Wyznaczanie przewodności cieplnej za pomocą termografii - analiza numeryczna eksperymentu

Seria: B U D O W N IC TW O z. 93 N r kol. 1514

Marek BARTOSZEK*

Politechnika Śląska

WYZNACZANIE PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ ZA POMOCĄ TERMOGRAFII - ANALIZA NUMERYCZNA EKSPERYMENTU

S treszczen ie. W pracy o m ó w io n o d o ty ch cz a so w e w y n ik i badań eksperym en talnych i a n a lizy num erycznej mających na c elu o p ra co w a n ie m etod y w y zn a cza n ia w sp ó łc zy n n ik a przew o d zen ia c iep ła dla niejednorodnych materiałów (np. beton u) p op rzez ro zw ią za n ie param etrycznego zagad n ienia o d w rotn ego p rzep ływ u ciepła. Jako źródło d od atkow ych dan ych , niezb ęd n y ch d o rozw iązan ia zadania od w rotn ego, w y k o rzy sta n o w yn ik i pom iaru temperatury na brzegu próbki (r z ec z y w iste lub sy m u lo w a n e nu m erycznie) u zyskane za p o m o c ą kam ery term o­

wizyjnej. W an a lizie odw rotnej p oszu k iw a n e b y ły także p o zo sta łe parametry decyd u jące o ro zk ła d zie tem peratu­

ry na pow ierzchni próbki: w sp ó łc zy n n ik p rzejm ow an ia ciepła, temperatura o to czen ia , w y d a jn o ść ciep ln a e le ­ mentu grzejnego w y m u sza ją ceg o p rzep ły w ciepła.

EVALUATION OF THERMAL CONDUCTIVITY BY MEANS OF THERMOGRAPHY - NUMERICAL ANALYSIS OF EXPERIMENTAL DATA

S u m m a r y . T he authors in this study have con sid ered a rigorous analytical approach to the experim ental data, as monitored by an infrared cam era and grabbed by appropriate softw are, in order to d escrib e thermal co n d u c­

tivity o f n o n -h o m o g en o u s constru ction m aterials (e .g . con crete). T h e experim ental results (real or sim ulated) have been treated as a so u rce o f add itional data for estim ation in v erse heat analysis. T he so lu tio n strategy is multivariate. Param eters co n sid ered for an a ly ses that in flu en ce on surface tem perature p rofile are: (a) film c o e f­

ficient, (b) thermal co n d u ctiv ity , (c ) am bient tem perature, (d ) heat source flux. P roblem s w ith so m e parametric interdependence have a lso been treated and sim p le so lu tio n s relating to additional com p arative sam ples, with known g eo m etric and m echanical param eters, h a v e b een proposed.

1. Wprowadzenie

Jak w ykazują analizy num eryczne (por. [1], [2]), dokładność rozw iązania zagadnienia od­

wrotnego zależy od ilości danych eksperym entalnych, w tym przypadku od ilości punktów pomiaru tem peratury na pow ierzchni badanej próbki. Pom iar kam erą term ow izyjną je s t po­

miarem bezkontaktow ym dostarczającym d u żą ilość danych (zależną jedynie od rozdzielczo­

ści kam ery), o dużej dokładności (< 0.2°C).

Opiekun naukow y: D r hab. inż. Andrzej W aw rzynek, prof. PŚ1.

38 M. Bartoszek

W pierwszej części pracy opisano przebieg i wyniki przeprow adzonego eksperym entu po­

miaru tem peratury na pow ierzchni betonowej próbki walcow ej. Z ałożenia i param etry ekspe­

rym entu opracow ane zostały na podstaw ie analiz num erycznych. W yniki pom iarów w ykorzy­

stano do w yznaczenia przewodności cieplnej próbki poprzez analizę odw rotną.

C zęść druga pracy pośw ięcona je st m odyfikacji w arunków przeprow adzania eksperym entu z uw zględnieniem w yników analizy eksperym entu oraz pierw szym przym iarkom do oceny w rażliw ości w yników pom iaru na różne czynniki (param etry).

2. Opis eksperymentu

K lasyczne testy laboratoryjne, m ające na celu w yznaczanie takich param etrów term ofi- zycznych m ateriału, ja k w spółczynnik przew odzenia ciepła A [W /mK] lub ciepło w łaściwe C [J/kgK ], są dobrze znane, a ich standardy określone przez norm y (np. BS 784, PN-ISO

8301). N iekonw encjonalne m etody oparte na analizie num erycznej (jak te prezentow ane w niniejszej pracy) w ym agają nowych sposobów pozyskiw ania danych pom iarowych i później­

szego ich w ykorzystyw ania [ lj. Standardow o w yznaczanie przewodności cieplnej betonu polega na w ycięciu cienkiego dysku ( 1 0 x 2 5 m m ) z badanego m ateriału (por. [3]) i w yw oła­

niu w nim znanego gradientu tem peratury poprzez zastosow anie chłodnic i nagrzew nic na rów noległych pow ierzchniach. O pór cieplny m ateriału je s t proporcjonalny do ilości przewo­

dzonego ciepła i odw rotnie proporcjonalny do przewodności m ateriału. Zm niejszenie grubo­

ści próbki gw arantuje m inim alizację strat ciepła w czasie eksperym entu, co prowadzi je d n o ­ cześnie do zw iększenia w pływ u niejednorodności m ateriału na przepływ ciepła. N ieregular- ności m ateriału i nieciągłości pow ierzchni są w sprzeczności z potrzebą zapew nienia odpo­

w iedniej izolacji oraz kontaktu z elem entam i grzejnymi

i pom iarow ym i, które rów nież zaburzają m ierzone pole temperatury.

Idealna byłaby m etoda oparta na pom iarach prow adzonych na elem entach konstrukcji rze­

czyw istych o znacznych rozm iarach, w realnych w arunkach, bez potrzeby w prow adzania sztucznych w arunków laboratoryjnych oraz pozw alająca na proste m odelow anie numeryczne.

Jak dow o d zą pierw sze próby ([4], [5]), m ożliwe je s t przynajm niej częściow e zbliżenie się do tych w ym agań przez zastosow anie próbek betonow ych o rozm iarach co najmniej kilkakrotnie przekraczających w ym iary najw iększego ziarna kruszyw a oraz bezkontaktow y pom iar w wa­

runkach zbliżonych do naturalnych - nie w ym agających stosow ania dodatkowej izolacji.

Oczywiście, w takiej próbie niezbędne są elem enty grzejne w ym uszające odpow iednio duży gradient tem peratury w obserw ow anym obszarze, co je s t niezbędne dla uw ypuklenia nawet niewielkich zm ian pola tem peratury, przy ograniczonej czułości urządzenia pom iarowego.

Ten sposób przeprow adzenia eksperym entu je s t bardziej zbliżony do naturalnych warunków.

Rys. I . S ch em a t stan ow iska po m ia ro w eg o Fig. I. S ch em e o f experim ent

Założono, że geom etria próbek nie pow inna prow adzić do dodatkow ych zaburzeń pola temperatury, zapew niając jednocześnie m ożliw ość w ykorzystania prostych m odeli num erycz­

nych (dw uw ym iarow e pole tem peratury). Takie w ym agania spełnia, na przykład, w alec z osiow o-sym etrycznym i w arunkam i brzegow ym i (rys. 1), dla którego głów ny kierunek prze­

pływu ciepła je s t zgodny z je g o o sią sym etrii, a źródło ciepła znajduje się u jednej z podstaw.

2.1. P rzygotow anie betonow ych próbek

Do pierw szych badań eksperym entalnych przeprow adzonych w U niversity o f G lam or­

gan (W alia) zastosow ano próbki betonow e o następującym składzie, zgodnym z bry­

tyjską no rm ą (por. [3]): piasek frakcji 5-2 mm, kruszyw o grube 10 mm (frakcja 12 9 mm) oraz cem ent portlandzki. Przygotow ano je dobierając stosunek W /C = 1/2 uzyskując konsy­

stencję 25-37 mm - m ierzoną za pom ocą stożka opadow ego. Próbki w alcow e 4 2 x 8 2 mm w ycinano z rozform ow anych betonow ych belek, po co najmniej 28 dniach doj­

rzewania w w arunkach kąpieli w odnej.

2.2. Pom iary

U rządzenia pom iarow e, um ieszczone na pow ierzchni próbki, zaburzają m ierzone pole tem peratury, a ilość danych pom iarow ych pozyskanych w jednej chwili czasu je s t ograniczo­

40 M. Bartoszek

na do ilość rozm ieszczonych czujników. Do analizy num erycznej odw rotnych zadań prze­

w odnictw a ciepła korzystne je s t posiadanie dużej ilości pom iarów o wysokiej dokładności, co m ożna uzyskać za pom ocą kam ery term ow izyjnej. P ojedynczą próbkę um ieszczono w pozycji pionowej na elem encie grzejnym (rys. 1), a kam erę term ow izyjną w odległości zapewniającej objęcie całego m ierzonego obszaru obiektyw em (w tym przypadku ok. 75 cm) ustawionym prostopadle do osi próbki. W celu m inim alizacji strat ciepła na styku elem entu grzejnego i betonu zastosow ano substancję kontaktow ą o dużej przew odności. Poniew aż dokładność po­

m iaru zależy od kąta, pod jakim obserw ujem y pow ierzchnię m ateriału, pom iary w ykonane były w zdłuż tw orzącej w alca leżącej na osi obiektywu. A by uzyskać w iększą ilość danych pom iarow ych, próbkę obserw ow ano z różnych stron (z czterech - obracając j ą o 90°), po w cześniejszym upew nieniu się, że pole tem peratury je s t stacjonarne.

3. Równania problemu

W części num erycznej pracy analizow ano stacjonarne zagadnienie przewodnictw a ciepła.

Rozkład tem peratury w analizow anym obszarze - w ogólności i i = - w ynika z rozw iąza­

nia następującego problem u brzegowego (tutaj przyjęto dw a przypadki: 1° ¿=1, 2° 1=1,2):

IA

r d r

i dT

d Z ( , dT

' d z

= 0 dla x e f i , , (1)

gdzie poszczególne sym bole oznaczają odpowiednio: T = T (x ) tem peraturę [°C] w punkcie x = (r,<p, z ) e f i , A, [W /mK] w spółczynnik przew odzenia ciepła m ateriału wypełniającego obszar f i , dla i = 1,2. Przyjęto również inne - w ygodniejsze w praktyce - oznaczenia:

A, = k am dla betonu oraz A2 = k dla m ateriału porównaw czego.

A

a Tout

t t

«P

d! t t t t t t F

f

;

S o .

e a

1

r- * 1

CM —*-f Q, (beton)

i c o n

a Q 2 a

* p o r = 0 .2 * *

U

-L Y = 8 4 m m - -LYpor-

- J

R ys. 2. A n a lizo w a n y m od el n u m eryczny (p o ło w a przekroju pod łu żn eg o ) Fig. 2. C onsidered num erical m od el o f axisym m etrical sam ple

Brzeg 3 ii obszaru i i podzielono na 5 rozłącznych części narzucając następujące warunki brzegowe:

- na części brzegu 3£i0 (ogrzew ana podstaw a walca - rys. 2) zadano w arunek brzegowy drugiego rodzaju, czyli znany strum ień ciepła Qm (elem ent grzejny)

= dla x e 3 Q n ; (2)

dn

lub pierw szego rodzaju

T (x ) = T.m dla x e 3 Q 0 ; (3)

- na granicy dw óch podobszarów

7’,(x) = 72 (

)

■ _ 3 3^2. . dla x e 3 i i ,_ , ; (4)

1 dn 2 dn

- na częściach brzegu d ii, (i = 1, 2, 3) założono warunki trzeciego rodzaju

- A, - ^ i x) = ot, ( T ( \) - Tum) dla x e d ii, oraz ¡' = 1 ,2 ,3 , (5) on

gdzie: Tml je s t tem peraturą otoczenia, a a i [W /m 2 K] - w spółczynnikam i przejm ow ania cie­

pła na poszczególnych częściach brzegu (a, = a , a 2 = a p , a } = oc,) - patrz rys. 1.

W obliczeniach w spółczynniki przewodności cieplnej A, poszczególnych m ateriałów są niezależne od tem peratury. Przedstaw ione w pracy porów nanie w yników pom iarów ekspery­

mentalnych i obliczeń num erycznych odpow iada m odelow i składającem u się z pojedynczej próbki (tylko obszar i i , ) , a analizy oparte jedynie na sym ulacjach num erycznych (punkt 4 pracy) d o ty c zą pełnego m odelu ja k na rys. 2.

Jeśli w szystkie w ielkości opisujące zadanie (rys. 2.) są określone, tzn. znane są wartości w spółczynników A;, a, , tem peratura otoczenia Tnut oraz strum ień ciepła Qm , to rozw iązując równania (1) -i- (5) w yznaczym y rozkład tem peratury w rozw ażanym obszarze i i . Gdy nie­

które z w ym ienionych param etrów m odelu są nieznane, to nie je st m ożliw e uzyskanie pola temperatury przez rozw iązanie zadania bezpośredniego. Jednak dysponując zm ierzonym i wartościam i tem peratury w w ybranych punktach na brzegu próbki m ożna poszukiw ać braku­

jących w ielkości rozw iązując param etryczne zagadnienie odw rotne przew odnictw a ciepła (por. np. [6]).

42 M. Bartoszek 3.1. W yniki eksperym entu i ich analiza num eryczna

Pom iary stanu stacjonarnego w ykonano na 3 próbkach w alcow ych (bez dodatkowej próbki m ateriału porów naw czego, odpow iadającego obszarow i Q 2 na rys. 2.). W zdłuż tworzącej w alca rejestrow ano tem peraturę w 104 równom iernie rozstaw ionych punktach pom iarowych (rys. 3). Ze względu na niejednorodność materiału, dośw iadczenie pow tarzano obserw ując próbkę z czterech stron obracając j ą co 90°.

|_ iri-i i im i inn

R ys. 3. P rzykład ow y o d czy t z kam ery term ow izyjn ej. Punkty pom iaru temperatury ro zm ie sz c zo n e rów nom ier­

n ie w z d łu ż środkow ej lin ii L102 zazn aczon ej na próbce

F ig. 3. A n ex a m p le o f thermal im age grabbed w ith infrared cam era. M easurem ent points e v en ly distributed a lon g central lin e L I02 m arked on the im age

W yniki eksperym entu posłużyły ja k o zbiór dodatkowych danych niezbędnych do rozw ią­

zania stacjonarnego zadania odw rotnego, w którym poszukiw anym i były dw a nieznane para­

m etry decydujące o rozkładzie tem peratury w badanej próbce - pierw szy, to stosunek w spół­

czynnika przejm ow ania ciepła na pow ierzchni w alca do w spółczynnika przew odzenia ciepła m ateriału próbki ( a / A ) , drugi - tem peratura elem entu grzejnego u podstaw y w alca ( T ).

Założono, że tem peratura ma tę sam ą wartość na całej pow ierzchni grzania. Stosując metodę w spółczynników w rażliw ości (por. [6]) znaleziono nieznany param etr z w arunku m inim um funkcji celu w postaci:

a(y) = [u - tF [u - t] —» m in . (6) gdzie U - kolum na zm ierzonych w artości tem peratury w punktach pom iarow ych, T -te m p e ­ ratury w tych sam ych punktach w yznaczone num erycznie.

P oczątkow e (startow e) w artości w procesie iteracyjnego poszukiw ania zm iennych decy­

zyjnych przyjęto następująco: T src = 7 0 °C oraz a /A = 1.04. Stacjonarne zadanie odw rotne zbiegło się bardzo szybko, dając poszukiw ane w ielkości ju ż po czw artej iteracji, co pokazuje rys. 4a dla trzech serii pom iarów.

N a rys. 4b porów nano tem peratury na pow ierzchni próbki uzyskane z pom iaru kam erą i z rozwiązania zadania odw rotnego.

Rys. 4. a) Parametr ctJX w k o lejn y ch krokach iteracji u zy sk a n y dla trzech c ią g ó w pom iarów ; b) porów nanie ro zk ła d ó w p o la tem peratury z p om iarów i o b liczeń nu m erycznych

Fig. 4. a) R atio <x/X in iteration step s for three data sets; b) tem perature field com p arison for nu m erical and ex p erim en ta l data

4. Analiza numeryczna zmodyfikowanego pomiaru A

Jak łatw o zauw ażyć, w opisanym rów naniam i (1) - (5) ustalonym zagadnieniu przew odze­

nia ciepła, trzy spośród czterech wielkości ( A , a , Tout, Tsrc ), decydujących o rozkładzie tem peratury w ew nątrz i na pow ierzchni analizow anego obszaru, są zależne. Istnieje w ięc nie­

skończenie w iele takich „trójek” A , a Toul dla których m ożna uzyskać identyczny rozkład tem peratury w zdłuż tw orzącej walca. Stąd, jeżeli założyć, że m ożliw e je s t dokładne w yzna­

czenie tem peratury otoczenia Tom klasycznym i m iernikam i, w opisanym w yżej eksperym en­

cie niezależnym i p o zo stan ą jed y n ie Tm oraz stosunek a /A . Tak w ięc w spółczynnik przew o­

dzenia ciepła m ożna byłoby określić tylko w przypadku, gdyby znany był w spółczynnik przejm ow ania ciepła. Jak w iadom o, je s t to je d n ak trudny do w yznaczenia parametr.

Problem rozw iązano m odyfikując eksperym ent przez połączenie badanej, walcow ej próbki betonow ej z w alcem w ykonanym z m ateriału o znanej przewodności (patrz rys. 2.). Założono,

44 M. Bartoszek

że najbardziej istotnymi param etram i decydującym i o rozkładzie tem peratury na tworzącej w alca są:

• w spółczynniki przew odzenia ciepła betonu A, = k cm oraz znanego m ateriału porów­

naw czego A2 = k /wr;

• w spółczynniki przejm ow ania ciepła: na pow ierzchni bocznej walca betonowego a , = a , na powierzchni bocznej walca „porów naw czego” a , = a oraz na górnej podstaw ie a } = a , ;

• strum ień ciepła Qsrc dostarczanego do próbki przez elem ent grzejny (o którym zało­

żono, że rozłożony je s t równom iernie na całej podstawie);

• tem peratura otoczenia Tout.

Traktując k jwr oraz Tou ja k o znane, pozostałe param etry, opisujące zagadnienie brzegowe w yznaczono z analizy odwrotnej.

A naliza num eryczna now ego eksperym entu składała się z kilku etapów. W etapie pierw­

szym , rozw iązując cały szereg zadań przew odnictw a ciepła (rów nania 1^-5), analizow ano, ja k a pow inna być przew odność w alca porów naw czego, aby profil tem peratury brzegowej był najlepszy do w ykorzystania w rozw iązaniu zagadnienia odw rotnego o 5 param etrach decy­

zyjnych. O statecznie przyjęto A, = k por = 0.2 [W /mK].

N astępnie analizow ano, który z układów pom iarowych:

• elem ent grzejny - walec betonow y - walec porów naw czy (układ A),

• elem ent grzejny - w alec porów naw czy - walec betonow y (układ B),

oraz ja k i stosunek w ysokości w alców dają korzystniejszy - z num erycznego punktu widzenia - profil tem peratury. W tym celu rozw iązano najpierw kilkadziesiąt zagadnień odw rotnych z pięciom a param etram i decyzyjnym i - poszukiw anym i wielkościam i: Qm , a , a p , a ( , k cm.

Pom iary tem peratury były sym ulowane kom puterow o, poprzez losowo narzucane błędy - A7jnax = ±0.8°C - na tem peraturę brzegową, uzyskiw aną z rozw iązania zagadnienia bezpo­

średniego dla dokładnych w artości param etrów decyzyjnych.

Badano próbki o różnych w ysokościach w alca porównaw czego. Przy m aksym alnych błę­

dach, naw et czterokrotnie przew yższających dokładność pom iaru kam erą term owizyjną, w szystkie zadania były zbieżne i tylko nieliczne rozw iązania znacząco odbiegały od dokład­

nego.

Z analizy w yników obliczeń w ykonanych dla sym ulow anych num erycznie pom iarów ter­

mowizyjnych oraz dla tw orzyw a o k = 0.2 [W /m K] wynika, że:

• dla ja k najdokładniejszego określenia przew odności k am badanej próbki Q , należy um ieścić j ą pom iędzy źródłem ciepła a m ateriałem porów naw czym Q 2 (układ A), przy czym w ysokość próbki porównaw czej LYpor pow inna być rów na 'A długości próbki betonow ej L Y ,

• najw iększy w pływ na dokładność poszukiw anej przewodności cieplnej betonowej próbki k cm m a dokładność określenia ilości ciepła dostarczanego przez źródło Qm ,

• a oraz a p m ają znaczący wpływ , jeżeli określone są na obszarze znajdującym się

bezpośrednio przy źródle ciepła, ze względu na w yższe gradienty tem peratur w zdłuż brzegu obszaru,

• m niejsza długość próbki porów naw czej ma także korzystny w pływ na długość czasu niezbędnego dla osiągnięcia stanu ustalonego w eksperym encie.

5. Podsumowanie

Wyniki pierw szych pom iarów laboratoryjnych oraz analiz num erycznych w y d ają się do­

wodzić, że zaproponow any sposób w yznaczania - w zm odyfikow anej postaci - w spółczynni­

ka przew odzenia ciepła m ógłby być z pow odzeniem stosow any do badania jednorodnych i niejednorodnych m ateriałów budow lanych. W dalszych badaniach należałoby określić opty­

malne w ym iary i sposób w ygrzew ania próbek (praw dopodobnie różny dla różnych m ateria­

łów), by zm inim alizow ać czas dochodzenia do stacjonarnego pola tem peratury. W przypadku betonu wynosi on od kilku do kilkunastu godzin. Z teoretycznego (num erycznego) punktu widzenia eksperym ent oparty na niestacjonarnym zadaniu odw rotnym m ógłby znacznie skró­

cić proces nagrzew ania próbek przez w ykorzystanie w yników pom iarów w ykonanych w określonej liczbie chw il czasowych, jednakże w praktyce byłoby to zadanie trudniejsze i kosztow niejsze (m. in. dodatkow e oprogram ow anie) oraz konieczne byłoby uw zględnienie dodatkowych param etrów (m.in. ciepła w łaściw ego i gęstości betonu) decydujących o proce­

sie przepływ u ciepła.

Praca została w ykonana w ram ach projektu badaw czego nr 7 T07E 040 19 finansow a­

nego przez KBN.

46 M. Bartoszek

LITER A TU R A

1. Shih J.K .C., D elpak R „ Hu C.W ., Plassm ann P, W aw rzynek A., K ogut M., A pplication of Infrared T herm ography for Dam age D etection in Structural Concrete - A Prelim inary R e­

port, N D T ISS'99 B ook o f Proc. UFSM , Santa M aria, RS, Brazil 1999.

2. W aw rzynek A., K ogut M „ N ow ak A., D elpak R., Hu C. H., R égularisation m ethod in geom etrical inverse heat conduction problem s, Proc. o f European Congress on C om puta­

tional M ethods in A pplied Sciences a n d Engineering - ECCOM AS 2000, Barcelona 2000.

3. Shih J.K .C ., D elpak R., Hu C.W ., Plassm ann P., W aw rzynek A., Evaluating the therm o­

m echanical properties o f m aterials using therm ography, Condition M onitor, No. 163, July

2000

4. Shih J.K .C., W aw rzynek A., K ogut M ., D elpak R., Hu C.W ., Plassm ann P., Therm o­

m echanical Proprieties Calibration for Construction Industry Cem entitious M aterial Using Infrared C am era and C onventional M ethods, A W orld o f Thermography, William H ershel Infrared B icentenary Conference H eld a t Guildhall, Bath, England, M arch 2000

5. W aw rzynek A., B artoszek M., D elpak R., Hu C.W ., Term ografia ja k o źródło danych dla odw rotnych zagadnień przew odnictw a ciepła, IV Konferencja Term ografii i Term owizji w Podczerw ieni, Pp. 97-102, Łódź 2000.

6. B artoszek M ., W spółczynnikow e zagadnienie odw rotne przew odnictw a ciepła, Zeszyty N aukow e P olitechniki Śląskiej, ser.: B udow nictw o z. 89, nr kol. 1482, G liw ice 2000.

Recenzent: Prof, dr hab. inż. Bohdan M ochnacki

A bstract

Inverse therm al analysis with data from m easurem ents by means o f infrared cam era can be used as a new tool in evaluation o f therm al param eters. Results o f the first laboratory experi­

m ents and num erical analysis, seem to proof that proposed m odified m ethod o f therm al con­

ductivity evaluation, can be successfully applied for hom ogenous and non-hom ogenous built m aterials testing. Futures research should concentrate on the optim ization o f sam ple dim en­

sions and way o f heating for m inim ization o f tim e needed to obtain steady-state in samples.

Som e suggestions derived from num erical sim ulations o f experim ent are presented.