 7 x 1 0 " ^ m-^/s ~ 2 . 5 X 1 0 " ^ m^/s. D i t g e l d t v o o r G = i m p u l s , w a r m t e , o-f t o e g v o e g d e s t o - f . I n w a t e r i s d e s i t u a t i e i e t s g e c o m p l i c e e r d e r . De g e l u i d s s n e l h e i d i s w a t g r o t e r : Vg S! 1 5 5 0 m/s; d e v r i j e w e g l e n g t e i s e c h t e r v e e l k l e i n e r , n . l . e e n

Fig. 7. Moleculair transport

f r a c t i e v a n d e m o l e c u u l g r o o t t e (1, 10 1 0 m ) . De d i f f u s i e -c o ë f f i -c i ë n t i s d u s k l e i n : D „ ^ lO-*? m^/s. V o o r i m p u l s e n w a r m t e s p e l e n e c h t e r ook t r a n s p o r t e n d o o r i n t e r m o l e c u l a i r e k r a c h t e n e e n r o l , z o d a t dB v i s c o s i t e i t , V , e n d e w a r m t e t r a n s p o r t c o ë f f i c i ë n t w a t h o g e r e w a a r d e n k r i j g e n . De t u r b u l e n t e b e w e g i n g k a n b e s c h r e v e n w o r d e n a l s e e n b e w e g i n g v a n t i j d e l i j k m i n o f m e e r s a m e n h a n g e n d e p a k k e t t e n . De v e r p l a a t s i n g g e b e u r t o v e r a f s t a n d e n v a n d e o r d e v a n d e mengweg 1 ^ d i e v a n d e o r d e v a n d e k a r a k t e r i s t i e k e l e n g t e v a n h e t p r o b l e e m i s . w' i s dB t u r b u l e n t e s n e l h e i d (v {o"gem'" ° ^ t r a n s p o r t -c o ë f f i -c i ë n t e n z i j n d u s s t e r k p r o b l e e m a f h a n k e l i j k m a a r i n e l k g e v a l i . h . a . v e e l g r o t e r d a n d e m o l e c u l a i r e t r a n s p o r t -c o ë f f i -c i ë n t e n . De g r o t e t u r b u l e n t e b e w e g i n g e n z i j n h e t b e l a n g r i j k s t v o o r h e t t u r b u l e n t t r a n s p o r t . D i t komt o m d a t z e g r o t e w a a r d e n v a n c * m e e b r e n g e n . Ook v o o r d e o n t t r e k k i n g v a n e n e r g i e a a n d e h o o f d b e w e g i n g z i j n d e z e g r o t e t u r b u l e n t e b e w e g i n g e n o f w e r v e l s h e t b e l a n g r i j k s t . De t u r b u l e n t i e v e r l i e s t e c h t e r z i j n e n e r g i e v o o r n a m e l i j k b i j de k l e i n s t e w e r v e l s . P a s b i j d e z e k l e i n e w e r v e l s z i j n d e s n e l h e i d s g r a d i e n t e n z o g r o o t d a t d e ( m o l e c u l a i r e ) v i s c o s i t e i t e e n b e l a n g r i j k e n e r g i e v e r l i e s v a n d e t u r b u l e n t e b e w e g i n g a a n d e w a r m t e b e w e g i n g v e r o o r z a a k t . T u s s e n d e z e t w e e u i t e r s t e n d o o r l o o p t d e t u r b u l e n t i e e n e r g i e e e n h e e l s c a l a v a n w e r v e l s c h a l e n , d e w e r v e l c a s c a d e ( z i e h o o f s t u k 4 ) .

B o v e n g e n o e m d e t u s s e n l i g g e n d e s c h a l e n k u n n e n b . v . h e e l b e l a n g r i j k z i j n i n d i - f - f u s i e p r o b l e m e n ( z i e h o o f d s t u k 8 ) . G r o t e w e r v e l s v e r p l a a t s e n s l e c h t s g r o t e p a k k e t t e n v l o e i s t o f . K l e i n e r e w e r v e l s nemen s t e e d s d e v e r s p r e i d i n g op k l e i n e r e s c h a a l o v e r , t o t d e m o l e c u l a i r e d i f f u s i e d e v e r s p r e i d i n g t p t op m o l e c u l a i r e s c h a a l o v e r n e e m t . -I n g e v a l v a n e e n s t a - _ b i e l e d i c b t h e l d s g e l a a g d h e i d ( d w z . e e n af n e m e n d e d i c h t -h e i d n a a r b o v e n ) z u l l e n g r o t e p a k k e t t e n d i e d o o r g r o t e w e r v e l s v e r p l a a t s t z i j n a l g a u w w e e r n a a r h u n o o r s p r o n k e l i j k e n i v e a u t e r u g b e w e g e n , t e n z i j i n d e t u s s e n t i j d v e r s p r e i d i n g d o o r k l e i n e r e w e r v e l s h e e f t ~ p l a a t s g e h a d . H e t g e v o l g i s e e n o n d e r d r u k k i n g v a n h e t t u r b u l e n t t r a n s p o r t m e c h a ¬ n i s m e d o o r e e n s t a b i e l e d i c h t h e i d s g e l a a g d h e l d . ( I e t s d e r g e l i j k s k a n o p t r e d e n b i j k r o m m i n g v a n d e s t r o o m l i j n e n . )

q<-r.rhAc.i:ische b e s c h r i j v i n g v a n de t u r b u l e n t i e 2.1 I n s t a b i 1 i t e i t B i j d e b e s p r e k i n g v a n b e l a n g r i j k e k e n m e r k e n v a n t u r b u l e n t i e ( 1 . 2 ) z a g e n we d a l : d e k l e i n s t e t u r b u l e n t e b e w e g i n g e n d i e i n d e d o o r o n s b e s c h o u w d e p r o b l e m e n v o o r k o m e n nog z o g r o o t z i j n t . o . v . d e m o l e c u l a i r e l e n g t e s c h a l e n , d a t e e n c o n t i n u ü m b e s c h r i j v i n g g e b r u i k t mag w o r d e n . I n d e z e b e s c h r i j v i n g m a k e n we g e b r u i k v a n e e n i m p u l s b a l a n s v e r g e l i j k i n g e n e e n m a s s a b a l a n s v e r g e l i j k i n g i n d e v o r m v a n de N a v i e r - S t o k e s - v e r g e l i j k i n g r e s p e c t i e v e l i j k d e c o n t i n u ï t e i t s v e r g e l i j k i n g . De v e r g e l i j k i n g e n z i j n a-f t e l e i d e n u i t d e m o l e c u l a i r e i m p u l s b a l a n s - e n m a s s a b a l a n s - v e r g e l i j k i n g e n . We g e b r u i k e n d e N a v i e r S t o k e s v e r g e l i j k i n g , NS, e n d e c o n t i n u ï t e i t s -v e r g e l i j k i n g , C, i n d e -v o r m d i e g e l d t -v o o r e e n -v l o e i s t o f m e t : e e n c o n s t a n t e d i c h t h e i d v a n d e v l o e i s t o f d e e l t j e s , d u s D p / D t = O. De v l o e i s t o f m o e t d a n b i j b e n a d e r i n g o n s a m e n d r u k b a a r z i j n ( e n e e n v e r w a a r l o o s b a r e u i t z e t t i n g v e r t o n e n b i j e v t . t e m p e r a t u u r s v e r a n d e r i n g e n v e r a n d e r i n g v a n c o n c e n t r a t i e a a n o p g e l o s t e s t o f f e n d o o r d i f f u s i e ) , e e n d y n a m i s c h e v i s c o s i t e i t Tl=pv d i e o n a f h a n k e l i j k i s v a n d e p l a a t s . De v e r g e l i j k i n g e n NB e n C w o r d e n g e c o m p l i c e e r d e r a l s b o v e n s t a a n d e v o o r w a a r d e n n i e t o p g a a n . D e z e v o r m v a n d e v e r g e l i j k i n g e n , d i e d u s i . h . a . g e s c h i k t i s v o o r p r o b l e m e n w a a r i n w a t e r d e s t r o m e n d e v l o e i s t o f i s , l u i d t ( 1 7 ) C: V^v^ •= O NS: .|^(pv.) * V. (pv.v.) . V.p - n v ? v. = k. , <18) De v e r g e l i j k i n g e n z u l l e n u i t g e b r e i d b e s p r o k e n w o r d e n i n h o o f d s t u k H i e r i s g e k o z e n v o o r d e R i c c i - n o t a t i e , w a a r b i j d e i n d i c e s d e w a a r d e n 1,2 e n 3 k u n n e n a a n n e m e n , w e l k e s t a a n v o o r d e c o ö r d i n a a t -r i c h t i n g e n ( b . v . x , y , z ) . V j b e t e k e n t d e j - d e s n e l h e i d s c o m p o n e n t , e n V. = è / è X j , d e a f g e l e i d e n a a r d e j - d e c o ö r d i n a a t , x - , k j i s d e j - d e ' c o m p o n e n t v a n de u i t w e h d i g e k r a c h t , b . v . d e z w a a r t e k r a c h t . V e r d e r i s g e b r u i k g e m a a k t v a n d e E i n s t e i n - s o m m a t i e c o n v e n t i e : E e n t e r m w a a r i n e e n i n d e x t w e e k e e r v o o r k o m t i s e e n s o m m a t i e

v a n d r i e t e r m e n w a a r i n d e i n d e x d e w a a r d e n 1,2, e n 3 a a n n e e m t . Zo s t a a t V? i n v e r g e l i j k i n g ( 1 8 ) v o o r V^V. = V j 7 , + 1 ^ + V3V3 o-f w e l v o o r 32/8x,2 + d^ h^^^^ + 32/8X32 . V e r g e l i j k i n g ( 1 8 ) s t a a t v o o r d r i e v e r g e l i j k i n g e n met j = l , 2 , 3 r e s p e c t i e v e l i j k , p i s 4 e d r u k . De N a v i e r - S t o k e s - v e r g e l i j k i n g i s n i e t l i n e a i r w e g e n s d e k w a d r a t i s c h e c o n v e c t i e t e r m V i ( p V i V j ) . De i n v l o e d v a n d e z e t e r m g r o e i t b i j e e n t o e n e m e n d g e t a l v a n R e y n o l d s . D i t i s i n t e z i e n a a n d e h a n d v a n e e n s c h a t t i n g v a n d e v e r h o u d i n g t u s s e n d e c o n v e c t i e t e r m e n d e s c h u i f s p a n n i n g s t e r m i n v e r g e l i j k i n g ( 1 8 ) U2 V, (pv. V.) p .-, O U V n V 2 V. n B i j l a g e g e t a l l e n v a n R e y n o l d s ( R e < o r d e 1 0 0 0 ) i s d e N a v i e r -S t o k e s - v e r g e l 1 j k i n g b i j b e n a d e r i n g l i n e a i r . H e t s y s t e e m i s d a n s t a b i e l . D.w.z. d a t b i j k l e i n e v e r s c h i l l e n i n d e b e g i n v o o r w a a r d e n o f r a n d v o o r w a a r d e n ook d e o p l o s s i n g e n w e i n i g z u l l e n v e r s c h l l l e n -B i J g r o t e r e Re o v e r h e e r s t d e n i e t - 1 1 n e a i r e c o n v e c t i e t e r m . H e t s y s t e e m i s d a n i n s t a b i e l . Ook i n f i n i t e s i m a a l k l e i n e v e r s c h i l l e n i n b e g i n . e n r a n d v o o r w a a r d e n k u n n e n b e l a n g r i j k e v e r s c h i l l e n i n d e o p l o s s i n g m e e b r e n g e n . D e z e g r o t e v e r s c h i l l e n i n d e o p l o s s i n g z i j n d e b a s i s v a n w a t we t u r b u l e n t i e n o e m e n . I n p r i n c i p e i s e l k e o p l o s s i n g nog é é n d u i d i g b e p a a l d d o o r d e r a n d - e n b e g i n v o o r w a a r d e n , m a a r om e e n o p l o s s i n g p r e c i e s t e k u n n e n v o o r s p e l l e n m o e t e n r a n d - e n b e g i n v o o r w a a r d e n met e e n o n m o g e l i j k e p r e c i z i e b e k e n d z i j n . I n d e o p l o s s i n g s l u i p t d u s i n d e p r a k t i j k s t e e d s e e n o n z e k e r h e i d . D e z e o n z e k e r h e i d g e e f t h e t s t o c h a s t i s c h e ( o f e r r a t i s c h e ) k a r a k t e r a a n t u r b u l e n t i e . D i t w i l n i e t z e g g e n d a t d e t u r b u l e n t i e d i r e c t a f h a n g t v a n r a n d - e n / o f b e g i n v o o r w a a r d e n . De v r i j w e l s t e e d s a a n w e z i g e k l e i n e v e r s c h i l l e n e r i n v e r o o r z a k e n v o l g e n s b o v e n s t a a n d e b e s c h o u w i n g w e l i s w a a r g r o t e v e r s c h i l l e n i n b v . s n e l h e i d e n d r u k , m a a r h e t k a r a k t e r v a n d e z e v e r s c h i l l e n w o r d t b e p a a l d d o o r h e t h e l e s t r o m i n g s p r o b l e e m : c o n f i g u r a t i e , r u w h e i d , o p t r e d e n d e s n e l h e d e n . e n z . B e s c h o u w e n we b i j v o o r b e e l d de v l a k k e C o u e t t e s t r o m i n g d a n . z i e n we e e n s t a b i e l s y s t e e m , d u s l a m i n a i r e s t r o m i n g , z o l a n g g e l d t Re < 2 8 8 . B o v e n Re = 2 8 8 i s h e t s y s t e e m i n s t a b i e l . B o v e n g e n o e m d e t u r b u l e n t i e m a n i f e s t e e r t z i c h i n t i j d s a f h a n k e l i j k e g o l f a c h t i g e s t o r i n g e n d i e e e r s t nog g e ï s o l e e r d v o o r k o m e n , m a a r b i j h o g e r e w a a r d e n ( R e ^ 1 9 0 0 b i j v l a k k e C o u e t t e s t r o m i n g ) h e t s t r o m i n g s b e e l d

v o l l e d i g g a a n o v e r h e e r s e n . D o o r b e g i n e n r a n d v o o r w a a r d e n b i j z o n -d e r g o e -d i n -d e h a n -d t e h o u -d e n e n e e n b i j z o n -d e r g l a -d -d e s t r o m i n g t e c r e ë r e n i s h e t m o g e l i j k h e t b e g i n v a n t u r b u l e n t i e i n e e n b u i s t o t h o g e w a a r d e n v a n R e u i t t e s t e l l e n . De w a a r d e n v a n R e w a a r b i j t u r b u l e n t i e b e g i n t o f v o l l e d i g g a a t o v e r h e e r s e n h a n g e n e n i g s z i n s a f v a n h e t b e s c h o u w d e p r o b l e e m . De l a a t s t e t i j d w o r d t e n i g e v o o r u i t g a n g g e b o e k t m e t d e a n a l y s e v a n o p l o s s i n g e n v a n n i e t l i n e a i r e d i f f e r e n t i a a l -v e r g e l i j k i n g e n . De r e s u l t a t e n z i j n -v o o r l o p i g -v o o r n a m e l i j k r e l e -v a n t d i c h t b i j d e o m s l a g v a n l a m i n a i r e n a a r t u r b u l e n t e s t r o m i n g . De b e s c h r i j v i n g v a n o n t w i k k e l d e t u r b u l e n t i e i n b . v . e e n g o o t o f r i v i e r l i j k t v o o r l o p i g n o g v e e l t e i n g e w i k k e l d . H e e r v o o r u i t g a n g w o r d t m o m e n t e e l g e b o e k t met d e b e s c h r i j v i n g v a n t u r b u l e n t i e p a t r o n e n o . a . op g r o n d v a n g e g e v e n s v e r k r e g e n d.m.v. n i e u w e v i s u a l i s e r i n g s -t e c h n i e k e n . V o o r a l d e m e -t h o d e w a a r b i j d o o r e l e c -t r o l y s e a a n e e n d r a a d w a t e r s t o f b e l l e t J e s a l s t r a c e r i n h e t w a t e r g e ï n t r o d u c e e r d w o r d e n g a f o n v e r w a c h t e r e s u l t a t e n ( Z i e C o h e r e n t e s t r u c t u r e n i n h o o f d s t u k 5 . 3 ) . 2 . 2 H o o f d b e w e o i n q e n t u r b u l e n t i e I n v e r b a n d m e t d e o n v o o r s p e l b a a r h e i d v a n d e t u r b u l e n t i e s m o e t e n we o n z e t o e v l u c h t nemen t o t s t a t i s t i s c h e m e t h o d e s om d e i n v l o e d v a n t u r b u l e n t i e s op d e s t r o m i n g t e k u n n e n s c h a t t e n . We g e b r u i k e n i n d e z e h a n d l e i d i n g v o o r n a m e l i j k d e e n s e m b l e m i d d e l i n g . Op z i c h l i j k t e e n m i d d e l i n g o v e r d e t i j d a a n t r e k k e l i j k e r , w a n t d i r e c t e r a a n s l u i t e n d b i j h e t m e r e n d e e l v a n d e m e t i n g e n . B i j e e n m i d d e l i n g o v e r d e t i j d k u n n e n e c h t e r c o m p l i c a t i e s o p t r e d e n , b . v . b i j t i j d s a f h a n k e l i j k e s t r o m i n g e n . E n s e m b l e m i d d e l i n g i s t h e o r e -t i s c h h e -t e e n v o u d i g s -t . I n d i e g e v a l l e n w a a r i n e e n -t i j d g e m i d d e l d e of r u i m t e l i j k g e m i d d e l d e w a a r d e w e l e e n v o u d i g t e d e f i n i ë r e n i s , n . l . b i j e e n s t a t i o n a i r e r e s p e c t i e v e l i j k e e n h o m o g e n e b e w e g i n g , k a n h e t e r g o d e n t h e o r e m a g e b r u i k t w o r d e n . D i t n i e t s t r i k t b e w e z e n t h e o r a m a z e g t d a t i n d a t g e v a l d e z e g e m i d d e l d e n g e l i j k z i j n a a n h e t e n s e m b l e g e m i d d e l d e . B i j d e e n s e m b l e m i d d e l i n g g e s c h i e d t d e m i d d e l i n g o v e r e e n " e n s e m b l e " v a n m o g e l i j k e b e w e g i n g e n d i e i e d e r b i n n e n d ë t e s t e l l e n g r e n z e n v o l d o e n a a n h e t s y s t e e m v a n d i f f e r e n t i a a l -v e r g e l i j k i n g e n p l u s r a n d - e n b e g i n -v o o r w a a r d e n . De o p t r e d e n d e s t r o m i n g i s d a n op t e v a t t e n a l s e e n t o e v a l l i g e r e a l i s e r i n g u i t

h e t e n s e m b l e . We s t e l l e n o n s e e n e x p e r i m e n t voor w a a r b i j we e e n r e e k s p r o e v e n n e m e n . I n i é d e r e p r o e f w o r d t e e n b e w e g i n g g e r e a l i s e e r d d i e v o l d o e t a a n h e t b o v e n g e n o e m d e s y s t e e m v a n v e r g e l i j k i n g e n e n v o o r w a a r d e n . We nemen a a n d a t h e t t o t a l e a a n t a l p r o e v e n d a t we n e m e n , N , - z o g r o o t i s , d a t v a n e e n r e p r e s e n t a t i e v e s t e e k p r o e f g e s p r o k e n k a n w o r d e n . We m e t e n b . v . d e d r u k p b i j i e d e r e p r o e f op e e n z e k e r e t i j d e n p l a a t s . L a a t p ^ ^ N t Q , X j ) d e d r u k op t i j d t ^ e n p l a a t s x ^ z i j n b i j d e i s t e p r o e f . p ^ 2 ) ( t Q , X i ) b i j d e 2 d B p r o e f op d e z e l f d e p l a a t s e n t i j d e n i n h e t a l g e m e e n p ^ " N t Q , X j ) b i j d e n - d e p r o e f . De o v e r d e s t e e k p r o e f g e m i d d e l d e d r u k p op p l a a t s x^ e n t i j d t Q w o r d t g e g e v e n d o o r P ( ^ 0 ' ^ i 5 = ^ J , P ^ ' ^ t Q . x . ) ( 2 0 ) H e t e n s e m b l e g e m i d d e l d e i s d a n d e l i m i e t v o o r N-^w , N . . p(tQ,x.) = l i m p ( t Q , x . ; N) = U m ^ 2, p ^ ^ ^ t ^ . x . ) <21) B i j e e n v o l d o e n d g r o t e s t e e k p r o e f i s h e t g e m i d d e l d e o v e r d e s t e e k p r o e f v r i j w e l g e l i j k a a n h e t e n s e m b l e g e m i d d e l d e i ( t Q , x . ; N) = i ( t Q , x . > <22) De d r u k b i j e l k e n - d e p r o e f i s n u t e s p l i t s e n i n d e g e m i d d e l d e d r u k "p e n d e i n c i d e n t e l e a f w i j k i n g e r v a n p ' ^ " ^ , w a a r v a n d e l a a t s t e h e t o n v o o r s p e l b a r e , e r r a t i s c h e a a n d e e l v e r t e g e n w o o r d i g t . P ^ " \ t ^ , x , ) = i ( t o , x , ) . p ' < ^ > ( t ^ , x , ) <23) Op d e z e l f d e m a n i e r z i j n s n e l h e d e n , s p a n n i n g e n , e n z . t e s p l i t s e n i n e e n e n s e m b l e g e m i d d e l d e w a a r d e e n e e n e r r a t i s c h e c o m p o n e n t w a a r i n r ^ j e e n s p a n n i n g i s , b . v . r ^ j=-11 Vj^ v j . De g e m i d d e l d e c o m p o n e n t e n v a n d r u k , s n e l h e i d , s p a n n i n g e n z . \ b e p a l e n w a t we d e h o o f d b e w e g i n g z u l l e n n o e m e n . De e r r a t i s c h e

a f w i j k i n g e n b e p a l e n d e t u r b u l e n t i e i n d e b e s t u d e e r d e s t r o m i n g . N a a s t d e g e w o n e e n s e m b l e g e m i d d e l d e w a a r d e v a n e e n g r o o t h e i d t r e d e n i n t u r b u l e n t i e t h e o r i e ë n nog a n d e r e e n s e m b l e g e m i d d e l d e n o p . E n i g e v e e l v o o r k o m e n d e g r o o t h e d e n b e s p r e k e n we i n h e t k o r t h i e r o n d e r : W i l l e n we i e t s z e g g e n v a n d e g r o o t t e v a n d e t u r b u l e n t e ^ v a r i a t i e s d a n komt d e v a r i a n t i e v a n p ' , p ' ^ , i n a a n m e r k i n g , p ' z e l f n i e t d a a r d e g e m i d d e l d e w a a r d e v a n p ' n o o d z a k e l i j k e r w i j s n u l i s . De v a r i a n t i e v a n p ' w o r d t g e g e v e n d o o r 1 y , . , ( n ) , 2 <26) De v a r i a n t i e v a n d e s n e l h e i d s c o m p o n e n t e n komen we b . v . t e g e n . b i j d e e n e r g i e v a n d e t u r b u l e n t i e . E e n b e t e r e m a a t v o o r de g r o o t t e v a n de t u r b u l e n t i e i s d e w o r t e l v a n d e v a r i a n t i e , d e i n t e n s i t e i t i n t e n s i t e i t van p' = [ U . 1 ( p ' ^ ^ ^ M ..en b e l a n g r i j k e g r o o t h e i d , b . v . v o o r k o m e n d i n d e t u r b u l e n t e , s c h u i f s p a n n i n g , i s d e c o v a r i a n t i e v a n t w e e s n e l h e i d s c o m p o n e n t e n , b.v. ' T „.(n)„,(n) ( 2 8 ) De m a t e v a n s a m e n h a n g t u s s e n de v a r i a t i e s v a n d e t w e e c o m p o n e n t e n ( s t o c h a s t i s c h e a f h a n k e l i j k h e i d ) w o r d t g e g e v e n d o o r d e c o r r e l a t i e , d . i . d e g e n o r m e e r d e c o v a r i a n t i e , v l v ! r 2 ^-"2 " [ ( v ; ) 2 ( v ' ) 2 ] i ( 2 9 ) B i j v e r s c h i l l e n d e t u r b u l e n t i e t h e o r i e f e n d u i k e n v e e l i n g e w i k k e l d e r u i t d r u k k i n g e n o p , b . v . d e t r i p l e c o v a r i a n ^ i e v ^ v ^ v s e n c o v a r i a n t i e s e n c o r r e l a t i e s w a a r b i j d e e n e g r o o t h e i d .n t i j d e n p l a a t s v e r s c ; h o v e n i s t . o . v . d e a n d e r . b . v . d e a u t o c o v a r i a n t i e o v e r d e t i j d v a n p : TOto.Xi ! T) - l i 4 J , ( p ' ^ " ^ ^ . x , ) p . ( - > ( t o * T . x , ) ) ( 3 0 )

2 , 3 T i j d g e m i d d e l d e e n e n s e m b l é q e m i d d e l d e V e e l a l w o r d t v o o r d e e x p e r i m e n t e l e b e p a l i n g v a n g e m i d d e l d e w a a r d e n e n t u r b u l e n t e a f w i j k i n g e n v a n g r o o t h e d e n a l s s n e l h e i d e n d r u k g e d u r e n d e e e n «, z e k e r e t i j d e e n m e t i n g v e r r i c h t . H e t l i g t d a n v o o r d e h a n d t i j d -g e m i d d e l d e w a a r d e s t e g e b r u i k e n . De t i j d -g e m i d d e l d e w a a r d e v a n p i n h e t p u n t x ^

o v e r h e t i n t e r v a l X Fig. 9. Middeling over de tijd

om t _O b . v . ; ( t Q , x . ; T ) = :f r P ( t , x . ) d t ( 3 1 ) A l s d e s t r o m i n g s t a t i o n a i r i s op e e n s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e z o a l s d e t u r b u l e n t e b e w e g i n g n a , d a n i s d e l i m i e t v a n d e t i j d g e m i d d e l d e w a a r d e v o o r X-^<t> v o l g e n s h e t e r g o d e n - t h e o r e m a g e l i j k a a n h e t e n s e m b l e g e m i d d e l d e l i m p ( t Q , x ^ ; T ) 1 - 7 / e n o n a f h a n k e l i j k v a n t Q . Men s p r e e k t d a n v a n e e n s t o c h a s t i s c h s t a t i o n a i r e s t r o m i n g . Nu z i j n z e l d e n z u l k e l a n g e m e e t s e r i e s v o o r h a n d e n e n v e e l s t r o m i n g e n v e r a n -p ( t , x ^ ) d t «= -p(tQ,X^) ( 3 2 ) d e r e n t r o u w e n s op d e n d u u r o f s n e l -l e r i n d e t i j d . T o c h z i j n e r o m s t a n d i g h e d e n m o g e l i j k w a a r i n e e n t i j d g e m i d d e l d e w a a r d e w e i n i g a f -w i j k t v a n e e n e n s e m b l e g e m i d d e l d e w a a r d e . A l s e e n m i d d e l i n g s d u u r X O ID. t u r b u l e n t i e t i j d s c h a l e n < — t i j d s c h a l e n van de hoofdbeweging gebied g e s c h i k t voor m i d d e l i n g Fig.10. Middelingstijd

l o g T

g e k o z e n k a n w o r d e n d i e k o r t i s v e r g e l e k e n met d e t i j d s c h a a l w a a r o v e r d e h o o f d b e w e g i n g i n d e t i j d v e r a n d e r t l a n g g e n o e g i s om d e t u r b u l e n t e b e w e g i n g e f f e c t i e f u i t t e m i d d e l e n , " d a n w o r d t e e n t i j d g e m i d d e l d e w a a r d e g e v o n d e n d i e h e t e n s e m b l e g e m i d d e l d e b e n a d e r t ( z i e f i g . 1 0 ) . D a t i n d a t g e v a l d e t w e e g e m i d d e l d e n e l k a a r w e i n i g o n t l o p e n , i s a l s v o l g t i n t e z i e n . W i l d e t u r b u l e n t e b e w e g i n g e f f e c t i e f u i t g e m i d d e l d k u n n e n w o r d e n , d a n m o e t d e m i d d e l i n g s d u u r d e g r o o t s t e t u r b u l e n t i e t i j d -s c h a l e n r u i m o v e r t r e f f e n . D e z e t i j d s c h a l e n h a n g e n i m m e r s s a m e n met d e t i j d w a a r o v e r s a m e n h a n g i n d e t u r b u -l e n t e b e w e g i n g w o r d t a a n g e t r o f -f e n . De g r o o t s t e t i j d s c h a l e n v a n d e t u r b u l e n t i e b e w e g i n g z i j n a f t e l e z e n u i t e e n g r a f i e k v a n d e c o r r e l a t i e o v e r d e t i j d v a n e e n t u r b u l e n t e g r o o t h e i d , b . v . d e c o r r e l a t i e grote t i j d s c h a l e n i n de t u r b u l e n t e beweging

Fig.11. Correlatie van de turbulentie

R ( 3 3 ) D e n k e n p ' p ' ( t o ; T ) p' ( t o ) p ' (tQ+T) p ' ( t o ) p ' ( t o + T ) t u s s e n p ' op t ^ e n p ' op t Q + t ( z i e f i g . 1 1 e n v g l . ( 3 0 ) ) we o n s n u d e g e b r u i k t e m i d d e l i n g s t i j d v e r d e e l d i n e e n a a n t a l s u b p e r i o d e s d i e g r o t e r z i j n d a n d e g r o o t s t e t u r b u l e n t e t i j d s c h a l e n d a n k u n n e n we d e m e t i n g i n ^subperiode i e d e r e s u b -p e r i o d e b e s c h o u w e n a l s e e n o n a f h a n k e — 4-g r o o t s t e t u r b u l e n t i e t i j d s c h a a l

Fig.12 Onafhankelijkheid van proeven

l i j k e p r o e f .

o m d a t d e t o t a l e m i d d e l i n g s d u u r k l e i n i s g e k o z e n t . o . v , d e t i j d -s c h a a l . v a n d e h o o f d b e w e g i n g . B i j e e n g r o o t a a n t a l v a n d e z e o n a f h a n k e l i j k e p r o e v e n w o r d t h e t e n s e m b l e g e m i d d e l d e b e n a d e r d z o a l s a a n g e g e v e n i s i n f o r m u l e ( 2 2 ) . D i t g e e f t m e t e e n d e g e d a c h t e a c h t e r h e t e r g b d e n t h e o r e m a a a n . B i j e e n s t o c h a s t i s c h s t a t i o n a i r e s t r o m i n g i s e e n o n d e r v e r d e l i n g i n e e n o n e i n d i g a a n t a l v a n d e z e o n a f h a n k e l i j k e p r o e v e n m o g e l i j k , z o d a t g e l i j k h e i d v a n t i j d g e m i d -d e l -d e e n e n s e m b l e g e m i -d -d e l -d e a a n n e m e l i j k i s . A l s v o o r b e e l d v a n e e n n i e t s t a t i o n a i r e s t r o m i n g k a n d e s t r o m i n g d i e n e n i n e e n ( g e k r o m d e ) g o o t i n h e t l a b o r a t o r i u m v o o r v l o e i s t o f m e c h a n i c a v a n d e a f d . d e r c i v i e l e t e c h n i e k v a n d e THD. D e z e s t r o m i n g d i e n d e a l s e e n m o d e l v o o r d e s t r o m i n g i n e e n g e t i j g e u l v a n e e n e s t u a r i u m . De g r o o t s t e t u r b u l e n t i e s c h a l e n w a r e n v a n dB o r d e v a n s e c o n d e s . D i t w a s w a t h o o g i n V e r g e l i j k i n g m e t d e g e t i j p e r i o d e i n h e t m o d e l v a n 9 m i n . D a a r o m w e r d e e n e n s e m b l e m i d -d e l i n g o v e r 3 p e r i o -d e n u i t g e v o e r -d e n -d a a r n a e e n m i -d -d e l i n g o v e r -d e t i j d . De t i j d s d u u r w a a r o v e r d e z e m i d d e l i n g u i t g e v o e r d w e r d k o n e f f e c t i e f v e r g r o o t w o r d e n t o t o n g e v e e r 2 m i n u t e n d o o r r e k e n i n g t e h o u d e n met h e t v e r l o o p v a n d e g e m i d d e l d e s t r o m i n g d.m.v. e e n F o u r i e r a n a l y s e , w a a r b i j a l l e c o m p o n e n t e n b o v e n d e 4 d B h a r m o n i s c h e u i t h e t s i g n a a l v e r w i j d e r d w e r d e n .

«tVÏS ÏSTÏÖ iüTöö iETöö iïöTöö JÏTÖÖ nöTöó sU.oo sho.oc «bs.oo nio.oo nis.oo ?«o.so

Fig. 13. Middeling %'an een in de tijd variërende snelheid

2 . 4 M e e t t e c h n i e k M e t i n g e n i n t u r b u l e n t e s t r o m i n g e n b e t r e f f e n i n d e e e r s t e p l a a t s s n e l h e i d s m e t i n g e n . H e t k a n h i e r b i j g a a n om e e n b e p a l i n g v a n d e g e m i d d e l d e s n e l h e d e n e n / o f v a n d e t u r b u l e n t e s n e l h e d e n . H e t d o e l v a n d e b e p a l i n g v a n d e t u r b u l e n t i e s n e l h e d e n i s v e e l a l d e b e p a l i n g v a n e e n t u r b u l e n t t r a n s p o r t , b . v . h e t t u r b u l e n t i m p u l s t r a n s p o r t ( o f t u r b u l e n t e s c h u i f s p a n n i n g ) . E e n a a r d i g e i n l e i d i n g o v e r m e t i n g e n i n t u r b u l e n t e s t r o m i n g e n i s t e v i n d e n

b i j B r a d s h a w . M e t i n g e n v a n t u r b u l e n t e s n e l h e d e n e i s e n v e e l h o g e r e b e m o n s t e r i n g s - f r e q u e n t i e s d a n m e t i n g e n v a n g e m i d d e l d e s n e l h e d e n . V o o r d e b e p a l i n g v a n d e g e m i d d e l d e s n e l h e i d z i j n f r e q u e n t i e s v a n b , v . 1 Hz v o o r g o t e n e n 0.1 Hz v o o r r i v i ^ e r e n t o e r e i k e n d . V o o r d e b e p a l i n g v a n d e t u r b u l e n t e t r a n s p o r t e n z o a l s d e t u r b u l e n t e s c h u i f s p a n n i n g i s d e t i j d s c h a a l v a n d e g r o t e t u r b u l e n t e w e r v e l s m a a t g e v e n d . I n d e t u r b u l e n t e s c h u i f s p a n n i n g s p e l e n i m m e r s v r i j w e l a l l e e n d e g r o t e r e , l a n g z a m e w e r v e l s mee. V o o r d e t u r b u l e n t e s c h u i f s p a n n i n g z i j n d a a r m e e b e m o n s t e r i n g s f r e q u e n t i e s v a n o n g e v e e r 5 0 Hz v o o r g o t e n e n 5 Hz v o o r r i v i e r e n v e r e i s t . V o o r d e b e p a l i n g v a n e e n f r e q u e n t i e s p e c t r u m v a n d e t u r b u l e n t i e z i j n v e e l h o g e r e b e m o n s t e r i n g s f r e q u e n t i e s , n . l . t o t i n d e h o n d e r d e n h e r t z , n o d i g . S n e l h e i d s m e t e r s b e p a l e n i . h . a . d e s n e l h e i d g e m i d d e l d o v e r e e n g e b i e d j e , h e t m e e t v o l u m e . V o o r d e m e t i n g v a n d e g e m i d d e l d e s n e l h e i d i s d i t m e e s t a l n i e t e r g b e p e r k e n d , b e h a l v e s o m s i n d e b u u r t v a n w a n d e n . M e t i n g v a n t u r b u l e n t e g r o o t h e d e n v e r e i s t d a a r e n t e g e n e e n k l e i n m e e t -volume.. M i d d e l i n g o v e r t e g r o t e m e e t v o l u m i n a k a n d e g e m e t e n t u r b u l e n t e f l u c t u a t i e e r n s t i g o n d e r d r u k k e n . De g e v o l g e n v o o r b . v . d e g e m e t e n t u r b u l e n t e s c h u i f s p a n n i n g z i j n d u i d e l i j k t e z i e n i n d e h i e r n a a s t w e e r g e g e v e n r e s u l t a t e n v a n e e n m e t i n g v a n d e s c h u i f s p a n n n i n g s -v e r d e l i n g o -v e r d e -v e r t i k a a l i n e e n g o o t , g e m e t e n m e t e e n l a s e r D o p p l e r s n e l h e i d s m e t e r . E r z i j n v e r s c h i l l e n d e s n e l h e i d s m e t e r s i n g e b r u i k o f i n o n t -w i k k e l i n g , d i e b e l a n g r i j k e v e r s c h i l l e n v e r t o n e n i n b o v e n g e n o e m d e a s p e c t e n , b e m o n s t e r i n g s f r e q u e n t i e e n m e e t v o l u m e , m a a r o o k i n a n d e r e b e l a n g r i j k e a s p e c t e n . H i e r t o e z i j n t e r e k e n e n r o b u u s t h e i d , b e f n v l o e d i n g v a n d e s t r o m i n g d o o r d e m e e t s o n d e , v e r l o o p v a n d e m e t e r , b . v . d o o r a a n h e c h t i n g v a n . v e r o n t r e i n i g i n g e n . B e b r u i k t e m e t e r s z i j n b i j v o o r b e e l d : h i t t e d r a a d - e n h i t t e f i 1 m m e t e r s ( Z e e r g e s c h i k t v o o r m e t i n g e n • 2 mm m e e t v o l u m e e 1 c m meetvolume

Vp In m ^ ^ ^ 10'

Fig,14. Invloed van het neetvoluwe op dé geneten schuifspann ing