Metoda elementów brzegowych w analizie wytrzymałościowej zębów kół zębatych

ZESZYTY N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L I S K I E J

Seria: T R A N S P O R T z. 9 N r kol. 952

________ 1989

Tadeusz B U R C Z Y Ń S K I Bogna M R Ó W C Z Y Ń S K A

METODA E L E M E N T Ó W B R Z E G O W Y C H W A N A L I Z I E WYTR ZY M AŁ OŚ CI O WE J Z Ę B Ó W K Ó L Z Ę B A T Y C H

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p r z e d s t a w i o n o z a s t o s o w a n i e m e t o d y el e me n t ó w b r z e g o w y c h w n u m e r y o z n e j ana li zi e w y t r z y m a ł o ś c i zębów. R o z w a ż a n o taką kl a sę zębów, które m og ą b yć m o d e l o w a n e jako dw uw ym i a r o w e z a d a ­ n i a b r z e g o w e liniowej t e or i i sprężyst o śo i. B r z e g o w e r ó w n a n i a c a ł k o ­ we w y p r o w a d z o n o z z a s a d y w z a j e m n o ś c i Bettiego. Po dano s posób dys- k r e t y z a o j i tych r ó w n a ń p o p r z e z p o d z i a ł z a r y s u z ę b a n a e l e m e n t y b r z e ­ gowe. Sf o rm u ł o w a n o g l ob a l n e i lokalne k r y t e r i a adaptacyjne, które u m o ż l i w i a j ą g e n e r a c j ę o p ty ma l ne j s i at ki e l e m e n t ó w b r z e g o w y c h n a p o d s t a w i e o s z a o o w a n i a b ł ę d ó w i s t n i e j ą c e g o r o z w i ą z a n i a n u m e r y o z n e g o . P r z e d s t a w i o n o a l g o r y t m n u m e r y o z n y m e t o d y i s c h a r a k t e r y z o w a n o m o ż l i ­ w o ś c i o p r a c o w a n e g o p r o g r a m u k o m p u t e r o w e g o sł uż ą ce go do o b l io ze ń p r z e m i e s z o z e ń i n a p r ę ż e ń w zębach. P r z e d s t a w i o n o w y n i k i o bl i c z e ń n u m e r y c z n y c h n a p r ę ż e ń s t y o z n y c h w p o d s t a w i e z ę b a d l a w y b r a n y c h m o ­ d el i n u m e r y o z n y o h zęba. W y n i k i o b l i c z e ń p o r ó w n a n o z w a r t o ś c i a m i n a p r ę ż e ń w y z n a c z o n y m i m e t o d ą e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y c h i m e t o d ą o d w z o r o ­ w a ń w i er no ką t ny oh .

1. W p r o w a d z e n i e

J ed ną z n a j p r o s t s z y c h m e t o d o b l i o z e n i o w y c h p o z w a l a j ą c y c h n a określe ni e naprężeń w p o d s t a w i e z ę b a k o ł a z ę b at e go jest m e t o d a ł a m an yc h p r z e k r o j ó w

[12J . M e t o d a ta p r z y p o m o c y e l e m e n t a r n y o h s p o s o b ó w z n a n y c h z w y t r z y m a ł o ś ­ ci m a t e r i a ł ó w d a j e ' J a k o ś c i o w o d o b r y o br az s t a n u n a p r ę ż e n i a w p o d s ta wi e zęba, u w z g l ę d n i a j ą c n a p r ę ż e n i a w y w o ła ne m o m e n t e m gnącym, siłą śoinającą i siłą ściskającą. J e d n ak że w y n i k i o b l i c z e ń n i e są w y s t a r o z a j ą c o d okładne z uwagi n a zbyt u p r o s z o z o n y m o d e l o b l i o z e n i o w y zęba. J e d n ą z n a jb ar d zi ej r oz po ws z echnionych i z a a k c e p t o w a n y o h m e t o d s ł u ż ą o y o h do o k r e ś l a n i a n a p r ę ­ żeń w p o d s t a w i e z ę b a jest m e t o d a o d w z o r o w a ń w i e r n o k ą t n y o h (MOW). M e t o d a ta o p a r t a Jest n a o d w z r o w a n i a o h w i e r n o k ą t n y o h p o z w a l a j ą c y c h w yk o rz y s t a ć znane r o z w i ą z a n i a d l a p ó ł p r z e s t r z e n i sp rężystej. Z as to s o w a n i e M O W do o b l i ­ czeń naprę'żeń w k o ł a c h z ę b a t y c h p o d a ł po raz p i e r w s z y N e u b e r [15J . M e t o d a ta z o s t a ł a r o z w i n i ę t a i p r z y s t o s o w a n a do o b li c z e ń n u m e r y o z n y c h przez Mullera [13] . Jedną z g ł ó w n y c h za le t M O W jest fakt, żo ot r zy mu je się z a ­ dowalające w a r t o ś c i n a p r ę ż e ń w p o d s t a w i e z ę b a p r z y z a ł o ż e n i u k i l k u p u n k ­ tów n a z a r ys i e 3 t o p y zęba. Z a l e t a ta o k u p i o n a jest k o n i e c z n o ś c i ą r o z w i ą ­ zywania u k ł a d u n i e l i n i o w y o h r ó w n a ń algeb r ai cz ny c h, 00 s t w a r z a p r o b l e m y natury n u m e r y o z n e j . Do g ł ó w n y c h w a d M O W n a l e ż y j e d n a k b r a k uniwe rs al no ś ci .

98 T. Burozyński, B. Mrówozyriska

Za p o m o o ą M 0 ¥ n i e m o ż n a b o w i e m obl ic za ć n a p r ę ż e ń d l a z ę b ó w n i e s y m e t r y c z ­ n y c h oraz n ie mo że być o n a z a s t o s o w a n a do o b l io ze ń k ó ł w e w n ę t r z n i e uzębio­

nych, p o n i ew a ż w me t o d z i e tej z a k ł a d a się, że u t w i e r d z e n i e z ę b a z najduje się w nies k oń cz on o śc i.

Zast os o wa ni e u n i w e r s a l n y c h m e t o d n u m e r y c z n y o h mechan i ki , t ak i oh jak m e t o d a e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y o h (MES) lub m e t o d a e l e m e n t ó w b r z e g o w y c h (MEB), p o z w a l a p r z e pr ow ad z ić c a ł o ś c i o w ą analizę w y t r z y m a ł o ś c i o w ą (w zak r es ie a n a l i z y prz em ie s zo ze ń, o d k s z t a ł c e ń i n a p r ę ż e ń ) z ę b ó w o d owolnej geometrii k ó ł we w nę t r z n i e i z ew nę tr z ni e uz ęb i o n y c h . A b y otrz y ma ć w y s t a r o z a j ą o o do­

kładne w a r t o ś c i naprężeń, s tosująo M E S lub M E B n a l e ż y p r z e p r o w a d z i ć odpo­

w i e d ni ą d y s kr e ty za oj ę z a ry su 1 o b s z a r u z ę b a (w p r z y p a d k u MES) lub tylko z ar ys u (w p r z y p a d k u MEB).

Z a s t os ow an i e MES do o k r e ś l e n i a n a p r ę ż e ń w p o d s ta w ie z ę b a prze ds ta w il i K ondo i T a k a d a [9]. Prz yj ę li oni do o b l i o z e ń 230 8 - w ę z ł o w y c h c z w o r o k ą t ­ n y c h e l e m e n t ó w s k o ń c z o n y c h p o ł ą c z o n y c h w 761 wę złach. Do m a n k a m e n t ó w MES n a l e ż y za liczyć k n ni eo zn o ść r o z w i ą z y w a n i a d u że g o u k ł a d u l i n i o w y c h równań a l g e b r a i c z n y c h (np. w p r z y p a d k u o m aw ia ne j p r a o y [9] n a l e ż a ł o r oz w i ą z a ć u k ł a d 1522 r ów na ń a lg ebraicznych). P r z y dużej lioz bi e e l e m e n t ó w skońozo- n y o h kł o po t l i w e jest także p r z y g o t o w a n i e o d p o w i e d n i c h d a n yo h l io zb o wy oh d ot yc z ą c y c h zarów n o g e o m et r ii zarysu, jak i w n ę t r z a zęba.

J a k wiadomo, m ak sy m al ne n a p r ę ż e n i a w p o d s t a w i e z ę b a w y s t ę p u j ą n a zary­

sie (brzegu) zęba. Z tego p o w o d u b ar dz o w y g o d n ą i e f e k t y w n ą m e t o d ą nume- r yo z ną a n a li zy s t a n u n a p r ę ż e n i a w p o d s t a w i e z ę b a Jest MEB. G ł ó w n ą zaletą M E B Jest to, że d ys k re t y z a o j i p o d l e g a w y ł ą c z n i e b r z e g zęba. D zięki temu w yr aź n i e z m n i e j s z o n a jest ilość w p r o w a d z a n y c h d a n y o h d o t y c z ą c y c h geometrii z ę b a i u k ł a d po dy s ke r t y z a c j i m a zna cz n ie m n i e j s z ą liczb ę s t o p n i swobody n iż p r z y z a s t o s o w a n i u MES. U m o ż l i w i a to za st os o w a n i e k o m p u t e r ó w o s ob i s­

tych do o b l i o z e ń w y t r z y m a ł o ś c i o w y c h zębów.

P rz y kł ad ow e z a st o so wa ni e M E B do a n a l i z y s t a n u n a p r ę ż e n i a w z ę b a o h p r z e d s t a w i ł L a ch at [10] , r o zw a ża ją c e l e m e n t y b r z e g o w e o r ó ż n y c h funkc jaoh k ształtu. ¥ c e l u z w i ę k s z e n i a do kł ad n o ś c i o b l i o z e ń z a s t o s o w a ł o n kryterium g lo ba ln e i lokalne, które u m o ż l i w i ł y a ut o m a t y c z n ą g e n e r ac ję s i at k i ele­

m e n t ó w brzegowyoh.

¥ n i ni ej s z e j p r a c y p o d j ęt o p róbę z b u d o w a n i a m o d e l u n u m e r y c z n e g o zęba z a p o m o c ą M E B s tosując linio we funkcje kształtu. ¥ s z c z e g ó l n o ś c i wyprowa­

dzono b r z e g o w e r ó w n a n i a c a ł k o w e d l a sp rę ży s t e g o m o d e l u z ę b a oraz pokazano sposób d y s k t re ty z ac Ji z a r y s u z ę b a el em en t a m i b rzegowmi. O r y g i n a l n y m ele­

m en te m p r a o y jest z ap ro p o n o w a n i e a d a p t a c y j n e g o u j ę c i a MEB, k t ó r e u m oż li ­ w i a p r z e p r o w a d z e n i e d y 3 k r e t y z a c j i n a p o d s t a w i e o s z a c o w a n i a b ł ę d u istnie­

jącego r o z w i ą z a n i a num e ry oz ne g o. ¥ tym o e l u z a s t o s o w a n o d w a kryteria, w e d ł u g k t ó r y o h o k r e śl o no w s k a ź n i k i a daptacji. P r z e d s t a w i o n o a l g o r y t m nu­

m e r y c z n y oraz omó wi o no p r o g r a m k o m p u t e r o w y s ł u ż ą o y do a n a l i z y s t a n u n a ­ p r ę ż e n i a i p r z e m i e s z c z e n i a zębów. P o k a za n o p r z y k ł a d y n u m e r y c z n e analizy.

Metoda elementów brzegowych w . . 99

Cel, jaki p r z y ś w i e o a l p r e z e n t o w a n y m obliczeniom, p o l e g a ł n a p r z e b a d a n i u w p ł y w u g ł ę b o k o ś c i z a m o c o w a n i a z ę b a oraz p o r ó w n a n i u o t r z y m a n y c h m a k s y m a l ­ n y c h n a p r ę ż e ń w p o d s t a w i e z ę b a z o d p o w i e d n i m i n a p r ę ż e n i a m i o b l i c z o n y m i za pomocą MOY/ [13^{] i MES,}

Naoisk, jaki p o ł oż on o n a o p r a c o w a n i e w y g o d n e j i efekt yw n ej techniki n um er y o z n e j M E D w z a g a d n i e n i u a n a l i z y w y t r z y m a ł o ś c i o w e j , w y n i k a z faktu, że s t a no wi to p o d s t a w o w y i n i e o d ł ą c z n y e l e me n t o ptymalizacji i a n a l i z y w r a ż l i w o ś c i k s z t a ł t u i w d e o y d u j ą o y s p o s ó b w p ł y w a n a ich r e a l i z a c j ę n u ­ meryczną,

P r a o a jest w y n i k i e m b a d a ń p r o w a d z o n y o h w I n s t y t u c i e M e o h a n i k i i P o d s t a w K o n s t r u k c j i M a s z y n P o l i t e c h n i k i śląskiej w G l i w i o a o h w reraaoh CP BP 02.01 n a temat 6.4: "O p ty m a l i z a o j a k s z t a ł t u e l e m e n t ó w k o n s t r u k c y j n y c h m e t o d ą e l e m e n t ó w b r z e g o w y o h " . P o w s t a ł y w w y n i k u ty oh b a d a ń p r o g r a m n u m e r y c z n y M E B s ł u ż ą c y do a n a l i z y z a g a d n i e ń d w u w y m i a r o w y c h z o s t a ł p r z y s t o s o w a n y do o b l i oz eń z ę b ó w i p r z e k a z a n y do I n s t y t u t u T r a n s p o r t u P o l i t e c h n i k i śląskiej.

2, B r z e g o w e r ó w n a n i a c a ł k ow e d l a s p rę ży s t e g o m o d e l u z ę b a

G łó w ną o e o h ą M E B jest z m n i e j s z e n i e o j e de n r z ą d w y m i a r u r o zw ią z y w a n e g o z a d a n i a b r z e go we go . J e ś l i r o z w a ża ne za g ad n i e n i e jest p r z e s tr ze n ne , to r e ­ dukuje się ono do z a g a d n i e n i a d w u w y m i a r o w e g o o k r e ś l o n e g o n a p o w i e r z o h n i o gr aniozająoej oiało, n a t o m i a s t w p r z y p a d k u z a g a d n i e ń p ł a s k i o h p r o b l e m b r z e g o w y s p r o w a d z a się do z a g a d n i e n i a j e d n o w y m i a r o w e g o i w y m a g a dy s krety- zaoji tylko l in ii b rz e go w e j , o g r a ni cz a ją ce j e l e me nt k o n s t r u k o y J n y (por.

[3» **])• R o z w a ż a n a b ę d z i e taka k l a s a zębów, k t ó r e m o g ą być m o d e l o w a n e jako z a d a n i a p ł a s k i e liniowej te orii sp rężystości. P r z y j m u j e się, żo ząb z ajmuje o bs za r V o g r a n i c z o n y b r z e g i e m S w d w u w ym i ar ow ej p r z e s t r z e n i E u k l i d e s a (rys, 1a). P u n k t y o b s z a r u V i b r z e g u S oz na cz an e pr ze z x = (xj) i y = (yj), J S £1 , 2J . Z a k ł a d a się, ż e b r z e g S s k ł a d a się z dv,’óoh c z ęś ci S.| i S^. N a b r z e g u (krzyw ABCD) da ne są p r z e m i e s z o z e - ' n i a u ’ (x) = (u°(x)) x 6 S ^ , J e ś l i b r z e g jest u t w ie rd zo n y, to u 0 (x) = 0.

N a b r z e g u Sg (krz yw a DEFGU A) dane są s i ł y t°(x) =(t°(x)), x GSj. Zwykle b r z e g S 2 s k ł a d a się z b r z e g u sw o bo d n e g o S 0 (krzywe D E F G i H A ) , n a k tó ry m dane są s i ł y z e ro we (t° = o) oraz b r z e g u ob c ią ż o n e g o (krzy­

w a Git) , n a k t ó r y m t ^ O. V p r z y p a d k u o g ó l n y m w o b s z ar ze V m o g ą działać si ł y m a s o w e b(x) = (b,(x)), x 6V. R o z p a t r y w a n e jest także zadan ie po- m oo ni oz e d l a p e w n e g o o b s z a r u V z b r z e g i e m S o tych s am yc h w ł a s n o ś - c i a o h s p rę żystych, co ząb. Z ąb z a w a r t y jest w o b s za rz e V * , tzn. , V c V * . O bs z ar V * m o ż e być n i e o r g a n i o z o n y m oś ro d k i e m s p r ę ż y s t y m (rys. 1,b).

T w i e r d z e n i e B e t t i o g o d l a z a g a d n i e n i a w y j ś c i o w e g o i p o m o c n i c z e g o m a p o 3 t a ć :

(1)

V s

too T. Du rc zy ń s k i f 11. T’rovozyrak.'i

ys• In. Kys. 1b.

If». 1a. r o n n u l u t i o u of b o u n d a r y Fift. 1 b # F o r m u l a t i o n of a u x i l i a r y

ooiidition.s for tooth p r o b l e m for tooth

Jużyui l itorami l’j, T^, Uj ozn ac zo n o o d p o w i e d n i o przem i es zc ze n ia , s i t y brz e go wo .1 s i ł y M a so we od no sz ą oo się do u k ł a d u p o m oc ni c ze ^ o . Jeśli

pu nikol o y e V* n i e o g r a n i c z o n e j p r z e s t r z e n i spręż ys te j d z i a ł a j ed n os tk o­

w a s i ł a s k u pi on a

!lL = 6(y-.\)o1 , (2)

S*lzj o :

<5(>‘-x) Jest d y s t r y b u c j ą «irnon, y w s k a z u j e p u n k t źródłowy, x £ V * j e s t p u n kt o m b i e ż ą c y m i>ola, n e^ Jest w e k t o r o m J e d n o s t k o w y m d z i a ł a j ą c y m w i - t y m kierunku, to p r z e m i e s z c z e n i a i s i ł y w y r a z i ó m o ż n a n a s t ę p u j ą c y m i z h- leżno-wjinmi j

(ylzio:

U_y (y,x) i T^j (y,A‘) p r z e d s t a w i a j ą sobą przemieszczenia- i s i ł y w j-tyra k i e r u n k u w p u n k o i e x w y w o ł a n o Jo dn s o t k o w ą siłą s k u pi on ą d z ia ła ją c ą w punk c ie y w e ^ - t y m k ie runku.

:evode nlomontów brzegowych w... 1 01

",'cnsory 1,’^j i T^j wyrnżnjij sit n a s t ę p u j ą c y m i wsorai.ii:

Uu (y-x) = - - ^ r c ^ T c , ln(r) " r,Ł r,j) w

(5) ( y , x ) = - ¡ i U f t ( 1 - 2 V ) ó i j 1 2 r , i r , J “ f i "

- (1^-2V) ( r fi Uj - r fJ n ^ J

gdzie r(y,x) jost o d l e g ł o ś c i ą m i ę d z y p u n k t a m i y 1 x

r(y,x) = (r± r i ) 1/'2 , r ± = x ± - y±1 ⁽6⁾

n a t o mi a st w y r a ż e n i e r,^ or ke śl o no jest n a s t ę p u j ą c o

r , ± = -— ■■■ = r,/r. (?)

3 x ± X

Przez G i l ? ozn ac z on o od po w i e d n i o m o d u ł s p rę ży s t o ś c i po pr z e o z n e j i liozbę Toissona. Przez n =(n j) o z n a c zo n o j e d n o s t k o w y w e k t o r n o r m a l n y do b rz eg u S. W z o r y (4) i (5) ol>oviązują d l a p ł a s k i e g o st an u odkształcenia.

V p r z y p a d k u pł as k i e g o s t a n u n a p r ę ż e n i a V n a l e ż y z a stąpić p r z e z V 1+V) . W st aw i a j ą c (2) i (3) do t w i e r d z e n i a B e t t ie go o t rz ym uj e się w z ó r So­

migliany:

u i(y ) =

J

S ( 8 )

+ J Vi i ( y ,x)bj(x)dv(x) ye v

V

W d a l s z y c h r o z w a ż a n i a c h p r z y j m u j e się, ż e s i ł y m a s o w e są zerowe.

O d p o w i e d n i k i e m w z o r u S o m i g l i a n y d la n a p r ę ż e ń jest wyrażenie:

6 i j (y) = J [ D i j k ( y >x ) t k (x) ' S i j k ( y -x)" k (x)] dS(x) y £ V (9)

s

g d z i e :

D i jk = 6 [u ij] ortiz si j k =er [T ij] ( p o r - i3 ’ 5 *

W z o r y (8) i (9) p o z w a l a j ą w y z n a c z y ć p r z e m i e s z c z e n i a i n a p r ę ż e n i a w e ­ wnątrz z ę b a V , jeśli z n a n y jest r o zk ła d p r z e m i e s z c z e ń i sił b r z e g o w y c h .

7. w a r u n k ó w b r z e g o w y c h z nane są tylko p r z e m i e s z c z e n i a u°(x) n a b r ze g u S.j i s i ł y t°(x) n a b r z e g u S^. A b y m o ż n a b y ł o ob liczyć n ie z n a n e p r z e ­ m i e s z c z e n i a n a b r z e g u S2 i s i ł y n a b r z e g u S 1 n a l e ż y w z ó r S o m i g l i a n y (8)

1 0 2 T.. Burozyński, B. Mrówczyńska

p r z e k s z t a ł o i ć do b rz e go w e g o r ó w n a n i a całkowego. ¥ tyra o e l u p u n k t y p o ­ w i n i e n z dążać do b r z e g u S. ¥ re zu l t a c i e ot rz ym u je się u k ł a d d w ó o h o s o bl i­

w y c h r ó w n a ń c a ł k o w y c h o k r e ś l o n y c h n a b r z e g u S. Uk ła d ten m o ż n a p r z e d s t a ­ w ić w posta oi wektorowej:

o(y) u(y) = J [ u (y,x) t(x) - T ( y f s

gdzie:

U(y,x) = [ u i j ( y « x ) ] ł T(y,x) = [ T ± j ( y , i ) ] n a t o m i a s t o(y) = [ c ^ C y) ] z a l e ż y o d g e o m e t r i i b r z e g u S w p u n k oi e y. D l a b r z e g u g ł a d ki eg o £°ij(y)] =

= d ±J/ 2 .

W e k t o r o w e b r z e g o w e rów na ni e c a łk o we (10) s t an o wi p o d s t a w ę nu me ry o z n o g o r o z w i ą z a n i a z a p o m o c ą d ys kr e t y z a o j i e l e m e n t a m i b rz egowymi.

x) u(x)] dS(x) y 6 S, (1 0)

3. D y s k r e t y z a o j a z a r y s u z ę b a e l e m e n t a m i b rz eg o w y m i

D y s k r e t y z a o j a r ó w n a n i a c a ł k o we go (10) p r o w a d z i do u k ł a d u r ó w n a ń alge- b r a i o z n y o h w z g l ę d e m n i e z n a n y c h w a r t o ś c i w ę z ł o w y c h p r z e m i e s z c z e ń i sił brze go w yc h. ¥ tym o e l u d y s k r e t y z a o j i p o d l e g a . z a r ó w n o g e o m e t r i a b r z e g u zęba, Jak i p r z e m i e s z c z e n i a i s i ł y n a tym brzegu.

W s p ó ł r z ę d n e k a r t e z jańskie Xji, k 6 j^1, 2J b i e ż ą c e g o p u n k t u br ze g o w e g o w y r a ż o n e są p r z e z w s p ó ł r z ę d n e w ę z ł o w e x ^ i fun ko je k s z t a ł t u N ™ ^ ) .

¥ l o k a l n y m u k ł a d z i e w s p ó ł r z ę d n y c h ot rzymuje się

x£(^) = m = ( 1 1 )

gdzie: H o d p o w i a d a w p r ow ad z on ej k lasie aproksymaoJi.

Funk cj o k s z t a ł t u d l a e l e m e n t ó w l i n i o w y c h m a j ą postaó:

N 1 (£) = (1 N 2 (£) + (1 + | ) / 2 . (12)

B rz eg ow e w a r t o ś c i p r z e m i e s z c z e ń u. i si ł t, są a p rk s ym ow an e p r z y p o-

m m

m o c y w a r t o ś o i w ę z ł o w y o h u. i t oraz o d p o w i e d n i c h f u nk oj i kszt ał ut

M"(D

u°(|) = u “ t°(£) = * “ (£) t°ra. (1 3)

W o e l u p r z e k s z t a ł c e n i a b r z e g o w e g o r ó w n a n i a c ał ko w e g o (10) do liniowego u k ł a d u równali a l g e b r a i c z n y c h n a l e ż y b r z e g S p o d z i e l i ć n a e l e m e n t y b r z e g o ­ wo S° o 6 g d zi e I! jest liczbą e l e m e n t ó w br zegowych. W ó w cz a s oał- kę b r z e g o w ą m o ż n a p r z e k s z t a ł c i ć w sumę c a ł e k po e l e m e n t a c h brzegowych:

Metoda elemoitów brzegowyoli w.. 1 0 3

J [...] dS(x) = S L l / [ . .. ]d S0 . (1/*)

Wstawiają© (13) do (10) i u w z g l ę d n i a j ą o (i**) o t r z ym uj © się d ys kr e t n ą p o s ­ tać b r z e g o w e g o r ó w n a n i a oałlcowego:

o(y)u(y) = X e = 1 S L { t Bm J u[y,x(£)] Nm (£) |J(|)|dS°(|) -

36 1 ( 1 5 )

- b 61"

J

V z a le ż no śo i p o wy ż s z e j u w z g l ęd ni o no , że

dS(x) = |j(£)| dS(|). (16)

Równanie (1 5) p o w i n n o b yć s pe łnione d l a w s z y s t k i c h p u n k t ó w ź r ó d ł o w y c h y leżących w w ę z ł a c h b rz egowych. J eó l i l iczba w s z y s t k i o h w ę z ł ó w w yn os i V, to o tr z ymuje się ulcłnd

(2 w)

[n] {u} = [ o ] { t } , (17)

g d z i e :

{ u } jest tnaoierzą k o l u m n o w ą w ę z ł o w y c h w a r t o ś c i p r z e m i e s z c z e ń u e m , { t j jest m a c i e r z ą k o l u m n o w ą w ę z ł o w y c h w a r t o ś o i sil t0 ",

[li] jest m a c i e r z ą k w ad ra t o w ą z a l eż ną od c a ł e k b r z e g o w y c h z ro zw ią z ań p o d s t a w o w y c h T, funk c ji k s z t ał tu N, Ja ko b ia nu | J | oraz s t a ł y c h o,

[g] jest m a o i e r z ą k wa dr a t o w ą zależ ną od o a ł e k b r z e g o w y c h z rozwiązali p o d s t a w o w y c h U, funko ji k s z t a ł t u N oraz ja k ob ia nu | J |.

Macierzowe r ó w n a n i e (17) m o ż n a p r z e k s z t a ł c i ć do postaci:

[k] ( X ) = [l] {y} ( (18)

edzie:

{ x } jest m a c i e r z ą k o l u m n o w ą n i e z n a n y c h w a r t o ś c i p r z e m i e s z c z e ń i sił w ęzłowyoh,

jest m a c i e r z ą k o l u m n o w ą z a d a n y c h w a r t o ś c i p r z e m i e s z c z e ń i sił węzłowych,

[k] i [ L ] są p e ł n ym i i n i e s y m e t r y c z n y m i raaciorzami kw ad ra towymi, k t ó ­ r y c h w y r a z y z a l eż ą od m a c i e r z y [ilj i £g] .

U kł ad l i n i o w y c h r ó w n a ń a lg eb r a i c z n y c h (l8) r o z w i ą z y w a n y jest metod ą Gaussa,

T. Jlurczyński, J). M r ó w c z y ń s k a

Znając rozkład w s z y s t k i c h przomieszozeii i sił b r z e g o w y c h ntoisnn / ::nleż~

n o ś a i (8) i (o) obli cz y ć pr ze m i e s z c z e n i a i n a p r ę ż e n i a w d o w o l ny m punkcie y o b s za r u V. D y s k r e t n a p ostać z al e żn o ś c i (8) i (9) p r z e d s t a w i a się nas t ę p u j ą c o :

{ u ( y ) } = [ S ( y ) ] { t } - [n(y)]{u}, (1 9)

{ 6 ( y ) | = [ d(y)J { t } - [ s(y)]{u}. (20)

H a o i o r z e [3(y)] , ¡H(y)] , [o(y)] oraz [ S M ] zależ ą o d p o w i e d n i o od c a ­ łek b r z e g o w y c h z ją de r ^ , D ijk* ^ijk* f u n k o ji k s z t a ł t u N i ja- k o b i an u | J | i są obl ic z an e d la u s t a l o n e g o p u n k t u yeV, w k t ór ym szukane są p r z e m i e s z c z e n i a i naprę że ni a. V w i e l u z a s t o s o w a n i a o h i n t e r e s u j ą c a jest z na jo mo ś ć s k ł a d o w y c h s t a n u n a p r ę ż e n i a n i e tylko w e w n ą t r z o l a ł a , ale także n a brzegu. V a nalizie w y t r z y m a ł o ś c i o w e j z ę b ó w oka zu j e się, że n a j w i ę k s z e n a p r ę ż e n i a w y s t ę p u j ą n a b r z e g u w p o d s t a w i e zęba. M E H p o z w a l a n a s t o s u n k o ­ wo dok ł ad ne o kr e śl en ie n a p r ę ż e ń n a brzegu, co mn isto tn e z n a c z en ie n ie tylko w analizie w yt rz y m a ł o ś c i o w e j , ale jest b a r d z o cenne w optymal iz a cj i i a nalizie w r a ż l i w o ś c i kształtu.

V cel u o k r e ś l e n i a n a p r ę ż e ń n a b r z e g u w y g o d n i e jest wprow ad zi ć, w p u n k ­ cie, w k t ó r y m s z uk an e Jest n ap r ęż en ie , l o k a l n y k a r t e z j n ń s k i u k ł a d współ- r z ę d n y o h x^, k 6 taki że oś. jest s t y c z n a do brzegu. P rze- inieszozonia w tym u k ł a d z i e m o ż n a w y r a z i ć z a l eż no ś ci ą

u® = N ™ U ° ra , (2 1)

n a t o m i a s t s k ł a d o w a tens or a o d k s z t a ł c e ń r ó w n a p o c h o dn ej p r z e m i e s z c z e n i a w z g l ę d e m w s p ó ł r z ę d n e j st yc z ne j ^ x -j m o ż e być w y z n a o z o n a

dokładnie. T e r a z sk ła do we s t a n u n a p r ę ż e n i a n a b r z e g u da dz ą się w y r a z ić

S 12 = S ' ® 2 2 = *2 *

(2 2)

®11 = ^ ® 2 2 + 20 &11 V ( 1 - V ) .

Znojąc sk ł ad ow e s t a n u n a p r ę ż e n i a w u k ł a d z i e lo k al ny m m o ż n a w y r a zi ć je w ukłac

układami.

je w u k ł a d z i o g l o b a l n y m p o p r z e z k o s i n u s y k i e r u n k o w e m i ę d z y oboma

!*. A d a p t a c y j n e u j ę o l e me"tody e l e m e n t ó w b r z e g o w y o h

S t o s uj ąc M B B lub M E S u z y s k u j e s ię p r z y b l i ż o n e r o z w i ą z a n i e z a d a n i a brze­

g o w e g o dla c i a ł a o d owolnej geometrii. P o j a w i a s i ę " j e d n a k p r o b l e m oc en y tego r o z w i ą z a n i a i o s z c a o w a n i a błędu, jakim jest ono obarczone. Problem

Metoda elementów brzegowych w. ₁₀₅

ten m o ż e b yć i s t ot ny w w i e l u z a g a d n i e n i a c h , w tym m.in. w z a d a n i a c h z (lu­

tymi g r a d i e n t a m i nnpręż.eń lub w z a d a n i a o h o pt ym a l i z a o j i kształtu. 7. taką klasą p r o b l e m ó w s p o t y k a m y s ię p r z y anal iz i e w y t r z y m a ł o ś c i o w e j z ę b ó w i o p t y m a l i z a c j i p o s t a o i g e o m e t r y c z n e j p o d s t a w y zębów.

S p i ę t r z e n i e n a p r ę ż e ń w dolnej c z ę ś c i stopy' zęb ó prowadzi, p r z y z as to ­ sowaniu r eg u l a r n e j s i at ki e l e m e n t ó w b rz e go wy ch , do rozwiązali mał o d o k ł a d ­ nych. V z a d a n i a c h op t ym a l i z a c j i k s z t a ł t u r oz w i ą z a n i e n u m e r y c z n e jest szczogólnie czule na przyjęty' s po só b d y s k r e t y z a o j i brzegu, k t ó r y p o d l eg a kształtowaniu. U z w i ą z k u z tym p r o b l e m o s z a c o w a n i a b ł ę d u r o z w i ą z a n i a numorycznoego i z m o d y f i k o w a n i a i s t n i e j ą c e g o sclionatu a p r o k s y ma cy jn e go (jeśli błąd jest w i ę k s z y od d o p u s z cz al ne g o) jost i s t o t n y m za ga dn i e n i e m w n u m e r y c z n y c h o b l i c z e n i a c h zębów.

O p i s a n y wyżej problem, z w a n y w li teraturze p r z e d m i o t u ada pt a cy jn ym ujęoięiii m e t o d y n u m e r y o z n o J , s k u p i a w o s t n t n i o h l a ta c h u w a g ę wi e lu b a d a ­ czy'. Przy' f o r m u ł o w a n i u a d a p ta cy jn e j m o t o d y n u m e r y c z n e j n a l e ż y określić sposób o s z a c o w a n i a b ł ę d u i s t n i e j ą c e g o r o z w i ą z a n i u n u m e r y o z n o g o (tzw, oszacowanie n-pos t o ri or i) oraz o kreślić technikę adaptacyjną, której z astosowanie p o z w o l i n a u l e p s z e n i e I st ni e j ą o e g o s c h e ma tu dyskretyzaoJi.

V li te renturze p r z e d m i o t u w y r ó ż n i a się trz y techniki a d ap t ac yj ne (por.

praoa p r z e g l ą d o w a W ) :

- m et o dę lo kalnego z a g ę s z c z e n i u siatki, (m e t o d a h ) ,

- metodę lo kalnego z w i ę k s z e n i a s t o p n i a a p r o k s y m a c j i (m e t o d a p ) , - m etodę relokaoj.i w ę z ł ó w s ia tk i (m o t o d a r ).

U jirzociwieńs twie do a d a pt a cy jn ej m e t o d y o l o m e n t ó w s k o ń c z o n y c h (AllEo), która r o z w i n ę ł a się g ł ów n ie w o s t n t n i o h k i l k u latach (por. [dj) a d ap ta ­ cyjna m e t o d a e l e m e n t ó w b r z o g o w y o h (aIIEH) Jost obecnie w trakcie p o w s t a w a ­ nia. V pracy' [łój p r z e d s t a w i o n o h-AMI3H o p a r t ą n a a s y m p to ty cz n ie o s z a c o ­ wanym błędzie. T e o l m l k u ta z a s t o s o w a n a d l a lo k al ne go k r y t e r iu m u m o ż l i w i a określenie l i c z b y e l e m e n t ó w b r z e g o w y c h k o n i e c z n y c h d l a danej dokładności.

Teclaiikn p-AMJi!3 z o s t a ł a p r z e d s t a w i o n a w p r a c a c h |j , 2, 17j , gd zi e z as t o­

sowano h i e r a r c h i c z n e funkc je kształtu. U m o ż l i w i a to z wi ęk s z e n i e lokalnego stopnia a pr ok s y m a c j i b e z k o n i e c z n o ś c i m o d y f i k a o j i i s t n i e j ą c y c h m a c i e r z y

P oni ż ej z o s t an ie p r z e d s t a w i o n a t e chnika h-AMKI) b a r d z o p r z y d a t n a w

P ra wi d ł o w o p r z e p r o w a d z o n a d y s k r e t y z n e j n z ę b a e le me nt a mi b r z e g o w y m i p o ­ winna z a p e w ni ć jego g l o b a l n ą r ównowagę, tzn. w a r t o ś ć całki br ze go w ej dyskretyzaoJ.i z ę b ó w , o p a r t a n a k r y t e r i u m g o l b a l n y m i lok al n ym (por.

I1*]).

S

(Z3)

1 0 6 T, Burozyński, B. Mrówczyńska

p o wi nn a być b l i s k a zeru. Jeśli bł ą d w s p e ł n i e n i u w a r u n k ó w r ó w n o w a g i jest w i ę k s z y od założon e go ^ ^ d o p ’ to n n l e * y P r z e p r o w a d z i ć glo ba ln ą m o d y f i k a ­ cję siatki e l e m e n t ó w b r z e g o w y o h p r ze z p o d z i a ł każde go e l em e n t u n a dwa n ow o elementy.

W z g l ę d n y błąd (wskaźnik) s pe łn i e n i a w a r u n k ó w r ó w n o w a g i m o ż n a obliozyó z warunku:

Po o si ąg n i ę c i u r ó w n o w ag i glo b al ne j n a l e ż y z as to so w ać loka ln e kryterium m o d y f i k a c j i siatki. K r y t e r i u m to m o ż e p o l e g a ć n a z a p e w n i e n i u c i ąg ł o ś c i

W ninie js ze j p r a o y p r z yj ęt o inne z m o d y f i k o w a n e k r y t e r i u m lokalne, wed­

ług któr eg o p r a w i d ł o w o p r z e p r o w a d z o n a d y s k r e t y z a c j a b r z e g u s w o d o d n e g o S p o w i n n a z apewnić z e r o wa ni e się n a p r ę ż e ń n o r m a l n y c h n a S0 . O bl i oz e n i a n um er y c z n o w s k a z u j ą ,że w tyc h m ie js oa o h, gd zi e są duże g r a d i e n t y n a p r ę ­

żeń s t y o zn yo h (występują one n a b r z e g u p o d s t a w y zęb a - por. rozdz. 6), po z os ta ją res zt ko w e (residualne) n a p r ę ż e n i a n o r m a l n e w y n i kł e z n u m e r y c z ­ nej d ys kretyzao ji S0 .

W z g l ę d n y błąd (wskaźnik) d l a k r y t e r i u m lok al ne g o zost ał s f o r m u ł o w a n y następująco:

l o n y Jest n a d w a no w o elementy. L i c z b a t a k i c h p o d z i a ł ó w jest ograniczona, ab y u n ik ną ć n i e s t a b i l n o ś c i p r z y n u m e r y c z n y m całkowaniu.

Z a s to s ow an ie pr ze d st aw io n ej teo h ni ki h - M E B do a n a l i z y z ę b ó w wskazuje n a dużą efekty w no ść p r o o e s u a d ap taoji w p r o b l e m a c h z duży mi g r a di en ta m i naprężeń.

(2lł)

gdzie:

t

Metoda elementów brzegowyoh w , , 107

5. A l g o r y t m n u m e r y c z n y m e t o d y 1 p r o g r a m k o m p u t e r o w y a n a li zy w y t r z y m a lo śc lowe ,j

M E D p r z e d s t a w i o n a w r o z d z i a l a o K 2, 3 i 4 mo że b yć w p r o s t y s posób z algorytmizowana. T o k p o s t ę p o w a n i a m o ż n a p r z e d s t a w i ć n as tępująoo:

1. Wozyt a j dane.

2. P rz ep r o w a d ź d y s k r e t y z a o j ę b r z e g i z ę b a e le me n t a m i brzegowymi.

3. A p r o k s y m u j n a k a ż d y m e le m en oi e p r z e m i e s z o z e n i a i s i ł y p r z y p o m o o y funkoji k s z t a ł t u i w a r t o ś c i węzłow yc h.

U. W y z n a c z e l e m e n t y m a c i e r z y [g] i [h] o bl io za j ąo c a łk i b r z e g o w e za pomooą k w a d r a t u r Gaussa.

5. U w z g l ę d n i j za dane w a r u n k i b r z e g o w e i t r ansformuj m a c i e r z e [g] i [h] do m a o i e r z y i [ ij .

6. Obli c z n i e z n a n e w a r t o ś c i w ę z ł o w e p r z e m i e s z o z e ń i sił rozwi ą zu ją c układ r ó w n a ń a l g e b r a i c z n y c h m e t o d ą Gaussa.

7. S p r a wd ź w a r u n e k gl ob a ln ej r ó w n o w a g i W tdop" Jost s p e ł ­ niony, p r z e j d ź do p u n k t u n as tę p ne go , jeśli nie, skooz do p u n k t u 2.

8. O b l io z n a p r ę ż e n i a n a brzegu.

9. Spr aw dź w a r u n e k l o k a l n y d l a r e s i d u a l n y c h n a p r ę ż e ń n o r m a l n y c h w 6 d o p ‘ J0 S * spełniony, to p r ze jd ź do p u n k t u n as tępnego, jeśli nie, skocz do p u n k t u 2.

10. Oblic z p r z e m i e s z o z e n i a i n a p r ę ż e n i a w z a d a n y c h p u n k t a o h w e w n ę t r z ­ nych.

11. W y d r u k u j wyniki.

P o w s t a ł y w e d ł u g p o w y ż s z e g o a l g o r y t m u p r o g r a m k o m p u t e r o w y z o s t a ł n a p i ­ sany w j ę z y k u a l g o r y t m i c z n y m F o r t r a n 77 i u r u o h O m i o n y n a ko mp ut e rz e IBM PC/XT.

Do p r o g r a m u n a l e ż y p r z y g o t o w a ć n a s t ę p u j ą c e dane:

- w ł a s n o ś c i spr ęż y st e tworzywa, z k t ó r e g o w y k o n a n y jest ząb (moduł Y o u n g a i l i c z b a P o i s s o n a ) ,

- n a l e ż y z de oydować, c z y zada n ie b ę d z i e trakowane jako p ł as k i s t a n od­

k s z t a ł c e n i a c z y napr ęż en i a,

- p o o z ą t k o w ą liozbę w ę z ł ó w b r z e g o w y c h oraz i o h współrzędne,

- liozbę p u n k t ó w w e w n ę t r z n y c h i i c h w s p ó ł r z ę d n e (jeśli u ż y t k o w n i k a p r o g ­ r am u ni e i n t e r e s u j ą p r z e m i e s z o z e n i a i n a p r ę ż e n i a w e w n ą t r z zęba, to p u n k t ten jest p o m i j a n y ) ,

- w a r u n k i b r z o g o w e (w w ę z ł a c h n a b r z e g u S^ n a l e ż y zadać p r z em i es zc ze n ia , a w w ę z ł a c h n a brzegi: S^. n a l e ż y zadać siły),

- w s k a ź n i k i p r o c e s u ad ap t a c j i s ia tk i e l e m e n t ó w br zegowych,

W w y n i k u o b l i cz e ń o t r z y m u j e się s k ł a do we sił n a b r z e g u oraz składowe p r z e m i e s z c z e ń i s t a n u n a p r ę ż e n i a n a b r z e g u i w p u n k t a o h wew nę tr z ny ch , w tym n a p r ę ż e n i a r e d u k o w a n e obl i oz on e w e d ł u g h i p o t e z y H u b e r a i n a p r ę ż e n i a g ł ó w n e .

108 T. Burczyński, B. Mrówczyńska

6. N u m e r y c z n e p r z y k ł a d y a n a l i z y w y t r z y m a ł o ś c i o w e j z ę b a

Z a s t o s o w a n i e M E B do e f e k t y w n y o h i d o k ł a d n y o h o b l i c z e ń w y t r z y m a ł o ś c i o ­ w y c h z ę b ó w w y m a g a w c z e ś n i e j s z e g o p r z y j ę o i a m o d e l u f iz yc z n e g o i m a t e m a t y c z ­ ne go zęba. M o d e l f i z y o z n y o b e jm uj e n i e tylko w ł a s n o ś c i fiz y oz ne tworzywa, z k t ó re go w y k o n a n y jest ząb, ale także sp osób o b o i ą ż e n i a i podpar ci a. Te osta tn i e c z y n n i k i deo yd u ją o s ta te cz n ie o p r a w i d ł o w y m s f o r m u ł o w a n i u zadania brzegowego, kt ó re n a l e ż y r o zw i ą z a ć z a p o m o c ą MEB.

¥ l i t e r a t u r z e p r z e d m i o t u [12] n a j o z ę ś o i e j r o z p a t r u j e się w y o d r ę b n i o n y z k o ł a zęb a te go p o j e d y n o z y ząb o b c i ą ż o n y siłą s k u p i on ą w górne j c zę śc i zarysu. ¥ p ł y w s ą s i e d n i c h z ę b ó w jest n a j c z ę ś c i e j pomijany. G ł ę b o ko ść z a m o ­ c o w a n i a w y o d r ę b n i o n e j c z ę ś c i z ę b a z a l e ż y od r o d z a j u k o ł a z ę b a t e g o i może być także u w a r u n k o w a n a p r z y j ę t ą m e t o d ą o b l i c z e n i o w ą (por, ^13J ). C el e m n i n i e j s z e j p r a o y n ie jest m o d e l o w a n i e f i z y o z n e zęba, d l a te g o s p r a w a ta nie b ę dz ie dalej ro zpatrywana.

R o z w a ż o n o s y m e t r y c z n y ząb p r o s t y k o ł a z e w n ę t r z n i e uzębi on eg o . O b l i c z e ­ n i a w y k o n a n o d l a z ę b a s t a l o w eg o o n a s t ę p u j ą o y c h p ar a metrach:

- liczb a z ę b ó w w k ol o z =3 0,

- w s p ó ł o z y n n i k p r z e s u n i ę o i a z a r y s u x=0, - z ę b a t k a o kącie z a ry su cCo n =20°, - w y s o k o ś ć g ł o w y z ę b a h aC=1,2 5,

- p r o m i e ń z a o k r ą g l e n i a g ł o w y z ę b a P a o =0>38.

W s z y s t k i o w y m i a r y o dn ie s i o n o do modułu, tak że u z y s k a n o g e o m et r ię z a ­ r y s u z ę b a w w i e l k o ś c i a o h b e z w y m i a r o w y c h . Z ąb o bc ią ż o n o j e d n o s t k o w ą siłą s k u p i o n ą , t z ń . |T° | =1.

P r z y j ę t y m o d e l f i z y o z n y zę ba Jest taki sam, jak w p r a o y [l3^, gdzie n a p r ę ż e n i a w p o d s t a w i e zę ba o bl ic z o n e są m e t o d ą o d w z r o w a ń w i e m o k ą t n y o h . M o d e l m a t e m a t y c z n y w y n i k a z w c z e ś n i e j o m ó w i o n e g o z a d a n i a b r z e g o w e g o linio­

w ej teorii sprężys to śc i , s f o r m u ł o w a n e g o z a p om oc ą m e t o d y b r z e g o w y c h r ó w ­ nali całkowych.

O b l i c z e n i a p r z e p r o w a d z o n o w c e l u p r z e b a d a n i a w p ł y w u g ł ę h o k o ś c i z a m o c o ­ w a n i a z ę b a ( b rz eg S^) n a w a r t o ś c i n a p r ę ż e ń oraz o k r e ś l e n i a n a j l e p s z e j siatki e l e m e n t ó w b r z e go wy ch , tak a b y zap ew ni ć ż ą d a n ą dokład no ś ć, s formuło­

w a n ą z a p o m o o ą k r y t e r i ó w a d a p t a c y j n y c h p r z e d s t a w i o n y c h w rozdz, U. Wyniki o b l i c z e ń m a k s y m a l n y c h n a p r ę ż e ń s t y c z n y c h w p o d s t a w i e z ę b a p o r ó w n a n o z od­

p ow ie d n i m i n a p r ę ż e n i a m i ob li c z o n y m i za p o m o c ą M E S i MOW.

¥ c e l u w y k o n a n i a tak p o s t a w i o n e g o z a d a n i a p r z e p r o w a d z o n o wi el e obli­

c ze ń testowych. O b l i c z e n i e . n u m o r y o z n e o b e j m o w a ł y pe łn ą anal i zę w y t r z y m a ­ ł ościową, tzn. o kr eś l e n i e s k ł a d o w y c h s t a n u p r z e m i e s z c z e n i a i n a p rę że ni a , r ed uk o w a n e oraz n a p r ę ż e n i a główne.

N a p r ę ż e n i a gł ówne Ci i €T.; p r z y j m u j ą n a b r z e g u p o d s t a w y z ę b a w a r t o ś ­ ci eks tr em a ln e. Po stronie, g dz i e p r z y ł o ż o n o siłę na pr ę ż e n i a , g ł ówne

Metoda elementów brzegowych w... 109

są n o r m a l n e do brzegu. Po str on i e p r z e c i w n e j n a p r ę ż e n i a gł ówne E>2 są styczne do b r z e g u i m a j ą z n a k ujem n y, a n a p r ę ż e n i a są no rm a ln e. K i e ­ runek n o r m a l n y do b r z e g u sw ob o d n e g o S Q jest oczyw iś c ie d r u g i m k i e r u n k i e m głównym i o d p o w i a d a j ą m u n a p r ę ż e n i a zerowe.

Zw ykle z a p o d s t a w ę o b l i c z e ń w y t r z y m a ł o ś o i o w y o h p r z y j m u j e się n a p r ę ż e ­ nia po r o z o i ą g a n e j stron ie zęba, gd yż tam n a j c z ę ś c i e j r o z p o c z y n a się

in i ojaoja p ę k n i ę o i a zm ęc z en io we g o, o h oo ia ż jak p o k a z u j ą o b liczenia, po śoiskanej s t r on ie z ę b a b e z w z g l ę d n e warto,śoi n a p r ę ż e ń s t y c z n y c h są w i ę k s z e niż po s t r on ie r oz oi ą g a n e j (por, rys. 2, 3 i ił).

Z a n a p r ę ż e n i a k r y t e r i a l n e .przyjmuje się w ię c dalej -maksymalne r o z oi ą - gająoe n a p r ę ż e n i a g ł ó im e € 1 = S nfOC.

D l a n u m e r y o z n y c h m o d e l i z ę b a (Z178p), (Z158P), (Z118P) i (Z98p) p r z y ­ jęto n a s t ę p u j ą c e w s k a ź n i k i a d a p t a o y j n e w tdop= 0 1 ^6’d o p = 0 ' '’5$.

Fig, 2. D i a g r a m of p r i n c i p a l s t r es s es f o r the Z1 78 P tooth

110 T. Burozyriski, B. Mr6wozyriska

s tresses for the Z118P tooth

Fig. k. D i a g r a m of p r i n c i p a l str es s es f o r the Z9 8P tooth

Metoda elementów brzegowych w . .

W p i e r w sz ej k o l e j n o ś c i b a d a n o w p ł y w g ł ęb ok oś c i z a m o c o w a n i a zęba. Y/raz ze z m n i e j s z e n i e m g ł ęb ok oś c i u t w i e r d z e n i a l iozba e l e m e n t ó w b r z e g o w y o h n a b rzegu S^, r ó w n a , malała, a Iłęz ba e l e m e n t ó w n a b r z e g u Sp, r ów na Np, b y ł a s t a ł a i w y n o s i ł a Np=67. W y n i k i obl ic ze ń m a k s y m a l n y c h b r z e g o ­ wyoh n a p r ę ż e ń g ł ó w n y o h po stronie r o z oi ąg an e j z ę b n p r z e d s t a w i o n o w tabli- oy 1 ^(poz. 1^-5). llozkład b r z e g o w y c h n a p r ę ż e ń g ł ó w ny oh po obu stro n ao h zęba d l a p o z y c j i 1 (Z128P), (Z118p) i 5 (Z98P) p rz ed s t a w i o n o n a rys* 2^, 3 ⁱ k.

A n a l i z a u z y s k a n y o h w y n i k ó w ws ka zuje, że m a k s y m a l n e n a p r ę ż e n i a głów ne <5^ występują d la przypadku, g d y gł ęb o ko śó u t w i e r d z e n i a r ó w n a Jest 5 jednost­

kom. Odnos i się to do n u m e r y c z n e g o m o d e l u z ę b a Z118P (rys. 3), dla k t ó r e ­ go 6 1m a x = 3 -6 2 1 -

T a b l i c a 1

Y/yniki ob l ic ze ń

Lp.

G ł ę b ok o ść u t w i e r ­ dzen ia

C a ł k o w i t a l io zb a e l e m e n t ó w

N

L i o z b a e l e m e n t ó w n a S.

* 1

L i o z b a e l e m en tó w n a S.

N2

^1inax

1 11 178 11 1 67. 3. 608

2 9 158 91 67 3. 608

3 7 138 71 67 ^3.610

U 5 118 51 67 3 . 6 2 1

5 3 98 31 67 3.**78

6 5 78 13 65 3.631

Cechą c ha r ak t e r y s t y c z n ą s i a t e k e l e m e n t ó w b r z e g o w y c h dla m o d e l i n u m e ­ rycznych z ę b a (Z178P), (Z158P), (Z138P), ( Z1 1 8p) i (Z98P) Jost zagęazoze- nie w ę z ł ó w b r z e g o w y o h w po d st a w i e z ę b a or a z w mi e j s c u p r z y ł o ż e n i a siły.

N a i do n ty oz ne j siatce brzegowej, jaką m a m o d e l (Z118P), z bu dowano m o ­ del n u m e r y c z n y z ę b a z a p o m o o ą MES. S i a t k a e l e m e n t ó w s k o ń o z o n y o h p o s i a d a ł a 396 t ró jk ą t n y o h e l e m e n t ó w z liniowymi fun k oj am i k s z t a łt u i m i a ł a 258 w ę z ­ łów (rys. 5)* M a k s y m a l n e n a p r ę ż e n i e g łó wn e w p o d s ta w ie z ę b a po stronie siły oboi ąż aj ąc e j w y n o s i ^ jest z n a o zn ie m n i ej s ze od wartoś- oi, jaką u z y s k a n o stosując m o d e l e l e m e n t ó w b r zegowyoh. R ó żn i co wyni ka j ą m.in. z tego, że s tosująo trójkątne e l e m e n t y s ko ńc zo n o z li ni ow y mi funk­

ojami kształtu, o tr zymuje się n a p r ę ż e n i a stałe w e w n ą t r z e l e me n tu s k o ń c z o ­ nego. Z w yk le odnosi się Je do środ k ów c i ę ż k o ś c i p o s z c z e g ó l n y c h elementów.

T. B u r o z y ń s k i , B. Mr ó wc z y ń s k a

Uln te,50 s moc;» p o z i o m u d y s k r e t y z a c j i M B S daje zifylcle m n i e j d okładne w y ­ ni k i o b l i cz eń n i * M B B (por. [ 11] ). O dn o si się to sz c ze g ó l n i e do zagadnień, w k t ó r y c h olcroóla się n a p r ę ż e n i a n a b r z e g u ciało.

F i g . 6 . D ia g r a m o f p r i n c i p i a l s t r o s s e s f o r t h e Z 7 8 l‘

lietoda e l e m e n t ó w b r z e g o w y o h w. 11 r>

M o d e l n u m e r y c z n y (Z118P) z m o d y f i k o w a n o w ten spodób, że r oz r ze d z o n o siatkę w ę z ł ó w n a b r z e g u u t w i e r d z o n y m i na w i e r z c h o ł k u zęba. rezultn- oio ot rz ym a no n o d e ł (Z78p), k t ó r y m a 78 e l e m e n t ó w b r z e g o w y c h (rys. 6)„

V w y n i k u tego w s k o ż n i k a d a p t a c y j n y dla k r y t e r i u m g lo b al n e g o zvriększyl się n i e z n a o z n i e do w a r to śo i M =0,1*5%, a w s k n ż n i k dla k r y t e r i u m lo kulne-

(i) T

go Mg pr a kt y c z n i e n i e zmienił s i ę . O b l i c z o n e dla tego m odelu m a k s y m a l ­ na n a p r ę ż e n i e g łówne w y n o s i ł o 6^m a x =3.631, S i a t k a elementów' b r z e g o w y c h (Z78P) jest b a r d z o z b l i ż o n a do siatki, jaką p r z e d s t a w i o n o w p r a o n o h [10, 1*].

W o b l i o z e n i a o h p r z e p r o w a d z o n y o h z a pom ocą M0V [i 3] , o p a r t y c h no w ię - o e j n i ż Jednym p u n k c ie o d w z o r o w a n ia , o t r z y m a n o , d l a z ę b a o t a k i o h sam y ch p a r a m e tr a o h co a n a liz o w a n y w n i n i e j s z e j p r a c y , b a r d z o z b l i ż o n e do s i e b i e w a r t o ś o i n a p r ę ż e ń m a k sy m a ln y c h , a m ia n o w io io 3*6 2 0, 3 , 6 2 9 , 3 ,6 3 6 i 3 , 6 2 9 , z tym ż e w a r t o ś ć n a p r ę ż e n i a 3 , 6 2 9 b y ł a n a j l e p i e j u z a s a d n i o n a .

W y n i k i o b l io z eń n a p r ę ż e ń u z y s k a n e z a p omocą M E D są ba rdzo z b l i żo ne do tyoh, Jakie o t r z y m a n o s tosując MOW. ś w i a d o z y to o tym, że prezentowa.na metoda e l e m e n t ó w b r z e g o w y o h w z a p r o p o n o w a n y m u j ę c i u a d a p t a c y j n y m jest

skuteczną i e f e k t y w n ą te chniką numeryczna, w analizie w yt rz y m a ł o ś c i o w e j zębów.

W su m ie p r z e a n a l iz o w a n o 13 r ó ż n y o h s p o so b ó w d y s k r e t y z o o J i b r z e g u z ę b a z a pom ooą M E B w y k o n u jąo p o ln e o b l i o z e n i a w y t r z y m a ło ś c io w e o r a z ro z w a ż o n o je d e n p r z y p a d e k d y a k r e t y z a o j i z ę b a z a pom ooą MES. W y n ik i o b l i o z e ń o b o jm u - j ą o e o a ł ą a n a l i z ę s t e r e o m e o h a n io z n ą d o s t ę p n e s ą u a u to r ó w a r t y k u ł u .

7. U w a g i k o ń o ow e i w n i o s k i

K o ń c o w y m o si em o b l i o z e ń z ę b ó w p o w i n n a być n i e tylko a n a l i z a w y t r z y m a ­ łościowa, ale także a n a li za w r a ż l i w o ś c i i o p t y m a l i z a o j a k s z t a ł t u za rysu p o d s ta wy zęba. W y n i k i o b l i o z e ń n u m e r y o z n y o h , a także b a d a n i a d o ś w i a d c z a l ­ ne wskazują, że n a b r z e g u p o d s t a w y z ę b a w y s t ę p u j e k o n c e n t r a c j a naprężeń.

Istotną rolę o d g r y w a tutaj p r o mi eń k a r b u u p o d s t a w y zęba, k t ó r y z a l e ż n y jest od k s z t a ł t u krzywej prz ej ś ci ow ej .

A n a l i z a w r a ż l i w o ś c i u m o ż l i w i a z na lo z i e n i e n a j l e p s z e g o k i e r u n k u z mian k s z t ał tu Z a r y s u p o d s t a w y zęb a (w yw o ł a n y c h np. d e t e r m i n i s t y c z n y m i lub lo so ­ wymi z m i a n a m i p a r a m e t r ó w narzędzia, lub k o ł a zębatego), tak aby obniżyć wartośoi n a p r ę ż e ń w y s t ę p u j ą o y c h n a brzegu.

Ok r eś l e n i e n a j l e p s z e g o k s z t a ł t u z a r y s u p o d s t a w y z ę b a ze w z g l ę d u n a miniraaiizaoJę m a k s y m a l n y c h na pr ężeń, p r z y d o d a t k o w y o h w a r u n k a c h ograni- o za ją o y o h n a l o ż o n y o h n a p o s t a ć g e o m e t r y c z n ą s t o p y zęba, jest p r ob le me m z z a k r e s u o pt ym a l i z a o j i kształtu.

M e t o d a e l e m e n t ó w b r z e g o w y o h jest dogo dn ą i e f e k ty wn ą te chniką n u m e r y c z ­ ną w p r o b l e m a o h a n a l i z y w r a ż l i w o ś c i i o p t y m a l i z a c j i k s z t a ł t u (por, [5-7,

1**]). B a d a n i a n a d z a s t o s o w a n i e m M E B do tyoh p r o b l e m ó w są a k tu al ni e p r o w a ­ dzone w r a m a o h CP EP 02.01,

114 T. Burozyński, B, Mrówczyńska

Po d su m o w u j ą c ot r zymane w p r a o y r e z u l t a t y m o ż n a stwierdzić, że z a s t o s o ­ wanie M E B w o b l l c z e n i n o h z ę b ó w c h a r a k t e r y z u j e się n a s t ę p u j ą c y m i zaletami:

1. M o ż l i w o ś ć a n a l i z y w y t r z y m a ł o ś c i o w e j z ę b ó w o do wolnej p o s t a o i g e om e­

trycznej (zęby syme tr y cz ne i a s y m e t r y o z n e z a z ę b i e n i e p r z e m i e s z c z e ń i n a ­ prężeń.

2. Dy sk r e t y z a o j i p o d l e g a tylko zarys zęba, p r z e z co p r o s t a jest prooe- d ur a p r z y g o t o w y w a n i a d a n y c h do obliczeń.

3. W p r o w a d z e n i e a da pt a c y j n e g o u j ę c i a m e t o d y u m o ż l i w i a o b l i c z e n i a n a ­ p rę że ń z zadaną dokładnością,

4. P r z y z a ł o ż o n y c h w p r a o y w a r t o ś c i a c h w s k a ź n i k ó w a d a p t a c y j n y c h ot rz y­

m u j e się w a r t oś ci m a k s y m a l n y c h n a p r ę ż e ń z b l i ż o n y o h do r e z u l t a t ó w o t r zy ma ­ n y c h za pomo cą MOW.

5. P r z y tym samym p o z i o m i e d y s k r e t y z a o J i o t rz ymuje się d o k ł ad n ie js ze w yn ik i o b l i o z e ń ni ż p r z y z a s t o s o w a n i u M ES .

6. M o ż l i w o ś ć p r o w a d z e n i a o b l i o z e ń za p o m o o ą k o m p u t e r ó w os o bi s t y c h (np, p r z y \iżyoiu IBM PC).

7. M e t o d a m o ż e być p r z y d a t n a w ana li zi e w r a ż l i w o ś o l i op ty ma l i z a c j i k s z t a ł t u zary su p o d s t a w y zęba.

A u t o r z y w y r a ż a j ą p o d z i ę k o w a n i e p r o f . z w . d r hnb.inż. L , M u l l e r o w i za z ai nt er e so wa ni e p r o b l e m a t y k ą z a s t o s o w a n i a M E B w an al iz ie z ę b ó w k ó ł z ę b a ­ tych o ra z za o e nn e u w ag i od n os zą ce się do w y n i k ó w o b l io ze ń n u m e r y o z n y c h i treści n in i ej s z e j praoy,

L I T E R A T U R A

|1 j A l a r c o n E . , H e v e s t e r A,, M o l i n a J . : H i e r a r c h i c a l B o u n d a r y Elements.

"Computer and S t r u c t u r e s ". 1985, n r 20, s. 151-156.

[2] A l a r c o n E . , H e v e s t e r A.: P-adap t lv e B o u n d a r y Elements, "Inter. J. for n u m e r i c a l Met ho ds in Enginee ri ng " , 1986, n r 23, s. 801-829.

| 3] Ba ne rj e e P . K . , B ut t er fi el d R .: B o u n d a r y E l e m e n t T e c h n i q u e s - T h e o r y and A pp li c a t i o n s in Engineering. Springer-V er la g , B e r l i n 1984.

i5I Bu ro z y ń s k i T . , A d a m o z y k T . : T he B o u n d a r y Ele me n t F o r m u l a t i o n for M u l t i p a r e m e t o r Structu r al Shape Op timization. "Applied M a t h em at ic a l M od el li n g" 1 9 8 5, n r 9, s. 195-200.

[ó] B u ro z yń sk i T . , A d a m y o z k T . : T he B o u n d a r y E l em en t M e t h o d f o r Shape D o s i g n Sy nt hesis of E l a st i c Structures. "B ou nd a ry E loments VII, (ed.

C . A . B r e b b i a and G.Maier) Vol. II, S p r i n g e r - V e r l a g 1985.

[7] Bu ro zy ń s k i T . : B o u n d a r y E l e m e n t M e t h o d f or D e t e r m i n i s t i c and Stoc ha s­

tic Shape D e s i g n S e n s i t i v i t y Analysis. A d v a n c e d B o u n d a r y E l e m e n t M e t ­ hods. ( E d . T . A . C r u s e ) . S p r i n g e r - V e r l a g 1988.

[ 8 J D e m k o w i o z L . : A da p ta c y j n e m e t o d y e l e m e n t ó w skończonych. Pol. K r a k o w ­ ska, K r a k ó w 1986.

£9] K o n d o K . , T a k a d a J . : O n the B e n d i n g Stress of S p u r G e a r b y FEM in R e ­ l ation to E f f e c t of S t r es se d V o l um e on the Strength« IProo. of the I n t e r n a t i o n a l S y m p o si um on G e a r i n g and Po we r T r a n s m i s i o n , 1981.

Üetodo elementA-iv brsagowych w. 115

M O j Ee.chnt J.C.: A Futlier D e ve l o p m e n t of the B o u n d a r y In tegral Te ch nique for E l n s t o s t n t i o s . Ph, 11, Thesis, Univ. o!' Southampton, 1973.

P 11 "| M u k h e r ,|oo S., M o r j a r i n K.: On the E f f i c i e n c y and A c c u r a c y oi the i- B o u n d a r y E l e m e n t M e t h o d and the F inite Eleme nt Method. "Internatjo-

n a l J. for N u m e r i c a l M e t h o d s in E ng in e e r i n g " 1981), Vol. 20, p. 5 15- 5 2 2 .

[is] M ü l l e r E. s P rz e kl a d n i e ZfVtmte-pro jektownnio. TOT, ’Varszawn 1979.

I 1531 M ü l l e r E.: Ob li c z a n i e n n p r y Z e h w p o d s t n w i e '/.fba (laotoda od'raoroifa'.' v i e m o k q t n y c h ) . ZN Pol . äl. s. T ra n sp or t, n r 8,

[l;l] fiotn Soare s C.A. , Eea l lt.P., Choi K. K . : B o u n d a r y El e me nt s in Shape Optimal. D e s i g n of S t r u c t u r a l C o m p o n e n t s . N A T O AST Series, vol. F 27, C o m p u t e r A i d e d Opti ma l Design, (ED.. O.A. M o t n Soares), g e r i n g e r - V e r ­ lag, B e r l i n 1987, s. 605^-6 3^1.

I 15 I E e u b o r ¡1. : S p n n n i m g s t h e o r i o d er Zahnräder. Tel l 1.7. f . A e g e v . Math.

L J ’loch, kh, 10f?4.

[16] lionets J. J. , M u e l l o n P..E. : S o l u t i o n of E l a s t i c i t y Problems by a Self- - a d e pt iv o Mesh, H o f i n e m e n t T e o l m i qu e for B o u n d a r y Elem e nt C o m p u t a ­ tion. "Inter, J o u r na l for N u m e r i c a l M e t h o d s in E n g i n e e r i n g " . 1086, n r 23, s .1509-1 5 2 7.

£17] Ileverter A,, Oonz al o s A., M a r o o n E.: Indica to rs and E stimators in F - a d a p t i v o B o u n d a r y Elements. B o u n d a r y Elements V X T . (ed. C. A. B ro h- bi a and O.M ai or ) Vol.II, Springor-V e rl ag , Berli n 1985.

ltaoeuzont: Doe. dr hah. inz. Jannsz Ov'cisy.

VplynyZo do K e d a k o j i 2 8 . 05 .1 98 7 r.

ilEIO^ K P A Ü H H X UJIEUEIITOB B A H A J1H 3 3 no conpornBJiEHiiK) sysraAiux 3yBbEB kojebc

■P

e

B paöOTe npe^cTaBAeHO npHMeHeime ueTo^a rpaHimmix oaeMeHTOB jyifl HyuepiiHecKo- ro aHanw3a conpoTHBjteHHH ayObeB. Pac-CMOTpeH TaKcii KJiacc 3ydbeB, KOToptdi uoxeT

«OAeAHpoBaTbCfl Kan AByxMepHHe K paeau sa^a'iH JiHHeKHoit TeopHH y n p y ro c iH . Kpaeaue HHTerpajibHue ypaBHeHiia nouyieHu no n p m m H n y B3aHMHocTH Estth. ,H,aH cnocoß AiioKpeTH3aunH 3thx ypaBneHHil nyTen AeJieHH.q npotJiHJiH ay6a Ha rpamdtHue ojieMeHiu,. CifopuynHpoaaHbi rAodanbKiii « noKajibHhm a.nanTHBHue K p m e p H a , nosBajiHicauHe reHHpttpoBaTb onTHuajibnyiO oeTKy KpaeBbtx ojieMeHTos Ha ocnoBe oueHKii cynecTByiouero HyMepim ec Ko ro p e m e H j m . ßa n nyMepimecKiiii ajiropnTM MeT0.ua oxapa kto pi. 3ob a hm b o s M o x H O d n pa3paöoTaHHoä KOMnbWTepHoft nporpaMMM, npa- KeHaeMOH ajih pacneioB nepeMemeHiiii h HanpaaceHHii b 3y6bax. IlpeACTaBAeHH pe3yjibTaib! MauiHHHoro pacneia cxaTiiuecKHX itanpgxeh h ü b ocHOBaHHH 3y(5a jyia;

BHÖpaHHsix KOMnbioTepHHX MOAeneil 3ySa. PeayjibTaTH pacaeTOB op aBHeHU o BeJiHHH—

HawH HanpHxceHHü, nojiyneHHtiMH no ueTo;;y KO Hemtux a.ieMeHtos u no MeTony npaBoyrojibHux oToöpaaceHiui.

T . Fhirozyrisk:* , r'. P r o v e 1/ v-nska

•!(> > ;*j u aVvY i s j.k m h v t : c : v TOOTH i ’/V'.VV.irrri: XiJM V b .fS

f> u :i 11 3' y

\u Ap p li c a t i o n oC the* b o u n d a r y nlonnrit notliod in m n c r i o n l an alysis of the too tli a J ror..^t-li lias bo on p r es en te d in the 'ork, fuoh a c l«os of tooth 1 n* bo o n c o n s i d e r e d w h i c h c a n bo m o d e l l e d as two - dIrons io> m 1 b o u n ­ dary- ■»•jiltio nrobl nns of lino n r thoory of elast i ci ty . b o u nd ar y Integral equations Im vo be en deriv ed f ro’i no tti.ro'>ii>i'oo*'l v/orfa theorem. A m e t ­ hod oi di sore fcizn l.io:i of those aquations by <i:i\ !.»•-! tooth profile Into

fclio bound.-o-y oloK.euts lit s beer "iven. f.iobnl r.iv- local rdn pt Jv e cr iteria that i ah;' po«s J.blr* ?rera tlon of o p t i i u m n e t w o r k of the b o u n d a r y elononts on the basis cf tir»»r\tJ on of the errors in oxistiivs nu me ri c al solution have boon form u la ted • .’u m c r i o a l a l g o r i th m of the m e t h o d bos b e e n presented nrd p os s ib i l i t i e s *'f the de ve l op ed co-nputer nro;?rn«M serv.iT«; c a l c u l a t i o n of d i s p la c em en ts and strosoos ir. the tooth h a v e b o on characterized, U o s u lt s of n u m e r i c a l c al cu l a t i o n s of tnr»ft»nfc stresses r.t the tooth root liai'e b e e n p r e s e nt e d for «el e ct ed numoric.il m o de ls of a. tooth. Ca lc u l a t i o n result* lun'o boor c o m p a re d to the stress v o ir e» d e te rm i ne d w i t h finite ol?moi't m e t h o d and co nf o r m n l m a p p i n g method.