Wykład 14: Pole magnetyczne

Wykład 14: Pole magnetyczne

dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl

http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/

Wektor indukcji pola magnetycznego, siła Lorentza

 Jeżeli na dodatni ładunek q

poruszający się z prędkością działa siła zakrzywiająca

tor ładunku – jak na rysunku, to w punkcie P istnieje indukcja magnetyczna .

B F

v 

F

B 

q +

) (v B q

F_L  



=

0

0  =

= F_L

v 

= max



⊥ B F_L v  

) , sin( Bv B

v q

F_L    

=

= 0

 F_L B

v  

v q B F^L

= ^max

F Dla cząstki

ujemnej lub inaczej – dla dodatniej

 ()

 





 

B pola E od

pola od

B v q E

q

F =  + 

v q B F^L

= ^max

















= 





= ₂

s A

kg s

s m A T N

 Ruch cząsteczki w polu E i B

• Ruch w skrzyżowanych polach

B  E 

⊥

jeżeli v B E

−

=

 to

B

tor cząstki i jej prędkość nie ulegną zmianie

𝐹_𝐿 = −𝐹_𝐸

𝑣𝐵 = 𝐸

Doświadczenie Thomsona – wyznaczenie e/m elektronu

▪ Przyspieszenie napięciem U

▪ Pole magnetyczne skrzyżowane z polem elektrycznym – tor prostoliniowy:

 1897 r. Cambridge, J.J. Thomson,

wyznaczył q/m dla elektronu -

odkrycie elektronu

m v eU

eU mv 2

2

2  =

=

evB eE =

kg C UB

E m

e ₁₀

2 2

10 56 , 2 =17 

=

m B E = 2Ue

U

E

B

Wiązka elektronów przechodzi bez odchylenia przez lampę

oscyloskopową kiedy natężenie pola elektrycznego wynosi 3000 V/m, a indukcja skrzyżowanego z nim pola magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) = 10^-4 T. Długość płytek odchylających wynosi x₁= 4 cm, a odległość od końca płytek do ekranu wynosi x₂= 30 cm.

Oblicz pionowe odchylenie wiązki na ekranie przy wyłączonym polu magnetycznym

 Zadanie

Efekt Halla

d Vu – prędkość unoszenia FL – siła Lorentza

V_b

_ _ _ _ V_b

V_u Θ e

h ^Vu i FL

Θ e E Θ B

+ + + + V_a + + + + + + + + +++++

B V_a

Uab = Va - Vb

) (V B e

E e

F  _u 

 +

= siły się równoważą więc ^{eE = eV}_u^B

ponieważ j = neV_u więc powstałe pole elektryczne B ne E = j

z pomiaru napięcia Halla U_ab:

ne B d h

i h

E U^ab

= 

= stąd _{R B}

d U_ab = i _H gdzie

R_H ne1

= jest stałą Halla Z czego zrobić hallotron?

i

= 𝑖 ℎ𝑑

𝐵 𝑛𝑒

Silnik napędu 3,5”

Odwrócony rotor z magnesem stałym.

Czujnik wykrywa położenie wirnika sterując prądem w cewkach

Zastosowanie hallotronów

Przewaga nad indukcyjnym czujnikiem:

wykrywane jest również stałe pole.

Czujnik położenia/obrotu prędkości obrotowej: dwa magnesy stałe mijające hallotron.

Silniki bezszczotkowe – np. w napędach dysków

Czujnik prędkości obrotowej koła w systemie ABS

źródło zdjęć:

Wikipedia

Cyklotron

 siła Lorentza jest siłą dośrodkową

stąd

jest to tzw. częstotliwość cyklotronowa.

 Jeżeli obserwujemy różne promienie torów r₁ > r₂ ^dwóch cząstek o jednakowych ładunkach i prędkościach gdzie

 m₁ > m₂ wykorzystanie → spektroskopia masowa.

r qVB mV

= 2

qB r = mV

m qB V =r

 = skoro

m f qB







2 2 =

=



B V q r₁ = m¹

B V q r₂ = m²

>

B

-e -e

 Cyklotron (1932r.)

dostrajamy generator napięcia zmiennego do

częstotliwości cyklotronowej

energia cząstek zależy od promienia

gdzie prędkość cząstki

stąd energia kinetyczna



m f qB



0 = 2

qB R = mV

m V = qBR

m R B mV q

E_k

2 2

2 2 2 2

=

=

Wykorzystanie:

- reakcje jądrowe

- eksperymenty fizyki wys. energii - promieniowanie synchrotronowe.

Ernest O. Lawrence (USA) 1931 r. – 10 cm Ø, 80 keV 1933 r. – 70 cm Ø, 1,2MeV Środowiskowe Laboratorium Ciężkich

Jonów w Warszawie:

2 m Ø, 10 MeV/ jedn. masy

Siła elektrodynamiczna

 Przewodnik z prądem w polu magnetycznym  ruch

dużej ilości ładunków, na które działają siły Lorentza – ich wypadkowa to siła elektrodynamiczna

 Zastosowanie:

▪ Silnik elektryczny

▪ Mierniki analogowe

) ( B F   



= l i

l

 Silnik elektryczny

ramka z prądem w polu magnetycznym.

 Analogowy miernik – woltomierz, amperomierz, galwanometr.

Na ramkę z prądem w zewnętrznym polu magnetycznym działa moment siły

B μ

τ   



= ^{μ  − moment magnetyczn y}

Dla porównania: dla dipola

elektrycznego

 p  E 



M =

Przykład

Przez wygięty, sztywny drut o wymiarach jak na rysunku, przepuszczono prąd I.

Drut znajduje się w polu magnetycznym o indukcji 𝐵₀ skierowanym za płaszczyznę.

Określ kierunek i oblicz wartość siły działającej na drut.

Odp.: F = 2𝐼𝐵₀𝑅, kierunek 

Moment magnetyczny

Pod wpływem momentu siły ramka ustawia się prostopadle do

kierunku wektora indukcji pola magnetycznego, tak aby μ B

Moment magnetyczny

definiowany jest dla każdego zamkniętego obwodu, przez który płynie prąd I:

μ  = NIA n ˆ

liczba zwojów pole powierzchni

wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni A

Dipol magnetyczny

 magnes sztabkowy (μ≈5 J/T)

 Ziemia (w przybliżeniu

μ

 większość cząstek

elementarnych, np.

elektron (

μ

proton (

μ

neutron (

μ

Moment magnetyczny charakteryzuje każdy dipol magnetyczny. Dipolem magnetycznym jest nie tylko ramka (pętla, cewka), przez który płynie prąd lecz również:

 Moment magnetyczny cząstki mikroskopowej powstaje na skutek jej ruchu w przestrzeni (np. ruch orbitalny

elektronu w atomie) lub jest to tzw. wewnętrzny moment magnetyczny, nie związany z żadnym ruchem – mają go cząstki obdarzone spinem (przy czym moment

magnetyczny jest związany ze spinem poprzez czynnik giromagnetyczny).

Neutron ma ujemny moment

magnetyczny, co oznacza, że gdy spin neutronu jest skierowany w górę, to linie pola magnetycznego w środku dipola są skierowane w dół.

strzałka symbolizuje rzut spinu na kierunek zewnętrznego pola

magnetycznego

Na moment magnetyczny atomu składają się: wypadkowy moment magnetyczny elektronów oraz

moment magnetyczny jądra.

 Energia potencjalna dipola magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym.

B μ 

 

−

p

= E

najwyższa energia E_p

najniższa energia E_p

Dla porównania: energia dipola elektrycznego w zewnętrznym polu elektrycznym

E p 

 

−

p = E

Dipol oddziałując z zewnętrznym polem magnetycznym przyjmie minimum energii potencjalnej, tzn., że jego biegun N znajdzie się bliżej bieguna S ciała

wytwarzającego zewnętrzne pole magnetyczne, a wektor Ԧ𝜇 będzie zgodny z wektorem 𝐵.

Dipol - podsumowanie

E p 

 = 



m B

 

 =  



E p

E_p 



−

=

B E_{p m} 

 



−

=

0 3

4 1

x E p

= 

3 0

2 x B ^m



= 

Własności dipola typ dipola wzór moment siły w polu

zewnętrznym

elektryczny magnetyczny energia w polu

zewnętrznym

elektryczny magnetyczny pole w odległych punktach

na osi dipola

elektryczny magnetyczny

Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda

Kiedy przez przewodnik płynie prąd, igła odchyla się od kierunku pola

magnetycznego Ziemi. Dlaczego?

Kiedy przez przewodnik nie płynie prąd, igła

ustawia się wzdłuż kierunku pola magnetycznego

ziemskiego

Wyznaczanie składowych pola magnetycznego ziemskiego

Busola stycznych

Instrument został po raz pierwszy opisany przez francuskiego fizyka Claude

Pouillet'a w 1837 roku 𝑡𝑔𝛼 = 𝐵

𝐵₀ =

𝜇₀𝑛𝐼 2𝑅

𝐵₀

Prawo Amper’a

 ⁼

C

C o

I d l  B 

 

prąd wewnątrz

konturu całkowania C krążenie pola

magnetycznego

μ_o - przenikalność magnetyczna próżni, stała uniwersalna

μ

= 4 π  10

T  m / A

kontur całkowania

I

=i

-i

 Pole magnetyczne wokół przewodnika prostoliniowego

dl

l B 

d B=const na krzywej C (kontur całkowania jest okręgiem )

krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r

rB dl

B d

C C

π

= 2

= 

 ^{B    l}

 Przewodnik o promieniu R, przez który płynie prąd I:

korzystając z prawa Ampère’a

2 π rB = μ

i

r B

i

π 2

= μ



rB π 2 d

C

 ^{B    l} =

krążenie wektora indukcji magnetycznej po okręgu o promieniu r wyraża się tym samym wzorem dla r<R i r>R

2

2 π

π R

I r

j = I^C =

Obliczamy natężenie prądu I_C wewnątrz konturu (r<R):

gęstość prądu j jest stała

2 2

r R I

= I

Pole magnetyczne w odległości r od przewodnika

Czy istnieje pole magnetyczne wewnątrz przewodnika ?

 Pole magnetyczne wewnątrz solenoidu

 ⁼

C

C o

I d l  B 

 

Z prawa

o 2

μ π

2 r

R Br = I

R r B

I

π 2

= μ

pole magnetyczne wewnątrz przewodnika pole magnetyczne na zewnątrz przewodnika:

r B

i

π 2

= μ

Solenoid wytwarza jednorodne pole magnetyczne i pełni podobną rolę jak kondensator płaski w elektrostatyce

solenoid

magnes sztabkowy







 ⁼  ^{+ + +}

d d

c c

b C

b a

d d

d d

d l B l B l B l B l

B 

 

 



 



 



 



B·h 0 0 0

dlaczego?

pole jednorodne

l B 

d

B   l

⊥ d

C C

o

I Bh

 ^{B  } d ^{ l = = μ I}

^{= ( nh ) i}

liczba zwojów na

jednostkę długości natężenie prądu w uzwojeniu solenoidu

ni B = μ

solenoid idealny

nieskończony solenoid

gdzie

 Zadanie.

Wykorzystać prawo Ampère’a do znalezienia wartości

wektora indukcji wewnątrz toroidu, przez który płynie prąd o natężeniu I.

wewnątrz toroidu:

r B NI

π 2 μ_o

=

N - liczba zwojów toroidu

ර 𝑩°𝑑𝒍 = 𝜇₀𝐼 𝐵 2𝜋𝑟 = 𝜇₀𝑁𝐼 na zewnątrz toroidu:

ׯ 𝑩°𝑑𝒍 = 𝜇₀ 𝐼_{𝑤𝑝ł𝑦} − 𝐼_{𝑤𝑦𝑝ł} = 0 lub

ර 𝑩°𝑑𝒍 = 0 w środku toroidu:

Oddziaływanie równoległych przewodników z prądem

d B

i

π 2 μ

1

=

pole magnetyczne wytworzone przez prąd I₁

siła działająca na przewód z

prądem I₂ ma wartość

1 2

2

L B

F   



= I

d I I F

L

π 2

μ

2



= 

Definicja ampera: 1A jest to natężenie prądu stałego, który płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o znikomo małym przekroju poprzecznym, umieszczonych w próżni w

odległości 1m, wywołuje między tymi przewodami siłę o wartości 2·10^-7 N na każdy metr długości przewodu.

A. Rossi, T. Tanttu, et al.. arXiv:1406.1267 [cond-mat.mes-hall]

Nowa definicja ampera – oparta na kwantowych urządzeniach nanometrycznych używanych w temperaturach bliskich zera absolutnego. Urządzenia te nazywane są pompami jednoelektronowymi (SEP), ponieważ precyzyjnie emitują jeden elektron na raz i zapewniają większą dokładność i stabilność przy wytwarzaniu prądu

elektrycznego niż jakiekolwiek inne urządzenie.

Nanotranzystory krzemowe, wykorzystujące tzw. Kropki kwantowe dają

możliwości dokładnego dostrojenia wielkości kropki kwantowej, co skutkuje

znacznym zwiększeniem dokładności prądu elektrycznego – 80 pA z niepewnością 50 ppm (parts per milion).

Oznacza to, że co sekundę udaje się wyizolować i przenieść 1 miliard elektronów z błędem nieprzekraczającym 500 elektronów !

Prawo Biota-Savarta

3 o

r d I π 4

d μ l r

B

 

 

=

Zasada superpozycji obowiązuje nie tylko w elektrostatyce:

3 0

4 r

r l I d B

 

 = ^+





− 



 Przykład – przewodnik prostoliniowy dx  x r R

 i







−

= ⁰ sin₂

4 r

i dx

dB 



 gdzie

2

2 R

x

r = +

( )

2

sin 2

sin

R x

R

= +

−

=  



𝑑𝐵 = 𝜇₀𝐼 4𝜋

𝑑𝑙 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑟²

Zauważmy że:

ze względu na symetrię

(

)

= ^





− 2 2 3/2 0

4 x R

dx i R

B 



( )

+



+ ^{2 1/2} − 2

0

4 x R

i x





R B i



 2

= 0



 Przykład – przewodnik kołowy ^{dl ©}

R r dB⊥ dB



X dB||



r B

d  

⊥





= dB_||

B

dB|| = dB  cos 

R x

R r

R

= +

 =

0 2

0 sin 90

4 

= dl

r dB i





^

(

)

^

^

(

)

2 0

2 R x B iR

= +

dB

w środku przewodnika kołowego – dla x = 0

jeżeli x >> R to - jak pole od dipola Jeżeli mamy N zwojów, każdy o powierzchni S =



gdzie _m jest magnetycznym momentem dipolowym cewki o N-zwojach.

R i R

B iR 2 2

0 3

2

0 

 =

=

3 2 0

2x B  iR

= ^{~ 1}₃

B x



3 0

2 x B NiS



=



2 x

B ^m



= 



Przykłady

 W pobliżu ziemskich biegunów pole magnetyczne jest równe ok. 1 G (10⁻⁴𝑇). Gdyby wnętrze Ziemi przestało wytwarzać pole magnetyczne, a na równiku opasano by Ziemię pojedynczą pętlą przewodzącą, to jakie natężenie prądu wytworzyłby takie samo pole magnetyczne?

𝜇₀ ≈ 12,57 ∙ 10^{−7 𝑁}

𝐴² 𝑅_𝑍 ≈ 6,4 ∙ 10⁶ 𝑚

 Do przewodzącej pętli o promieniu R dołączono dwa przewodniki o długości R przez które przepływa prąd o

natężeniu I. Obliczyć indukcję w środku kołowej pętli.

Pole magnetyczne a elektryczne

Linie pola elektrycznego zaczynają się i kończą na ładunku elektrycznym

Linie pola magnetycznego tworzą zamknięte pętle. Na niczym się nie zaczynają i nie kończą

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Brak monopoli magnetycznych.

Magnes czy pętla z prądem stanowią dipol magnetyczny Istnieje pojedynczy ładunek

punktowy – monopol elektryczny

Treścią prawa Gaussa dla magnetyzmu jest fakt, że pole

magnetyczne jest bezźródłowe. Strumień pola magnetycznego przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru. Nie

można wyodrębnić pojedynczego bieguna magnetycznego – nie istnieją monopole magnetyczne.

εo

= ρ E

div B = 0

div



S

S q d E

0

 





S

S d

B  0



0

= d =





S

B S

  B

Przypomnienie - operatory

Pole ^Funkcja _pola Działanie na funkcji pola

Oznaczenie działania i

określenie Wynik

działania

skalarne skalar  gradient skalara wektor

wektorowe wektor

dywergencja

wektora skalar

rotacja wektora wektor

grad 









=  +  +   i x j

y k z

div

A A

x

A y

A z

x y z

=  + +











rot

  

A

i j k

x y z

A_x A_y A_z

= 











Twierdzenie Stokes’a

 Podobnie jak twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego wiązało strumień pola przechodzący przez powierzchnię z

dywergencją w punkcie:

 ⁼ 

S V

dV div

d A E

E  

 

ε

div E =  E  = ρ

 



to twierdzenie Stokes’a wiąże krążenie wektora po krzywej C z rotacją w punkcie:

S d l

d

S C

 

 

 



 ^{F = ( rot F )}

S d l

d

S C

 

 

 



 ^{F = ( rot F )}

całka powierzchniowa, po powierzchni S ograniczonej krzywą C  strumień!

oznacza to, że krążenie pola wektorowego po zamkniętym i

zorientowanym konturze C jest równe strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię S

ograniczoną tym konturem.

 



=

S

S d E

rot l

d

E 

 

 



Twierdzenie Stokes’a dla pola elektrycznego:

 Zastosowanie prawa Stokes’a dla pola magnetycznego:





 S

S d B rot l

d

B 

 

 



i =

i oraz





 ⁼

S

S d j l

d

B 

 

 







 ⁼ 

S S

S d j S

d B t

ro 

 

 





→

→

→

→

→

= j    B = j

B

rot 



A więc:

W zapisie różniczkowym

 ^{B   d l  =}

Z prawa Ampera:



S

S d

j 

 

Prawo Gaussa i Ampera w postaci całkowej i różniczkowej

Pole

elektrostatyczne Pole magnetyczne

Prawo Gaussa

Prawo Ampera



0

S q d E 

0

=  E div 





^

Materiały magnetyczne

Pierwszy znany materiał magnetyczny – magnetyt 𝐹𝑒₃𝑂₄ - Chiny 4 000 p.n.e.

W Europie od XII w – kompas, wyjaśnienie jego działania – 1600 r. William Gilbert.

1820 r. Hans Christian Oersted – obserwacje 1820-23 r. André Marie Ampère - prawo

1831 r. Michael Faraday – indukcja magnetyczna

1873 r. James Clark Maxwell – ogólna teoria elektromagnetyzmu.

Moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości próbki zwany jest namagnesowaniem M.

 = 𝑀

𝐻 = 𝜇₀ 𝑀 𝐵

Materiały magnetyczne charakteryzuje wielkość  zwana podatnością magnetyczną.

Każdy elektron w atomie ma wypadkowy moment magnetyczny (orbitalny + spinowy), który wektorowo sumuje się w ramach atomu i próbki.

𝐵 = 𝜇₀𝐻 → zewnętrzne pole magnetyczne

χ < 0 – substancja jest diamagnetykiem, co

oznacza że pole magnetyczne jest "wypychane"

z takiego ciała (maleje gęstość strumienia pola magnetycznego w porównaniu z próżnią), χ = 0 – brak podatności, np. dla próżni,

χ > 0 – substancja jest paramagnetykiem, co oznacza że pole magnetyczne jest "wciągane"

do takiego ciała (rośnie gęstość strumienia pola magnetycznego w porównaniu z próżnią),

χ >> 0 – substancja jest ferromagnetykiem.

 = 𝑀

𝐻 = 𝜇₀ 𝑀 𝐵

Paramagnetyki – niekompletne orbitale

 niesparowane elektrony  atom ma niezerowy, wypadkowy moment magn.

W zewnętrznym polu – uporządkowanie momentów magnetycznych zgodnie z 𝐵 Gdy 𝐵 = 0 – drgania termiczne niszczą uporządkowanie.

Prawo Curie:



= 𝐶 𝑇

Domeny magnetyczne

ac – pozostałość magnetyczna ad – koercja magnetyczna

Silny magnes – duża pozostałość magn.

Łatwy do przemagnesowania – mała koercja Trwały magnes – duża koercja magnetyczna

Pętla histerezy magnetycznej

Podsumowanie

 Pole magnetyczne w próżni:

pole jest bezźródłowe jest to pole wirowe

 Pole magnetyczne w ośrodku:

 Nie istnieją monopole magnetyczne – nie ma jednobiegunowości!

= 0

→

B div

→

→

= j

B

rot 



= 0

→

B div

→

→

B = j

rot 