Elementy Teorii Kategorii Zadania Semestralne Semestr Wiosenny 2012

(1)

Elementy Teorii Kategorii Zadania Semestralne Semestr Wiosenny 2012

Marek Zawadowski 15 maj 2012

Poniżej jest lista dziesięciu zadań, z których należy wybrać dziewięć, rozwiązać i oddać w formie pisemnej. Zadania 8 i 10 jest liczone podwójnie.

1. Przedstaw granicę diagramu

A₀ A₂

A₁ f₁^@

@@R

f₃

A₄

A₃ f₄^@

@@R

f2

f5

przy pomocy produktów i ekwalizatorów.

2. Funktor zapominania

O : Cat → Set

z kategorii małych kategorii do kategorii zbiorów ma oba funktory sprzężone L, R : Set → Cat (L a O a R). Opisz te funktory. Czy któryś z funktorów L, R ma jeszcze jeden sprzężony?

3. Niech G : C → D, F : D → C, G⁰ : C⁰ → D⁰ oraz F⁰ : D → C funktory takie, że F a G oraz F⁰ a G⁰. Ponadto H : C → C⁰ i K : D → D⁰ są dowolnymi funktorami.

To znaczy mamy (niekoniecznie przemienny) diagram kategorii i funktorów

C⁰ ^-D⁰

K

C H ^-D

6

F

? G

6

F⁰

? G⁰

Pokaż, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy naturalnymi transformacjami

σ : F⁰◦ K → H ◦ F oraz

τ : K ◦ G → G⁰◦ H 4. Dany jest diagram (seryjnie) przemienny w kategorii Set,

1

(2)

. . . - β_n+1 . . . -

γ_n−1

? gn

b_n ^-b_n+1 βn

c_n γ_n-c_n+1

? ?

gn+1

. . . β_n+1-

. . . - γ_n+1

? -bω

cω

-

? gω

. . .

. . . - α_n−1

? e_n

a_n αn-a_n+1

? ?

en+1

. . . - α_n+1

aω

-

? e_ω

? f_n

? fn+1

? f_ω

w którym wiersze są kostożkami kogranicznymi a kolumny są ekwalizatorami dla n ∈ ω. Pokaż, że wtedy diagram

a_ω e_ω ^-b_ω

c_ω g_ω -

- f_ω

też jest ekwalizatorem.

5. Niech A będzie kategorią z obiektem końcowym, F : A → Set funktorem. Pokaż, że F jest koproduktem w Cat(A, Set) funktorów z A w Set zachowujących obiekt końcowy.

6. Niech F : A → B oraz G : B → A będa funktorami, α : 1A→ GF oraz β : F G → 1B

naturalnymi izomorfizmami. Pokaż, że F i G sa funktorami sprzężonymi. Czy można przyjąć, że α jest jednością tego sprzężenia?

7. Niech

A F ^-B G ^-C

będą parą funktorów, C kategorią zupełną. Załóżmy, że G kreuje granice. Pokaż, żę wtedy F zachowuje granice wtedy i tylko wtedy gdy G ◦ F zachowuje granice.

8. Niech C i D będą kategoriami ze skończonymi granicami.

(a) Załóżmy, że funktor F : D → C zachowuje pulbeki. Pokaż, że wówczas funktor F : D → C¯ _{/F (1)}

taki, że

d 7→ F (!) : F (d) → F (1) zachowuje wszystkie skończone granice.

(b) Pokaż, że dla dowolnego obiektu c kategorii C funktor zapominania F : C¯ _/c→ C

taki, że

f : d → c 7→ d kreuje pulbeki i ekwalizatory.

(c) Wywnioskuj z powyższego, że jesli F : D → C zachowuje pulbeki to zachowuje też ekwalizatory.

9. Pokaż, że kategoria grup (wewnętrznych) w kategorii grup jest równoważna z kate- gorią grup abelowych.

2

(3)

10. Funktory P, P_<ω : Set → Set są funktorami zbioru podzbiorów i zbioru skończonych podzbiorów, odpowiednio. To znaczy, że dla zbioru X, P(X) jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru X a P_ω(X) jest zbiorem podzbiorów skończonych zbioru X. Na morfizmach te funktory są zdefiniowane przez funkcje obrazu. Na obu funktorach można zdefiniować monady. Jedność dla P jest włożeniem elementów zbioru na singletony, tzn.

ηX : X → P(X) x 7→ {x}

a mnożenie w monadzie P to suma (zbioru zbiorów) [: PP(X) → P

Jedność i mnożenie dla P_<ω są obcięciami jedności i mnożenia dla P. Sprawdź, że P jest monadą. Opisz algebry dla obu monad jako algebry równościowe (o operacjach niekoniecznie skończonej arności).

3