4.1 Definicja, norma i podstawowe własności operatora liniowego ograniczo- nego

4 Operatory liniowe ograniczone

4.1 Definicja, norma i podstawowe własności operatora liniowego ograniczo- nego

Załóżmy, że mamy przestrzenie liniowe X i Y oraz operator liniowy A : X → Y (lub A : D(A) → Y , gdzie D jest dziedziną A, jeśli A nie jest określony na całym X).

Definicja 4.1.

Operator liniowy A jest ograniczony, jeśli istnieje stała M > 0 taka, że ||Ax||Y  M||x||X dla każdego x∈ D(A).

Przykład 24.

Niech dana będzie macierz liczbowa [a_i,k]i=1,... ,n,k=1,...m. Wtedy równości s_i =

m k=1

a_i,kt_k i = 1, 2 . . . , n

określaja operator liniowy A, taki, że Ax = y dla x = (t₁, t₂, . . . t_m), y = (s₁, s₂, . . . , s_n) działający z przestrzeni euklidesowej m-wymiarowej l²_m do przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej l_n². Jest to operator ograniczony. Istotnie, z nierówności Cauchy’ego mamy

||Ax||² =y² =

n i=1

|si|² =

n i=1





m k=1

a_i,kt_k





2

^n

i=1

_m



k=1

|ai,k|^2m

k=1

|tk|²

=

=

_n



i=1

m k=1

|ai,k|²

 _m



k=1

|tk|² =

_n



i=1

m k=1

|ai,k|²

||x||². Stąd

||Ax||  M||x|| dla M =



ⁿ

i=1

m k=1

|ai,k|²

dla każdego x∈ l²m. Przykład 25.

Niech dana będzie macierz liczbowa nieskończona [ai,k]i,k=1,2,... spełniająca warunek

∞ i=1

∞ k=1

|ai,k|² <∞.

Wtedy równości

s_i =

∞ k=1

a_i,kt_k i = 1, 2 . . .

określają pewnien ciąg (s_i)_i ∈ l² dla (t_k)_k ∈ l². Istotnie, z nierówności Cauchy’ego dla szeregów mamy

∞

i=1|si|² =

∞ i=1





∞ k=1

a_i,kt_k





2

^∞

i=1

_∞



k=1|ai,k|^2∞

k=1|tk|²

=

=

_∞



i=1

∞ k=1

|ai,k|²

 _∞



k=1

|tk|² <∞.

Zatem mamy określenie operatora A, takiego, że Ax = y dla x = (t1, t2, . . . ), y = (s1, s2, . . . ) działającego z przestrzeni l² do przestrzeni l². Jest to operator liniowy i ograniczony. Ograniczoność wynika natychmiast z przeprowadzonych rachunków, bo

||Ax||² =

∞

i=1|si|² 

_∞



i=1

∞ k=1

|ai,k|²

 _∞



k=1

|tk|² = M²||x||²

dla

M =



^∞

i=1

∞ k=1

|ai,k|².

Wystarczy zatem pokazać liniowość. Weźmy w tym celu x₁ = (t_k)_k, x₂ = (p_k)_k ∈ l² oraz a∈^R. Wtedy A(x₁ + x₂) =

_∞



k=1

a_i,k(t_k+ p_k)

i

=

_∞



k=1

a_i,kt_k+

∞ k=1

a_i,kp_k

i

=

_∞



k=1

a_i,kt_k

i

+

_∞



k=1

a_i,kp_k

i

= Ax₁+ Ax₂,

A(ax₁) =

_∞



k=1

a_i,kat_k

i

=

a

∞ k=1

a_i,kt_k

i

= a

_∞



k=1

a_i,kt_k

i

= aAx₁. Przykład 26.

Niech będzie dany podzbiór Ω ∈ R^m. Niech dalej X i Y będą przestrzeniami unromowanymi, których ele- mentami są funkcje określone na Ω. Niech A : Ω × Ω → R będzie taką funkcją, że dla każdego u ∈ X całka

v(x) =

ΩA(x, y)u(y) dy (x ∈ Ω)

jest dobrze określoną funkcją należącą do przestrzeni Y . Określając wtedy Au = v, mamy operator A : X → Y (zwany operatorem całkowym, funkcja A nazywa się jąderem tego operatora).

Operator ten jest liniowy. Istotnie, dla u₁, u₂ ∈ X mamy dla każdego x ∈ Ω A(u₁+ u₂)(x) =

ΩA(x, y)(u1(y) + u₂(y)) dy =

ΩA(x, y)u1(y) dy +

ΩA(x, y)u2(y) dy = Au₁(x) + Au₂(x), a dla a∈R, u∈ X i dla każdego x ∈ Ω

A(au)(x) =

ΩA(x, y)au(y) dy = a

ΩA(x, y)u(y) dy = aA(u)(x).

Czy taki operator jest ograniczony?

Jeśli X = Y = C(Ω) iA ∈ C(Ω × Ω), to nasz operator A Au(x) =

ΩA(x, y)u(y) dy

działa z przestrzeni C(Ω) w siebie, bo całka po prawej stronie istnieje (skończona) dla każdego x∈ Ω i jest funkcją ciągłą zmiennej x. Wystarczy pokazać ograniczoność. Niech więc M = sup_x,y∈Ω|A(x, y)|. Wtedy

|Au(x)| =^_

ΩA(x, y)u(y) dy^_ Mµ(Ω) sup

y∈Ω|u(y)| = Mµ(Ω)||u||

dla każdego x∈ Ω. Stąd

||Au|| = sup

x∈Ω|Au(x)|  Mµ(Ω)||u||

dla każdej funkcji u∈ C(Ω). Zatem A jest ograniczony.

Założenia na jądro operatora A można osłabić i wciąż uzyskiwać ograniczoność, ale wtedy należy też odpowiednio dobierać przestrzenie X i Y (por. [4]).

Istnieją operatory liniowe, które nie są ograniczone.

Przykład 27.

Niech X = Y = C([0, 1]) i niech A będzie operatorem różniczkowania, tzn.

Au(t) = du(t)

dt , t∈ [0, 1],

jest określony na zbiorze funkcji u ∈ C([0, 1]) mających ciągłą pochodną. Jest on liniowy (z liniowości operacji różniczkowania), ale nie jest ograniczony. Weźmy bowiem ciąg funkcji u_n(t) = tⁿ dla n = 1, 2, . . . . Oczywiście

||un|| = sup

t∈[0,1]|tⁿ| = 1 dla n = 1, 2, . . . ale

||Aun|| = sup

t∈[0,1]|ntⁿ⁻¹| = n → ∞.

Twierdzenie 4.1.

Operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły.

Dowód. Załóżmy, że A jest ograniczony. Niech x₁, x₂ ∈ D(A). Wtedy ||Ax1 − Ax2|| = ||A(x1 − x2)||  M||x1− x2||, czyli A jest ciągły (bo bliskość argumentów implikuje bliskość wartości dla tych argumentów).

Załóżmy teraz, że A jest ciągły. Zatem w szczególności jest ciągły w x = θ. Ponieważ Aθ = θ, zatem istnieje δ > 0 tż, ||Ax||  1 dla wszystkich punktów x ∈ D(A) o normie ||x||  δ. Weźmy x = 0 z dziedziny A.

Wtedy

δ

||x||x∈ D(A) i ^

δ

||x||x^_

 = δ.

Zatem _

 A

δ

||x||x^ 1, czyli

||Ax|| =^ A

δ

||x||x^

||x||

δ  1 δ||x||.

Zatem stałą M możemy przyjąć jako ¹_δ, czyli A jest ograniczony.

Można podać jeszcze inne warunki równoważne ograniczoności operatora liniowego.

Twierdzenie 4.2.

Jeśli A : X → Y jest operatorem liniowym, X, Y są unormowane, to nastęoujące warunki są równoważne:

a) A jest operatorem ograniczonym;

b) A spełnia warunek Lipschitza (tzn. istnieje stała M > 0 tż, ||Ax1− Ax2||  M||x1− x2|| dla wszystkich x₁, x₂ ∈ X);

c) A jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym;

d) A jest odwzorowaniem ciągłym;

e) A jest odwzorowaniem ciągłym w zerze;

f ) A jest odwzorowaniem ciągłym w pewnym punkcie przestrzeni X.

Wynika stąd natychmiast, że operator liniowy A jest albo ciągły (czyli ciągły w każdym punkcie) albo nie jest ciągły w żadnym punkcie przestrzeni X.

Zauważmy teraz, że jeśli A jest operatorem ograniczonym, to wśród liczb M (z warunku ograniczoności

||Ax||Y  M||x||X) istnieje liczba najmniejsza. Nazywamy ją normą operatora A.

Definicja 4.2.

Normą operatora A nazywamy liczbę

||A|| = inf {M > 0 : ||Ax||Y  M||x||Y} .

Zazwyczaj do obliczania normy opeartora używa się innych wzorów (wygodniejszych rachunkowo).

Twierdzenie 4.3.

Norma operatora liniowego A : X → Y wyraża się wzorem:

||A|| = sup

||x||1||Ax|| = sup

||x||<1||Ax|| = sup

||x||=1||Ax|| = sup

x=0

||Ax||

||x|| . (18)

Dowód.

Przykład 28.

Niech a : Ω→^R będzie funkcją całkowalną, Ω∈^Rm - zbiorem zwartym. Określamy Au =

Ωa(x)u(x) dx

dla każdej funkcji u∈ C(Ω). Łatwo sprawdzić, że A jest funkcjonałem liniowym. Ponadto

||Au||  

Ω|a(x)| dx^sup

x∈Ω|u(x)| = 

Ω|a(x)| dx^||u(x)||,

zatem A jest ograniczony ze sałą M = _Ω|a(x)| dx. Aby wyznaczyć normę funkcjonału A, zauważmy, że

||A|| = sup

||u||1||Au||  

Ω|a(x)| dx^||u(x)|| 

Ω|a(x)| dx.

Wystarczy pokazać nierówność w drugą stronę. Przyjmijmy w tym celu

v(x) =







a(x)

|a(x)| dla a(x)= 0, 0 dla a(x) = 0.

Wtedy funkcja v jest mierzalna i|v(x)|  1 dla x ∈ Ω. Weźmy dowolne ε > 0. Istnieje wtedy δ > 0 taka, że

Z|a(x)| dx  ε

dla każdego Z ∈ Ω, takiego, że µ(Z)  δ. Ponieważ v jest mierzalna na Ω, to istnieje taki zbiór domknięty Ω₀ ⊂ Ω, że µ(Ω \ Ω0) δ i v|Ω₀ jest funkcją ciągłą. Można ją zatem przedłużyć do takiej funkcji ciągłej v₁ określonej na Ω, że

v₁(x) = v(x) dla x ∈ Ω0, sup

x∈Ω|v1(x)| = sup

x∈Ω0

|v(x)|  1.

Stąd v₁ ∈ C(Ω), ||v1||  1 i Av₁ =

Ωa(x)v₁(x) dx =

Ω₀a(x)v(x) dx +

Ω\Ω0

a(x)v₁(x) dx =

Ω₀|a(x)| dx +

Ω\Ω0

a(x)v₁(x) dx =

=

Ω|a(x)| dx −

Ω\Ω0|a(x)| dx +

Ω\Ω0

a(x)v₁(x) dx 

Ω|a(x)| dx − 2

Ω\Ω0|a(x)| dx 

Ω|a(x)| dx − 2ε.

Ponieważ

||A|| = sup

||u||1||Au|| ||Av1|| 

Ω|a(x)| dx − 2ε, to z dowolności ε otrzymujemy

||A|| 

Ω|a(x)| dx.

Zatem

||A|| =

Ω|a(x)| dx.

4.2 Przestrzeń operatorów liniowych ograniczonych

Zbiór wszystkich operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni unormowanej X o war- tościach w przestrzeni unormowanej Y oznaczać będziemy symbolem B(X, Y ). W tej przestrzeni możemy określić sumę dwóch operatorów A + B i iloczyn operatora A przez liczbę w zwykły sposób. Ponadto mamy określoną normę ||A|| operatora A ∈ B(X, Y ). Wtedy przestrzeń B(X, Y ) jest przestrzenią unormowaną.

Sparwdźmy, czy dla A, B ∈ B(X, Y ) również A + B, αA ∈ B(X, Y ). Istotnie, dla każdego x ∈ X:

||(A + B)x|| = ||Ax + Bx||  ||Ax|| + ||Bx||  ||A||||x|| + ||B||||x|| = (||A|| + ||B||)||x||, (19)

||(αA)x|| = ||αAx|| = |α|||Ax||  |α|||A||||x||, (20) zatem A + B oraz αA są operatorami ograniczonymi.

Aksjomaty przestrzeni liniowej łatwo sprawdzić. Wystarczy sprawdzić aksjomaty normy.

Bezpośrednio z definicji normy operatora liniowego ograniczonego wynika, że ||A|| 0 i ||A|| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = θ. Nierówność trójkąta wynika z (19), a z (20) mamy ||αA||  |α|||A||. Jeśli α = 0, to ||A|| =^_α¹αA^ _|α|¹ ||αA||, czyli ||αA|| |α|||A||. Nierówność ta jest prawdziwa również dla α = 0. Stąd

||αA|| = |α|||A||.

Jeśli Y = R, to mamy przestrzeń B(X,R) funkcjonałów liniowych ograniczonych, którą oznaczamy sym- bolem X^∗ i nazywamy przestrzenią sprzężoną do przestrzeni X.

Twierdzenie 4.4.

Jeżeli A_n, A∈ B(X, Y ) dla n = 1, 2, . . . i An→ A, to Anx→ Ax dla każdego x ∈ X.

Dowód. A_n→ A oznacza, że ||An− A|| → 0. Zatem

||Anx− Ax|| = ||(An− A)x||  ||An− A||||x|| → 0,

czyli A_nx→ Ax.

Twierdzenie 4.5.

Jeśli X jest przestrzenią unormpowaną, a Y jest przestrzenią Banacha, to B(X, Y ) jest przestrzenią Bana- cha. W szczególności X^∗ jest przestrzenią Banacha (bo Y =R).

Dowód. Wystarczy sparwdzić (w świetle poprzednich uwag), że B(X, Y ) jest zupełna. Weźmy zatem ciąg operatorów (A_n)_n⊂ B(X, Y ) spełniający warunek Cauchy’ego:

∀ε>0 ∃N∈N ∀n,mN ||An− Am||  ε.

Policzmy

||Anx− Amx|| = ||(An− Am)x||  ||An− Am||||x||  ε||x||

dla n, m N, x ∈ X. Wynika stąd, że dla każdego ustalonego x ∈ X ciąg (Anx)_nspełnia warunek Cauchy’ego w Y , co wobec zupełności Y daje jego zbieżność. Niech zatem Ax = lim_n→∞A_nx. Należy spradzić, że:

1) A∈ B(X, Y ), czyli jest liniowy i ograniczony;

2) A_n → A przy n → ∞.

Ad1). Weźmy x1, x2 ∈ X i α ∈K. Wtedy A(x₁+ x₂) = lim

n→∞A_n(x₁+ x₂) = lim

n→∞(A_nx₁+ A_nx₂) = lim

n→∞A_nx₁ + lim

n→∞A_nx₂ = Ax₁ + Ax₂, A(αx) = lim

n→∞A_n(αx) = lim

n→∞αA_nx = α lim

n→∞A_nx = αAx.

Aby dowieść ograniczoności A, przejdźmy do granicy przy m→ ∞ w nierówności:

||Anx− Amx||  ε||x||.

Dostajemy wtedy

||Anx− Ax||  ε||x|| dla n N, x ∈ X, czyli

||(An− A)x||  ε||x|| dla n N, x ∈ X.

W szczególności A_n− A jest operatorem ograniczonym, a ponieważ A = An− (An− A), więc i operator A jest ograniczony.

Ad2). Z ostatniej nierówności dostajemy

||An− A||  ε dla n N.

Z dowlolności ε oznacza to A_n→ A.

Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni B(X, X) oznaczonej B(X), można określić dodat- kowo iloczyn AB dwóch operatorów liniowych ograniczonych, rozumiany jako złożenie

ABx = A(Bx).

Oczywiście, jeśli A, B są ograniczone w przestrzeni X, to AB też jest operatorem ograniczonym, czyli AB ∈ B(X). Istotnie

||ABx|| = ||A(Bx)||  ||A||||Bx||  ||A||||B||||x||.

Z nierówności tej wynika natychmiast, że

||AB||  ||A||||B||.

Zatem, jeśli A∈ B(X), to również Aⁿ∈ B(X), gdzie Aⁿ rozumiemy jako dowolną n-tą iterację operatora A, przy czym zachodzi nierówność

||Aⁿ||  ||A||ⁿ.

Do przestrzeni B(X) należy również operotor identycznościowy I określony jako Ix = x dla x ∈ X przy czym ||I|| = 1.