Elektrische Schwingungen, 1 : mit 56 Abbildungen

Sammlung* Göschen

Elektrische Schwingungen

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Dr. Hermann Rohmann

I

M it 56 Abbildungen

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au s d er S a m m lu n g G ösch en J e d e r B and in Leinw and g eb u n d en 90 P fe n n ig

K r ista llo g r a p h ie v on Dr. W . B ruhns, Prof. an d e r B erg­

akadem ie C lausthal. Mit 190 A bbildungen. Nr. 210.

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D a s s e lb e . II: L icht und W ärm e. M it 47 A bbildungen.

Nr. 77___

D a s s e lb e . III: Elektrizität und M agnetism us. Mit 33 Ab­

bildungen. Nr. 78.

D a s s e lb e . IV: E lek tro m ag n etisch e L ichttheorie und Elek­

tronik. M it 21 A bbildungen. Nr. 374.

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gym nasium in S tuttgart. I : M echanik d er festen , flüssigen un d g asig en K örper. M it 12 F iguren im T ex t. Nr. 611.

D a s s e lb e . II: W ellenlehre u n d A kustik. Mit 69 Figuren.

Nr. 612.

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D a s s e lb e . II: D ie P h y sik von N ew ton bis zu r G eg en ­ w art. Mit 3 Figuren. Nr. 294.

R a d io a k tiv itä t von Dipl.- Ing.W ilh. From m ei. M it 21 Figuren.

Nr. 317.

P h y s ik a lis c h e M e ss u n g sm e th o d e n von D r. W ilhelm B ahrdt, O b erleh rer an d e r O b errealsch u le in Berlin- L ichterfelde. M it 49 Figuren. Nr. 301.

P h y sik a lis c h e A u fg a b en sa m m lu n g von G. M ahler, P ro ­ fe s s o r am G ym nasium in Ulm. M it d en R esultaten.

Nr. 243.

W e n d e n !

P h y s ik a lis c h e F o rm elsa m m lu n g v on G. M ahler, P ro ­ fe sso r am G ym nasium in Ulm. Nr. 136.

P h y s ik a lis c h e T a b e lle n v on Dr. A. L eick. Nr. 650.

L u fte le k tr iz itä t vo n D r. Karl K ahler. M it 18 A bbildungen.

Nr. 649.

P h y sik a lis c h -C h e m isc h e R e c h e n a u fg a b e n vo n P ro fesso r Dr. R. A begg u nd P rof. Dr. O. Sackur. Nr. 445.

A llg e m e in e u n d p h y s ik a lis c h e C hem ie v o n P rof. Dr.

H ugo Kauffm ann in S tu ttg art. 2 T eile. M it 15 Figuren.

Nr. 71 u. 698.

V e k to r a n a ly s is von Dr. Siegfr. V alentiner, P ro fe sso r an d e r B erg ak ad em ie in C lausthal. M it 16 F iguren. Nr. 354.

W e ite re B än d e sind in V orbereitung.

Sammlung Göschen

E l e k t r i s c h e

S c h wi n g u n g e n

Von

Dr. Hermann Rohmann

Privatdozent an der U niversität Straßburg

I

Mit 56 Abbildungen

Alle R ech te, n a m e n tlic h d as Ü b ersetzu n g srech t v o n d e r V erlagshandlung V orbehalten.

Druck ,d er Spam ersehen Buchdruckerei in Leipzig.

In h a lt.

Seite

I. E i n l e i t e n d e s a u s d e r E l e k t r i z i t ä t s l e h r e ... 5

1. Aus der Elektrostatik. A. Elektrische Feldstärke, Potentialdifferenz, Potential . . . 5

B . Kondensator, K a p a z itä t... 7

C. Laden und Entladen eines K o n d e n s a t o r s ... 9

D. Energie des geladenen K o n d e n s a t o r s ... 10

E. Dielektrikum, D ie le k tr iz itä tsk o n sta n te ...10

F . Miteinander verbundene K on d en satoren ...11

2. Aus der Elektrodynamik. A. Das Magnetfeld eines S t r o m e s ... 13

B. Magnetfeld einer langen S p u l e ... 14

C. Magnetische E n e r g i e ... 14

D . S elb stin d u k tio n sk o e ffizie n t...15

E. Gegenseitiger Induk tionskoeffizieD t... 15

F . In d u k tio n sg e se tz...16

G. Kräfte auf Stromleiter im magnetischen Feld . . . 18

3. Wechselstrom. A. D e fin itio n e n ... 19

B. Messung von W e c h se lstr ö m e n ... 21

C. Scheinbarer Widerstand bei W ech selström en ...23

a) Ohmscher W i d e r s t a n d ...24

b) S e lb s tin d u k tio n ... 25

c) K a p a z itä t...26

d) Widerstand und S elb stin d u k tio n ...27

D . Transformation von W e c h se ls tr ö m e n ...29

E. S k in e ffe k t...31

F. Quasistationärer S t r o m ... 34

II. S c h w i n g u n g e n i n K o n d e n s a t o r k r e i s e n . 1. Eigenschwingungen von K o n d en sa to rk reisen ... 35

A. Kondensatorkreis (qualitative B e t r a c h tu n g )...35

B. Differentialgleichung des K o n d e n s a t o r k r e is e s ... 37

C. Mechanische A n a lo g ie n ...39

D . D ie Lösung der G leich u n g ... 40

E. Frequenz und Dämpfung des K ond ensatorkreises... 42

F . A n fa n g sb ed in g u n g en ... 44

G. Quasistationäre K ond en satork reise...45

H . Strom effekt gedämpfter S c h w in g u n g e n ...46

2. Kondensatorkreis unter der Einwirkung äußerer Kräfte. A. Akustische A n a lo g ie n ...48

B. Einwirkung ungedämpfter S c h w in g u n g e n ... 49

C. R e s o n a n z ...^ ...53

D . R eso n a n zk u r v en ...w ... 56

1*

4 In h a lt.

Seite

E. Analyse von S c h w in g u n g e n ... 59

F . Einwirkung einer gedämpften S ch w in g u n g ...61

G. Resonanzkurve des Strom effekts bei gedämpfterTErregung . 64 3. Gekoppelte Kreise. A. Induktive Koppelung; D ifferen tia lg leich u n g ...65

B. D ie Koppelschwingungen b e iF u n k e n e r r e g u n g ...69

C. Einfluß der D ä m p f u n g ... 71

D. Direkte Koppelung. Koppelung durch K a p a z itä t ... 73

I II. E x p e r i m e n t e l l e s ü b e r d ie H e r s t e l l u n g u n d U n t e r ­ s u c h u n g e l e k t r i s c h e r S c h w i n g u n g e n . 1. Der Funke. A. Der ideale F u n k e ... 75

B . Elektrische Entladung durch G a s e ...75

C. Charakteristik des G leichstrom lichtb ogen s... 77

D . W echselstrom lichtbogen...78

E. Der Funke im Kondensatorkreis als L i c h t b o g e n ... 80

F . F u n k e n p o te n tia l...81

G. Stoßerregung, L ö s c h f u n k e n ...82

H . Aufladung des K ond en satork reises...84

2. Ungedämpfte Schwingungen nach der Lichtbogenmethode . . 85

3. Technische Ausführung von K o n d e n sa t o r k r e is e n ... 88

A. K ondensatoren...88

B . S e lb s tin d u k tio n e n ...90

4. D ie H ilfsm ittel zur Messung und zum Nachweis elektrischer Schwingungen. A. Strom- und S p a nn un gseffek t...92

a) H itz d r a h tlu ftth e r m o m e te r ...92

b) H itzd rah tgalvan om eter...93

c) Bolometer ... 93

d) T h e r m o e le m e n t... 94

e) D y n a m o m eter ... 96

f) E le k tr o m e t e r ... 98

g) Geißlerrohr und Funke als Anzeiger für Spannung . . . 98

B . Momentanwerte von Strom und Spannung. a) O szillogfaph ...99

b) Braunsche R ö h r e ... 100

c) Das intermittierende Leuchten des F u n k e n ... 103

C.- D e te k to r e n ... 104

a) K o h ä r e r ... 104

b) M a g n e td e te k to r ...105

c) Elektrolytischer D e te k to r ... 105

d) K ontaktd etek toren ... 105

D . R eso n a n zd y n a m o m eter...108

5. Beispiele für M e s s u n g e n ... 110

A. Meßkreis, F r e q u e n z b e s tim m u n g ...110

B . Bestim mung der D ä m p f u n g ... . . . 1 1 1 C. Bestim mung von Selbstinduktionen und Kapazitäten . . . 1 1 2 S a c h r e g i s t e r ...114 L i t e r a t u r siehe im II. Bändchen.

Das u n ter der Bezeichnung „Elektrische Schwingun­

gen“ zusammengefaßte Arbeitsgebiet der Physik lä ß t sich kaum scharf scheiden von den sogenannten Wechsel­

stromerscheinungen und b erührt sich andererseits viel­

fach m it der Optik. Die besondere Behandlung recht­

fertigt sich durch die weitgehende Ausbildung, welche die Methoden und die experimentellen Hilfsmittel unseres Gebietes erfahren haben. Seine Entwicklung d atiert im wesentlichen seit den H e rtz s c h e n Arbeiten, die den Nachweis für die G ültigkeit der M a x w e llsc h e n Theorie führten. Einen großen Teil seiner Förderung v erdankt es der technischen Verwendung in der drahtlosen Telegraphie.

I. Einleitendes aus der Elektrizitätslehre.

Es seien hier zunächst einige aus der E lektrizitäts­

lehre1) bekannte Tatsachen und Beziehungen, sowie die einfachsten Gesetze des Wechselstroms kurz zusammen­

gestellt, und zwar in der Form, wie wir sie später vielfach brauchen werden. ~ —

1. i&us der Elektrostatik.

A. E lektrische F eld stärk e, P oten tiald ifferen z, Potential.

In dem Raum e um elektrisch geladene K örper besteht ein e l e k t r i s c h e s F e l d , d. h. einrtlorthin gebrachter sehr

*) Siehe auch G. J ä g e r , Theoretische Physik Bd. III u. IV (Samml.

Göschen) und J. H e r r m a n n , Elektrotechnik Bd. I, III.

i

kleiner K örper erfährt bestim m te K räfte, wenn er selbst geladen is t1).

Die e l e k t r i s c h e F e l d s t ä r k e (£ in einem P u n k t ist nach Größe und R ichtung gleich derjenigen K raft, die d o rt auf die Elektrizitätsm enge - p l w irk t2).

Der Transport einer Elektrizitätsm enge von einem P unkte des Feldes zu einem anderen erfordert, da dabei die elektrischen K räfte überwunden werden müssen, im allgemeinen eine bestim m te Arbeit. Diejenige Arbeit, welche geleistet werden muß, wenn die E lek trizitäts­

menge -f-1 von einem bestim m ten P u n k t zu einem anderen gebracht wird, ist die P o t e n t i a l d i f f e r e n z V dieser beiden P unkte. (F ür Y -wird synonym der Ausdruck S p a n n u n g gebraucht.) In anderer Ausdrucksweise:

Die Potentialdifferenz zweier P unkte des Feldes ist gleich dem negativgenom m enenLinienintegral3) der elektrischen Feldstärke zwischen diesen beiden Punkten.

Die Potentialdifferenz eines Punktes gegen einen will­

kürlich als N ullpunkt gewählten nennt m an das P o t e n ­ t i a l des ersten Punktes. Meist wird das (unveränderliche) Potential der E rde gleich Null gesetzt; die P otentialdif­

ferenz eines Punktes gegen die E rde ist also sein Potential.

Auf einem Leiter ist bei statischen Zuständen das P otential überall k o n stan t; E lek trizität befindet sich n u r auf seiner Oberfläche in sehr dünner Schicht.

*) Im allgemeinen erfährt auch ein ungeladener Körper dort Kräfte.

Man kann sich aber so einrichten, daß diese sehr klein sind gegen diejenigen, welche auf denselben Körper w;rken, wenn er geladen ist und kom mt so zu der Vorstellung von Kräften, die auf die Elektrizität selber wirken.

2) bzw. — derjenigen Kraft, die dort auf die sehr kleine Elektrizi­

tätsm enge e wirkt.

8) Unter dem Linienintegral der Feldstärke oder allgemein eines Vek­

tors versteht man das Integral über die Linienelemente einer bestimm ten Linie, jedes m ultipliziert m it der in seine Richtung fallenden Komponente des Vektors. Siehe auch S. V a l e n t i n e r , Vektoranalysis (Samml. Göschen)

§ 21.

6 E inleitendes aus der E lektrizitätslehre.

Aus der E lektrostatik.

D er Verlauf (und auch die Stärke) des elektrischen Feldes kann in bekannter Weise durch K r a f t l i n i e n veranschaulicht werden. Die K raftlinien haben an jeder Stelle die Richtung des Feldes; sie entspringen dort, wo sich positive Ladungen befinden und enden hei negativen.

B. Kondensator, K apazität.

Wenn sich im Raum mehrere Leiter von beliebiger G estalt und Lage befinden, die auf voneinander verschie­

dene Potentiale aufgeladen sind, so verlaufen K ra ft­

linien von jedem einzelnen Leiter zu allen übrigen, und es ist also der Zustand eines Leiters abhängig von demjeni­

gen aller übrigen (Influenz).

F ü r zwei L eiter kann m an aber die Anordnung so treffen, daß alle, oder wenigstens nahezu alle K ra ft­

linien, die auf dem einen Leiter entspringen, auf dem anderen enden, und daß keine oder sehr wenige nach den übrigen Leitern oder nach der E rde zu laufen1).

D ann befindet sich auf dem einen Leiter immer die­

selbe Elektrizitätsm enge wie auf dem n f ändern, nur m it entgegengesetztem Vor- ---

Zeichen. " —

Eine solche Anordnung nennt m an t = = ■ einen K o n d e n s a t o r , die beiden Leiter

heißen*seine Belegungen.

Als einfachstes Beispiel sei genannt der Plattenkondensa*or Fig. 1, der aus pig.

zwei ebenen gleichgroßen M etallplatten

besteht, die einander in kleinem Abstand gegenüber ge-

" stellt sind.

1) Vorausgesetzt is t dabei, daß die Potentialdiiferenz der beiden Leiter gegeneinander von derselben Größenordnung ist, wie die gegen andere Leiter oder gegen die Erde.

8 E in leiten d es aus der E lektrizitätslehre.

D ie K a p a z i t ä t eines Kondensators ist das V erhält­

nis der auf einer Belegung befindlichen Elektrizitätsm enge zu der Potentialdifferenz V, die zwischen den Belegungen besteht.

(D C = f

Auch einem einzelnen Leiter, der sich frei im Raum, oder wenigstens von anderen Leitern sehr w eit entfernt befindet, kom m t eine bestim m te, wie oben zu definierende K ap azität zu. Man kann ihn auffassen als Grenzfall eines Kondensators, dessen zweite Belegung sehr weit ent­

fernt ist.

Die K ap azität eines K ondensators lä ß t sich experi­

mentell nach verschiedenen Methoden bestimmen, auf die wir hier nicht eingehen. F ü r einfache Form en lä ß t sie sich berechnen.

Beim P lattenkondensator1) z. B. m uß das Feld aus Sym m etriegründen homogen und senkrecht zu den P la t­

ten sein. Die Feldstärke habe also im ganzen R aum zwi­

schen den P latten den konstanten W ert {£; dem entspricht eine Flächendichte a der E le k triz ität auf jeder Belegung:

Die gesamte E lektrizitätsm enge auf einer Belegung ist also, wenn deren Fläche m it S bezeichnet w ird :

4 71

x) Siehe auch J ä g e r , Theoretische Ph ysik III, § 12.

a) i] ist ein von dem Maßsystem, in dem die elektrischen Größen ge­

messen werden, abhängiger Faktor; im elektromagnetischen Maßsystem, das wohl auch kurz als CGS-System bezeichnet wird, h at i] den Wert: ^-10 - 20 im elektrostatischen Maßsystem ist rj = 1. — B ei Anwendung der obigen Formel ist stillschweigend vorausgesetzt, daß sich zwischen den Belegungen L uft bzw. genauer Vakuum befinde.

9 Andererseits ist die Potentialdifferenz zwischen den Belegungen

wenn l den Abstand derselben bedeutet.

M ithin:

r = _ i = J L &

V i n l '

C. Laden und E ntladen eines K ondensators.

Den Vorgang beim Laden eines K ondensators können wir uns wie folgt vorstellen: Wenn an die Klemmen des K ondensators irgend eine elektromotorische K raft (etwa ein galvanisches Element), angelegt wird, dann fließt eine bestim m te Menge E lek trizität von der einen Belegung durch den .Schließungskreis und das E lem ent hindurch auf die andere Belegung. F ü r eine gewisse Zeit besteht also ein elektrischer Strom . Die insgesamt durch ihn tran s­

portierte Elektrizitätsm enge ist dabei nach (1) gleich C • V , wo V gleich der angelegten EMK. ist. U m gekehrt fließt beim E ntladen des K ondensators diese E lektrizi­

tätsm enge rückw ärts. Die A rt und Weise, wie das U ber­

ström en der E lek trizität stattfindet, also der zeitliche Verlauf des Stromes, h än g t ganz ab von der A rt des Schließungskreises, von seinem W iderstand und seiner Selbstinduktion; wir werden uns unten dam it eingehend zu beschäftigen haben. -

Dagegen können wir hier leicht eine allgemein gültige Beziehung ableiten zwischen dem M omentanwert des Stromes und der zeitlichen Änderung der Potentialdiffe­

renz am Kondensator.

Es wandere näm lich in der sehr kleinen Zeit dt eine ebenfalls sehr kleine positive Elektrizitätsm enge A e von

1 0 E inleitendes aus der E lektrizitätslehre.

der positiven Belegung zur negativen. D ann entspricht das einem in diesem Sinne fließenden Strom :

z = ^ -d t

Die Ladung e jeder Belegung ä n d ert sich dabei um de = —A e , die Potentialdifferenz nach (1) um

C -

Es g ilt also: /

d t d t

D . E nergie des geladenen K ondensators.

Dem geladenen K ondensator kom m t ein bestim m ter Betrag an elektrostatischer Energie zu, der sich schreiben läß t:

1 1 1 e2

(3) W e = -2 e V = - 2 C V 2 = -2 Z f .

Diese Energie kann m an sich lokalisiert denken in dem R aum zwischen den Belegungen, in dem das elektrische Feld b esteh t; und zwar kom m t jedem Yolumelement dr des Feldes, in dem die Feldstärke@ herrscht, die Energie:

(4) d W . = ^ & d r

E . D ielektrikum , D ielektrizitätskonstante.

W ir haben bisher stillschweigend vorausgesetzt, in d em R a u m zwischen den Kondensatorbelegungen befinde sich L u ft, bzw. genauer Yakuum . F ü llt m an diesen Raum

durch ein anderes isolierendes Medium aus, so erhält die K a p azität einen anderen W ert. Das Verhältnis dieser K ap a zität zu der ursprünglichen heißt die D i e l e k t r i z i ­ t ä t s k o n s t a n t e (6) des betreffenden Mediums, des D i e l e k t r i k u m s .

Einige W erte seien hier angeführt:

Vakuum . . . e = 1 Glas . . . . 5 bis 10 L uft (0°, 760 mm) 1,00059 Glimmer . . . 5 bis 8 Petroleum . . . 2,0 H artgum m i . . 2,7

Schwefelkohlenstoff 2,6 Paraffin . . . 1,8 bis 2,3 W asser...81 Schwefel . . . 3,6 bis 4,8

,F . M ite in a n d e r v e rb u n d e n e K o n d e n sa to re n . Zwei od6r mehrere Kondensatoren können in ver­

schiedener Weise m iteinander verbunden werden. Je nach der Schaltung h a t das

Aggregat, die B atterie, ver- .

schiedene resultierende Ka- ’’ | ' ^~ | ______

p azität. 2.

Bei der durch Fig. 2 d a r­

gestellten Parallelschaltung wird offenbar die resul­

tierende K a p azität gleich der Summe der Einzelkapa­

zitäten. G = C\ + C'2 -)- . . .

Die Hintereinanderschaltung (Fig. 3) n jj ^ ergibt eine resultierende K ap azität: ,— b Ii i I Ii ~ *

1 / )

C =

o 1 + c 2v +

Fig. S.

D enkt m an sich nämlich die (der Einfachheit halber bloß aus zwei K ondensatoren zusammengesetzte) B atterie auf eine Potentialdifferenz V aufgeladen, so wird beim Laden

12 Einleitendes aus der E lektrizitätslehre.

eine bestim m te E lektrizitätsm enge e durch den Schlie- ßungsdraht hindurch von der letzten Belegung rechts (D) auf die erste Belegung links (A ) fließen. Nach Definition ist

ß

dann die K ap azität der B a tte rie : C = — . Ferner muß (da die Elektrizitätsm engen auf den Belegungen jedes einzelnen Kondensators für sich einander entgegenge­

setzt gleich sein müssen), dieselbe Elektrizitätsm enge von B nach C fließen.

Die Spannung am ersten K ondensator ist also:

die am zweiten:

V — — 2 < v und es gilt:

F = Fx + 7 2 .

Ganz ähnlich ist bei einer beliebigen Anzahl von K on­

densatoren :

V

⁼

v 1

⁺ f 2 ^{+ . . .} daher:

C c*

Man bem erkt, daß die Spannung an den Klemmen jedes einzelnen K ondensators kleiner ist als diejenige an den Klemmen des Aggregats. H intereinander geschaltete K ondensatoren werden daher d ann be­

n u tz t, wenn eine B atterie zu höherer Spannung auf­

geladen werden soll, als es der einzelne K ondensator verträgt.

2. Aus der Elektrodynamik.

A . D as M agnetfeld eines Strom es.

F ließ t ein elektrischer Strom I durch einen Leiter, so erzeugt er ein m a g n e t i s c h e s F e ld . F ü r einen langen geraden D rah t als Strom leiter z. B. sind die magnetischen K raftlinien Kreise um den D rah t als Achse (Fig. 4), und zwar umkreisen sie den Strom in dem­

jenigen Sinn, in dem m an eine Rechts­

schraube (Korkzieher od. dgl.) drehen muß, dam it sie sich in der R ichtung des Stromes vorw ärtsbew egt1).

Das Gesetz, das allgemein die magne­

tische- Feldstärke § m it dem Strom ver­

knüpft, lä ß t sich wie folgt aussprechen:

Das Linienintegral der magnetischen Feldstärke über einen Weg, der den Strom umschließt, ist:

(5) =

(/

und ist Null für jeden Weg, d e r'd e n Strom nicht um ­ schließt.

Eine in m anchen Fällen bequemere Darstellung des Feldes als durch (5) erhält man, wenn m an das Feld auf­

faßt als Superposition der Elem entarfelder, die von den einzelnen Elem enten der Strom bahn h^rrühren, und die durch das B io t- S a v a r ts c h e G e s e tz gegeben sind.

1)jD ie Zuordnung des Umlaufssinnes der Kraftlinien zur Richtung des Stromes ist in anderer Weise durch die bekannte Ampöresche Schwimmer­

regel oder durch die Dreifingerregel gegeben.

2) c ist wie das frühere y und das später auf tretende p ein vom Maß­

system, in dem die elektrischen und magnetischen Größen gemessen werden, abhängiger Faktor. Im elektromagnetischen Maßsystem ist: c = 1, ¡x = 1 , t] = ^ • 1 0 -20; im elektrostatischen: c = 1 , tj == 1, n = £ • IO- 2 0 .

1 4 E inleitendes a u s d er E lektrizitätslehre.

B . M agnetfeld einer lan gen Spule.

Bei beliebiger G estalt der Strom leiter ist das M agnet­

feld kompliziert, nur für bestim m te Form en erhält m an einfache Verhältnisse, z. B. für einen D raht, der zu einer Spule von großer Länge und kleinem^ Q uerschnitt au f­

gewickelt is t (Fig. 5). Die m agnetische Feldstärke h a t merkliche W erte n u r im In ­ nern der Spule und ist d o rt über den Q uerschnitt und Fig. 5. die Länge konstant, d .h .

das Feld ist d o rt homogen.

W enn N die Zahl der W indungen, l die Länge der Spule bedeutet, so ist die m agnetische Feldstärke im Innenraum

i n N

— • y i j

C l

wie sich durch Anwendung von (5) sofort ergibt.

C. M agnetische E nergie.

Dem Magnetfeld des stromdurchflossenen Leiters kom m t eine bestim m te m a g n e t i s c h e E n e r g i e z u . Jedes Volumelement des Feldes liefert dazu den B eitrag:

(6) d W m = ^ & d z ' ) . O 71

Die Energie des ganzen Raum es ergibt sich durch In te ­ gration über die säm tlichen Volumelemente. F ü r die

Wenn der Leiter nicht ins Vakuum, sondern in irgendein Medium eingebettet ist, wäre strenger rechts als Faktor die Permeabilität zuzusetzen.

Dieser Faktor hat aber für alle nichtmagnetischen Medien einen so nahe bei 1 liegenden Wert, daß er vernachlässigt werden kann. Magnetische Me­

dien wie Eisen wollen wir von unseren Betrachtungen ausschließen.

oben angeführte Spule is t z. B., wenn ih r Querschnitt m it q bezeichnet w ird:

Die diesem Energiebetrag äquivalente A rbeit muß der Strom bei seinem E ntstehen leisten; verschwindet er und d am it das Magnetfeld, so t r itt sie wieder in anderer Form auf.

Die magnetische Energie eines stromdurchflossenen Leiters lä ß t sich allgemein schreiben in der Form :

L ist ein nur von der G estalt des Stromleiters abhängiger F ak to r und heißt der S e l b s t i n d u k t i o n s k o e f f i z i e n t .

(Eigentlich is t er auch von dem den Leiter umgeben­

den Medium abhängig, s. aber die Anm.) ___

E. Gegenseitiger Ind u k tion sk oeffizien t.

Zwei einander genäherte L eiter, welche von den Strömen I 1 und I 2 durchflossen werden, liefern ein magnetisches Feld, das sich als Superposition der Felder jedes einzelnen Leiters darstellt. Die magnetische E ner­

gie wird also:

D . Selbstinduktionskoeffizient,

(7)

£ / ( § 1 + & ) 2 d z = £ f & d r + £ f & d r + £ j ( ^ - ^ ) d r .

16 E inleitendes aus d er E lek trizitätsleh re.

Die beiden ersten Glieder rechts sind die Energiebeträge, welche den einzelnen L eitern für sich zukommen und lassen sich in der Form \ L P schreiben; ganz entsprechend lä ß t sich das letzte Glied darstellen als L i2 l x Z2 . L n ist von der G estalt und der gegenseitigen Lage der/beiden Leiter abhängig und h eiß t ihr g e g e n s e i t i g e r I n d u k - t i o n s k o e f f i z i e n t .

D er größte W ert, den der gegenseitige Induktions­

koeffizient zweier L eiter L x und L 2 erreichen kann (wenn etw a die beiden L eiter ineinandergesteckte oder auf den­

selben K ern aufgewickelte Spulen sind, ist:

l12 = • L 2 .

F . In duktionsgesetz.

D urchsetzt ein (etwa durch stromdurchflossene Leiter oder durch perm anente Magnete hergestelltes) Magnetfeld eine Spule, und än d ert sich das Magnetfeld auf irgend eine Weise, d ann wird in der Spule eine elektromotorische K ra ft induziert.

B etrachten wir zunächst eine induzierte Spule, die aus einer einzigen ebenen W indung be­

steht, und die von einem homogenen Magnetfeld durchsetzt wird (Fig. 6).

Man bezeichnet d an n das (m it /.i m ultiplizierte) P ro d u k t aus der Fläche Ä

Fig. e. dieser Spule m it der in Richtung der Flächennormale fallenden Komponente der magnetischen F e l d s t ä r k e a l s I n d u k t i o n s f l u ß Q durch die Spule.

(8⁾

Q

⁼

l*

^{• •}

8 .

Bei inhomogenem Feld ist analog zu setzen : (8a)

Q

⁼ fl j

¡Qif

d S .

17 Im K raftlinienbild ist Q die Zabl der senkrecht durch die Fläche der Spule hindurchtretenden K raftlinien.

U nter Einführung dieses Ausdrucks wird die in der Spule induzierte EM K:

1 dQ

(9) E = ( F a r a d a y s c h e s l n d u k t i o n s g e s e t z ) .

C d t

In W orten: Die induzierte EMK ist proportional der Änderungsgeschwindigkeit des Induktionsflusses, bzw.

der Geschwindigkeit, m it der sich die Zahl der senkrecht durch die Fläche hindurch tretenden K raftlinien ä n d ert1).

B esteht die induzierte Spule aus N Windungen und ist der Induktionsfluß durch jede von ihnen derselbe, so wird die W-fache EM K induziert.

R ü h rt das induzierende Magnetfeld von einem strom ­ durchflossenen Leiter her, und wird die Änderung des Induktionsflusses durch eine Änderung des Stromes 7X in diesem Leiter bewirkt, dann lä ß t sich die im zweiten Lei­

ter induzierte EM K bequemer ausdrücken m it Hilfe des früher definierten gegenseitigen Induktionskoeffizienten dieser beiden Leiter.

Es gilt näm lich:

(1 0) E 2 = ± lJ - ± .

Nebenbei ersieht m an hier, durch Vergleich m it (9), daß sich für den gegenseitigen Induktionskoeffizienten

') Für den Bichtungssinn der induzierten EMK g ilt das folgende:

dQkönnen wir als eine gerichtete Größe, einen Vektor, auf fassen. Die induzierte EMK wirkt dann in demjenigen Sinn, in dem man eine Rechts-»

schraube drehen muß, dam it sie e n t g e g e n g e s e t z t der R ichtung von'

~ vorwärtsbewegt wird (vgl. S. 13), das Minuszeichen in (9) bringt diese Beziehung zum Ausdruck.

R o h m a n n , Elektrische Schwingungen. I. 2

18 E inleitendes aus der E lek trizitätsleh re.

eine anschaulichere Definition gehen läßt, als oben; L 12 ist proportional, bzw. bei geeignetem M aßsystem gleich dem magnetischen Induktionsfluß, der durch den einen Leiter geht, wenn im anderen der Strom 1 fließt.

D a ein einzelner Leiter, welcher von einem Strom durchflossen wird, zugleich magnetische K raftlinien er­

zeugt, die seine eigene Fläche durchsetzen, so wird auch in ihm selber bei jeder Strom änderung eine EM K en t­

stehen.

Deren Größe lä ß t sich m it Hilfe des Selbstinduktions­

koeffizienten angeben zu:

<11,

G, K räfte au f Strom leiter im m agn etisch en Feld.

E in Strom leiter erfährt im magnetischen Felde be­

stim m te K räfte.

Man kann sie auffassen als Resultierende aus K räften, die auf die einzelnen Leiterelem ente ausgeübt werden.

Diese E lem entarkräfte stehen senkrecht zu der Ebene durch Leiterelem ent und Feldrichtung und sind propor­

tional

I • § • sin(7 • $Q)dl.

In einer für viele Zwecke bequemeren Form lassen sich die K räfte ausdrücken, wenn m an den Induktions­

fluß durch den beweglichen Leiter einführt.

Derselbe sei Q für eine bestim m te Lage des Leiters.

W ird der letztere nun in einer R ichtung x parallel zu sich selber um eine kleine Strecke dx verschoben, so ändere

dQ ,

sich Q um -=— d x . d x

19 D ann ist die K raft, die den Leiter in dieser Richtung zu verschieben sucht:

(12) p

c e x

Dieselbe Formel gilt, wenn x den Drehungswinkel um irgendeine Achse bedeutet und Px das Drehm om ent um dieselbe.

3. W echselstrom1).

A . D efinitionen.

Als Wechselstrom bezeichnet m an einen Strom, der periodisch Größe und Richtung ändert. Die einfachste A rt eines Wechselstroms liegt dann vor, wenn das Gesetz, nach dem die Strom stärke variiert, das folgende ist:

13) I = I 0 sin (cot + <p).

S i n u s f ö r m i g e r W e c h s e ls tr o m . J 0 bezeichnet man als A m p l i t u d e ; es ist der größte W ert, den die Strom ­ stärke annim m t; co als F r e q u e n z 2), cp als P h a s e .

Das Gesetz (13), nach dem die Strom stärke verläuft, ist dasselbe, nach dem die Exkursionen eines ungedäm pft schwingenden Pendels vor sich gehen; m an spricht daher auch von einem Wechselstrom als von einer e l e k t r i s c h e n S c h w in g u n g .

W enn m an den Sinusstrom als F unktion der Zeit graphisch darstellt, so en tsteh t die in Fig. 7 wiedergegebene Kurve. Man sieht, daß sich die W erte der Strom stärke

2 71

je nach Verlauf einer Zeit t = " wiederholen.

________ co

*) Vgl. H e r r m a n n , Elektrotechnik Bd. I u. I I I (Samml. R öschen).

2) Die Größe, die wir hier als Frequenz bezeichnen, wird m eist zyklische oder Kreisfrequenz genannt, während man nam entlich in der Technik den Ausdruck „Frequenz“ gleichbedeutend m it „Sehwingungszahl“ verwendet (siehe unten). Wir wollen hier unter Frequenz immer co = 27t n, also die Schwingungszahl in 2 n sec verstehen.

2*

2 0 E inleitendes aus der E lektrizitätslehre.

r heißt die S c h w i n g u n g s d a u e r .

In 1 Sek. m acht der Strom — = — n vollstän- t 2 n

dige Schwingungen; n heißt die S ch wi ng u n g s ? a h 1; die Frequenz co kann also bezeichnet werden als „ S c h w in ­

g u n g s z a h l i n 2ji s e c “ . Die Phase cp g ib t den W ert an, den die Strom ­ stärke zur Zeit t = 0 h a t;

sie ist in gewissem Maße willkürlich, abhängig von

Fig. 7. der Annahme über den

N ullpunkt der Zeit und kann durch geeignete Verfügung über denselben zu Null gem acht werden. Ih re Bedeutung t r i t t vor allem d o rt hervor, wo es sich um die gleichzeitige B etrachtung zweier Schwingungen (bzw. allgemein oszillatorischer Größen) handelt. Man spricht dann von der P h a s e n ­ d i f f e r e n z der beiden Schwingungen, und diese gibt an, um welchen Bruchteil der Periode etw a das Maximum der einen früher oder später ein tritt, als das der anderen.

Man bem erkt, daß m an u n ter Einführung einer an ­ deren Phase cp' s ta tt (13) schreiben kann:

/ 71

(13a) I = 70 cos I cot cp — —

— I 0 cos {cot -f- Cp') *).

W enn zwei Wechselströme gleicher Frequenz sich über­

lagern,

(14) / = I 1 -\- I 2 = A sin (cot -{- cp-y) -f- B sin(coi -)- cp2) ,

*) I st die Phase cp (oder <p') gleich 2 jt , so ergibt sie denselben Verlauf des Stromes wie die Phase Null, braucht also m eist nicht in der Rechnung m itgeführt zu werden.

21 so kann der resultierende Strom wieder in der einfachen Form :

(14a) I = J 0sin(coi -f- cp)

geschrieben werden; ist also wieder ein sinusförmiger Wechselstrom der gleichen Frequenz.

Haben die superponierten Ströme die spezielle F o rm : (14b) I = A sineoi + B coscoi,

so ergibt sich, daß in (14 a) zu setzen ist:

/ 0 = y i i + B 2 und

B . M essung von W ech selström en 1).

W enn die Frequenz eines Wechselstroms einigermaßen beträchtliche W erte h a t,2) so können die gebräuchlichen Gleichstromgalvanometer nicht m ehr die M omentan­

werte der Strom stärke anzeigen. Der Zeiger und das bewegliche System des Instrum ents m üßten dazu oszil­

lierende Bewegungen im Tempo des Wechselstroms machen. Diese Bewegungen bleiben aber wegen des re­

lativ großen Trägheitsmoments der beweglichen Teile sehr klein. Das messende System bleibt also praktisch in einer bestim m ten Mittellage in Ruhe.

Bei allen denjenigen Instrum enten, welche wie die Drehspulgalvanometer (für Gleichstrom) Aufschläge ge­

ben, die der S t r o m s t ä r k e p r o p o r t i o n a l sind, en t­

') Vgl. J. H e r r m a n n , D ie elektrischen Meßinstrumente (Samml.

Göschen, Bd. 477).

•) Bei Zentralen-Wechselstrom ist die Schwingungszahl m eist 50, bei den Wechselströmen, die wir später betrachten, geht sie bis zu 107 und höher.

fernt sich der Zeiger beim Durchgang eines sinusförmigen Wechselstroms offenbar nicht aus seiner Nullage. Die auf das bewegliche System ausgeübten K räfte sind einander in jeder Halbperiode entgegengesetzt und heben sich auf.

Anders bei Instrum enten, die (für Gleichstrom) Aus­

schläge p r o p o r t i o n a l d e m Q u a d r a t d e r S t r o m ­ s t ä r k e geben, wie H itzdraht-G alvanom eter oder E lektro­

dynam om eter1). Da ihr Ausschlag unabhängig von der Strom richtung ist, so erfährt das bewegliche System in jeder Halbperiode zwar veränderliche, aber immer in der gleichen Richtung treibende K räfte. U nter deren W irkung wird der Zeiger eine bestim m te konstante Einstellung annehmen, bzw. sehr kleine Oszillationen um sie machen, und dieser konstante Ausschlag ist offenbar proportional dem zeitlichen M ittel aus den W erten von P .

F ü r einen sinusförmigen Wechselstrom I = I 0 sin (cot) ist n u n :

1 2 = Iq sin2 (a) t) = — [1 — cos (2 rni)]

L

und also der zeitliche M ittelw ert über eine volle Periode ( = demjenigen über eine sehr lange Zeit):

22 E inleitendes aus d er E lektrizitätslehre.

o

Diesen M ittelwert Qi des Q uadrats der Strom stärke, dem der Ausschlag quadratischer M eßinstrumente proportional ist (und der auch in den Ausdruck

*) Wir nehmen hier die Instrum ente in ihrer einfachsten Ausführungs­

form an, bei der wirklich der Ausschlag proportional dem Quadrat der Stromstärke ist. Für technische Zwecke wird oft die Skala oder der Über­

tragungsmechanismus so verändert, daß der abgelesene Ausschlag ein Maß für die Stromstärke selber und nicht für ihr Quadrat ist.

für die von einem W echselstrom entwickelte m ittlere J o u le sehe Wärme eintritt), bezeichnet m an als S t r o m ­ e f f e k t.

Die Quadratwurzel aus dem Strom effekt ist die sog.

E f f e k t i v s t r o m s t ä r k e . Ih r is t der Ausschlag propor­

tional, wenn die Skala der Instrum ente in der angegebenen Weise (Anm. der vor. S.) verändert ist. Bei gewöhnlichen Wechselströmen wird sie häufig benutzt, unseren Zwecken entspricht m ehr der Stromeffekt.

C. Scheinbarer W iderstand bei W echselström en.

Ein sinusförmiger Wechselstrom en tsteh t dann, wenn eine sinusförmige W echselspannung: V = V0sin • cot an die E nden eines Leiters angelegt wird.

D er Strom, der dabei zustandekom m t, ist aber im allgemeinen nicht mehr, wie bei einer Gleichspannung, bestim m t durch den W iderstand des Leiters, den wir zur Unterscheidung von anderen „ s c h e i n b a r e n W id e r ­ s t ä n d e n “ je tz t als O hm schen W i d e r s t a n d bezeichnen wollen.

W enn z. B. eine W echselspannung an einen Leiter von sehr kleinem O hm schen W iderstand angelegt wird, so fließt doch nur ein sehr kleiner Strom, falls der Leiter eine beträchtliche Selbstinduktion besitzt; weil nämlich bei jeder Strom änderung in dem Leiter durch Induktion elektromotorische K räfte entstehen, die der Änderung des Stromes entgegen wirken. Man schreibt daher der Selbst­

induktion einen scheinbaren W echselstromwiderstand zu, d ie I n d u k t a n z .

W ird in einen Stromkreis ein K ondensator eingefügt, so bedeutet das bei Gleichstrom U nterbrechung bzw. u n ­ endlich großen W iderstand. Ein Wechselstrom kann aber in einem solchen Kreise wohl Zustandekommen. Denn,

solange die Spannung in einer R ichtung wirkt, lä d t sie die P la tte n des K ondensators in einem bestim m ten Sinne auf, in der folgenden Halbperiode k eh rt sie ihren Sinn um, und lä d t entgegengesetzt auf, und dieses Aufladen bedingt natürlich jedesmal einen Strom. Ein eigentlicher „Lei- tungs“ -Strom fließt dabei allerdings nur auf den D rähten bis zu den Kondensatorbelegungen. Im Isolator wird er ersetzt durch den „V erschiebungsstrom “ . Den schein­

baren W iderstand eines K ondensators gegenüber einem W echselstrom bezeichnet m an als K o n d e n s a n z .

Die drei A rten von W iderstand können einzeln oder zusammen im W echselstromkreis vorhanden sein, wir be­

trachten im folgenden einige der wichtigsten Fälle genauer.

a) O h m s c h e r W i d e r s t a n d . 2 4 E inleitendes aus der E lektrizitätslehre.

Liegt an den E nden des O hm schen W iderstandes R eine Sinusspannung: V = F 0 sin cot, so h a t der Strom in

/p- in jedem Augenblick den

Fig 8 sind gleichphasig (Fig. 8).

Das V erhältnis der Mo­

m entanw erte von Spannung und Strom ist konstant ( = R). Im W iderstand wird in der Zeit r eine W ärme­

menge entwickelt gleich:

X X

= j I • V d t = R j P d t .

o o

Also pro Zeiteinheit, wenn wir den Strom effekt Q ein fü h re n :

R

.3

( = / eV Ä ) .

25 b) S e l b s t i n d u k t i o n .

Liegt eine Spannung

V = F 0sincot

an den E nden eines Leiters m it der Selbstinduktion L (und m it verschwindend kleinem Oh m sehen W iderstand), so wird ein Strom I entstehen, der so groß ist, daß die in der Selbstinduktion induzierte EM K E = — L ---, der

dt angelegten Spannung V entgegengesetzt gleich ist.

Es gilt also :

dt

Dieser Gleichung genügt der folgende W ert von 1:

Vn V0 . ( n

1 = ~ cos cot — — = sin \ cot —

coL eoL \ 2

Aus diesem Ausdruck, sowie aus der graphischen D ar­

stellung Fig. 9 ersieht man, daß der Strom gegen die Spannung um ~ oder 90 ° phasenverschoben ist;

und zwar „eilt er ihr

nach“, d. h. er erreicht Fig. 9. seinen M aximalwert zu

einer (um eine viertel Periode) s p ä t e r e n Zeit als die Spannung. Man bem erkt, daß das Verhältnis der Mo­

m entanwerte von V und I einen von der Zeit abhängigen, periodischen W ert h at. Von eiQ&m eigentlichen W ider­

stand kann m an daher nicht sprechen. Als W ert für den W e c h s e ls tr o m w id e r s t a n d , d i e l n d u k t a n z , nim m t

"n

U r/_ r _

V > :/ V f \ y

26 E inleitendes ans der E lektrizitätslehre.

m an das Verhältnis der A m p l i t u d e n von Spannung und S tro m :

(das ist zugleich das V erhältnis von E ffektivspannung1) und EfEektivstrom).

Die im L eiter geleistete A rbeit ist in jedem Augenblick I • V d t , also während einer H älfte der Periode positiv, während der anderen negativ. Im ganzen wird vom Strom in der widerstandslosen Selbstinduktion keine Energie ab­

gegeben, wovon m an sich durch Integrieren überzeugt.

Die Energie, die der Strom in dem einen Teil der Periode hergibt, wird zur Herstellung des magnetischen Feldes der Selbstinduktion verw andt und wird beim Verschwin­

den desselben wieder als Stromenergie zurückgegeben.

c) K a p a z i t ä t .

W irkt die Spannung V = V0 sin toi an den Klemmen eines K ondensators m it der K ap az itä t G, dann ist nach (2) S • 6 der Strom in jedem Augenblick:

Auch hier ist (vgl. F ig. 10) das V erhältnis der Momentan- w erte von Strom und Spannung kein von der Zeit u nab­

hängiges. Als W echselstromwiderstand des Kondensators

*) Spannungseffekt und Effektivspannung werden in der gleichen Weise wie Strom effekt usw. als Mittelwerte der Spannung definiert.

d V ( d

a) Es ist hier I = (sta tt 1 = - C -^ -j gesetzt, weil wir den Strom durch den Kondensator dann als positiv rechnen wollen, wenn er im Sinne der Spannung durch den Kondensator fließt. In (2) is t der Strom dann positiv gerechnet, wenn er durch den Schließungsdraht des Kondensators im Sinne der Spannung fließt.

0

I = G • , - -- - coGVn cos cotA t ü

oder als K o n d e n s a n z bezeichnet m an das Verhältnis der A m plituden:

J _ o _ 1

I 0 c o C '

Dieser scheinbare W iderstand nim m t m it wachsender Frequenz ab, während

die In duktanz der Fre­

quenz proportional ist.

Spannung und Strom sind auch hier um —71

L

gegeneinander phasen- Fig. io.

verschoben, es eilt aber

je tz t der Strom der Spannung v o r a u s . Auch im Kon­

densator g ib td e r Wechselstrom im Mittel keine Energie ab.

d) O h m s c h e r W i d e r s t a n d u n d S e l b s t i n d u k t i o n h i n t e r e i n a n d e r g e s c h a l t e t .

W enn im Wechselstromkreis zwei oder mehrere Arten von W iderstand vorhanden sind, dann werden die Be­

ziehungen zwischen Spannung und Strom komplizierter.

Wir wollen hier nur noch den folgenden Fall b e tra ch ten : Ein Stromkreis bestehe aus einem Leiter, der gleichzeitig W iderstand und Selbstinduktion besitzt.

Es wirke an den Klemmen wieder die Spannung:

y = V0 sin co t . Es wird dann ein solcher Strom I Zustande­

kommen, daß die nach dem O hm schen und dem Induk- T d l tionsgesetz sich ergebende Gegenspannung — I R — L — der angelegten Spannung gerade entgegengesetzt gleich ist; daß also gilt:

28 E inleitendes aus der E lektrizitätslehre.

Dieser Differentialgleichung genügt der folgende A n­

satz für I :

I = A sin(a)f — 99)

wo A und 99 noch zu bestimmende Konstanten sind.

Setzt man den Ausdruck für 7 in die Differential­

gleichung ein, so ergibt sich die Gleichung:

F 0 sin cot = A [coL cos (cot — cp) -\- R sin (cot — 99)]

= A ^Jco L )2 + R!2 • sin (toi — 99 -(- xp) , wo:

co L t e v — g - . vgl. S. 21.

Also wird:

F 0 co L

A = , : tg 09 =

y(toL) 2 + r2 F r

und:

y

7 — 0 sin (toi — 99) . ]/(coA)2 + Ä 2

Der scheinbare W iderstand ist: y(cÖL)2 + R 2; m an nennt ihn I m p e d a n z . Der Strom eilt der Spannung n a c h ; die Phasenverschiebung liegt zwischen 0 und — . W enn coL7 t

sehr groß ist gegen R , so ist sie sehr nahe gleich —; wenn7Z z

co L klein gegen R ist, verschwindet sie; wie auch nach dem früheren zu erw arten. Man bem erkt, daß bei hohen F re­

quenzen schon eine kleine Selbstinduktion hinreicht, um den ersten Fall herbeizuführen.

D . T ransform ation von W echselström en.

F ließt Wechselstrom durch eine Spule L v in deren Nähe sich eine zweite L 2 befindet, derart, daß zwischen den beiden Spulen eine gegenseitige Induktion L 12 besteht, so wird in der zweiten Spule eine W echselspannung in d u ziert;

wenn sie geschlossen ist, kom m t in ihr ein W echselstrom zustande. Die beiden Stromkreise heißen m iteinander

„gekoppelt“ . Die Vorrichtung bezeichnet m an in der technischen Ausführung als Transform ator; eine ganz ähnliche Wirkungsweise h a t auch der Induktor, bei dem nicht Wechselstrom, sondern ein durch geeignete Vorrich­

tungen periodisch unterbrochener und geschlossener Gleichstrom als Prim ärstrom dient.

B etrachten wir zunächst den einfachsten Fall, wo die zweite Spule offen ist und also in ihr kein Strom zustande­

kom m t.

W enn an den Klemmen der Prim ärspule (die einen gegen die Induktanz kleinen W iderstand haben soll), eine Spannung h errsch t: Vi — 7 W sin cd f und in ihr ent-

y

sprechend der Strom I x = ™ cos cot fließt, dann wird in der Sekundärspule eine EM K induziert:

Sind die beiden Spulen so gegeneinander gelagert, daß ihre gegenseitige Induktion den größten möglichen W ert hat, wie das der Fall, wenn sie beide lange, über denselben K ern gewickelte Spulen sind, dann ist L 12 — l/fii • L 2 . In diesem F all wird also

3 0 E inleitendes aus der E lek trizitätsleh re.

Die Spannungen verhalten sich wie die Q uadratw ur­

zeln aus den Selbstinduktionen, bzw. nach dem früheren wie die W indungszahlen ihrer Spulen.

Dieser Fall ist bei den technischen Transform atoren m it großer Annäherung verwirklicht. Bei den Transfor­

m atoren dagegen, die für schnelle Schwingungen ver­

w andt werden, wird die gegenseitige Induktion meist kleiner, „die Koppelung loser“ gem acht.

W ird die Sekundärspule durch einen W iderstand ge­

schlossen, so fließt in ihr ein Strom / 2, dessen Am plitude sich nach (C., d) bestim m t zu1):

(Der gesamte O hm sche W iderstand des Sekundär­

kreises sei R 2, seine Im pedanz also: ]/(a)L 2)* -f- R 2) .

Zwischen den Ström en / 2 und I 1 besteht im allgemeinen eine Phasenverschiebung. I s t der W iderstand R 2 in dem Sekundärkreis gegen die In d u k tan z zu vernachlässigen, so ist einfach:

der Strom in der Sekundärspule is t also unabhängig von der Frequenz proportional demjenigen in der P rim är­

spule; und zwar fließt der eine immer im entgegenge­

setzten Sinne wie der andere (Phasenverschiebung = n).

wie m an leicht überlegt.

Dies R esu ltat is t praktisch w ichtig; Meßinstrumente,

*) Falls dabei die „Rückwirkung" des Sekundärstromes auf den Primär­

strom vernachlässigt wird.

i(co L 2) * + R I 1 0 '

wie H itzdrahtgalvanom eter und ähnliche, darf m an bei hohen Frequenzen m eist nicht direkt in den zu untersu­

chenden Stromkreis legen, da ihr W iderstand d o rt stört.

Man schaltet die Instrum ente daher m it einer geeigneten Selbstinduktion L 2 zu einem besonderen Stromkreis zu­

sammen und koppelt diesen m it dem zu untersuchenden Stromkreis. Wenn L 2 für alle in B etracht kommenden Fre­

quenzen der oben aufgestellten Bedingung genügt, so ist der Strom im Instrum ent dem zu messenden immer pro­

portional.

Ein Gleichstrom, der durch einen Leiter von konstan­

tem Querschnitt fließt, etwa durch einen zylindrischen D raht, is t gleichmäßig über den Querschnitt verteilt; in jedem Flächenelem ent eines Querschnitts ist die Strö­

mung dieselbe. Beim Wechselstrom ist das im allgemeinen nicht mehr der Fall, die Strom dichte ist vielmehr in den inneren Teilen des Querschnitts kleiner als am E and. Bei hohen Frequenzen fließt der gesamte Strom wesentlich nur in der oberflächlichsten Schicht des D rahtes.

Diese Erscheinung bezeichnet m an als Skin- (Haut-) Effekt.

Ih r Zustandekommen können wir uns etwa wie folgt erklären. Wir denken uns den massiven D raht, durch den der Strom fließen soll, aus in­

einandergesteckten dünnwandigen Röhren auf­

gebaut. In Fig. 11 sind davon die äußerste und eine m ittlere gezeichnet.

Die Querschnitte der einzelnen Röhren seien -pig. 1 1. gleich, so daß sie alle für Gleichstrom denselben W iderstand haben. W ird also an die E nden des Gebildes eine Gleichspannung angelegt, so fließt durch jede Röhre der gleiche Strom.

E . Sklneffekt.

B etrachten wir nun das m agnetische Feld, das e in e solche stromdurchflossene Röhre liefert. Dasselbe ist in ihrem Innern Null, im Außenraum ist es dasselbe, wie es ein linearer Strom liefern würde, der in der Achse fließt und der dieselbe Strom stärke h a t 1).

Wenn also die innere Röhre der Figur vom gleichen Strome durchflossen wird, wie die äußere, so liefert sie ein magnetisches Feld auch im Zwischenraum der beiden Röhren, während die äußere Röhre d o rt kein Feld und im A ußenraum dasselbe Feld wie die innere Röhre liefert.

Der gleiche Strom in der inneren Röhre h a t also ein Feld m it größerer magnetischer Energie; d. h. aber, die innere Röhre h a t größere Selbstinduktion als die äußere bei gleichem O hm sch en W iderstand.

W enn nun an die beiden Röhren, die als parallel ge­

schaltete Leiter aufzufassen sin d 2), eine W echselspannung angelegt wird, so fließt offenbar der größere Teil des Ge­

sam tstrom s durch die Röhre m it der kleineren Impedanz, also durch die äußere; und entsprechend beim massiven D rah t durch die äußeren Schichten. D er Unterschied wird um so größer sein, je höher die Frequenz und je klei­

ner der spez. W iderstand des Metalles ist.

Wie sich aus einer genaueren B etrachtung ergibt, nim m t nicht nur die Strom dichte nach dem Innern des D rahtes zu ab, sondern es treten auch Phasenverschie­

bungen auf zwischen der Ström ung in verschiedenen Schichten. Strenggenommen m uß daher die Definition des Selbstinduktionskoeffizienten (und auch des Wider-

*) wenn die Röhre bzw. der massive D raht entweder gerade oder zu einer Figur zusammengebogen ist, bei der keine scharfenfKnicke Vorkom­

men und zwei S tellen d e s Drahtes einander nicht sehr nähe kommen. Als Beispiel können wir uns den Draht etw a zu einem weiten Kreis gebogen denken.

a) zwischen denen übrigens Doch gegenseitige Induktion besteht.

3 2 E inleitendes aus der E lektrizitätslehre.

33 Standes) für W echselstrom anders gefaßt werden, als oben angegeben ist.

Wir gehen darauf nicht näher ein, sondern bemerken nur, daß wir m it den bisherigen Vorstellungen auskom- men, wenn wir jedem Leiter bestim m te W erte der Selbst­

induktion und des (O hm schen) W iderstandes zuschrei­

ben, welche aber von der Frequenz abhängig sind.

Wie auch unsere angenäherte Betrachtung voraus­

sehen läßt, nim m t die Selbstinduktion m it wachsender Frequenz ab und wird für sehr hohe Frequenzen, wo der Strom nur in der Oberflächenschicht fließt, gleich der Selbstinduktion der betreffenden Röhre für Gleichstrom.

Der O hm sche W iderstand eines Leiters nim m t d a ­ gegen m it wachsender Frequenz zu, da ja der Strom durch immer kleinere Querschnitte fließt.

W ährend die Veränderlichkeit der Selbstinduktion m it der Frequenz klein ist und m eist ganz vernachlässigt werden darf, sind die Änderungen des W iderstandes be­

trächtlich ; und derW iderstand fürWechselstrom von hoher Frequenz wird vielemal größer als der für Gleichstrom.

Die W i d e r s t a n d s v e r m e h r u n g eines D rahtes ist um so kleiner, je kleiner sein Querschnitt is t; offenbar, denn wenn m an sehr dünne D rähte verwendet, muß die Strom verteilung über den kleinen Querschnitt wieder gleichförmig sein.

Man nim m t daher dünne D rähte als Leiter dort, wo W iderstand und Selbstinduktion von der Frequenz mög­

lichst unabhängig sein sollen, z. B. als H itzdrähte für Galvanometer usw. Aus dünnen, voneinander isolierten und verdrillten D rähten stellt m an L i t z e n her, die klei­

nen und bis zu einer gewissen, von der Dicke des Einzel­

d rah ts abhängigen Frequenz k o n s t a n t e n W iderstand und k o n s t a n t e Selbstinduktion haben.

R o h m a n 11, Elektrische Schwingungen. I. 3

3 4 E inleitendes aus d er E lek trizitätsleh re.

W ird ein massiver D rah t zu einer S p u l e aufgewickelt, so ist die Strom verteilung im Q uerschnitt nicht mehr sym ­ metrisch um die Drahtachse. B etrachten wir zwei Strom ­ fäden im D raht: einen an der Innenseite der Spule v er­

laufenden (1) (Fig. 12) und einen auf der Außenseite verlaufenden (2). D er erste entspricht einer Spule von kleinerem Querschnitt, also von kleinerer Selbstin­

duktion. D urch ihn verläuft bei Wechsel­

strom der größere Teil des Stromes.

Bei einer Spule aus massivem D ra h t verläuft also der Strom wesentlich auf der D rahtober­

fläche, u n d zwar auf der Seite des D rahtes, die dem Spuleninnern zugekehrt ist.

Die Abhängigkeit des W iderstandes und der Selbstin­

duktion von der Frequenz ist daher bei der Spule eine andere als bei dem einfachen Skineffekt, qualitativ aller­

dings än d e rt sich wenig.

F . Q uasistationärer Strom .

W ir sehen, daß bei Wechselstrom die Stromverteilung von derjenigen bei Gleichstrom oder „stationärem Strom “ wesentlich abweichen kann und wir bezeichnen daher diese Strom verteilung als q u a s i s t a t i o n ä r e . Ein Merkmal bleibt diesen beiden A rten der Strom verteilung gemein­

sam : der Gesamtstrom, der in einem bestim m ten Augen­

blick durch einen Q uerschnitt fließt, ist überall der gleiche, an welcher Stelle des D rahtes auch der Q uerschnitt ange­

nommen wird. (Die Elektrizitätsm enge, die durch einen Q uerschnitt h in d u rch tritt, muß nämlich auch durch jeden anderen treten, da sie sich nach unseren bisherigen V oraussetzungen nirgends anhäuft.) Später werden wir D rahtleitungen und Strom verteilungen betrachten, bei

denen das nicht m ehr der F all ist, wo vielmehr die Strom­

stärken an verschiedenen Stellen des D rahtes verschieden sind. Diese Verteilung bezeichnet m an als „ n i c h t q u a s i s t a t i o n ä r e “ .

II. Schwingungen in Kondensatorkreisen.

1. Eigenschwingungen von Kondensatorkreisen.

Im folgenden betrachten wir Wechselströme, zu deren Erzeugung und U ntersuchung „ s c h w i n g u n g s f ä h i g e G e b ild e “ verw andt werden. Diese Ströme sind es, welche wir speziell als e l e k t r i s c h e S c h w in g u n g e n b e z e ich n e n .

Das einfachste schwingungsfähige Gebilde ist der K o n d e n s a t o r k r e i s , m it dessen Eigenschaften wir uns zunächst befassen wollen.

A . K ondensatorkreis.

E r besteht aus einem Kondensator (K apazität C), dessen Klemmen durch eine D rahtleitung, die eine Selbst­

induktion L besitzt, m iteinander ver­

bunden sind (Fig. 13).

Um ihn in Schwingungen zu ver­

setzen, kann m an in folgender Weise verfahren: Der Kreis wird zunächst an einer Stelle (F ) unterbrochen; es wird dann die K ap azität durch irgend eine Elektrizitätsquelle auf eine bestim m te

Spannung aufgeladen und nun p l ö t z - zr lie h die Unterbrechungsstelle leitend Fig. 13.

überbrückt.

Das kann geschehen durch Schließen eines K o n tak tes;

m eist wird es autom atisch besorgt durch den Funken, der an der Unterbrechungsstelle F überspringt, wenn beim

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36 Schw ingungen in K ondensatorkreisen.

Aufladen die Spannung d o rt genügend hoch geworden ist.

U nten gehen wir näher auf die Eigenschaften des Funkens e in ; vorläufig können wir annehmen, daß sich die Funken­

strecke nach dem m om entan geschehenden Einsetzen so verhält, wie ein metallischer L eiter von kleinem W ider­

stand.

B etrachten wir nun q ualitativ die Vorgänge, welche sich nach dem Schließen des K ontaktes bzw. dem E in­

setzen des Funkens im K ondensatorkreise abspielen.

Im ersten Augenblick ist die K ap az itä t auf eine be­

stim m te Potentialdifferenz aufgeladen (Anfangs- oder Einsatzspannung); durch die Spule fließt vorerst noch kein Strom . D a aber der Kreis geschlossen ist, beginnt die K ap azität sich durch die Selbstinduktion hindurch zu entladen und es beginnt ein Strom von allmählich anw ach­

sender Stärke. Dabei wird um die D rahtleitung, die wir uns als Spule oder als einfachen Kreis vorstellen können, ein magnetisches Feld erzeugt. W enn nun der K onden­

sator vollständig entladen ist, und also an den E nden der Spule keine den Strom unterhaltende Potentialdifferenz m ehr wirkt, zerfällt dieses magnetische Feld und induziert dabei in der Spule einen Strom, der im alten Sinne weiter fließt, also die Belegungen des K ondensators um gekehrt wie vorher wieder auflädt. D er Strom nim m t im m er mehr ab, je kleiner das Feld wird und je m ehr die K apazität sich auflädt; schließlich is t der alte Anfangszustand, nur m it um gekehrtem Vorzeichen, wieder hergestellt und das Spiel wiederholt sich. Man übersieht, daß der zeitliche Verlauf des Stromes, sowohl als der der Spannung am K ondensator, dargestellt sein wird durch eine sinusähn­

liche Kurve.

D ie E n e r g i e d e s K o n d e n s a t o r k r e i s e s , welche anfänglich als elektrostatische Energie der geladenen K a ­