Elementy Teorii Kategorii Zadania Semestralne Semestr Jesienny 2009-2010

Elementy Teorii Kategorii Zadania Semestralne Semestr Jesienny 2009-2010

Marek Zawadowski 12 stycznia 2010

Poniżej jest lista dziesięciu zadań, z których należy wybrać dziewięć, rozwiązać i oddać w formie pisemnej.

1. Niech C kategoria z produktami binarnymi, A obiekt C. Pokaż, że następujące warunki są równoważne

(a) przekątna A → A × A jest izomorfizmem;

(b) rzutowania π₁, π₂: A × A → A są równe;

(c) morfizm A → 1 jest monomorfizmem.

2. Przedstaw granicę diagramu

A₀ A₂

A₁ f₁^@

@@R

f₃

A₄

A₃ f₄^@

@@R

f2

f5

przy pomocy produktów i ekwalizatorów.

3. Związki Galois. Niech R ⊆ X × Y będzie relacją binarną, A = (P(X), ⊆) i B = (P(Y ), ⊆)^op częściowymi porządkami. Relacja r indukuje dwa funktory

F : A → B, G : B → A takie, że dla X₀ ⊂ X oraz Y₀ ⊂ Y mamy

F (X₀) = {y ∈ Y | X₀× {y} ⊆ R}, G(Y₀) = {x ∈ X| {x} × Y₀ ⊆ R}.

(a) Pokaż, że F a G.

(b) Pokaż, że funktory F i G ustalają bijekcję zbiorów

F ix(P(X)) = {X0∈ P(X) : X₀ = GF (X0)}, F ix(P(Y )) = {Y₀∈ P(Y ) : Y₀ = F G(Y₀)}.

(c) Niech R ⊂ R²× H będzie relacją należenia pomiędzy punktami na płaszczyźnie a półpłaszczyznami. Opisz zbiory F ix(P(R²)) i F ix(P(H)) = {X ⊆ H :}. R jest zbiorem liczb rzeczywistych.

4. Dany jest diagram przemienny w kategorii Set 1

. . . - β_n+1 . . . -

γ_n−1

? π_bn

b_n ^-b_n+1 βn

c_n γ_n-c_n+1

? ?

πbn+1

. . . β_n+1-

. . . - γ_n+1

? -bω

cω

-

? π_bω . . .

. . . - α_n−1

6π_an

a_n αn-a_n+1 6 6πan+1

. . . - α_n+1 6

aω

- 6π_aω

którym wiersze są kostożkami kogranicznymi a kolumny są produktami binarnymi dla n ∈ ω. Pokaż, że wtedy diagram

a_ω  c_ω πaω

b_ω - πbω

też jest produktem binarnym.

5. Niech A będzi kategoria ze skończonymi granicami, F : A → Set funktorem zachowu- jącym pulbeki. Pokaż, że F jest koproduktem w kategorii Cat(A, Set) funktorów zachowujących skończone granice.

6. Niech k ciało oraz A i B to przemienne k-algebry wolne na pewnych zbiorach. Pokaż, że A ⊗ B również jest wolną k-algebra.

7. Udowodnij twierdzenia o izomorfizmie dla grup, korzystając wyłącznie z własności uniwersalnej rzutowania G → G_/H.

8. Niech F : A → B oraz G : B → A będa funktorami, α : 1_A→ GF oraz β : F G → 1_B naturalne izomorfizmy. Pokaż, że F i G sa funktorami sprzężonymi. Czy można przyjąć, że α jest jednością tego sprzężenia?

9. Udowodnij, że kategoria algebr Kleisliego K(T ) jest obiektem początkowym w kate- gorii sprzężeń wyznaczających monadę (T, η, µ).

10. Opisz monadę (T, η, µ) na kategorii zbiorów Set, dla której kategoria T -algebr Eilenberga- Moore’a E M(T ) jest równoważna z kategorią monoidów przemiennych CM on. Udowod- nij równoważność kategorii E M(T ) i CM on.

2