Transformacja całkowa to zależność między dwiemia funkcjami f (t) i F (p) określona następująco:

(1)

Transformacja falkowa

Marcin Orchel

1 Wstęp

Transformacja całkowa to zależność między dwiemia funkcjami f (t) i F (p) określona następująco:

F (p) =

∞

Z

−∞

K (p, t) f (t) dt

gdzie zmienna t jest rzeczywista, zaś zmienna p jest zespolona p = σ + iω. Zależność ta jest oznaczana symbolem T :

F (p) = T {f (t)}

Twierdzenie 1.1. Jeśli f 1 (t) i f ₂ (t) są T -transformowalnymi funkcjami, to T {k ₁ f 1 (t) + k ₂ f 2 (t)} = k ₁ T {f ₁ (t)} + k ₂ T {f ₂ (t)}

gdzie k ₁ i k ₂ są dowolnymi liczbami.

1.1 Transformata Fouriera

Twierdzenie 1.2. Jeżeli funkcja f (t) spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym przedziale skończonym (a, b), a ponadto całka niewłaściwa

Z ∞

−∞

|f (t)| dt (1)

jest zbieżna, to dla każdego t prawdziwa jest równość

f (t) = 1 π

Z ∞ 0

Z ∞

−∞

f (τ ) cos ω (t − τ ) dτ

dω (2)

Możemy skorzystać ze wzoru

cos ω (t − τ ) = cos ωt cos ωτ + sin ωt sin ωτ (3) i po podstawieniu otrzymujemy

f (t) = 1 π

Z ∞ 0

cos ωt

Z ∞

−∞ f (τ ) cos ωτ dτ + sin ωt Z ∞

−∞ f (τ ) sin ωτ dτ

dω (4)

(2)

czyli

f (t) = Z ∞

0 (a (ω) cos ωt + b (ω) sin ωt) dω (5) gdzie

a (ω) = 1 π

Z ∞

−∞

f (τ ) cos ωτ dτ (6)

b (ω) = 1 π

Z ∞

−∞ f (τ ) sin ωτ dτ (7)

Możemy wyjściowy wzór przekształcić do postaci zespolonej f (t) = 1

2π Z ∞

−∞

e ^iωt dω Z ∞

−∞

f (τ ) e ^−iωτ dτ (8)

Przekształcenie Fouriera. Wprowadzamy oznaczenie F (ω) =

Z ∞

−∞ e ^−iωτ f (τ ) dτ (9)

Po podstawieniu

f (t) = 1 2π

Z ∞

−∞ e ^iωt F (ω) dω (10)

Interpretacja spektralna. Transformatę F (ω) można zapisać jako

F (ω) = |F (ω)| e ^iθ(ω) (11)

gdzie |θ(ω) ≤ π. F (ω) - charakterystyka widmowa, widmo funkcji f (t), |F (ω)| - widmo amplitudowe funkcji f (t), oraz θ(ω) - widmo fazowe funkcji f (t).

1.2 Dyskretna transformacja Fouriera Obliczenie sumy postaci

c k+1 =

N −1

X

j=0

f j+1 e ^−2ijkπ/N (12)

dla k = 0, . . . , N − 1, f = [f ₁ , . . . , f N ] ^T jest danym wektorem.

Operacja odwrotna

f _k+1 = 1 N

N −1

X

j=0

c _j+1 e ^2ijkπ/N (13)

dla k = 0, . . . , N − 1.

Obliczenie współczynników Fouriera dla funkcji f (x) o okresie 2π a _j = 1

π Z 2π

0 f (x) cos (jx) dx (14)

dla j = 0, 1, . . . ,

b _j = 1 π

Z 2π 0

f (x) sin (jx) dx (15)

(3)

dla j = 1, . . .. Można je obliczyć ze względu na tożsamość Eulera

e ^ijx = cos (jx) + i sin jx (16)

przez wyznaczenie całki

c _j = 1 2π

Z 2π 0

f (x) e ^−ijx dx (17)

Całkę możemy przybliżyć metodą prostokątów z równoodległymi węzłami

c j ≈ 1 N

N −1

X

k=0

f (x k ) e ^−ijx

^k

(18)

z węzłami x _k = k ^2π _N .

1.3 Transformacja Falkowa

Transformacja Fouriera nie ma własności lokalizacji sygnału, jeśli sygnał zmieni się w pewnym otoczeniu, to jego transformata ulegnie zmianie we wszystkich punktach, nie da się odszukać miejsca gdzie sygnał został zaburzony. Transformacja Fouriera rozkłada sygnał na fale płaskie, opisywane funkcjami trygonometrycznymi, które propagują się nieskończenie długo ze stałą częstością. W przypadku transformacji falkowej mamy dowolne funkcje lokalizowane, tzw. falki, które można skalować i przesuwać.

Pytanie: czy w tranformacji Radona potrafimy zlokalizować zmiany?

Przykłady falek:

• Falka Haara

ψ = 1 dla 0 ≤ x < 1

2 (19)

ψ = −1 dla 1

2 ≤ x ≤ 1 (20)

oraz ψ = 0 w pozostałych przypadkach.

• Kapelusz meksykański

ψ (x) = 1 − x ² e ^−x

²

^/2 (21)

Falki muszą być funkcjami całkowalnymi z kwadratem i dla których całka Ψ(ω) Z ∞

−∞

|Ψ (ω)) |

|ω| dω (22)

jest zbieżna, gdzie Ψ(ω) jest transformatą Fouriera funkcji ψ.

Właściwości falek.

• Z ∞

−∞ ψ (t) dt = 0 (23)

(4)

• k-ty moment falki to

µ _k = Z ∞

−∞

t ^k ψ (t) dt (24)

Najmniejsza liczba naturalna n, dla której µ _n 6= 0 nazywamy rzędem falki ψ. Dla falki Haara rząd wynosi 1, dla kapelusza meksykańskiego 2.

Dla falki ψ(t) możemy skonstruować całą rodzinę falek indeksowaną parametrem a:

ψ a (t) = 1 p |a| ψ

t a

(25) dla a 6= 0. Gdy |a| > 0 funkcja ψ(t) ulega przeskalowaniu, gdy a < 0 ulega dodatkowo odbiciu. Liczba 1/ ^p |a| to czynnik skali. Z pomocą drugiego parametru b funkcję ψ _a (t) poddaje się jeszcze translacji. Otrzymujemy

ψ a,b = 1 p |a| ψ

t − b a

(26) Parametr b charakteryzuje położenie, a to stopień rozciągnięcia falki.

Transformacja falkowa jest zdefiniowana następująco L _ψ f (a, b) = c

Z ∞

−∞

f (t) ψ _a,b (t) dt = c p |a|

Z ∞

−∞

f (t) ψ

t − b a

dt , (27)

gdzie stała c to czynnik normujący.

Np. dla falki Haara ψ

t − b a

= 1 dla b ≤ t ≤ b + a/2 (28)

ψ

t − b a

= −1 dla b + a/2 ≤ t ≤ b + a (29)

oraz ψ = 0 w pozostałych przypadkach.

Transformata L _ψ f (a, b) jest równa L _ψ f (a, b) = 1

p |a|

Z b+a/2 b

f (t) dt − Z b+a

b+a/2

f (t) dt

!

= (30)

p |a|

2 2 a

Z b+a/2 b

f (t) dt − 2 a

Z b+a b+a/2

f (t) dt

!

(31)

Więc transformata L jest równa różnicy wartości średnich funkcji f (t) po dwóch sąsiadu-

jących ze sobą przedziałach o długości |a|/2 z dokładnością do stałej multiplikatywnej.

(5)

1.3.1 Dyskretna transformata Haara

Mamy sygnał z n próbkami f _i dla i = 1 . . . n. Wartości transformaty to d _i dla i = 1 . . . , n/2, gdzie

d i = 1

√

2 (f _2i−1 − f _2i ) (32)

Wyznaczamy również s _i

s _i = 1

√ 2 (f _2i−1 + f _2i ) (33)

oraz

s ⁿ⁺¹ _i = 1

√ 2

s ⁽ⁿ⁾ _2i−1 + s ⁽ⁿ⁾ _2i (34)

d ⁿ⁺¹ _i = 1

√ 2

s ⁽ⁿ⁾ _2i−1 − s ⁽ⁿ⁾ _2i . (35)

1.4 Przydatne polecenia Matlaba

• dwt2, http://www.mathworks.com/help/wavelet/ref/dwt2.html 1.5 Zagadnienia dodatkowe

Rozpoznawanie liter na obrazach za pomocą konwolucji, http://www.mathworks.com/

help/images/fourier-transform.html.

2 Zadania

2.1 Zadania na 3.0

• dokonać transformaty Fouriera dla wybranych obrazów

• wyświetlić widmo amplitudowe i fazowe

• dokonać tranformaty falkowej dla wybranych obrazów z linią pod różnymi kątami, okręgiem, kołem, trójkątem, kwadratem, pustym kwadratem oraz dla 3 wybranych zdjęć

Wskazówki

• http://www.mathworks.com/help/images/fourier-transform.html

• http://www.mathworks.com/help/wavelet/ug/two-dimensional-discrete-wavelet- analysis.html.

• polecenie wavemenu

• http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html

• http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ifft.html

(6)

• http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fft2.html

• http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ifft2.html 2.2 Zadania na 4.0

• dokonać usuwanie szumów oraz kompresję dla 3 wybranych obrazów z wykorzy- staniem falek

Wskazówki:

• http://www.mathworks.com/help/wavelet/examples/de-noising-signals-and- images.html

• http://www.mathworks.com/help/wavelet/examples/data-compression-using- 2d-wavelet-analysis.html

2.3 Zadania na 5.0

• analiza danych trójwymiarowych falkami Wskazówki:

• http://www.mathworks.com/help/wavelet/examples/wavelet-analysis-for- 3d-data.html

Literatura

[1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompen-

dium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 2004.

Transformacja całkowa to zależność między dwiemia funkcjami f (t) i F (p) określona następująco:

Transformacja falkowa

Marcin Orchel

1 Wstęp

Transformacja całkowa to zależność między dwiemia funkcjami f (t) i F (p) określona następująco:

F (p) =

∞

Z

−∞

K (p, t) f (t) dt

gdzie zmienna t jest rzeczywista, zaś zmienna p jest zespolona p = σ + iω. Zależność ta jest oznaczana symbolem T :

F (p) = T {f (t)}

Twierdzenie 1.1. Jeśli f 1 (t) i f 2 (t) są T -transformowalnymi funkcjami, to T {k 1 f 1 (t) + k 2 f 2 (t)} = k 1 T {f 1 (t)} + k 2 T {f 2 (t)}

gdzie k 1 i k 2 są dowolnymi liczbami.

1.1 Transformata Fouriera

Twierdzenie 1.2. Jeżeli funkcja f (t) spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym przedziale skończonym (a, b), a ponadto całka niewłaściwa

Z ∞

−∞

|f (t)| dt (1)

jest zbieżna, to dla każdego t prawdziwa jest równość

f (t) = 1 π

Z ∞ 0

Z ∞

−∞

f (τ ) cos ω (t − τ ) dτ



dω (2)

Możemy skorzystać ze wzoru

cos ω (t − τ ) = cos ωt cos ωτ + sin ωt sin ωτ (3) i po podstawieniu otrzymujemy

f (t) = 1 π

Z ∞ 0

 cos ωt

Z ∞

−∞ f (τ ) cos ωτ dτ + sin ωt Z ∞

−∞ f (τ ) sin ωτ dτ



dω (4)

czyli

f (t) = Z ∞

0

(a (ω) cos ωt + b (ω) sin ωt) dω (5) gdzie

a (ω) = 1 π

Z ∞

−∞

f (τ ) cos ωτ dτ (6)

b (ω) = 1 π

Z ∞

−∞ f (τ ) sin ωτ dτ (7)

Możemy wyjściowy wzór przekształcić do postaci zespolonej f (t) = 1

2π Z ∞

−∞

e iωt dω Z ∞

−∞

f (τ ) e −iωτ dτ (8)

Przekształcenie Fouriera. Wprowadzamy oznaczenie F (ω) =

Z ∞

−∞ e −iωτ f (τ ) dτ (9)

Po podstawieniu

f (t) = 1 2π

Z ∞

−∞ e iωt F (ω) dω (10)

Interpretacja spektralna. Transformatę F (ω) można zapisać jako

F (ω) = |F (ω)| e iθ(ω) (11)

gdzie |θ(ω) ≤ π. F (ω) - charakterystyka widmowa, widmo funkcji f (t), |F (ω)| - widmo amplitudowe funkcji f (t), oraz θ(ω) - widmo fazowe funkcji f (t).

1.2 Dyskretna transformacja Fouriera Obliczenie sumy postaci

c k+1 =

N −1

X

j=0

f j+1 e −2ijkπ/N (12)

dla k = 0, . . . , N − 1, f = [f 1 , . . . , f N ] T jest danym wektorem.

Operacja odwrotna

f k+1 = 1 N

N −1

X

j=0

c j+1 e 2ijkπ/N (13)

dla k = 0, . . . , N − 1.

Obliczenie współczynników Fouriera dla funkcji f (x) o okresie 2π a j = 1

π Z 2π

Twierdzenie 1.1. Jeśli f 1 (t) i f ₂ (t) są T -transformowalnymi funkcjami, to T {k ₁ f 1 (t) + k ₂ f 2 (t)} = k ₁ T {f ₁ (t)} + k ₂ T {f ₂ (t)}

gdzie k ₁ i k ₂ są dowolnymi liczbami.

Z ∞

cos ωt

e ^iωt dω Z ∞

f (τ ) e ^−iωτ dτ (8)

−∞ e ^−iωτ f (τ ) dτ (9)

−∞ e ^iωt F (ω) dω (10)

F (ω) = |F (ω)| e ^iθ(ω) (11)

f j+1 e ^−2ijkπ/N (12)

dla k = 0, . . . , N − 1, f = [f ₁ , . . . , f N ] ^T jest danym wektorem.

f _k+1 = 1 N

c _j+1 e ^2ijkπ/N (13)

Obliczenie współczynników Fouriera dla funkcji f (x) o okresie 2π a _j = 1

b _j = 1 π

e ^ijx = cos (jx) + i sin jx (16)

c _j = 1 2π

f (x) e ^−ijx dx (17)

f (x k ) e ^−ijx

z węzłami x _k = k ^2π _N .

ψ (x) = 1 − x ² e ^−x

^/2 (21)

µ _k = Z ∞

t ^k ψ (t) dt (24)

Najmniejsza liczba naturalna n, dla której µ _n 6= 0 nazywamy rzędem falki ψ. Dla falki Haara rząd wynosi 1, dla kapelusza meksykańskiego 2.

t a

(25) dla a 6= 0. Gdy |a| > 0 funkcja ψ(t) ulega przeskalowaniu, gdy a < 0 ulega dodatkowo odbiciu. Liczba 1/ ^p |a| to czynnik skali. Z pomocą drugiego parametru b funkcję ψ _a (t) poddaje się jeszcze translacji. Otrzymujemy

t − b a

Transformacja falkowa jest zdefiniowana następująco L _ψ f (a, b) = c

f (t) ψ _a,b (t) dt = c p |a|

t − b a

t − b a