Transformaty Całkowe i Wstęp do Teorii Dystrybucji, MiNI PW, rok akad. 2019/20 1 11. TRANSFORMACJA FOURIERA #2 – DYSTRYBUCJE TEMPEROWANE Niech Frfs “ pf oznacza transformatę Fouriera f P S

Transformaty Całkowe i Wstęp do Teorii Dystrybucji, MiNI PW, rok akad. 2019/20 1

11. TRANSFORMACJA FOURIERA #2 – DYSTRYBUCJE TEMPEROWANE Niech F rf s “ pf oznacza transformatę Fouriera f P S¹pRⁿq. Ponadto, dla dowolnego x0 P Rⁿ zdefiniujmy operator T_x0: D¹pRⁿq Ñ D¹pRⁿq poprzez wzór

@_{f PD}¹_pRⁿ_q@_ϕPDpRⁿ_q xTx0f, ϕy “ xf, T_´x0ϕy , gdzie T_x0ϕpxq “ ϕpx ´ x₀q, x “ px1, . . . , x_nq P Rⁿ.

1. Niech f P S¹pRⁿq. Wykazać, że

a) dla dowolnego wielowskaźnika α zachodzi: pD^αf qp“ p2πiξq

αf ,p b) dla dowolnego wielowskaźnika α zachodzi: `

p´2πixq^αf˘ p“ D

αf ,p c) dla dowolnego x₀ P Rⁿ zachodzi: pTx0f qp“ e

´2πix0¨ξf ,p d) dla dowolnego ξ₀ P Rⁿ zachodzi: pe^2πix¨ξ0f qp“ Tξ₀f .p

Dla dowolnej f P D¹pRⁿq, niech qf oznacza dystrybucję daną wzorem

@_ϕPDpRⁿ_q x qf , ϕy “ xf,ϕy ,q gdzie ϕpxq “ ϕp´xq.q

2. Niech f P S¹pRⁿq. Wykazać, że a) `

fq˘ p“`

fp˘

q, b) pf qpp“f .q

3. Niech ξ P Rⁿ. Wyznaczyć transformaty Fouriera dystrybucji temperowanych generowanych przez funkcje f : RⁿÑ C:

a) f pxq “ 1, b) f pxq “ e^2πix¨ξ0,

c) f pxq “ cosp2πx ¨ ξ₀q, d) f pxq “ sinp2πx ¨ ξ₀q.

4. Niech P.V.¹_x oznacza operator liniowy dany wzorem

@_ϕPSpRq xP.V.1

x, ϕy “ P.V.

ż

R

1

xϕpxq dx “ lim

εÑ0^`

ż

|x|ąε

1

xϕpxq dx.

Wykazać, że P.V.¹_x jest dystrybucją temperowaną, a jej transformatą Fouriera jest dystrybucja generowana przez funkcję

F pξq “ ´iπ sgn ξ.

5. Wykorzystując równość Plancherela obliczyć a)

ż_`8

´8

dx

p1 ` x²q², b)

ż_`8

´8

sin²x x² dx.