GAL II*
seria 8, na 3.06.2020
Rozwiązania zadań oznaczonych ♦ należy opisać na kartce, dokładnie i czytelnie. Rozwiązania pozostałych zadań wystarczy przygotować tak, żeby móc szybko i czytelnie spisać i przesłać rozwiązanie.
Zadanie 1. ♦
W przestrzeni afinicznej R4podprzestrzeń H jest zadana równaniami x1+ x2+ x3− x4= 2 i x1+ x2= 1. Niech f będzie rzutem wzdłuż lin((1, 0, −1, 1), (0, 1, 1, 0)) na H.
1. Znajdź przeciwobraz prostej L = (1, 0, 1, 0) + lin((1, −1, 1, 1)) przy f .
2. Znajdź układ równań opisujący obraz płaszczyzny K = (1, 0, 1, 0) + lin((1, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)).
Zadanie 2. ♦
Znaleźć przekształcenie przestrzeni rzutowej CP3 przeprowadzające kwadrykę zadaną równaniem xy = z na kwadrykę zadaną równaniem x2+ y2− z2= 1.
Zadanie 3.
Przedstaw ośmiokąt o wierzchołkach (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (0, 2), (0, 1) jako 1. sumę Minkowskiego czterech odcinków,
2. sumę Minkowskiego dwóch trójkątów i jednego odcinka.
Zadanie 4.
Niech f : E → E będzie przekształceniem afinicznym. Kiedy f nie ma punktów stałych, kiedy ma dokładnie jeden, a kiedy nieskończenie wiele? (Warunki można wyrazić w terminach wartości własnych przekształcenia stycznego do f .)
Zadanie 5.
Wykaż, że istnieje przekształcenie rzutowe płaszczyzny rzutowej zachowujące dany trójkąt i przeprowadzające dany punkt wewnętrzny tego trójkąta na dowolny inny punkt wewnętrzny.
1
