Metody teledetekcyjne w
badaniach atmosfery i oceanów.
Wykład 5.
Krzysztof Markowicz kmark@igf.fuw.edu.pl
2
Wprowadzenie
• Własności optyczne aerozoli odgrywają kluczowe znaczenie w oszacowaniu poprawki atmosferycznej.
• Ma to znaczenie w czasie wyznaczania koncentracji ozonu czy innych gazów śladowych oraz koncentracji chlorofilu.
• Aerozole są istotnym składnikiem układu klimatycznego ziemia-atmosfera i mogą efektywnie wpływać na wartość wymuszenia radiacyjne.
• Aerozole globalnie ochładzają klimat poprzez zwiększanie albeda planetarnego (efekt bezpośredni)
• Aerozole modyfikują własności mikrofizyczne oraz optyczne chmur (efekt pośredni)
• Monitoring własności optycznych aerozoli w skali globalnej jest więc niezbędny.
Pomiary naziemne
• Jedną z najprostszych metod pomiarowych zawartości aerozolu w pionowej kolumnie powietrza jest pomiar promieniowania
bezpośredniego na powierzchni ziemi.
• Obecności aerozoli sprawa, że promieniowanie bezpośrednie
dochodzące do ziemi jest efektywnie osłabiane (poprzez procesy rozpraszania oraz absorpcji) zgodnie z prawem Lamberta Beera.
• Dla horyzontalnie jednorodnej atmosfery mamy:
) Io( )e m (
I
g O
2 H 3
O A
RAY
4
• W obszarze widzialnym oraz w bliskiej podczerwieni grubość optyczna ozonu, pary wodnej oraz innych gazów jest
najczęściej zaniedbywana mała poza wąskimi pasmami absorpcyjnymi.
• Największy wkład do grubości optycznej wnoszą rozpraszanie i absorpcja aerozolu oraz rozpraszanie molekularne. Przy
czym to ostatnie szybko zmniejsza się z długością fali (-4).
• Przykład:
RAY(350nm)=0.61
RAY(500nm)=0.14
RAY(1000nm)=0.008
Grubość optyczną aerozolu wyznaczamy ze wzoru:
o RAY
A I( )
) ( ln I m
1
• Grubość optyczna aerozolu (AOT) opisuje całkowita zawartość aerozolu w pionowej kolumnie powietrza.
• Z definicji grubości optycznej mamy
gdzie ekstynkcja wyraża się wzorem
0
dz
dr ) r ( n r m r ,
Q 2 )
( 2
Q () jest efektywnym przekrojem czynnym na ekstynkcje i dla cząstek sferycznych może być wyznaczony z teorii MIE o ile znamy współczynnik refrakcji m oraz promień cząstki r.
6
dr ) r ( n r m r , Q 2
dz )
( 2
0
drdz )
z , r ( n r m r , Q 2
) (
0
2
dr ) r ( n r m r , Q 2
)
( 2 c
0
c(r) n(r,z)dz
n n
c(r)- kolumnowy rozkład wielkości
Spektralna zmienność AOT
1) Mono-dyspersyjny rozkład wielkości cząstek aerozolu.
nc(r ) =No (r-ro)
2 r ,m
CQ m
r , Q 2
N r )
( o2 o o o
Jeśli przyjąć że ro=1m x=6/ to dla >1 m
AOT maleje z długością fali !
8
• Dla <1 m zachowanie AOT jest bardziej skomplikowane
• Z anomalnej teorii dyfrakcji ADT mamy
2
cos 41
4 sin 2
Q
4 (m 1)r
1 cos2
sin 4 4 2 C )
(
Zaniedbując III wyraz mamy
o o
r ) 1 m ( 4
r ) 1 m ( sin 4
4 2 C )
(
AOT maleje z długością fali jeśli 4(m1)ro / 2
) 1 m ( ro 8
Typowa zmienność współczynnika załamania światła (rzeczywista cześć współczynnika refrakcji) zawiera się w granicach (1.3-1.7)
Aby AOT malała z długością fali musi być spełniony przybliżony warunek
ro</2
• Dla fal krótszych od 0.5 m AOT dla aerozoli drobnych zmniejsza się z długością fali.
• Pomiary potwierdzają ze AOT zmniejsza się z długością fali dla małych cząstek i jedynie dla dużych możemy mieć
odwrotna zależność
10
2) Rozkład Junge
• Zakładając ze rozkład wielkości
cząstek ma postać
0
r r r
) Cr r (
n 1 2
) 1 ( c
Możemy wyznaczyć grubość optyczna aerozolu
dr r
m r , Q 2
Cr )
( ( 1)
r
r 2
2
1
2r
x 2 dr
dx
Po zamianie zmiennych mamy
dx
x 2 m 2
, x 2 Q
C )
( ( 1)
) 1 x (
x
2 2
1
x,mx dx
2 Q C
)
( ( 1)
x
x 1
3 2
1
C~k 2 2 )
( gdzie k jest stała opisującą wartość całki po parametrze wielkości x.
Typowa wartość dla aerozolu mieści się w przedziale od 2 do 4. Zatem wykładnik 2- <0
)( 2 Wykładnik Angstroma Wyniki obserwacyjne spektralnej zmienności AOT
dowodzą, iż wykładnik Angstroma zmienia się średnio w przedziale od 0 do 2 chociaż rejestruje się również ujemne wartości .
12
• Wykładnik Angstroma związany jest z parametrem rozkładu wielkości . Im jest on większy tym mniej jest dużych cząstek i odwrotnie
• Małe wartości odpowiadają dużemu aerozolowi i odwrotnie.
• Chociaż rozkład Junge ma osobliwości dla r=0 to jednak nieźle opisuje rozkład wielkości aerozolu większego od 0.5
m i zaskakująco dobrze przewiduje obserwacyjne wartości wykładnika Angstroma.
• Spektralna zmienność AOT zawiera informacje o rozkładzie wielkości aerozolu.
14
3) Rozkład Log-Normalny
• Znacznie lepiej opisuje rozkład wielkości aerozolu.
• Często przyjmuje się że rozkład wielkości jest suma 2 lub 3 rozkładów lognormalnych opisujących cząstki w modzie nukleacyjnym i akumulacyjnym oraz cząstki grube.
2
i mi
ln r ln r ln 2 3 1
1
i i
c i e
2 ln
r ) N
r (
n
rmi jest promieniem modalnym, i zaś geometryczne odchylenie standardowe.
Tego wzoru nie można scałkować analitycznie podobnie jak rozkładu Junge. Jednak korzystając z twierdzenia o wartość średniej możemy zapisać:
16
x,mr n (r)dr
Q )
( 2 c
0
2
0
c
2n (r)dr NQ x,m r
r m , x Q )
(
jest całkowitą powierzchnią aerozolu w jednostce objętości
r2
N
Ogólny wzór na n–ty moment rozkładu log-normalnego można łatwo obliczyć i ma on postać:
mn 21n2ln2
n r e
r
m 52ln2 eff r e
Promień efektywny zaś r
2 3 2
3
eff r
r dr
) r ( n r
dr ) r ( n
r r
2 r ,m
r Q M 4 m 3
, x r Q
V 4 3 r
N r m , x Q )
(
eff eff
eff 3
AOT możemy policzyć ze wzoru
gdzie V jest całkowitą objętością aerozolu zaś M masą w jednostce objętości.
Niestety jest na ogół wielkością zależną od promienia efektywnego co zasadniczo komplikuje obliczenia.
Obliczmy iloraz:
r
2 r ,m
) Q
( 1 1
18
• Iloraz AOT dla 2 długości fali nie zależy od masy ani objętości aerozolu a jedynie od wielkości charakteryzujących jego wielkość i własności
optyczne.
• Rozważmy przypadek aerozolu gigantycznego x>>1 Wówczas Q2 (paradoks ekstynkcji)
S 2 dr
) r ( n r 2 )
(
0
c
2
eff
eff r
M 2
3 r
V 2 ) 3
(
S – całkowita powierzchnia aerozolu w jednostce objętości
Wzór często stosowany dla kropel chmurowych gdzie warunek x>>1 jest spełniony
Wykładnik Angstroma cd
• Ze względu na wagę tego parametru zajmiemy się nim dokładniej
)( ln lnln ln
ln
ln lub
Rozważmy mono-dyspersyjny rozkład cząstek o promieniu r
M r2Qn(r)dr
M r2 Q n(r)dr r2No Q gdyż n(r)=No(r)
20
• Rozważmy obecnie rozkład poli-dyspersyjny
dr ) r ( Q n r
N dr
) r ( Q n r
N0 2 o 2
Q
) Q (
Korzystamy ze wzoru M
dr ) r ( Qn ) ( r
1 N
M 2
0
Zauważmy że d N0Qn(r)r2dr
( ) M d Wzór Shifrina
Wzór pozwala wyznaczyć wykładnik Angstroma cząstek o poli-dysperysyjnym rozkładzie wielkości gdy znamy
wykładnik Angstroma dla poszczególnych składowych mieszaniny.
i
i i
i i
Rozważmy atmosferę w której w dolnej części mamy
aerozol o grubości optycznej 1 i wykładniku Angstroma 1 powyżej zaś warstwę scharakteryzowana przez wartości 2 oraz 2 . Mamy więc dwa równania:
2 1
1 1 2 2
2 1 / q
Oznaczmy przez q :
1 1 2 2
1 q
2 1
q 1 1
1
22
1 2 1
2
1 1 q
q 1 q
1 q
1 1
Gdy q>>1 czyli 1>> 2 to wówczas 1 o ile nie jest bliskie zero
Wzór Shifrina jest ważną relacja która pokazuje że jedynie aerozole o znaczącym wkładzie do całkowitej grubości
optycznej mogą efektywnie wpływać na wartość wykładnika Angstroma
Przykład.
soot=0.02 soot=2.0
seasalt=0.2 seasalt=0.0
Na postawie wzoru Shifrina mamy: =0.18. Nawet gdyby
soot=0.05 to =0.4. Grubość optyczna sadzy nawet dla bardzo zanieczyszczonych rejonów świata jest bardzo mała
(podobnie jak w powyższym przykładzie).
• Rozważamy osobno przypadek małych i dużych cząstek zdefiniowanych przez parametr wielkości x
1) Dla x>>1 Q=const=2 stad =0 2) Dla x<<1
a) gdy cześć urojona współczynnika refrakcji k=0 Q()=Qscat=C/ 4
b) gdy cześć urojona współczynnika refrakcji k 0 Q()=Qabs=C/
Paradoks Angstroma
1
4
M
k=0
k 0
małe cząstki
Obliczmy albedo pojedynczego rozpraszania SSA (Single Scattering Albedo)
24
x4
x 1 x
Dla x<<1 11 0
Dla cząstek dużych Qext=2
Qabs=1 (gdy k>0) Stad =0.5
Paradoks Angstroma występuje nawet dla
k=10-10. Wówczas to
=0 oraz =1
• Załóżmy, że mamy małe cząstki dla których spełniona jest zależność Qabs=x
Stąd
1 a
abs
Wykładnik Angstroma dla absorpcji
wynosi 1
ext e
1 e
a ext
abs 1
1
Dla aerozolu o wykładnika Angstroma równym 1 mamy płaską zależność albeda pojedynczego rozpraszania z długością fali.
1) Dla <1 SSA rośnie z długością fali
26
Wykładnik Angstrom’a cd
• Załóżmy, że mamy dwa mody aerozolu o liczbie cząstek odpowiednio N1 oraz N2. Wówczas AOT wynosi:
2 2 1
1S N S
N
Qr n (r)dr
Si 2 i
21 2 11
1
22 2 12
1
1 2 1
2 1 2
S N S
N
S N S
ln N ln
1 ln
ln
i=1,2
21 1 2
11
22 1 2
12
1
2 S N / N S
S N / N ln S
ln 1
Wykładnik Angstroma zależy więc jedynie od
stosunku liczby cząstek w poszczególnych modach nie zaś od całkowitej ich ilości.
28
Uogólnienie problemu odwrotnego
2
1
r
r
c
2Q(x,m)n (r)dr r
) (
Rozkład wielkości n(r) możemy rozbić na dwie części; wolno f(r) oraz szybko h(r) zmienną, gdzie h(r) ma na przykład
postać rozkładu Junge
2
1
r
r
2Q(x,m)h(r)dr r
) r ( f )
(
Naszym zadaniem jest wyznaczenie funkcji f(r) zakładając współczynnik refrakcji m. Równanie to sprowadza się do
równania Fredholma pierwszego rodzaju jeśli przyjmiemy, iż g=() zaś
) r ( h m r ,
Q 2 r )
r (
K 2
g f (r)K (r)dr
2
1
r
r
dr ) r ( K ) r ( f g
2
1
r
r
i i
gdzie K(r) jest funkcją wagową (jądrem). W praktyce, ponieważ mamy tylko skończona ilość mierzonych
parametrów gi powyższy problem jest źle postawiony nawet jeśli funkcja wagowa K(r) oraz wartości mierzone gi
pozbawione są niepewności.
Rozważmy równanie Fredholma w postaci:
i=1,2,…,M M jest liczbą obserwacji spektralnych wielkości g
Dla wygody poszukiwać będziemy rozwiązanie w postaci:
N
1 j
j jw (r) f
) r (
f gdzie fj są nieznanymi współczynnikami, zaś wj oznacza funkcje ortogonalne.
Podstawiając dostajemy:
30
N
1 j
j ij
i A f
g gdzie i-1,2,…,M A w (r)K (r)dr
2
1
r
r
i j
ij
Musimy wyznaczyć fj(j=1,…,N) korzystając z obserwacji gi(i=1,…,M). Wprowadzamy oznaczenia:
M 2 1
g ...
g g g
N 2 1
f ...
f f f
MN 1
M
N 2 22
21
N 1 12
11
A ...
...
A
...
...
...
...
A ...
A A
A ...
A A
Aˆ
Wyjściowe równanie sprowadza się do równania wektorowego
f Aˆ g
Jak wiadomo macierz odwrotna istnieje tylko wtedy gdy M=N oraz gdy detA0. Jeśli więc M=N to nasze rozwiązanie jest postaci:
g Aˆ f 1
• Z reguły macierz A nie może być odwrócona dlatego używa się metody najmniejszych kwadratów. Różnicę lewej i prawej strony powyższego równania zapisujemy w postaci:
j N
1 j
ij i
i g A f
i=1,…,M
Musimy więc zminimalizować wielkość
M
1 i
2 i j
N 1 j
ij M
1 i
2
i A f g
Poprzez przyrównaniu wszystkich pochodnych względem fk(k=1,2,
…,n) do zera
0 g
f f A
M 1 i
2 i j
N 1 j
ij k
32
0 A
g f
A 2 M
1 i
ij j , k i j
N
1 j
ij
0 A
g f
A
M
1 i
ik i
j N
1 j
ij
lub w formie macierzowej
g Aˆ f
Aˆ
AˆT T
Aˆ Aˆ Aˆ g
f T 1 T
Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego w powyżej formie jest niestabilne. Niestabilności związane ze źle postawionym
problemem wyjściowym nie są jedyne. Istotnym wkład wnoszą błędy kwadratur używane do obliczeń elementów macierzy Aij, błędy obcięcia numerycznego oraz przede wszystkim błędy pomiarowe wielkości gi. W praktyce gi nigdy nie jest znane i dlatego musi być zapisane w postaci:
i i
i g
gˆ
Niepewności i wpływają na niejednoznaczność rozwiązania fi, która może być usunięta poprzez narzucenie dodatkowego
warunku pozwalającego wybrać jedno z możliwych fi
Rozpatrujemy wyrażenie 2
i i
j 2
i f f
gdzie jest współczynnikiem wygładzającym mówiącym jak silnie rozwiązanie fi jest zmuszane do zbiegania do
zadanej wartości (w tym przypadku do wartości średniej a ogólnie do wektora informacji a priori). Stosując metodę najmniejszych kwadratów mamy
f
f f 0
gˆ f
f A i
2 j
i
2
j
i j ij k
f f 0
A gˆ f
fk i j Aij j i ik j
Równoważny zapis macierzowy
0 f
Hˆ gˆ
Aˆ f
Aˆ
AˆT T
1 1
1
1 1
1
N ...
N 1 N
N ...
N N
1 Hˆ
34
Postać macierzy H związana jest ze wzorem
N 1 k
k
1 f
N f
gdzie I jest macierzą jednostkową
Aˆ Aˆ Hˆ Aˆ gˆ
f T 1 T
Wprowadzony dodatkowy warunek ma na celu zbliżać
rozwiązanie do pewnej klasy rozwiązań określonych przez Rozwiązanie na może być wyznaczane na podstawie danych historycznych.
f
0 )
f f
( gˆ
Aˆ f
Aˆ
Aˆ T T
Aˆ Aˆ Iˆ (Aˆ gˆ f ) 0
f T 1 T
Rozwiązanie problemu odwrotnego dane jest wzorem
f
Warunek wygładzania rozwiązania można konstruować również przez wyrażenia:
1) (pierwsza pochodna)
2) (druga pochodna) które nie zawierają wyrażenia
• Stosując przedstawioną po wyżej metodę rozwiązywania problemu odwrotnego dla grubości optycznej aerozolu zakładaliśmy, że znamy współczynnik refrakcji.
• Założenie to jest bardzo silne i może prowadzić do znacznych błędów, które w tej metodzie wchodzą do wielkości i
• Wartość współ. refrakcji wpływa na zmienność efektywnego przekroju czynnego na ekstynkcje i tak cześć rzeczywista odpowiada ze
przesuwanie kolejnych maksimów w zależności od parametru wielkości x zaś część urojona za wygładzanie oscylacji
rezonansowych.
(fj1 fj)2
(fj1 2fj fj1)2
f
36
Fitowanie rozkładu log-normalnego
2 i
mi
ln r ln r ln 2 2 1
1
i i
c i e
2 ln
r ) N
r (
n
x,mr n(r)dr Q
)
( 2
• Zakładamy, że mamy dwu-modowy rozkład log-normalny.
• Mamy do wyznaczenia 6 parametrów swobodnych (przy założeniu współczynnika refrakcji) N1,N2, rm1, rm2, 1,2
• Możemy liczbę niewiadomych zredukować o 1i 2 na podstawie informacji klimatycznych dla odpowiednich modów.
• Dodatkowo przy dużej licznie kanałów spektralnych AOT możemy fitować współczynnik refrakcji.
