Wykład 6 i 7 Prąd elektryczny. Pole magnetyczne.

(1)

Wykład 6 i 7

Prąd elektryczny. Pole magnetyczne.

Maciej J. Mrowiński

mrow@if.pw.edu.pl

Wydział Fizyki Politechnika Warszawska

5 kwietnia 2017

(2)

Prąd elektryczny Definicja

Prąd elektryczny

Prąd elektryczny to

uporządkowany ruch ładunków.

Pojedynczy poruszający się ładunek to też prąd (ale nie stały).

- -

-

- ^v

(3)

Gęstość prądu

gęstość liniowa (natężenie prądu) I = λv

gęstość powierzchniowa K = σv gęstość objętościowa

J = pv

v vΔt

∆q = λv ∆t

∆q

∆t = I = λv

(4)

Gęstość prądu

gęstość liniowa (natężenie prądu) I = λv

gęstość powierzchniowa K = σv gęstość objętościowa

J = pv Gęstość mówi o ilości ładunku przepływającego przez jednostkowy przekrój przewodnika na jednostkę czasu.

vΔt v

Δl n

^{^}

∆q = σv ˆ vˆ n∆t∆l

∆q

∆t∆l = σ(v ˆ v)ˆ n = σˆ vˆ n = ˆ Kˆ n

(5)

Gęstość prądu

gęstość liniowa (natężenie prądu) I = λv

gęstość powierzchniowa K = σv gęstość objętościowa

J = pv

n

^{^}

v Δa vΔt

∆q = pv ˆ vˆ n∆t∆a

(6)

Prąd elektryczny Równanie ciągłości

Równanie ciągłości

Zmiana ładunku w pewnej objętości jest równa sumarycznemu ładunkowi, który wypłynął lub wpłynął przez brzeg ograniczający tę objętość.

Postać całkowa:

d dt

Z

V

pd τ = − Z

S

∇ˆ Jd a Postać różniczkowa:

∂p

∂t = −∇ˆ J

+ +

-

- -

+

+ +

-

(7)

Pole magnetyczne Własności

Pole magnetyczne

Poruszające się ładunki wytwarzają pole magnetyczne.

Pole magnetyczne można opisać przy pomocy wektora indukcji magnetycznej B.

W przeciwieństwie do pola

elektrycznego, pole magnetyczne

jest bezźródłowe. Monopole

magnetyczne nie istnieją a linie

(8)

Pole magnetyczne - wizualizacja

Nieskończony przewodnik:

(9)

Pole magnetyczne - wizualizacja

Dwa nieskończone przewodniki (ten sam kierunek prądu):

(10)

Pole magnetyczne - wizualizacja

Dwa nieskończone przewodniki (przeciwny kierunek prądu):

(11)

Pole magnetyczne - wizualizacja

Pętla z prądem (okrąg):

(12)

Pole magnetyczne Siła działająca na ładunki

Siła magnetyczna

Na ładunki poruszające się w polu magnetycznym działa siła Lorentza:

F _m = qv × B Najczęściej mamy więc:

F = q (E + v × B)

B v F v

B

F

(13)

Przykład

(14)

Siła działająca na przewodnik

Prąd liniowy (natężenie I):

d F = dq v × B = λdl v × B

= dl I × B = Id l × B Dla całego przewodnika:

F = I Z

L

d l × B Gdy B jest stałe:

F = I

Z

L

d l

× B = IL × B

Gdy B ⊥ L: F = BIL

r

₂

r

₁

L

(15)

Siła działająca na przewodnik

Prąd powierzchniowy:

d F = σda v × B = da K × B Prąd objętościowy:

d F = pd τ v × B = d τ J × B r

₂

r

₁

L

(16)

Pole magnetyczne Prawo Ohma

Prawo Ohma

Dla większości substancji zachodzi:

J = σf = 1 p f

Gdzie σ - przewodność elektryczna właściwa; p - opór elektryczny właściwy; f - siła na jednostkę ładunku, np.:

f = E + v × B Gdy v jest mała:

J = σE

Równanie to nazywamy prawem Ohma.

Bardziej znana wersja:

I = ∆V R

gdzie R - opór elektryczny, którego

jednostką jest om [Ω].

(17)

Przykład

(18)

Łączenie oporników

równolegle

ΔV I

₁

,R

₁

I

₂

,R

₂

R _z = 1 R ₁ + 1

R ₂

−1

szeregowo

ΔV R

₁

, ΔV

₁

R

₂

, ΔV

₂

I

R _z = R ₁ + R ₂

(19)

Pole magnetyczne Wyznaczanie pola

Prawo Biota-Savarta

Wkład do pola magnetycznego pochodzący od małego fragmentu przewodnika d l wynosi:

d B(r) = µ ₀ 4π

I × ˆ w

w ² dl ⁰ = µ ₀ I 4π

d l ⁰ × ˆ w w ² gdzie µ ₀ - przenikalność magnetyczna próżni. Analogicznie dla prądów powierzchniowych:

d B(r) = µ 0

4π K × ˆ w

w ² da ⁰ _r

r’

w

dl

(20)

Pole magnetyczne Własności pola magnetycznego

Własności pola magnetycznego

Dywergencja pola B:

∇B(r) = ∇ Z µ 0

4π J × ˆ w

w ² d τ ⁰ = 0 Rotacja pola B:

∇ × B(r) = ∇ × Z µ 0

4π J × ˆ w

w ² d τ ⁰

= µ 0 J(r)

Wyrażenie na rotację pola B nosi

nazwę prawa Ampere’a.

(21)

Własności pola magnetycznego

Dywergencja pola B:

∇B(r) = ∇ Z µ 0

4π J × ˆ w

w ² d τ ⁰ = 0 Rotacja pola B:

∇ × B(r) = ∇ × Z µ 0

4π J × ˆ w

w ² d τ ⁰

= µ 0 J(r)

Wyrażenie na rotację pola B nosi

(22)

Prawo Ampere’a

Prawo Ampere’a z postaci różniczkowej

∇ × B(r) = µ ₀ J(r) może być przekształcone do postaci całkowej

I

Bd l = µ ₀ I

(23)

Prawo Ampere’a - zastosowanie praktyczne

Jeżeli B k d l, wówczas I

Bd l = I

Bdl Jeżeli B jest stałe na krzywej całkowania, wówczas

I

Bdl = B I

dl = BL

Ostatecznie

(24)

Przykład

(25)

Pole magnetyczne Potencjał wektorowy

Twierdzenie Helmholtza

Pole wektorowe F możemy przedstawić jako

F = −∇V (gdzie V to skalarny potencjał), jeżeli ∇ × F = 0

F = ∇ × A (gdzie A to wektorowy potencjał), jeżeli ∇F = 0 Twierdzenie Helmholtza

Jeżeli pole wektorowe F zanika w nieskończoności, wówczas możemy je przedstawić jako

F = −∇V + ∇ × A

(26)

Twierdzenie Helmholtza

Pole wektorowe F możemy przedstawić jako

F = −∇V (gdzie V to skalarny potencjał), jeżeli ∇ × F = 0 F = ∇ × A (gdzie A to wektorowy potencjał), jeżeli ∇F = 0

Twierdzenie Helmholtza

Jeżeli pole wektorowe F zanika w nieskończoności, wówczas możemy je przedstawić jako

F = −∇V + ∇ × A

(27)

Twierdzenie Helmholtza

Pole wektorowe F możemy przedstawić jako

F = −∇V (gdzie V to skalarny potencjał), jeżeli ∇ × F = 0 F = ∇ × A (gdzie A to wektorowy potencjał), jeżeli ∇F = 0 Twierdzenie Helmholtza

Jeżeli pole wektorowe F zanika w nieskończoności, wówczas możemy je przedstawić jako

F = −∇V + ∇ × A

(28)

Potencjał wektorowy

Pole B nie jest zachowawcze (∇ × B 6= 0), nie można go więc wyrazić poprzez gradient potencjału skalarnego.

Ale ∇B = 0, a to oznacza, że istnieje wektorowy potencjał A taki że

B = ∇ × A

Dywergencja potencjału A jest z założenia zerowa

∇A = 0

(29)

Potencjał wektorowy

Potencjał wektorowy dla prądów liniowych

A(r) = µ 0

4π

Z Idl ⁰ w powierzchniowych

A(r) = µ 0

4π

Z Kda ⁰

w

liniowych

(30)

Przykład

(31)

Potencjał dipola magnetycznego

Dla prądów liniowych można wprowadzić pojęcie magnetycznego momentu dipolowego

m = I Z

d a

i przy jego pomocy wyrazić potencjał wektorowy dipola magnetycznego jako

µ 0 m × ˆr

I

r

(32)

Przykład

(33)

Magnetyzacja Materiały w polu

Podział materiałów

Paramagnetyki - problem pomocniczy.

Na ramkę z prądem działa moment siły równy

τ = m × B

Magnetyczny moment dipolowy ramki ustawia się zgodnie z

F

B

(34)

Podział materiałów

Paramagnetyki - substancje ulegające namagnesowaniu zgodnie z kierunkiem wektora B.

Elektrony posiadają momenty dipolowe związane ze spinami i momenty te ustawiają się zgodnie z polem.

Paramagnetyzm występuje

głównie w atomach i cząstkach o

nieparzystej liczbie elektronów.

(35)

Podział materiałów

Diamagnetyki - substancje ulegające namagnesowaniu przeciwnie do wektora B.

Elektrony krążące wokół jądra tworzą prąd, z którym związany jest magnetyczny moment dipolowy. Na skutek

zewnętrznego pola elektrony

zwalniają/przyspieszają na

orbitach co zmienia moment

dipolowy przeciwnie do pola.

(36)

Podział materiałów

Ferromagnetyki - można przy ich pomocy wytworzyć magnesy stałe (namagnesowanie nie zanika po wyłączeniu zewnętrznego pola, w przeciwieństwie do diamagnetyków i

paramagnetyków). Składają się z domen magnetycznych -

obszarów o takim samym

namagnesowaniu.

(37)

Magnetyzacja

Zewnętrzne pole magnetyczne powoduje magnetyzację

(uporządkowanie magnetycznych momentów dipolowych).

Wektor magnetyzacji:

M = magnetyczny moment dipolowy objętość

Potencjał wektorowy wokół

namagnesowanego ciała:

(38)

Magnetyzacja

Zewnętrzne pole magnetyczne powoduje magnetyzację

(uporządkowanie magnetycznych momentów dipolowych).

Wektor magnetyzacji:

M = magnetyczny moment dipolowy objętość

Potencjał wektorowy wokół namagnesowanego ciała:

A(r) = µ ₀ 4π

Z M × ˆ w w ² d τ ⁰

B

(39)

Prądy swobodne i związane

Potencjał wytwarzany przez

namagnesowane ciało można zapisać jako:

A(r) = µ 0

4π Z

S

K zw da ⁰ w + µ 0

4π Z

V

J zw d τ ⁰ w gdzie

K zw = M × ˆ n

to gęstość powierzchniowych prądów związanych, a

J

_zw

K

_zw

(40)

Prądy swobodne i związane - interpretacja

(41)

Prądy swobodne i związane - interpretacja

(42)

Wektor natężenia pola magnetycznego

Wektor natężenia pola

magnetycznego H definiujemy jako:

H = 1 µ 0

B − M Prawo Ampere’a dla H:

I

H d l = I sw

lub:

∇ × H = J _sw (r)

gdzie I _sw - prąd swobodny; J _sw

gęstość objętościowa prądów

swobodnych.

(43)

Ośrodki liniowe

Dla wielu materiałów zachodzi:

M = χ _m H

gdzie χ _m - podatność magnetyczna ośrodka.

Jest to równoważne:

M = χ m

µ 0 (1 + χ m ) B = χ m

µ 0 µ r

B = χ m

µ B gdzie µ _r = 1 + χ m - względna

B

Wykład 6 i 7 Prąd elektryczny. Pole magnetyczne.

Wykład 6 i 7

Prąd elektryczny. Pole magnetyczne.

Maciej J. Mrowiński

Wydział Fizyki Politechnika Warszawska

5 kwietnia 2017

Prąd elektryczny

Prąd elektryczny to

uporządkowany ruch ładunków.

Pojedynczy poruszający się ładunek to też prąd (ale nie stały).

- -

- -

- -

- -

-

- v

Gęstość prądu

gęstość liniowa (natężenie prądu) I = λv

gęstość powierzchniowa K = σv gęstość objętościowa

J = pv

v vΔt

∆q = λv ∆t

∆q

∆t = I = λv

Gęstość prądu

gęstość liniowa (natężenie prądu) I = λv

gęstość powierzchniowa K = σv gęstość objętościowa

J = pv Gęstość mówi o ilości ładunku przepływającego przez jednostkowy przekrój przewodnika na jednostkę czasu.

vΔt v

Δl n

∆q = σv ˆ vˆ n∆t∆l

∆q

∆t∆l = σ(v ˆ v)ˆ n = σˆ vˆ n = ˆ Kˆ n

Gęstość prądu

gęstość liniowa (natężenie prądu) I = λv

gęstość powierzchniowa K = σv gęstość objętościowa

J = pv

n

v Δa vΔt

∆q = pv ˆ vˆ n∆t∆a

Równanie ciągłości

Zmiana ładunku w pewnej objętości jest równa sumarycznemu ładunkowi, który wypłynął lub wpłynął przez brzeg ograniczający tę objętość.

Postać całkowa:

d dt

Z

V

pd τ = − Z

S

∇ˆ Jd a Postać różniczkowa:

∂p

∂t = −∇ˆ J

+ +

+ +

-

- -

+

+ +

-

Pole magnetyczne

Poruszające się ładunki wytwarzają pole magnetyczne.

Pole magnetyczne można opisać przy pomocy wektora indukcji magnetycznej B.

W przeciwieństwie do pola

elektrycznego, pole magnetyczne

jest bezźródłowe. Monopole

magnetyczne nie istnieją a linie

Pole magnetyczne - wizualizacja

Nieskończony przewodnik:

Pole magnetyczne - wizualizacja

Dwa nieskończone przewodniki (ten sam kierunek prądu):

Pole magnetyczne - wizualizacja

Dwa nieskończone przewodniki (przeciwny kierunek prądu):

Pole magnetyczne - wizualizacja

Pętla z prądem (okrąg):

Siła magnetyczna

Na ładunki poruszające się w polu magnetycznym działa siła Lorentza:

F m = qv × B Najczęściej mamy więc:

F = q (E + v × B)

B v F v

B

F

- ^v

F _m = qv × B Najczęściej mamy więc:

Z

R _z = 1 R ₁ + 1

R ₂

−1

R _z = R ₁ + R ₂

d B(r) = µ ₀ 4π

w ² dl ⁰ = µ ₀ I 4π

d l ⁰ × ˆ w w ² gdzie µ ₀ - przenikalność magnetyczna próżni. Analogicznie dla prądów powierzchniowych:

w ² da ⁰ _r

w ² d τ ⁰ = 0 Rotacja pola B: