GAL II*
seria 4, na 25.03.2020
Rozwiązania zadań oznaczonych ♦ należy opisać na kartce, dokładnie i czytelnie. Rozwiązania pozostałych zadań wystarczy przygotować tak, żeby móc szybko i czytelnie spisać i przesłać rozwiązanie.
Zadanie 1. ♦
Znajdź postać i bazę Jordana macierzy
A =
−1 −1 2 0
0 −1 −3 −1
0 0 −1 0
0 0 2 −1
.
Zadanie 2. ♦
Niech V będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad R. Niech ϕ : V → V będzie endomorfizmem takim, że ϕ2= −id (gdzie ϕ2 to dwukrotne złożenie). Wykaż, że wymiar przestrzeni V jest parzysty.
Zadanie 3.
Oblicz B2020dla
B =
−3 −1 −1 0 1
−1 −2 0 0 1
0 0 −2 0 0
1 0 0 −2 −1
−1 −1 −1 0 −1
.
Zadanie 4.
Wykaż, że dowolna macierz A ∈ Mn×n(C) jest podobna do swojej transponowanej AT.
Zadanie 5.
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem k takim, że char k = 0 lub char k > dim V . Niech A będzie macierzą endomorfizmu V . Wykaż, że jeśli tr(Ak) = 0 dla k = 1, 2, . . . , dim V , to A jest nilpotentna (czyli dla pewnego m zachodzi Am= 0).
1
