Wykorzystanie algorytmu genetycznego do wyznaczenia tras linii transportu miejskiego Using Genetic Algorithm to Find Near Optimal Routes for Pubic Transport Lines

Gerard Krawczyk,

Witold Majchrzak

Politechnika Warszawska, Wydzia Transportu

WYKORZYSTANIE ALGORYTMU

GENETYCZNEGO DO WYZNACZENIA TRAS

LINII TRANSPORTU MIEJSKIEGO

Rkopis dostarczono, kwiecie 2013

Streszczenie: Artyku przedstawia opart o algorytm genetyczny metod rozwizania problemu

ustalenia tras linii komunikacji miejskiej. Opisano dziaanie metody, wyniki prób oraz najwaniejsze cechy metody.

Sowa kluczowe: komunikacja miejska, algorytm genetyczny, TRNRP

Problem „opracowywania czytelnych i spójnych technik projektowania sieci transportu miejskiego” nosi nazw zagadnienia projektowania sieci transportu miejskiego (eng. Transit Route Network Design Problem – TRNDP) [3]. Wród wielu sposobów rozwizania problemu, w ostatniej dekadzie szczególn popularnoci cieszyy si algorytmy genetyczne. Opisana tu metoda zakada, e trasy bd generowane i oceniane, w ramach jednolitego algorytmu genetycznego, a nie – jak w wikszoci wypadków – oddzielnych algorytmów do generowania i wyboru tras.

1. PREZENTACJA METODY

Algorytmy genetyczne stanowi prób wykorzystania mechanizmów znanych z teorii ewolucji ywych organizmów do poszukiwania sub-optymalnych rozwiza stworzonych przez czowieka problemów. Jeeli rozpatrzymy pewien zbiór rozwiza, to moemy go porówna do populacji osobników. Przypisujc poszczególnym rozwizaniom ich indywidualne oceny przystosowania, moemy symulowa procesy ewolucyjne, reprodukujc w kolejnych „pokoleniach” lepsze sporód rozwiza (dziedziczenie), a eliminujc te które sabo speniaj zadane kryteria (selekcja naturalna) [4].

Rys. 1. Schemat blokowy algorytmu genetycznego

1.1. SPOSÓB ZAPISU SIECI I ROZWIZANIA

Sie dostpnych dróg (ulic, torów itp.) reprezentowana jest przez graf nieskierowany. Wierzchokami grafu s przystanki wzowe, czyli takie na których potencjalnie moliwa jest dogodna przesiadka, oraz przystanki od których moe rozpoczyna si linia. Przez przystanek waciwie rozumiany jest cay zespó przystankowy, w takim znaczeniu bdzie uywane sowo przystanek w dalszej czci artykuu.

Pojedynczy uk grafu odpowiada odcinkowi drogi pomidzy dwoma wierzchokami, przy zastrzeeniu, e po uku mona si porusza tylko w jednym kierunku. Do odwzorowania drogi dwukierunkowej potrzebne s dwa uki. Dodatkowo uki zawieraj wszystkie przystanki niewzowe znajdujce si na drodze pomidzy wierzchokami.

Kady z rodków transportu ma okrelon wasn sie dróg. Elementem czcym wszystkie sieci s przystanki, co pozwala na modelowanie przesiadek pomidzy rónymi rodkami transportu.

Jako rozwizanie rozumiany jest zbiór linii. Kada jest reprezentowana przez trzy listy: x skrócon list przystanków – zawierajc przystanki pocztkowy i kocowy oraz

najczciej niektóre porednie przystanki wzowe;

x rozwinit list przystanków – zawierajc przystanki pocztkowy, kocowy oraz wszystkie porednie przystanki wzowe, generowan na podstawie listy skróconej; x pen list przystanków – zawierajc wszystkie przystanki listy rozwinitej oraz

przystanki niewzowe znajdujce si na ukach midzy nimi.

Wygenerowanie nowej linii polega na wylosowaniu dwóch ptli oraz co najmniej jednego przystanku przez który bdzie prowadzia trasa midzy nimi. Stanowi one skrócon list przystanków nowej linii. Na jej podstawie wypeniane s dwie kolejne listy.

Podobnie jak uki, linie s jednokierunkowe. Wprowadzono jednak warunek, e dla kadej linii, generowana jest te linia powrotna.

1.2. WYBÓR POPULACJI POCZTKOWEJ

Wanym czynnikiem ze wzgldu na czas potrzebny do wygenerowania zadowalajcego rozwizania, jak równie na jako tego rozwizania, jest liczebno populacji pocztkowej. Powinna by ona tym wiksza im bardziej zoony jest system ulic który ma by objty dziaaniem transportu zbiorowego.

Liczba linii w nowo generowanych rozwizaniach jest zalena od wyniku analizy dostpnego ukadu przystanków. Poniewa dua liczba linii jest niepodana, a algorytm sam ma moliwo jej zmiany, rozsdne wydaje si przyjcie liczby zblionej do minimalnej dla danego ukadu.

1.3. OCENA PRZYSTOSOWANIA ROZWIZA

Najwaniejszym celem algorytmu jest takie wyznaczenie tras linii, aby zminimalizowa sum czasu spdzanego przez pasaerów w podróy. Dlatego gównym skadnikiem oceny przystosowania rozwizania jest suma iloczynu czasu przejazdu pomidzy przystankami (wyraonego w minutach) i liczby pasaerów wykonujcych podró pomidzy tymi przystankami.

Pod uwag brane s te: liczba pasaerów relacji nie obsugiwanych, liczba przesiadek jakie musi wykona pasaer pomidzy przystankami, koszt ponoszony przez operatora systemu na utrzymanie jego dziaania oraz liczba linii – co ma zapewni denie do czytelnoci sieci pocze.

Wszystkie te wartoci w zaoeniu powinny by minimalizowane, przy czym ich znaczenie nie jest jednakowe. eby odwzorowa te rónice kademu z podanych czynników przypisano inn warto kary. Funkcja oceny przystosowania ma posta :

gdzie: O – ocena rozwizania, L – liczba linii w rozwizaniu, Knl – kara za lini,

Wko –wspóczynnik kosztu operatora, l – numer linii, ql – liczba kursów wykonywanych

przy obsudze linii, Dl – dugo linii l, cwml – koszt wykonania jednej wozo-minuty przez

pojazd danej linii, cpl – koszt wykonania kursu linii niezaleny od jej trasy, i, j – numery

przystanków, Kbo – kara za brak obsugi pasaera, Kp – kara za przesiadk, pij – liczba

pasaerów podróujcych z przystanku i do j, Czij – czas podróy pomidzy przystankami

i, j bez oczekiwania na przesiadk, Pij – liczba przesiadek jakie musi wykona pasaer

Kara za przesiadk powinna odzwierciedla postrzegany przez pasaera koszt wykonania przesiadki, wyraony w minutach.

Rola kary za lini polega na zapewnieniu denia do minimalizacji liczby linii. Jej warto powinna zalee od tego, ilu pasaerów ma liczy potok ruchu eby standard obsugi przewidywa utworzenie linii bezporedniej. Ze wzgldu na zalenoci midzy liniami i wpyw poszczególnych kar na algorytm, nie jest ona atwa do ustalenia.

Kara za brak obsugi pasaera to warto dodawana do oceny za kadego pasaera, który nie jest w stanie wykona podróy, ze wzgldu na brak poczenia (niezalenie od jego dogodnoci). Dziki niej algorytm dy do obsugi wszystkich pasaerów, wszystkich relacji. Jej warto powinna by znaczco wiksza ni warto kary za lini.

Wspóczynnik kosztu operatora pozwala okreli na ile algorytm jest nastawiony na szukanie rozwiza zgodnych z postrzeganiem jakoci przez pasaera. Powinien równie odzwierciedla moliwoci finansowe i techniczne operatora transportu.

Do wyznaczenia liczby przesiadek i czasu jazdy wykorzystywany jest zmodyfikowany algorytm Floyda-Warshalla. Wynik jego dziaania pozwala te na obliczenie obcienia linii na poszczególnych odcinkach, a co za tym idzie, obliczenie – w uproszczony sposób – liczby kursów wykonywanych na poszczególnych liniach, wic równie kosztów ponoszonych przez operatora transportu miejskiego.

Wyznaczone w ten sposób liczby kursów wykonywanych na poszczególnych liniach nie s rzeczywistymi liczbami, ale ich zadaniem jest jedynie wskazanie które rozwizania s lepsze, a nie podanie dokadnych wartoci.

1.4. WARUNEK ZATRZYMANIA

Dziaanie algorytmu zostanie przerwane jeeli najlepsze znalezione rozwizanie osignie okrelon warto oceny odniesienia (np. 110%) oraz przez pewn liczb cykli pokole nie zostanie znalezione nowe najlepsze rozwizanie. Warto oceny odniesienia powinna by wynikiem analizy dostpnego ukadu komunikacyjnego.

Jeeli pomimo nie osignicia zakadanej wartoci oceny przez pewn liczb pokole, nie nastpi poprawa przystosowania populacji, algorytm i tak zostanie zatrzymany.

1.5. OPERATORY GENETYCZNE

Pierwszym typem operatorów genetycznych s operatory krzyowania. Wykorzystuj one czci krzyowanych rozwiza do utworzenia nowych. Analogicznie jak u organizmów ywych potomek dziedziczy cz kodu genetycznego od ojca, a cz od matki, w efekcie uzyskujc szereg cech odziedziczonych bezporednio po rodzicach oraz cechy zupenie nowe powstae w wyniku re-konfiguracji genów.

Pierwszy operator krzyowania polega na prostej wymianie linii pomidzy rozwizaniami. Utworzone zostaj dwa nowe rozwizania, do których w sposób losowy przypisuje si linie pochodzce od obu przodków.

szukana jest para linii, których rozwinite listy przystanków zawieraj co najmniej jeden wspólny przystanek. Jeeli taka para zostanie znaleziona, sporód wspólnych przystanków losowany jest jeden, a nastpnie generowane s dwie nowe linie, tak e linie przodków s „rozcinane” na wspólnym przystanku, a nastpnie „sklejane” naprzemiennie. Tym razem te generowane s dwa nowe rozwizania, a nowo powstae linie s do nich przydzielane losowo. Linie które nie znalazy si w adnej parze s rozdzielane tak jak w przypadku operatora wymiany linii.

Jednym z filarów ewolucji organizmów ywych jest selekcja naturalna. Dziki niej organizmy lepiej przystosowane wydaj wicej potomstwa. Mechanizm ten musi znale te swoje odzwierciedlenie w algorytmie genetycznym. W kadym cyklu algorytmu przewidziane jest wykonanie liczby krzyowa równej poowie populacji. Poniewa dymy do minimalizacji oceny rozwizania przyjto, e prawdopodobiestwo i rozwizanie zostanie wybrane do krzyowania jest odwrotnie proporcjonalne do wartoci jego oceny.

Istnieje moliwo , e do krzyowania dwukrotnie zostanie wybrane to samo rozwizanie. Sytuacja taka jest dopuszczalna i nie zakóca dziaania algorytmu.

Drugim rodzajem operatorów genetycznych s mutacje. Polegaj one na wprowadzeniu do rozwizania losowych zmian. Tak samo jak w przyrodzie, w wikszoci przypadków taka zmiana pogorszy jako rozwizania, ale moe te doprowadzi do rozwiza zupenie odmiennych od dotychczasowych.

Podobnie jak w przypadku krzyowania, tak i tutaj zastosowano dwa rodzaje operatorów. W pierwszym przypadku mutacja polega na zmianie listy przystanków jednej z linii rozwizania. Zalenie od wylosowanej wartoci dokonywana jest zmiana w skróconej licie przystanków. Moe ona polega na dodaniu do listy losowo wybranego przystanku, wymianie jednego z przystanków listy na inny losowo wybrany lub po prostu usuniciu z listy jednego z przystanków.

Analogicznie dziaa drugi rodzaj mutacji, ale tym razem zmiany dokonywane s na licie linii rozwizania. Podobnie jak poprzednio w zalenoci od zmiennej losowej, do listy linii moe zosta dodana nowa linia, jedna z linii moe zosta zastpiona przez now lini lub usunita z rozwizania.

Zasadnicza rónica pomidzy operatorami krzyowania i mutacjami polega na tym, e pierwsze wymagaj dwóch ju istniejcych rozwiza do wygenerowania dwóch nowych, drugie za dokonuj zmiany na ju istniejcym rozwizaniu. Jeeli jednak do mutacji zostanie wybrane rozwizanie aktualnie najlepsze, do populacji dodana bdzie kopia tego rozwizania i to wanie na tej kopii dokonana bdzie mutacja. Dlatego najlepsze znalezione rozwizanie nigdy nie zostanie utracone.

1.6. PROCEDURA NAPRAWCZA I TWORZENIE NOWEJ

POPULACJI

Po wykonaniu operatorów genetycznych w populacji znajduje si kilka nowych i kilka zmienionych rozwiza. Ze wzgldu na losowy charakter dokonanych zmian, istnieje due prawdopodobiestwo, e cz z ich linii jest bdna. Za takie uznano trasy, które przewiduj zawrócenie pojazdu na przystanku, lub przebiegajce dwukrotnie przez ten sam

przystanek. Procedura naprawcza eliminuje te bdy przez usunicie fragmentu trasy. Zmodyfikowane wersje procedury zastosowano dla linii okrnych i powrotnych.

Po zastosowaniu procedury naprawczej wszystkie nowe i zmienione rozwizania podlegaj ocenie. Nastpnie lista rozwiza jest sortowana wedug wartoci oceny, po czym rozwizania o najwyszych wartociach oceny zostaj usuwane z populacji, tak eby zachowa jej sta liczebno . Jest to druga odsona opisywanej przez Darwina selekcji naturalnej – eliminacja osobników gorzej przystosowanych z puli genowej.

2. IMPLEMENTACJA I PRÓBY

W celu sprawdzenia dziaania metody, napisano program komputerowy wykonujcy opisany algorytm. Program wczytuje z pliku wsadowego: wib pocze, odcinki, uki, sieci oraz linie zdefiniowane przez uytkownika.

Linie zdefiniowane przez uytkownika maj w zaoeniu odzwierciedla linie o których wiadomo, e s konieczne i nie mog ulec zmianie (np. jedyna linia metra w miecie), lub wystpuj niezalenie od organizatora transportu miejskiego i s poza jego wpywem (np. kolej dojazdowa).

2.1. WYDAJNO ALGORYTMU

Poniewa algorytmy genetyczne w duym stopniu opieraj si na losowoci, trudno jest mówi w ich przypadku o zoonoci obliczeniowej. Nie mniej jednak warto si zastanowi nad wydajnoci takiego algorytmu. Naley rozway trzy rzeczy: zaleno liczby pokole wykonywanych przez algorytm od zoonoci systemu na którym dziaa, zoono obliczeniow funkcji oceny, czas wykonania operatorów genetycznych wraz z procedurami naprawczymi.

Poniewa funkcja oceny jest zmodyfikowan wersj algorytmu Floyda-Warshalla, mona wic, przyj , e jej zoono obliczeniowa wynosi w przyblieniu O(|V|3), gdzie V oznacza liczb przystanków [5].

W przypadku operatorów genetycznych i procedury naprawczej wyznaczenie zoonoci obliczeniowej jest o wiele trudniejsze. Czas potrzebny do wykonania tej czci algorytmu zaley od liczby linii w rozwizaniach, jest jednak te bardzo silnie uzaleniony od wylosowanych rozwiza i operatorów genetycznych.

Zaleno liczby pokole od zoonoci systemu postanowiono sprawdzi dowiadczalnie. W tym celu przygotowano dziewi przykadowych ukadów przystanków. Kady ma ksztat prostoktnej siatki o znanych wymiarach. Na przeciciu linii siatki znajduj si przystanki wzowe, a kady jest poczony drog, o czasie przejazdu równym pi minut, z wszystkimi ssiednimi, zgodnie z liniami siatki. Ptle znajduj si na rogach siatki. Taka struktura sieci pozwala stopniowo zwiksza zoono ukadu. Wiba podróy zostaa wygenerowana tak, e liczba pasaerów kadej relacji jest

liczb losow z przedziau <20, 50>. Ukad nie zawiera przystanków niewzowych. Wskanikiem zoonoci systemu jest liczba przystanków. Ponisza tabela zawiera urednione wyniki prób.

Tablica 1

Wyniki prób szybkoci algorytmu

Liczba przystanków rednia liczba pokole ˜ liczby pokole

redni czas pracy algorytmu [HH:MM:SS]

˜ czasu pracy algorytmu

[HH:MM:SS] rednia ocena ˜ oceny 6 195,5 151,29 00:00:12 00:00:04 33728,80 650,56 9 395,3 453,71 00:00:31 00:00:17 75810,60 3556,16 12 213,7 292,81 00:00:41 00:00:09 141525,20 4014,76 16 739,2 531,76 00:01:52 00:00:31 257465,80 8516,94 20 390,0 405,03 00:02:21 00:00:47 426492,00 8970,72 25 1010,7 653,91 00:05:46 00:01:52 707197,60 14869,36 36 2342,3 849,59 00:26:12 00:07:14 1616588,10 14426,30 49 2200,5 895,49 00:55:44 00:24:12 3250999,30 293008,49 64 3709,5 1866,05 02:17:14 00:42:40 14470662,83 139286,28

Zwracaj uwag znaczne – w porównaniu z rednimi – odchylenia standardowe liczby wykonanych pokole i oceny rozwiza. Nie stwierdzono zalenoci pomidzy liczb wykonanych cykli pokole a jakoci rozwizania. Wielokrotnie wygenerowanie rozwizania najlepszego wymagao wykonania mniejszej liczby cykli, ni wygenerowanie rozwizania najgorszego. Wynika to z losowego charakteru algorytmu i wiadczy o nieprzewidywalnoci wyników oraz podatnoci na znajdowanie lokalnego minimum.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Liczba przystanków sieci

Lic zb a wy k onan yc h cy kl i p o k o le 

Rys. 2. Wykres zalenoci liczby cykli pokole od liczby przystanków sieci

Liczba potrzebnych cykli pokole ronie liniowo proporcjonalnie do liczby przystanków. Niestety zaleno redniego czasu przebiegu algorytmu od liczby przystanków (Rys. 3.) studzi optymizm.

0 10 20 30 40 50 60 00:00:00 00:30:00 01:00:00 01:30:00 02:00:00 02:30:00

Liczba przystanków sieci

 redni c zas wy k o n ani a pr o g ra m u

Rys. 3. Wykres zalenoci czasu wykonania algorytmu od liczby przystanków sieci

Czas wykonania algorytmu wykazuje zaleno potgow od zoonoci sieci (f(x) = 0,13*x2,82, R2 = 0,98). Jest to spowodowane wpywem czasu wykonania funkcji oceny, operatorów genetycznych i funkcji naprawczej na czas wykonania jednego cyklu pokolenia.

2.2. PRÓBA NA RZECZYWISTYM SYSTEMIE

Algorytm przetestowano na rzeczywistym systemie transportu miejskiego, za przykadowe miasto wykorzystujc Ciechanów. Czas pracy programu wynosi ponad pi godzin (Intel Pentium D 3.60 GHz). Osign wynik kocowy po 267 pokoleniach. Ocena rozwizania kocowego wynosi 109,88 % oceny odniesienia, co spowodowao zatrzymanie algorytmu po dwustu pokoleniach bez poprawy wyniku.

Wynikiem jest racjonalny ukad 17 linii obsugujcych wszystkie przystanki w miecie. redni czas podróy, nie wliczajc czasu oczekiwania na przesiadki, wynosi 14 min 48s (dostpna sie ulic nie pozwala na osignicie wyniku lepszego ni 13min 41s). W okresie tygodnia 539 podróy, na 446 relacjach, odbywa si z dwoma przesiadkami, a 18860 podróy z jedn. rednia liczba przesiadek na podró wynosi 0,392.

Pod wzgldem czytelnoci ukadu linii wygenerowany wariant niestety nie jest zadowalajcy. Próba wykazaa te trudno jak sprawia dobór parametrów oceny.

2.3. PROPOZYCJE DODATKOWYCH FUNKCJI

Przedstawione podejcie nie wyczerpuje moliwoci jakie daje ten algorytm. Istnieje wiele moliwych do wykorzystania funkcji, które czsto mona w atwy sposób zaimplementowa , a które znacznie zwikszyyby potencja uytkowy programu.

Pomysem relatywnie atwym w implementacji byoby wprowadzenie mniejszych wartoci kary za lini, dla linii bdcych krótszymi wariantami linii znajdujcych si ju w rozwizaniu. Program sprawdzaby czy wród przystanków linii znajduj si ptle, jeeli tak, tworzyby nowe linie pomidzy tymi ptlami. Weryfikacj przydatnoci takiego

krótszego wariantu byaby funkcja wyznaczajca liczby kursów.

Do poprawy jakoci generowanych rozwiza mogoby si przyczyni zastosowanie wartoci kar zalenych od parametrów rozwizania. Obecnie wszystkie wartoci kar s stae, lecz z atwoci mona by zastpi te wartoci przez funkcje (np. kara za lini mogaby rosn wraz z liczb linii).

Przedstawiony program wykorzystuje z góry ustalon wib, okrelajc liczb pasaerów pomidzy przystankami. Lepszym rozwizaniem byoby wykorzystanie wiby okrelajcej liczb pasaerów pomidzy obszarami. Implementacja takiego rozwinicia w przedstawionym programie byaby relatywnie prosta. W pierwszym etapie naleaoby okreli najkrótsze poczenia pomidzy parami przystanków, nastpnie, przypisa pasaerów do przystanku o najdogodniejszym poczeniu. Warto zaznaczy , e okrelenie najkrótszych pocze pomidzy przystankami jest ju czci algorytmu. W takim przypadku moliwe jest uwzgldnienie czasu dojcia do przystanku w ocenie rozwizania. Pozwolio by to okreli zbdne przystanki.

Ponadto gdyby ustali funkcj okrelajc atrakcyjno podróy pojazdem prywatnym oraz analogiczn funkcj dla transportu zbiorowego, mona by tak zaprogramowa algorytm, eby dy do maksymalizacji liczby podróy wykonywanych transportem publicznym.

3. WNIOSKI

Algorytmy genetyczne obok licznych zalet maj równie wiele wad. Przede wszystkim nie s to dokadne - dobrze udokumentowana jest ich podatno na znajdowanie minimów lokalnych [1]. Do najwaniejszych zalet naley ich szybko . To do zaskakujce biorc pod uwag znaczn liczb pokole potrzebnych do wygenerowania racjonalnych wyników oraz fakt wielokrotnej oceny identycznych rozwiza. Okazuje si jednak, e dziki zdolnoci samoorganizacji rozwiza doskonale si sprawdzaj w przypadkach szczególnie skomplikowanych problemów. Nie bez znaczenia jest te atwo z jak mona dostosowa algorytm do nawet szczególnie zoonych zagadnie.

Przedstawiony sposób wykorzystania algorytmu genetycznego mia w zaoeniu generowa dobre wyniki, w racjonalnym czasie, przy minimalnej liczbie zaoe. W istocie o ostatecznym ksztacie sieci decyduj zaledwie trzy wartoci kar oraz wspóczynnik kosztu operatora. W praktyce algorytm wykaza du skuteczno w wyszukiwaniu ukadów linii, które zapewniaj krótkie czasy podróy z ma liczb przesiadek, lub ma liczb linii, lub niskie koszty operacyjne systemu. Niestety du trudno sprawia waciwy dobór parametrów, przez co uzyskanie ukadu linii speniajcego wszystkie kryteria jednoczenie pozostaje problematyczne.

Przeszkod w wykorzystaniu prezentowanej metody w praktyce, jest ograniczona moliwo prowadzenia optymalizacji w taki sposób, eby wynik kocowy by zbliony do stanu pocztkowego. Stabilno ukadu linii jest istotn cech systemu komunikacji miejskiej. Algorytm genetyczny nie daje adnej gwarancji, e nawet pierwsze rozwizanie lepsze od pocztkowego, bdzie do niego cho by zblione.

nigdy linii ekspresowych, linii ptlowej o dwóch rónych wzach kocowych, ani linii obsugiwanej przez dwa rodki transportu, cho uzupenienie metody o te funkcje jest moliwe.

Metoda okazaa si nieskuteczna w generowaniu krótszych wariantów linii. Potomkowie rozwizania, które „ponioso ju kar” za wprowadzenie dodatkowej linii, „staraj si” j wykorzysta jak najlepiej, „zmieniajc” jej tras w kolejnych pokoleniach tak dalece, e nie moe by ju uwaana za wariant linii, a za inn lini.

Równie pod ktem czytelnoci ukadu linii wyniki nie s zadowalajce. Denie do minimalizacji liczby linii nie jest dostatecznym gwarantem zapewnienia czytelnoci sieci. Zauwaono, e w przypadku gdy warto kary za lini jest dua w stosunku do pozostaych kar, w efekcie powstaje ukad skadajcy si z maej liczby dugich linii o bardzo skomplikowanych ksztatach.

Bibliografia

1. Goldberg DE.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. Warszawa 1998, s.30.

2. Kepaptsoglou K.; Matthew K.: Transit Route Network Design Problem: Review. Journal of transportation engineering 2009, 135(8).

3. Schöbel A.: Line planning in public transportation: models and methods. 2011, s.10. 4. Sikora W.: Badania operacyjne. Warszawa 2008, s.351.

5. Wróblewski P.: Algorytmy, struktury danych i techniki programowania. Gliwice 2003, s.239.

USING GENETIC ALGORITHM TO FIND NEAR OPTIMAL ROUTES FOR PUBIC TRANSPORT LINES

Summary: This article presents a genetic algorithm based method of solving the transit route network design

problem. It describes how this method works, presents test results and most important features.