ZŁOTA LICZBA ZŁOTA LICZBA

(1)

ZŁOTA LICZBA

(2)

Ralph Nelson Elliot pisał:

„ „ Póżniej zdałem sobie sprawę, że podstawą Póżniej zdałem sobie sprawę, że podstawą moich odkryć było prawo natury znane moich odkryć było prawo natury znane

ludziom, którzy projektowali wielką Piramidę ludziom, którzy projektowali wielką Piramidę

w Gizie, zbudowaną być może aż 5000 lat w Gizie, zbudowaną być może aż 5000 lat

temu…”

(3)

LICZBA PHI

(4)

Liczbami i ich własnościami Liczbami i ich własnościami

zachwycali się ludzie od tysięcy lat, zachwycali się ludzie od tysięcy lat,

przypisując im nadprzyrodzone przypisując im nadprzyrodzone

moce.

Złota liczba znana jako:

„boska proporcja”

(boloński mnich Fra Luka Paciolo z Borgo – (boloński mnich Fra Luka Paciolo z Borgo –

Divina Proportione- Wenecja 1509r) Divina Proportione- Wenecja 1509r)

lublub

„szczęśliwy wymiar” w Chinach „szczęśliwy wymiar” w Chinach jeden z klejnotów geometrii- Kepler jeden z klejnotów geometrii- Kepler

(5)

Ciągła proporcja Ciągła proporcja

 Niech c=a+b wtedy Niech c=a+b wtedy otrzymamy proporcję otrzymamy proporcję

ciągłą „par excellence.”

 „ „ Stosunek sumy dwóch Stosunek sumy dwóch rozważanych wielkości rozważanych wielkości

do jednej z nich do jednej z nich

(większej) jest równy (większej) jest równy stosunkowi wielkości stosunkowi wielkości

większej do mniejszej.”

(6)

ZŁOTY PODZIAŁ ZŁOTY PODZIAŁ

 Złoty podział, podział harmoniczny-podział odcinka Złoty podział, podział harmoniczny-podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości całego

na dwie części tak, by stosunek długości całego odcinka do części dłuższej był taki sam, jak części odcinka do części dłuższej był taki sam, jak części

dłuższej do części krótszej = liczbie phi dłuższej do części krótszej = liczbie phi

(7)

ZŁOTY PODZIAŁ ZŁOTY PODZIAŁ

 Złoty podział wykorzystuje się często w Złoty podział wykorzystuje się często w

estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach

architektonicznych, malarskich, fotograficznych i architektonicznych, malarskich, fotograficznych i

muzycznych.

 Znany był już w starożytności i przypisywano mu Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory.

wyjątkowe walory.

 Złota liczbaZłota liczba związana ze złotym podziałem związana ze złotym podziałem

zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów,

botaników, fizyków i artystów niezwykle botaników, fizyków i artystów niezwykle

interesującymi własnościami.

(8)

(9)

WZORY WZORY

Kwadrat złotej liczby:

Odwrotność złotej liczby:

(10)

Inne wzory

(11)

ZŁOTY PROSTOKĄT ZŁOTY PROSTOKĄT



Prostokąt którego boki pozostają w złotym Prostokąt którego boki pozostają w złotym stosunku.

stosunku.



Po dorysowaniu kwadratu o boku równym Po dorysowaniu kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta znowu mamy dłuższemu bokowi prostokąta znowu mamy

złoty prostokąt tylko większy.

(12)

KONSTRUKCJA ZŁOTEGO KONSTRUKCJA ZŁOTEGO

PROSTOKĄTA PROSTOKĄTA

1) Rysujemy kwadrat.

2) Kwadrat dzielimy na 2) Kwadrat dzielimy na

dwa jednakowe dwa jednakowe

prostokąty.

(13)

KONSTRUKCJA ZŁOTEGO KONSTRUKCJA ZŁOTEGO

PROSTOKĄTA PROSTOKĄTA

3) W jednym prostokącie 3) W jednym prostokącie

prowadzimy przekątną.

4) Kreślimy łuk o promieniu 4) Kreślimy łuk o promieniu

równym długości równym długości

przekątnej prostokąta.

(14)

KONSTRUKCJA ZŁOTEGO KONSTRUKCJA ZŁOTEGO

PROSTOKĄTA PROSTOKĄTA

5) Prowadzimy prostopadłą do punktu przecięcia 5) Prowadzimy prostopadłą do punktu przecięcia

łuku z linią podstawy.

1,618…

1,00

(15)

ZŁOTA SPIRALA ZŁOTA SPIRALA



kolejne punkty wyznaczające złoty podział kolejne punkty wyznaczające złoty podział leżą na

leżą na spirali równokątnej spirali równokątnej

(16)

ZŁOTA WIZYTÓWKA ZŁOTA WIZYTÓWKA



Uwaga: Uwaga: wizytówki w wizytówki w kształcie złotego kształcie złotego

prostokąta mają prostokąta mają

magiczną moc.

Jan Kowalski Ul.Złota 16/18

Zam. Partenon 1,00 1,618

(17)

ZŁOTA SPIRALA W ZŁOTA SPIRALA W

PRZYRODZIE

(18)

ZŁOTY TRÓJKĄT ZŁOTY TRÓJKĄT

Długość ramienia: długość Długość ramienia: długość

podstawy=1,618 podstawy=1,618

36^o

36^o 36^o

b

a

(19)

PIĘCIOKĄT I PENTAGRAM PIĘCIOKĄT I PENTAGRAM



|EC|:|DB|=1,618 |EC|:|DB|=1,618

A

E

D B C

a

(20)

DWUNASTOŚCIAN DWUNASTOŚCIAN



Ściany są pięciokatami foremnymi Ściany są pięciokatami foremnymi

(21)

DWUDZIESTOŚCIAN DWUDZIESTOŚCIAN



W przekroju trzy złote prostokąty; W przekroju trzy złote prostokąty;

(22)

KANON POLIKLETA KANON POLIKLETA



Poliklet pisał: „Piękno tkwi w proporcji nie Poliklet pisał: „Piękno tkwi w proporcji nie

żywiołów, lecz części ciała, to jest w proporcji żywiołów, lecz części ciała, to jest w proporcji

palca do palca, palca do przegubu, jego do palca do palca, palca do przegubu, jego do

dłoni, jej do łokcia, łokcia do ramienia i dłoni, jej do łokcia, łokcia do ramienia i

wszystkich tych części jednych do drugich.



Najdoskonalsza z proporcji- tzw. Najdoskonalsza z proporcji- tzw. złota reguła złota reguła – – znajduje zastosowanie w konstrukcji znajduje zastosowanie w konstrukcji

świątyń, budowli a także posągów (np.. Apollo świątyń, budowli a także posągów (np.. Apollo

Belwederski, Wenus z Milo).

(23)

(24)

CZŁOWIEK CZŁOWIEK

WITRUWIAŃSKI WITRUWIAŃSKI

RYSUNEK LEONARDO DA VINCI KANON PROPORCJI

(25)

APOLLO BELWEDERSKI APOLLO BELWEDERSKI

POCIĘTY ZŁOCIŚCIE POCIĘTY ZŁOCIŚCIE



|AU|:|IU|=|IU|:|AI|= |AU|:|IU|=|IU|:|AI|=

=|IU|:|IO|=|IO|:|OU|=

=1,618…

(26)

PROFIL GŁOWY, RĘKA I PROFIL GŁOWY, RĘKA I

DŁOŃ DŁOŃ

(27)

(28)

PIRAMIDA w Gizie

(29)

ZŁOTA LICZBA W ZŁOTA LICZBA W

PIRAMIDZIE PIRAMIDZIE

2

1

(30)

AKROPOL-PARTENON AKROPOL-PARTENON

A B

C

|AB|:AC|

=1,618

(31)

MUZYKA A ZŁOTY MUZYKA A ZŁOTY

PODZIAŁ PODZIAŁ

 W artykule zamieszczonym w roku 1996 w piśmie American Scientist Mike Kay W artykule zamieszczonym w roku 1996 w piśmie American Scientist Mike Kay pisze o tym, że :

pisze o tym, że :

większość z sonat Mozarta podzielona była na dwie większość z sonat Mozarta podzielona była na dwie

części dokładnie z zachowaniem złotej proporcji.

Intuicja czy świadomość??

 Inni badacze odnajdowali złote proporcje wInni badacze odnajdowali złote proporcje w : :

Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich

wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie.

 Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli.

konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli.

(32)

(33)

ZŁOTY PODZIAŁ W ZŁOTY PODZIAŁ W

FOTOGRAFII FOTOGRAFII



„ „ Złoty podział płaszczyzny” czyli zasada Złoty podział płaszczyzny” czyli zasada umieszczania najważniejszego na zdjęciu umieszczania najważniejszego na zdjęciu obiektu na przecięciu prostych łączących obiektu na przecięciu prostych łączących

punkty podziału boków prostokąta na trzy punkty podziału boków prostokąta na trzy

odcinki.

(34)

ZŁOTY PODZIAŁ W ZŁOTY PODZIAŁ W

BOTANICE BOTANICE

 Między każdymi Między każdymi

dwiema parami listków dwiema parami listków

trzecia leży w miejscu trzecia leży w miejscu

złotego cięcia.

 |KM|:KL|=|KL|:|LM|=|KM|:KL|=|KL|:|LM|=

= 1,618…

(35)

„ „ Spróbujmy uwolnić naszą wyobraźnię. Spróbujmy uwolnić naszą wyobraźnię.

Pomyślmy o wszechświecie, o Pomyślmy o wszechświecie, o

gwiazdozbiorach, galaktyce. Popatrzmy jak gwiazdozbiorach, galaktyce. Popatrzmy jak

piękne są kształty wszystkich cudów natury:

drzew, oceanów, kwiatów, roślin, zwierząt a drzew, oceanów, kwiatów, roślin, zwierząt a

nawet drobnoustrojów wdychanych z nawet drobnoustrojów wdychanych z

powietrzem. (..) Być może niektórzy z Was powietrzem. (..) Być może niektórzy z Was

będą zaskoczeni dowiadując się, że we będą zaskoczeni dowiadując się, że we

wszystkich tych zjawiskach jeden wspólny wszystkich tych zjawiskach jeden wspólny

element – ciąg Fibonacciego.”

(36)

LEONARDO FIBONACCI LEONARDO FIBONACCI

 Podróżnik i kupiec z PizyPodróżnik i kupiec z Pizy

 Autor „Liber abaci” – Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej kompendium ówczesnej

wiedzy matematycznej wiedzy matematycznej

(1202 r.), (1202 r.),

 Zwolennik i propagator Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu dziesiątkowego systemu

pozycyjnego, pozycyjnego,

 Autor słynnego zadania o Autor słynnego zadania o królikach.

królikach.

1170 -1250 Leonardo Pisano

(37)

ZADANIE FIBONACIEGO ZADANIE FIBONACIEGO

Ile par królików może spłodzić jedna para w Ile par królików może spłodzić jedna para w

ciągu roku, JEŚLI:



każda para rodzi nową parę w ciągu każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca,

miesiąca,



para staje się płodna po miesiącu, para staje się płodna po miesiącu,



króliki nie zdychają? króliki nie zdychają?

(38)

(39)

CIĄG FIBONACCIEGO I ILORAZY KOLEJNYCH CIĄG FIBONACCIEGO I ILORAZY KOLEJNYCH

WYRAZÓW WYRAZÓW

1 ILORAZ: a(n+1)/a(n)ILORAZ: a(n+1)/a(n) Stała FibonacciegoStała Fibonacciego

1 1,0000000000 1,6180339887

2 2,0000000000 1,6180339887

3 1,5000000000 1,6180339887

5 1,6666666667 1,6180339887

8 1,6000000000 1,6180339887

13 1,6250000000 1,6180339887

21 1,6153846154 1,6180339887

34 1,6190476190 1,6180339887

55 1,6176470588 1,6180339887

89 1,6181818182 1,6180339887

144 1,6179775281 1,6180339887

233 1,6180555556 1,6180339887

377 1,6180257511 1,6180339887

610 1,6180371353 1,6180339887

987 1,6180327869 1,6180339887

1597 1,6180344478 1,6180339887

2584 1,6180338134 1,6180339887

4181 1,6180340557 1,6180339887

6765 1,6180339632 1,6180339887

(40)

Ilorazy kolejnych Ilorazy kolejnych

wyrazów

(41)

POSTAĆ REKURENCYJNA POSTAĆ REKURENCYJNA

CIĄGU

(42)

LICZBY FIBONACCIEGO W LICZBY FIBONACCIEGO W

PRZYRODZIE PRZYRODZIE

 Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w

słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych

prawoskrętnych i lewoskrętnych.

Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego.

 Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin.

wszystkich roślin.

 Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego:

Fibonacciego:

każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta,

a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą

gałąź.

(43)

(44)

DRZEWO FIBONACCIEGO

(45)

LITERATURA LITERATURA



Złota liczba- Matila C.Ghyka Złota liczba- Matila C.Ghyka



Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński



Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowal Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowal



Księga liczb – John Conway i Richard Guy Księga liczb – John Conway i Richard Guy

