GAL II*
seria 3, na 18.03.2020
Aktualnie wszystkie zadania do opisania na kartkach. Tym razem trochę łatwiejsze, bo i tak mają Państwo dużo pracy.
Zmiana planów: trzeba opisać tylko rozwiązania zadań 1 i 2, pozostałe można zgłosić jako zrobione, a wybrana osoba będzie zobowiązana do szybkiego spisania rozwiązania. Zgłaszać rozwiązania można do środy do godziny 8:45. Wtedy poproszę o spisanie rozwiązań zadań 3, 4, 5 w ciągu godziny.
Zadanie 1. ♦
Wykaż, że jeśli A ∈ Mn×n(k) ma dokładnie jedną wartość własną i jest diagonalizowalna, to jest diagonalna.
Zadanie 2. ♦ Czy macierz
A =
6 2 −2
−2 2 2
2 2 2
może być macierzą endomorfizmu ϕ(x, y, z) = (6x + 2y + 2z, −2x + 2y, 2z) w pewnej bazie?
Zadanie 3.
Czy macierze
A =
0 1 0
−4 4 0
−2 1 2
i B =
5 −3 0 3 −1 1
0 0 2
są podobne?
Zadanie 4.
Niech R[x]¬3 oznacza przestrzeń liniową wielomianów stopnia nie większego niż 3 nad R. Wyznacz wektory i wartości własne dla ϕ : R[x]¬3→ R[x]¬3, ϕ(w) = ((x + 3)w)0 (tak, na końcu różniczkujemy).
Zadanie 5.
Wykaż, że jeśli A ∈ Mn×n(k) i dla pewnego m ∈ N zachodzi Am = 0, to An = 0. (Można założyć, że ciało k jest algebraicznie domknięte, albo nawet myśleć wyłącznie o k = C.)
1
