__________________________________________
* Politechnika Częstochowska.
Zygmunt PIĄTEK*
Tomasz SZCZEGIELNIAK*
Dariusz KUSIAK*
STRATY MOCY W EKRANACH TRÓJFAZOWEGO SYMETRYCZNEGO TORU WIELKOPRĄDOWEGO
Do przesyłu energii elektrycznej o dużych prądach stosuje się m.in. osłonięte tory wielkoprądowe. W urządzeniach tego typu przepływ prądu wywołuje efekty natury elektromagnetycznej, termicznej oraz dynamicznej. Poprawne wyznaczenie parametrów elektrodynamicznych ma duże znaczenie praktyczne. Wyznaczenie relacji pomiędzy tymi parametrami jest niezbędne w procesie optymalizacji konstrukcji torów wielkoprądowych.
Określenie strat mocy spowodowanych przez indukowane prądy wirowe jest konieczne szczególnie wówczas gdy straty te stanowią znaczną część całkowitych strat mocy w analizowanej konstrukcji. W pracy korzystając z twierdzenia Poyntinga oraz prawa Joule’a-Lenza wyznaczono straty mocy w ekranach jednobiegunowego trójfazowego symetrycznego toru wielkoprądowego. W obliczeniach uwzględniono zewnętrzne oraz wewnętrzne zjawisko zbliżenia.
1. WSTĘP
Do przesyłu energii elektrycznej o dużych prądach stosuje się m.in. osłonięte tory wielkoprądowe. Jednym z rozwiązań konstrukcyjnych torów wielkoprądowych jest tzw. symetryczny tor jednobiegunowy [1-6]. W takim torze osłonięte rurowe przewody fazowe umieszczone są w wierzchołkach trójkąta równobocznego (rys. 3).
Przepływ prądu przemiennego w urządzeniach elektroenergetycznych wywołuje efekty natury elektromagnetycznej, termicznej i dynamicznej, takie jak:
straty mocy, nagrzewanie się konstrukcji układu i otoczenia, siły między poszczególnymi elementami układu. W przypadku torów wielkoprądowych określenie parametrów elektrodynamicznych ma duże znaczenie praktyczne.
Znajomość np. strat mocy spowodowanych przez indukowane prądy wirowe jest niezbędna szczególnie wówczas, gdy straty te stanowią znaczną część całkowitych strat mocy w analizowanej konstrukcji [1-6].
Przekroje poprzeczne ekranów oraz przewodów fazowych są duże dlatego przy wyznaczaniu strat mocy nawet dla częstotliwości przemysłowej należy
uwzględnić zjawisko naskórkowości oraz zewnętrzne (rys. 1) i wewnętrzne zjawisko zbliżenia (rys. 2) [1-6].
I1 J 21
J 21
Rys. 1. Prądy wirowe indukowane w ekranie przez pole magnetyczne prądu własnego przewodu fazowego
x
y z
γ1
Je1
e Hw
Je1 μ0
R3
R4
R1
R2
d
I 2
r Θ X(r,Θ)
Rys. 2. Prądy wirowe indukowane w ekranie przez pole magnetyczne prądu sąsiedniego przewodu fazowego
2. POLE ELEKTROMAGNETYCZNE W EKRANACH SYMETRYCZNEGO TORU WIELKOPRADOWEGO
Rozpatrzmy pole elektromagnetyczne w ekranach trójfazowego symetrycznego toru wielkoprądowego przedstawionego na rysunku 3.
W przypadku symetrycznej linii ekranowanej przedstawionej na rysunku 3 całkowita gęstość prądu w ekranie e1 jest sumą gęstości prądów wytworzonych przez każdy z przewodów, czyli
) , ( )
, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,
( 11 12 13 11 123
1 r Θ J r Θ J r Θ J r Θ J r Θ J r Θ
Je e e e e e (1)
R1
R2
R3
R4
d
L1 L2
L3
e1 e2
μ0 μ0
μ0
d d e3
Rys. 3. Trójfazowy symetryczny tor wielkoprądowy
Całkowita gęstość prądu Je1(r,Θ) zależy od prądów I , 1 I , 2 I . Jeśli prądy te 3 tworzą symetryczną trójkę prądów układu trójfazowego, tzn.
1 3
1
2 π]
3 exp[j2
oraz ] 3π j2
exp[ I I I
I (2)
to gęstość prądu Je1(r,Θ) wyraża się wzorem (1) w którym
0 0 0 0
0
3 1 0
e 3 1 11
) ( )
( π
) 2 π (
) 2
( d
r Γ K c r Γ I b R
I r Γ R j
I r Γ
Je e e e e
(3)
gdzie
) ( ) ( ) ( )
( 4 1 3 1 3 1 4
1
0 I Γ R K Γ R I Γ R K Γ R
d e e e e (3a)
) ( )
( 3 1 4
1
0 K Γ R K Γ R
b e e e (3b)
) ( )
( 3 1 4
1
0 I Γ R I Γ R
c e e e (3c)
) 1 0
(
4
3
e
e R
R
(3d)
natomiast gęstość prądu Je123(r,Θ) określona jest wzorem
1
4
4 1 e 13
12
123 ( )
) π , ( ) , ( ) , (
n ne
n e n
e
e f r
d D R R
I Θ Γ
r J Θ r J Θ r
J (4)
gdzie
3 cos π
3π j2 exp cos
3π j2 -
exp nΘ n Θ
Dn (4a)
oraz
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ) (
(
4 1 3 1 3 1 4 1
3 1 3
1
R Γ K R Γ I R Γ K R Γ I
r Γ K R Γ I r Γ I R Γ r K
f
n e n e
n e n e
n e n e
n e n e
ne
(4b)
przy czym funkcje I0(Γer), K0(Γer), I1(Γer), K1(Γer), In(Γer), Kn(Γer), )
1(Γ r
In e , Kn1(Γer), In1(Γer) i Kn1(Γer) są zmodyfikowanymi funkcjami Bessela odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju, rzędu 0, 1, n, n-1 oraz n+1, obliczane również dla r R3 oraz r R4 [7]. Natomiast Γe jμ0e oznacza zespoloną stałą propagacji, jest pulsacją, e oznacza konduktywność ekranu, a przenikalność magnetyczna próżni μ0 4π107Hm-1.
Całkowite natężenie pola elektrycznego w ekranie e1 możemy wyrazić wzorem
1 4
4 3 0
3 1 e 123
11
1 ( ) 2 ( )
π ) 2 , ( )
( ) , (
n ne
n
e n e e
e
e f r
d D R R r R R j
I Θ Γ
r E r E Θ r
E (5)
W ekranie pierwszym całkowite pole magnetyczne
) , ( )
, ( )
, ( )
, ( )
( )
,
( 11 12 13 1 1
1 r Θ e r e r Θ e r Θ rHer r Θ ΘHeΘ r Θ
e H H H 1 1
H (6)
gdzie He11(r)1ΘHe11Θ(r), w którym
0
e 1 0 e 1 0
3 0
e 3 e11
) ( )
( π
) 2 π (
) 2
( d
r Γ K c r Γ I b R r I
R h r I
H Θ
(7)
a He12(r,Θ) i He13(r,Θ) są polami magnetycznymi w ekranie pierwszym wytworzonymi przez odpowiednie prądy w przewodach drugim i trzecim.
Składowa promieniowa pola magnetycznego
) , ( )
, ( )
, ( )
,
( 12 13 123
1 r Θ H r Θ H r Θ H r Θ
Her e r e r e r (8)
Dla symetrycznej trójki prądów fazowych wypadkowa składowa promieniowa pola magnetycznego
1
4
4 e
1 1
123 ( )
) π , ( )
, (
n ne
n n r
e r
e n f r
d F R r R Γ Θ I
r H Θ r
H (9)
przy czym
3 sin π
3π j2 exp sin
3π j2 -
exp nΘ n Θ
Fn (9a)
Wypadkowa składowa styczna pola magnetycznego w ekranie pierwszym ma postać
) , ( )
( )
, ( )
, ( )
( )
,
( 11 12 13 11 123
1 r Θ H r H r Θ H r Θ H r H r Θ
HeΘ e Θ e Θ e Θ e Θ e Θ (10)
przy czym składową He11Θ(r) określamy wzorem (7), natomiast He123Θ(r,Θ) dla symetrycznej trójki prądów ma postać
1
2
4 e
1
123 ( ) ( )
) π , (
n ne ne
n n Θ
e n f r g r
d D R r R Γ Θ I
r
H (11)
Składowa styczna wypadkowego pola magnetycznego w ekranie pierwszym ma zatem postać
1 4
4 e
3 0
3 1
1 2 ( ) ( )
) π (
) 2 , (
n ne ne
n n e
Θ
e n f r g r
d D R r R Γ r R R h
Θ I r
H (12)
W ekranie e2 całkowitą gęstość prądu wyrażamy wzorem (1), w którym gęstość prądu Je22(r) uwzględnia wewnętrzne zjawisko zbliżenia i określona jest wzorem (3) po zastąpieniu prądu I prądem 1 I , natomiast gęstość prądu 2 Je213(r) określamy wzorem (4) w którym prąd I zastępujemy prądem 1 I a wielkość 2 D n zastępujemy poprzez
3
cos π 3π j2 - exp cos
3π j2 exp
1 nΘ n Θ
Gn n (13)
W ekranie e całkowite pole magnetyczne wyrażamy wzorem (6), gdzie 2 )
( )
( 22
22 r ΘHe Θ r
e 1
H , w którym He22Θ(r) określone jest wzorem (7) po zastąpieniu prądu I prądem 1 I . Natomiast dla symetrycznej trójki prądów 2 fazowych wypadkowa składowa promieniowa pola magnetycznego w ekranie e 2 opisana jest wzorem (9) w którym wielkość zespoloną F zastępujemy wielkością n
3
sin π 3π j2 - exp sin
3π j2 exp
1 nΘ n Θ
Kn n (14)
Natomiast wypadkowa składowa styczna He2Θ(r,Θ) w ekranie e2 określona jest wzorem (12) w którym prąd I zastępujemy prądem 1 I a wielkość 2 D n zastępujemy wielkością G . n
W ekranie e3 całkowitą gęstość prądu wyrażamy wzorem (1), w którym gęstość prądu Je33(r) określona jest wzorem (3) po zastąpieniu prądu I prądem 1 I , 3 natomiast gęstość prądu Je312(r) określamy wzorem (4) w którym prąd I 1 zastępujemy prądem I a wielkość 3 D zastępujemy poprzez n
3
cos π 3π j2 3 exp
cos π 3π j2 - exp
1 n Θ n Θ
Mn n (15)
Całkowite pole magnetyczne w ekranie e3 opisane jest wzorem (6), gdzie )
( )
( 33
33 r ΘHe Θ r
e 1
H , w którym He33Θ(r) określone jest wzorem (7) po zastąpieniu prądu I prądem 1 I . Dla symetrycznej trójki prądów fazowych 3 wypadkowa składowa promieniowa pola magnetycznego He3r(r,Θ) w ekranie e3
określona jest wzorem (9) w którym prąd I zastępujemy prądem 1 I a wielkość 3 F zastępujemy poprzez n
3
sin π 3π j2 3 exp
sin π 3π j2 - exp
1 n Θ n Θ
Nn n (16)
Natomiast wypadkowa składowa styczna He3Θ(r,Θ) w ekranie e3 określona jest wzorem (12) w którym prąd I zastępujemy prądem 1 I a wielkość 3 D n zastępujemy wielkością M . n
3. STRATY MOC W EKRANACH TRÓJFAZOWEGO SYMETRYCZNEGO TORU WIELKOPRĄDOWEGO
Zespolona moc pozorna ekranu pierwszego wynosi [8]
1 1* 1 1
1 ( ) ( ) d e j e
S
e e
e r r P Q
S
E H S (17)Ze wzoru (17) otrzymujemy
123 0
1 e e
e S S
S (18)
gdzie moc Se0 dana jest wzorem
0
3 e 0 4 e 0 0 3 e 0 4 e 0 0
3 e
2 1 e e0
) ( ) ( )
( ) ( γ
π
2 d
R Γ K R Γ K c R Γ I R Γ I b R I l
S Γ
(19)
natomiast
( ) ( ) ( )
) ( ) ( )
( π d
j
3
* 3
* 3
4
* 4
* 4
1
2 4 2
0 2 2
4 2
2 1 123
e f R n f R g R
R g R f n R f d Θ R R D
l S I
ne ne
ne
ne ne
ne n
n
n e
(20)
Analityczne wyodrębnienie we wzorze (18) części rzeczywistej (mocy czynnej) i części urojonej (mocy biernej) jest trudne ze względu na zespoloną stałą propagacji i zespolone zmodyfikowane funkcje Bessela. Dlatego też do wyznaczenia mocy czynnej posłużymy się wzorem [8]
z Θ r r Θ r J Θ r J V
Θ r J Θ r J P
l R
R e
V e
e 1 ( , ) ( , ) d d d
d ) , ( ) , 1 (
0 2
0
* e1 e1
* e1 e1
1
4
3
(21)
Ze wzoru (24) otrzymujemy
123 0
1 e e
e P P
P (22)
gdzie moc Pe0 określona jest wzorem
* 0 0
0
4 2 e e
2 1
* e
e0 4 π γ d d
a R I l P Γ
(23)
a moc
1
* 2 4 2
0 2
4 2
2 1
*
123 d
π
2 n ne ne
ne n n
e
e b b
a d Θ R R D
I l P Γ
(24)
przy czym stałe a oraz 0 a określone są w pracy [6] ne
Moc czynna wydzielana w ekranie bez uwzględniania zjawiska naskórkowości )
( γ
π e 42 32
2 1 ew
0 R R
I P l
(25)
Wtedy też moc czynną wydzielaną w ekranie pierwszym możemy wyrazić w jednostkach względnych jako stosunek
ew 0
123 ) e0
(
e1 P
P k P P e
(26)
Zależność współczynnika ke(1P) od parametru dla różnych wartości względnej e grubości ścianki ekranu rurowego oraz różnych wartości względnej odległości e λe między osiami przewodów przedstawiamy na rysunku 4 (przy czym e keR4, zaś
R3
d
e
(0e1)).
Moc bierną wydzielaną na reaktancji wewnętrznej ekranu rurowego wyznaczymy ze wzoru (17), otrzymując
123 0
1 e e
e Q Q
Q (27)
przy czym moc Qe0 określona jest wzorem
*
0 e
0
* e
3 e 0 4 e 0 0
3 e 0 4 e 0 0 e 0 3 e
2
e0 ( ) ( ) 2
) ( ) ( γ
π j2
d a Γ R
Γ K R Γ K c
R Γ I R Γ I Γ b d R I Q l
(28)
a) b)
Rys. 4. Zależność względnej mocy czynnej w ekranie e1 od parametru αe: a) dla stałej wartości parametru βe i różnych wartości λe, b) stałego parametru λe i różnych wartości βe
natomiast moc
* 4
* e
3
* 3 4
* 4
4
* 4 3
* 3
1
2 4 2
0 2 2
4 2
2 1 123
j 2
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( π d
ne ne
ne
n n n
n
n n n
n
n
n n
e
b b
a R Γ
R g R f R g R f
R f R f R f R f n
d Θ R R D
I Q l
(29)
Jeśli wprowadzimy moc bierną odniesienia
2 2 1 3 2 4
2 4 2 3
3 4 2 2
3 2 4
4 3 2 0
1 0ew ew 0
3 4 ln 1 π
2
μ I
R R
R R R
R R
R R I l
Q
X (30)
wówczas moc bierną możemy wyrazić w jednostkach względnych jako stosunek
ew 0
123 ) e0
(
e1 Q
Q k Q Q e
(31)
Zależność współczynnika ke(1Q) od parametru e dla różnych wartości parametru
e oraz e przedstawiamy na rysunku 5.
a) b)
Rys. 5. Zależność względnej mocy biernej w ekranie e1 od parametru αe: a) dla stałej wartości parametru βe i różnych wartości λe, b) stałego parametru λe i różnych wartości βe
Sposób wyznaczania strat mocy czynnej i biernej w ekranie e oraz 2 e 3 trójfazowego symetrycznego toru wielkoprądowego jest identyczny do tego przedstawionego powyżej dla ekranu e . Jeśli ponadto uwzględnimy, że 1
2
0 2 2
0 2 2
0
2 dΘ M dΘ D dΘ
Gn n n (35)
to wtedy moce czynne w wielkościach względnych wydzielane w ekranach e i 2 e mają postać 3
) (
1 0 ) 3 (
3 0 ) 2 (
2
P e ew P e ew P
e k
P k P P
k P (36)
a moce bierne
) (
1 0 ) 3 (
3 0 ) 2 (
2
Q e ew Q
e ew Q
e k
Q k Q Q
k Q (37)
4. WNIOSKI
W realizowanych w praktyce torach wielkoprądowych, dla częstotliwości przemysłowej, wartość parametru αe zawarta jest od 5 do 20. Oznacza to, że straty mocy czynnej w ekranach jednobiegunowego symetrycznego toru wielkoprądowego mogą być nawet dziesięciokrotnie wyższe od strat mocy czynnej nieuwzględniającej zewnętrznego oraz wewnętrznego zjawiska zbliżenia (rys. 4). O tym jak duża jest różnica pomiędzy tymi mocami decydują parametry geometryczne i fizyczne tegoż toru. Natomiast moc bierna wydzielana na indukcyjności wewnętrznej ekranu może być nawet pięciokrotnie wyższa od moc biernej nie uwzględniającej zjawisk zbliżenia (rys. 5).
Wyznaczając straty mocy należy pamiętać, że wyznaczona z twierdzenia Poyntinga moc bierna związana jest tylko z indukcyjnością wewnętrzną ekranu rurowego. By móc określić całkowitą moc bierną wydzielaną w ekranach jednobiegunowego symetrycznego toru wielkoprądowego należy również wyznaczyć moc bierną wydzielaną na indukcyjnościach zewnętrznych oraz wzajemnych.
LITERATURA
[1] Nawrowski R.: Tory wielkoprądowe izolowane powietrzem lub SF6. Wyd. Pol.
Poznańskiej, Poznań 1998.
[2] Pi ą t ek Z.: Impedances of high-current busducts. Wyd. Pol. Częst., Czestochowa 2008.
[3] Kusiak D.: Pole Magnetyczne Dwu i Trójbiegunowych Torów Wielkoprądowych, Praca Doktorska, Częstochowa 2008.
[4] Szczegielniak T., Piątek Z., Kusiak D.: Straty mocy symetrycznego trójfazowego toru wielkoprądowego, Warsztaty Doktoranckie. Krynica-Zdrój, 2009.
[5] Szczegielniak T., Piątek Z., Kusiak D.: Straty mocy w ekranie trójfazowego symetrycznego toru wielkoprądowego, Warsztaty Doktoranckie, Lublin, 2010.
[6] Szczegielniak T.: Straty mocy w nieekranowanych i ekranowanych rurowych torach wielkoprądowych, Praca Doktorska, Gliwice, 2011.
[7] Mc Lachlan N.W.: Funkcje Bessela dla inżynierów. PWN, Warszawa 1964.
[8] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna. Pole elektromagnetyczne. WN PWN, Warszawa 1995.
.
POWER LOSSES IN THE SCREENS OF THE SYMMETRICAL THREE PHASE HIGH CURRENT BUSDUCT
Design of the high current busducts on high currents and voltages causes necessity precise describing of electromagnetic, dynamic and thermal effects. Knowledge of the relations between electrodynamics and constructional parameters is necessary in the optimization construction process of the high current busducts. Information about distribution electromagnetic field and power losses is a base into analysis of electrodynamics and thermal effects in the high current busducts. In the paper using the Poynting theorem and Jolule-Lenz law the active and reactive power in the screens of the symmetrical high current busduct were determined. Into account were taken internal and external proximity effect.