DOI 10.21008/j.1897-0737.2017.90.0019
__________________________________________
* Politechnika Poznańska.
Piotr KUWAŁEK*
Przemysław OTOMAŃSKI*
WPŁYW WARTOŚCI SKUTECZNEJ SYGNAŁU NA DOKŁADNOŚĆ POMIARU ZAWARTOŚCI
HARMONICZNYCH
W artykule zaprezentowano przykładowe wyniki badań eksperymentalnych doty- czących wpływu wartości skutecznej sygnału wymuszającego na błąd pomiaru zawarto- ści harmonicznych z wykorzystaniem wybranych analizatorów jakości energii elek- trycznej (JEE). Badania przeprowadzono na zaprojektowanym i zrealizowanym stano- wisku pomiarowym. Prezentowane stanowisko umożliwia zadawanie wybranych sygna- łów testowych. W rozpatrywanym przypadku sygnałami wymuszającymi były odpo- wiednio sygnał sinusoidalny, trójkątny, prostokątny oraz wyprostowany dwupołówko- wo. W oparciu o rozwinięcie wybranych funkcji w trygonometryczny szereg Fouriera, uzyskano wartości skuteczne dla kolejnych harmonicznych, które posłużyły jako warto- ści odniesienia. W pracy przedstawiono metrologiczną interpretację uzyskanych wyni- ków, przeprowadzono analizę błędów oraz sformułowano szereg wniosków końcowych.
SŁOWA KLUCZOWE: szereg Fouriera, harmoniczne, analizatory jakości energii elek- trycznej, błąd pomiaru
1.WSTĘP
Intensywny rozwój techniki spowodował, że współcześnie wykorzystuje się szereg odbiorników, które powodują powstawanie w sieci elektroenergetycznej przebiegów odkształconych, napięcia lub prądu. Z tego powodu konieczna jest analiza tego typu sygnałów. W analizie tej powszechnie wykorzystuje się trygo- nometryczny szereg Fouriera, który umożliwia rozłożenie dowolnej funkcji okre- sowej, spełniającej warunki Dirichletta, na sumę funkcji trygonometrycznych.
Wśród zestawu wielkości oceniających przebiegi odkształcone są miary za- wartości harmonicznych. Składową harmoniczną nazywamy każdą składową o częstotliwości będącej całkowitą krotnością częstotliwości podstawowej.
Harmoniczne mogą być scharakteryzowane:
– indywidualnie, poprzez ich względną amplitudę uh porównywaną do napię- cia składowej podstawowej U1, gdzie h jest rzędem harmonicznej,
– łącznie, przez współczynnik odkształcenia harmonicznymi napięcia zasilają- cego THD obliczanym zgodnie z zależnością (1):
2 2
h
uh
THD (1)
Do analizy sygnałów, służących do oceny jakości energii elektrycznej, w praktyce wykorzystuje się przyrządy pomiarowe nazywane analizatorami jakości energii elektrycznej. Zagadnienia związane z poruszana tematyką są przedmiotem wielu publikacji, między innymi [1] i [2].
W niniejszej pracy zaprezentowano przykładowe wyniki badań eksperymen- talnych dotyczących wpływu wartości skutecznej sygnału wymuszającego na błąd pomiaru zawartości harmonicznych wybranymi analizatorami jakości ener- gii elektrycznej. Pomiary przeprowadzono na zaprojektowanym i skonstruowa- nym stanowisku pomiarowym. Do badań wykorzystano rozwinięcie w szereg Fouriera kilku wybranych funkcji okresowych.
2.SZEREGFOURIERA
Zgodnie z twierdzeniem o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera, każdą funkcję okresową spełniającą kryterium Dirichletta można przedstawić zgodnie z równością daną równaniem (2):
) sin cos
( )
( 0 0
1
0 a n t b n t
a t
f n k
n
(2)
gdzie
T
0 2 , T jest okresem badanej funkcji, a kolejne współczynniki Eulera-Fouriera opisane są zależnościami (3), (4), (5):
dt t T f a
T
) 1 (
0
0
(3)tdt n t T f a
T
n 0
0
cos ) 2 (
(4)
tdt n t T f b
T
n 0
0
sin ) 2 (
(5)
Wykorzystując fakt, iż każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej i trygonometrycznej to równanie (2) można przedstawić w postaci zależności (6):
) sin(
)
( 0
1
0 n n
n
t n c a
t
f
(6)
gdzie cn opisane równaniem (7) jest amplitudą n–tej harmonicznej, zaś jej faza początkowa opisana jest układem równań (8). Powyższe równania są zgodne z zapisami zawartymi w dokumencie [3]:
2 2
n n
n a b
c (7)
2 2
2 2
sin cos
n n
n n
n n
n n
b a
a b a
b
(8)
3.ANALIZAHARMONICZNYCH
W celu pozyskania wartości odniesienia, odpowiednie funkcje testowe roz- winięto w szereg Fouriera. Kształt przebiegu kolejnych funkcji testowych przed- stawiono odpowiednio na rys. 1, 2, 3 oraz rys. 4.
W pracy [4] przedstawiono odpowiednie rozwinięcia funkcji testowych.
Rozwinięcie w szereg sygnału sinusoidalnego dane jest równaniem (9):
) 2 sin(
)
(t F f0t
f m (9)
gdzie Fm jest amplitudą sygnału wymuszającego f (t), a f0 jego częstotliwością.
Jak można zauważyć, sygnał ten zawiera tylko jedną harmoniczną, a więc pod- czas badań pozwoli na jednoznaczną ocenę układu pomiarowego.
Rozwinięcie w szereg sygnału prostokątnego dane jest równaniem (10):
t f n n
t F
f m n
n
0 1
2 sin ] ) 1 ( 1 2 [ )
(
(10)
gdzie Fm jest amplitudą sygnału wymuszającego f (t), a f0 jego częstotliwością.
Rozwinięcie w szereg sygnału trójkątnego dane jest równaniem (11):
2) 2
sin(
] 1 ) 1 4 [(
)
( 0
2 2 1
t f n n
F F t
f m n
n
m (11)
gdzie Fm jest amplitudą sygnału wymuszającego f (t), a f0 jego częstotliwością.
Jak można zauważyć, widmo zarówno sygnału prostokątnego jak i trójkątne- go, nie posiada składowych parzystych.
Jeżeli sygnał wyprostowany dwupołówkowo opisany jest równaniem (12):
t f F
t
f( ) msin2 0 (12)
gdzie Fm jest amplitudą tego sygnału, a f0 jego częstotliwością, to jego rozwinię- cie w szereg Fouriera dane jest równaniem (13):
2) 2
sin(
] 1 ) 1 )[(
1 (
2 ) 2
( 2 1 0
2
nF n f tt F
f m n
n
m (13)
Warto zauważyć, że widmo tego sygnału składa się z samych parzystych harmonicznych.
Rys. 1. Przebieg sinusoidalny Rys. 2. Przebieg prostokątny
Rys. 3. Przebieg trójkątny Rys. 4. Przebieg wyprostowany dwupołówkowo
4.BADANIAEKSPERYMENTALNE
Badania przeprowadzono w układzie pomiarowym, którego schemat bloko- wy przedstawiono na rys. 5, składającym się ze źródła sygnałów testowych funkcji okresowych napięcia u(t), badanych analizatorów jakości energii elek- trycznej HA 2000 oraz PQ-Box 100 oraz komputera klasy PC. Jako źródło sy- gnałów testowych wykorzystano kalibrator 5500A firmy Fluke.
Dla sygnałów testowych innych niż sinusoidalny wartości błędów wyznaczo- no zgodnie z zależnością (14):
100
F F a
U U
U [%] (14)
gdzie Ua oznacza wartość skuteczną poszczególnych harmonicznych wyzna- czoną przez analizator zgodnie z dokumentami [5–7], natomiast UF jest warto- ścią skuteczną poszczególnych harmonicznych otrzymanych z rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera.
Kalibrator FLUKE 5500A
230V 50HzAC
Analizator PQ-Box 100
PC
USB
Analizator HA 2000
Rys. 5 Schemat blokowy stanowiska pomiarowego
Aby ocenić wartość tego błędu dla sygnału sinusoidalnego wykorzystano za- leżność na współczynnik zawartości harmonicznych THD daną równaniem (1).
Dla idealnego sygnału sinusoidalnego wartość tego współczynnika powinna wynosić zero. Wyznaczone wartości THD, różne od zera, są miarą błędu dane- go przyrządu pomiarowego.
Badania przeprowadzono dla sygnału sinusoidalnego o częstotliwości 50 Hz dla wartości skutecznych równych kolejno: 10 V, 50 V , 100 V, 150 V, 230 V.
Graficzną interpretację tych badań przedstawiono na rys. 6.
Ze względu na ograniczenia w możliwości pozyskania z kalibratora sygna- łów testowych, opisanych w rozdziale 3, innych niż sygnał sinusoidalny, nie było możliwości zbadania sygnałów o dużej wartości skutecznej. Dla sygnału trójkątnego o częstotliwości 50 Hz badania przeprowadzono dla amplitud rów- nych kolejno: 5 V, 15 V, 30 V, 45 V. Wyniki badań dla analizatora HA 2000 oraz PQ BOX 100 przedstawiono odpowiednio na rys. 7 oraz rys. 8.
Z kolei dla sygnału prostokątnego o częstotliwości sieciowej badanie prze- prowadzono dla wartości amplitud równych kolejno: 5 V, 10 V, 20 V, 30 V.
Wyniki badań dla tego przebiegu przedstawiono na rys. 9 oraz rys. 10.
Jako ostatni badany był sygnał wyprostowany dwupołówkowo o częstotli- wości sieciowej dla wartości skutecznych równych kolejno: 10 V, 20 V, 30 V.
Chcąc uzyskać za mostkiem Graetza sygnał o częstotliwości f = 50 Hz, kalibra- tor musi generować sygnał sinusoidalny o f = 25 Hz. Stąd ograniczenie co do wartości skutecznych dla tego przebiegu. Wyniki dla tego przebiegu przedsta- wiono jedynie dla analizatora HA 2000, gdyż prawdopodobnie ze względu na implementacje algorytmu wyznaczania częstotliwości analizator PQ BOX 100 nie był wstanie dokonać odpowiedniego pomiaru, po mimo wielokrotnie powta- rzanych badań.
Rys. 6. Rozkład THD w zależności od wartości skutecznej sygnału dla przebiegu sinusoidalnego
Rys. 7. Rozkład wartości błędów dla przebiegu trójkątnego przy użyciu analizatora HA 2000
Rys. 8. Rozkład wartości błędów dla przebiegu trójkątnego przy użyciu analizatora PQ BOX 100
Rys. 9. Rozkład wartości błędów dla przebiegu prostokątnego przy użyciu analizatora HA 2000
Rys. 10. Rozkład wartości błędów dla przebiegu prostokątnego przy użyciu analizatora PQ BOX 100
Rys. 11. Rozkład wartości błędów dla przebiegu wyprostowanego dwupołówkowo przy użyciu analizatora HA 2000
W równaniu (12) f0 jest częstotliwością sygnału zasilającego mostek Graet- za, a więc wyznaczona przez analizator wartość skuteczna harmonicznej pod- stawowej odpowiada 2. harmonicznej wyznaczonej z równania (12), 3. harmo- niczna wyznaczona przez HA 2000 odpowiada 6. harmonicznej z równania (12), itd. Graficzną interpretację rozkładu błędów dla tego przebiegu przedsta- wiono na rys. 11.
5.PODSUMOWANIE
W artykule opisano wpływ wartości skutecznej sygnału wymuszającego na błąd pomiaru zawartości harmonicznych wybranymi analizatorami jakości energii elektrycznej. Ze względu na znany opis funkcyjny sygnałów możliwe było wyznaczenie dokładnej wartości kolejnych harmonicznych, co pozwoliło wyznaczyć wartość błędu pomiaru. Szczególnie znaczący wzrost tego błędu uwydatnił się dla sygnałów, których kolejne harmoniczne maleją odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu rzędu tych harmonicznych, tj. przebieg trójkątny oraz wyprostowany dwupołówkowo. Mniejsze wartości błędów dla analizatora PQ BOX 100 są wynikiem zastosowania przetwornika analogowo-cyfrowego o większej ilości bitów. Ponadto można zauważyć, że analizator ten pobiera większą ilość próbek do przetwarzania w oknie pomiarowym niż HA 2000, co również nieznacznie zmniejsza wartość tego błędu.
Problemy w generacji sygnałów, zbliżonych do idealnych, wynikają głównie z występowania punktów nieciągłości dla prostokąta jak również punktów nie- różniczkowalnych, tzw. „punktów ostrzy” dla sygnału trójkątnego. W przypad- ku sygnału wyprostowanego dwupołówkowo dodatkowo należy uwzględnić zjawisko napięcia przewodzenia na diodach prostowniczych. Pomimo, iż do- brano diody o niskiej wartości napięcia przewodzenia, to jednak przy niskich wartościach skutecznych sygnału, ma ono wpływ na wartości kolejnych harmo- nicznych.
Przedstawione charakterystyki pozwalają na sformułowanie konkluzji, że występuje zależność wzrostu wartości błędu przy spadku wartości skutecznej sygnału. Zjawisko te gwałtownie się uwydatnia dla małych sygnałów. Wynika to z nieefektywnego wykorzystania bitów przetwornika analogowo-cyfrowego.
Podsumowując, na podstawie wyników przeprowadzonych badań, można sformułować zależność pomiędzy wartością skuteczną sygnału a błędem pomia- ru kolejnych harmonicznych, tj. spadek wartości skutecznej powoduje wzrost błędu pomiaru harmonicznych. Ponadto, z dużym prawdopodobieństwem, można sformułować wniosek, że zastosowanie okien pomiarowych innych niż prostokątne, umożliwiłoby zwiększenie dokładności pomiaru wyższych harmo- nicznych, a więc i dokładniejsze wyznaczenie współczynnika THD. Powyższe jest przedmiotem dalszych badań.
LITERATURA
[1] Otomański P.: The application of the Power Quality Analyser to determine of parameters describing electric power quality, Proceedings of 6–th International Conference on Measurement – MEASUREMENT 2007, pp. 288–291, May 20–
24, Smolenice, Slovakia, 2007.
[2] Otomański P: Wykorzystanie szeregu Fouriera do określenia dokładności pomia- ru zawartości harmonicznych, Pomiary Automatyka Kontrola, vol. 53, nr 12, str.
88–90, 2007.
[3] PN–EN 61000–4–7: Kompatybilność elektromagnetyczna (EMC) – Część 4–7:
Metody badań i pomiarów – Ogólny przewodnik dotyczący pomiarów harmo- nicznych i interharmonicznych oraz przyrządów pomiarowych, dla sieci zasilają- cych i przyłączonych do nich urządzeń.
[4] Kuwałek P.: Wpływ wartości skutecznej sygnału wymuszającego na błąd pomia- ru zawartości harmonicznych wybranymi przyrządami pomiarowymi, Praca Dy- plomowa Inżynierska, Poznań 2017.
[5] PN–EN 50160: Parametry napięcia zasilającego w publicznych sieciach elektro- energetycznych.
[6] IEC 61000–2–(2–4): Electromagnetic compatibility (EMC) – Part 2–4 – Environment: Compatibility levels in industrial plants for low–frequency conducted disturbances.
[7] Rozporządzenie Ministra Gospodarki z dnia 4 maja 2007 r. w sprawie szczegól- nych warunków funkcjonowania system elektroenergetycznego (Dz. U. 2007 nr 93 poz. 623).
THE INFLUENCE OF SIGNAL RMS VALUE ON MEASURING ACCURACY HARMONICS CONTENTS
The purpose of the paper was to investigate the influence of RMS value of input signal on harmonic content with the selected measurement devices. The selected measurement devices are Harmonalyzer HA 2000 and Power Quality Analyser PQ Box 100. The measurements were realized on a design measuring position. The measuring position makes it possible to set selected test signals – periodic functions which enable the evaluation of measuring accuracy of harmonic contents. The results were compared with true values obtained from Fourier transform. Finally, several conclusions were formulated on the basis of hypothesis contained in the title of the paper.
(Received: 09. 02. 2017, revised: 27. 02. 2017)
