Rivieren

Januari 1990

nk~t;-·

T

U

Delft

Technische Universiteit Delft

Prof.dr.ir. M. de Vries

Faculteit der Civiele Techniek Vakgroep Waterbouwkunde Sectie Waterbouwkunde

Handleiding college f8

prof.dr.ir. M. de Vries

Technische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek

INHOUD

_blz.

1. Inleiding

1.1 Overzicht

3

1.2 Hydrologische aspecten

1.2.1 Algemeen

5

1

.2.2 Ordenen meetgegevens

12

1.2.3 Extreme waarden

16

1.3 Sedimentologische aspecten

1.3.1 Algemeen

21

1.3.2 Afvoeren en sedimenttransporten

22

1.3.3 Sedimentproductie

28

1.4 Milieu aspecten

1.4.1 Algemeen

29

1.4.2 Enkele voorbeelden

30

1.5 Bestuurlijke aspecten

1.5.1 Algemeen

31

1.5 .

-

2Grensoverschrijdende rivieren

32

1.5.3 Grensrivieren

32

2. Morfologische processen

2.1 Inleiding

₃₅

2.2 Geometrische kenmerken

2.2.1 Plattegrond

₃₇

2.2.2 Lengteprofiel

₄₀

2.2.3 Voorbeeld: Lengteprofiel IJssel

43

2.3 Samenvloeiingen en splitsingspunten

2.3.1 Inleiding

₄₅

2.3.2 Samenvloeiingen

₄₅

2.3.3 Splitsingspunten

₄₈

2.3.4 Voorbeeld: Rio Parao! bij Sante Fé

50

2.4 Rivierbochten

2.4.1 Inleiding

₅₂

2.4.2 Waterbeweging

₅₃

2.4.3 Bodemligging

₅₉

2.5 Niet-alluviale riviervakken

₆₂

2.6 Riviermonden

₆₄

2.7 Regime schematisatie

2.7.1 Inleiding

₆₈

2.7.2 Evenwichtsvoorspellingen

₆₉

3. Gebruik van rivieren

3.1 Overzicht

₇₃

3.2 Sedimentonttrekking aan een rivier

3.2.1 Inleiding

₇₃

3.2.2 Locale onttrekking

₇₄

3.2.3 Onttrekking in een riviervak

₇₉

3.3 Wateronttrekking aan een rivier

3.3.1 Inleiding

₈₀

3.3.2 Invloed op de rivier

₈₀

3.3.3 Maatregelen bij de inlaat

₈₆

3.4 Zandvangen

3.4.1 Inleiding

₈₇

3.4.2 Theorie zandvang

₈₉

INHOUD (vervolg)

blz.

3.5 Drainageen hoogwaterbeveiliging

3.5.1 Inleiding

97

3.5.2Laagwater-bed

98

3.5.3Hoogwater-bed

100

3.5.4Voorbeeld:Invloedvan localevaste ijslaag

104

3.5.5Voorbeeld:Problematiek

Choshui(Taiwan)

108

3.5.6Voorbeeld:Hoogwaterbeveiliging

met zijdelingse

overlaat

110

3.6 Scheepvaart

3.6.1 Inleiding

113

3.6.2Rivierenals scheepvaartwegen

113

3.6.3Voorbeeld:Congobij Brazzaville

116

3.6.4Rivierhavens

c.s;

119

3.6.5Localeverbeteringen

122

3.6.6Voorbeeld:Localerivierversmalling

126

3.6.7Voorbeeld:Bochtafsnijding

128

3.6.8Voorbeeld:Geulafsluiting

130

3.7 Diversen

3.7.1 Energie-opwekking

134

3.7.2 Oeververbindingen

135

3.7.3Voorbeeld:Keuzebrugoverspanning

139

3.7.4Ontgronding

bij brugpijlers

140

4. Ingrepenin rivieren

4.1 Inleiding

145

4.2 Basisgegevens

145

4.3 Erosiebestrijding

147

4.4 Afvoerregulering

4.4.1 Algemeen

149

4.4.2 Sedimentatie

in reservoirs

152

4.4.3Voorbeeld:Mekongbij Vientiane

155

4.5 Reguleringlaagwaterbed

157

4.6 Reguleringwaterstanden

4.6.1 Beginsel

160

4.6.2Voorbeeld:Rijnkanalisatie

162

AppendixI: Aide Mémoire:Formulesvoor water- en sedimentbeweging

167

Appendix11: Enkelestroomgebieden

175

Literatuur

187

1. INLEIDING

1.1 Overzicht

Een groot deel van de regenval (d.i. na reductie door de verdamping) wordt

via open waterlopen (rivieren) naar meren, zeeên en oceanen afgevoerd. De

afvoer van een rivier varieert met de tijd. De grootte van de afvoer hangt

behalve van de kenmerken van het 'stroomiebied' (grootte, hoogtevariaties,

samenstelling ondergrond, begroeiing enz.) ook af van de neerslag

(intensi-teit, variatie, aard van de neerslag enz.).

Naast water voert een rivier ook sediment af. De regenval leidt tot erosie

van de bodem in het stroomgebied. De sedimentproductie (En&. sediment yield)

hangt behalve van de regenval ook af van de eigenschappen van het

stroom-gebied (gronddoorlatendheid, bodemsamenstelling, begroeiing enz.).

De gezamenlijke afvoer van water en sediment door de natuurlijke waterloop

vindt plaats via een ingewikkeld proces. Daardoor komen rivieren met veel

uiterlijk verschillende kenmerken voor. Er is sprake van een

tijdsafhanke-lijke, drie-dimensionale waterbeweging over een beweeglijk bed. Een rivier

wordt alluviaal genoemd als deze geheel door zijn eigen sediment stroomt. Er

treden dan tijdsafhankelijke morfologische processen op: erosie en

sedimen-tatie.

Het dwarsprofiel van een natuurlijke rivier kan meestal wel worden

onder-scheiden in een laa~aterbed (met geen of weinig begroeiing) en het er naast

liggend hoo~aterbed, waarop minder frequent water staat en dat daardoor

vaak wel is begroeid. De hiervoor bij de Rijn gebezigde termen zomerbed

resp. winterbed hangen typisch samen met de kenmerken van het bydroloiische

jaar (d.i. gedrag Q(t» van de Rijn. Globaal kan worden gesteld, dat het

laagwaterbed geheel is gevuld ('bankful discharge') bij een afvoer die

ge-middeld één- à tweemaal per jaar wordt overschreden.

De mens heeft zich van oudsher graag langs een rivier gevestigd. De

aanwe-zigheid van de rivier gaf voedsel (vis), water, ook voor landbouw en de

mogelijkheid tot transport. Te dicht bij de rivier gaan wonen leidt tot

rivier. De bevolking kan dan worden beschermd door of op hoger gelegen ge-bieden te gaan wonen, dan wel langs de rivier rivierdijken aan te leggen (vgl. Rijntakken). Op deze lüatste wijze wordt al een zekere regulerin~ van de rivier bereikt.

Opgemerkt kan worden, dat bij de Rijn tussen de rivierdijken en het laag-waterbed lage kaden zijn gebouwd ('zomerkaden'), die maken dat de capaciteit van het LW-bed groter wordt. Dit zorgt ervoor dat de voor veeteelt gebruikte uiterwaarden (hoogwaterbed) minder frequent overstromen.

In dit inleidende hoofdstuk wordt oriënterend ingegaan op een aantal aspec-ten, die bij rivieren en het ontwerp van rivierverbeteringen een rol spelen.

De eigenschappen van rivieren (Hoofdstuk 2) en het gebruik van rivieren

(Hoofdstuk 3) leiden tot ingrepen in rivieren (Hoofdstuk 4). Er is daarbij een tweedeling mogelijk

• De rivierkunde of potamolo~ie (~ riverhydraulics) beschouwt de natuur-lijke processen in rivieren in zoveel mogelijk kwantitatieve zin .

• De rivierwaterbouwkunde (~ riverengineering) beschouwt de te nemen (constructieve) maatregelen om het gebruik van de rivier in een gewenste richting te verbeteren.

Deze twee onderdelen zijn nauw verbonden. Rivierwaterbouwkundige werken

heb-ben invloed op de kenmerken van de rivieren. Met behulp van de rivierkunde

wordt getracht de nieuwe kenmerken te voorspellen.

Deze handleiding kan slechts een introductie zijn in de rivierkunde en de

rivierwaterbouwkunde. Veelvuldig zal naar de literatuur worden verwezen.

Handboeken bestaan er op dit gehele gebied nauwelijks. Een uitzondering

vormt Jansen (1979). De inhoud van dit boek is thans (1989) evenwel al meer

dan een decennium geleden geschreven en de ontwikkeling van het vakgebied

heeft intussen niet stil gestaan. Met name moet worden genoemd de

1.2 Hydroloiische aspecten

De rivier krijgt zijn afvoer uit de neerslag van het stroomgebied. De afvoer die op een bepaald tijdstip in een zekere dwarsdoorsnede passeert hangt af van een groot aantal factoren

(i) De intensiteit van de regenval R(x,y,t) in het bovenstroomse stroomge-bied.

(ii) De eigenschappen van het stroomgebied (hoogteligging, begroeiing, doorlatendheid bv. ook door bevriezing).

(iii) De berging: als grondwater, sneeuw, gletschers e.d.

(iv) De hydraulische eigenschappen van de bovenstroomse rivier inclusief

zijrivieren.

(v) De afvoerregeling door menselijk ingrijpen.

Voor een deel kan de afvoer deterministisch worden bepaald, er is evenwel

ook een sterke stochastische invloed.

De meeste rivieren vertonen een jaarlijkse afvoercyclus, waarbij er een

dui-delijk verschil is tussen tropische rivieren en die in gematigde

tempera-tuurzones. Dit kan als volgt globaal worden verklaard (Fig. 1.1).

Door de zonnestraling zet de lucht uit. Bij de polen is dat minder sterk dan

aan de evenaar. Daardoor ontstaat er aan het aardoppervlak een stroming van

de evenaar naar de pool. Deze circulatiestroom valt in drieên uiteen, omdat

de bij de evenaar opstijgende lucht na afkoeling weer daalt (bij 300N).

De aardrotatie leidt tot de ~eostrofische versnellini (versnelling van

Coriolis) die op het noordelijke halfrond de luchtstroming naar rechts

af-buigt. Er zijn daardoor in de drie zones (warme, gematigde en polaire zone)

in beginsel windrichtingen als aangegeven in Fig. 1.1. Bij de evenaar waait

er een NO-passaat op het Noordelijk halfrond en gelijktijdig een ZO-passaat

op het Zuidelijk halfrond. Er is in Fig. 1.1 de situatie getekend, waarbij

-

z-o

N_

--

_{warmtecirculatie noordelijk} halfrond en windrichtingen h p

luchtstroming door temp.verschil

'-

I

I '''.

I

,zONNESTAND

I

~ I' I , 1y steenboKskeerkrinn : 23.LSo Z .... '/

~---1----

r~ ~- ,--

--"·;-~à

2 maanden:naijling

1 jan _{1 apr} 1 juli lokt 1jan

,I"

-0-

=

zon oLaardoppervlak

"I'

Fig. 1.1 Passaatwinden en moessonregens

Buiten deze algemene luchtcirculatie (die buiten de keerkringen sterker door

depressies wordt onderdrukt dan'er binnen) is er nog een aantal invloeden.

Zo is er het verschil in warmtecapaciteit tussen water en land. Land neemt

relatief snel warmte op, maar geeft deze ook relatief snel weer af. Bij hoge

zonnestand wordt de aarde dus relatief snel verwarmd. De lucht stijgt op en

er wordt lucht van zee aangetrokken. De aangetrokken lucht wordt verwarmd en

stijgt op, druk en temperatuur dalen. Als het dauwpunt wordt bereikt, leidt

dit tot wolkvorming waarna regen kan volgen. Bij relatief lage zonnestand

treedt het omgekeerde op. De lucht stijgt dan op in het zeegebied en kan dan

regen geven (vb. winterregens rond de Middellandse Zee).

Tussen de keerkringen staat de zon tweemaal per jaar in het zenit. Aan de

keerkringen is dit juist éénmaal per jaar. In beginsel kan dit tot twee

re-genseizoenen leiden, die met een naij1ing van één à twee maanden tot een

afvoerpiek leiden. Ook voor dit effect geldt, dat dit minder dominant in de

gematigde zone is dan tussen de keerkringen (zie verder Eagleson, 1970). De

een hoofdrivier met kleine zijrivieren leidt dit tot een veel minder 'piekerig' afvoerver1oop.

Er wordt hier een aantal voorbeelden gegeven van afvoerver1open van ver-schillende rivieren. Voor zover mogelijk wordt ook naar de bijbehorende

schetskaarten van Appendix 11 verwezen.

• Rijn en Maas (Fig. 11.1)

In Fig. 1.2 is het gemiddelde afvoerver1oop voor de Rijn en de Maas

gege-ven. Opvallend is dat het verloop van de gemiddelde afvoer voor de Maas

over het jaar veel sterker varieert dan voor de Rijn.

01__

...

""

t--~w-_,

"""'_rW lal ... ., ...

t

-I

,1_~

I I I I I- 1--

--

I- -;=:-.~~~~~~

,

...,

",.~.o.n ...

'dl,... .. .,lt·tr,a4 '(

.

.

~", "

,.,.

I

Ij

,'\0

.

I-

--

f--

----1'::-

-

-

-\ I

\

I

tf"

..,p-I ~, \

--

-_,

_-r

--r:::.:.'

II \

r-.

_V'

p \ f'.,_.J

~-

ï~ ,~I(), _f--

--

-

-!!"-,,"

i\

~

_~/

t()

/

V

,

,

-,

r-,

_y

"--,1-,

,I'Ç

""

-,

/

~T-

f--rl<,-

;,.

....

Fig_ 1_2 Afvoerver1open Rijn

en Maas

ICIO

-Fig_ 1_3 Gemiddeld afvoerver1oop langs de Rijn (invloed sneeuwaccumulatie)

Dit komt omdat de Maas een regenrivier is en de Rijn een gemengde rivier.

De Rijn is gedeeltelijk een gletscherrivier. De neerslag in de vorm van

sneeuw wordt tijdelijk geborgen, door smelting van de gletschers komt de neerslag in het voorjaar vertraagd tot afvoer.

In Fig. 1.3 is voor de Rijn het gemiddelde afvoerverloop voor verschil-lende stations langs de rivier gegeven. In deze figuur is tevens aange-geven hoe het verloop Q(t) voor Lobith zou zijn als er ~ sneeuwaccu-mulatie zou zijn. Hoewel Rijn en Maas beide in de gematigde zone liggen,

blijkt uit Fig. 1.2 een groot verschil in het afvoerverloop onderling.

• Rio Apure

De Rio Apure (Venezuela) is een zijrivier van de Orinoco. Figuur 1.4 geeft het afvoerverloop voor enkele jaren.

~II+----•••••••••••• - '11119 ~ ~6 _••_ ••- '1170 Q)

-

x

-_

-

1071 ..,.._ _;-':':'" ..-.,~_.

~ ~~+--.--,--+--r-~-+-~~~~

~

~-4~-+--1

... .//' "'...,"Tv \. ~ ~3+--~-4--+-~-4--,+.,:~.;~~-~~--4~\~\+,-,--4 N ~2+--+-~~-4--+-~-.,_,/L~·'---+_-+-~-~~v;~~

~ ~,+--+-~~-4--1--

-b.~

.

~

:

~-+---

+-

-~-~~

~

~

~ ~o+-_+-~~-+_

~~r

_

-~

·

lci

i-4_

-+_-1-_~_~_4-·~·

~

~

\

_g

39 ~ / 'J ,..'-'

tI)~'

i r";

~ 38 ...__.J~... ...

2l

37 _ ...:~.•::::~

~ _{311+-~~~~-+__}

_{~-~-+--+--~~~~--+-~}

JAN FEB MAR APR MEI JUN JUL AUG SEP OKT NOV OEC

- tijd

Fig. 1.4 Rio Apure, afvoerverloop (naar WL, 1971)

Het verschil met de Rijn en de Maas is duidelijk. Deze tropische rivier heeft uitgesproken HW en LW perioden. Hier is de variatie voor verschil-lende jaren niet erg groot .

• Congo (Fig. 11.2 en 11.6)

De Congo heeft een stroomgebied, dat voor 1/3 op het Noordelijk halfrond

en voor 2/3 op het Zuidelijk halfrond ligt. Daardoor kent deze rivier als

moessonrivier twee HW en LW perioden. In Fig. 1.5 is het waterstandsver

De gebruikte peilschaal (Le Beach) ligt bij Brazzaville, juist boven-strooms van de stroomversnellingen (Kintamo rapids), op zo'n 500

km

van de oceaan. Omdat de waterbeweging bij stroomversnellingen superkritisch is, heeft de waterstand benedenstrooms van.de Kintamo rapids geen invloed op de waterstand bij Brazzaville. Het is dus zinloos om de waterstanden bij Brazzaville te relateren aan MSL (- mean sea level).

E

5.00

-f-~;:---:F----i

1j14

.

00+---~~---~~---~---_--i

.., omhullende .. x1.. 1e ,,", CD \ v.terstand,J'

~

3.00~,~·_~

·

~

~~

~~

~~~~

1'_4_0_-__1'_7_8 ~~ __ ~~_'~~ __ ~~ " ',_._. 1979 (nat jaar,).-- .... -0 ""'.

,,1'.-

.

,

.

....

_

.

.

,

.

-

.

...

--.-

.

.

_

.

,

"

"

{5

2

.

00+-~~',~---_·_,

·

_~

~

~~---'_·_~

·

_~

·

~

·

~~-~

·

_~---_·'~

.

~~~~---~~---~~~~~~~

Cl) ">, gemiddeld jaar , ...'-... ,,' -. .,/ -"äj ...19.0 - 1978 ".,,' ..._-.... -....1,(.,._." '_._' Cl

1.00+-~~~~---~-~-~-~--~---~,~--~~----~~

·

---~~---~

-0 ...

2-:::

·

=;.,..-,1

c

~ o..

oo+---~~~~~wc~~~~~--~~~~---~/~--

__~~---~

....

(11 nulpunt peilschaal Le Bcach

o NGC (,;,HSL) + 267.89 DI

3:

-1.00-+---,---,---r----r--,----r--___:;:..._-....---.--~-...__-__l

1940 - 1971

J F M A M J J A

5

o

N

o

Fig. 1.5 Waterstandsverloop Congo bij Brazzaville

• Niger en Benue (Fig. 11.3 en 11.6)

De Niger kent per jaar twee hoge afvoerperioden ('white flood' en 'black nood') .

De belangrijkste zijrivier, de Benue, kent alleen de 'white flood'.

In Fig. 1.6 is ook aangegeven het afvoerverloop van de Faro, een kleine zijrivier van de Benue. Daaruit blijkt wat hierboven is betoogd: in een klein stroomgebied fluctueert in verhouding de afvoer veel sterker dan in een rivier in een groot stroomgebied. Voor een 'grote' rivier wordt het afvoerverloop afgevlakt, omdat de afvoeren van zijrivieren van dit grote stroomgebied niet onderling in fase zijn.

hf \

/

I

)

BENUE AT MAKURDI

/

1 I1

1\

JV

1\

)

\

(

h flA

\

1

~A

I~'\

l'\~ARO Ar, <, SA~"'E <, / ~ tw'

V\

~

'l

<,_t-.

-

FE8 "'AR APR MAY JUN JUL AUG HP oer NOV OEC JAN

OEC JAN _111::'7 '11::'& '2000 ! '" o 11000:: J: u ,oooo~ o 9000

t

11000 7000 6000 3000 '000 o

Fig. 1.6 Afvoerver1oop Benue en Faro

e Mekong (Fig. 11.4 en 11.5) 10000 ....1· 40000 lOOOO 20000 Apr

Fig. 1.7 Afvoerver1oop Mekong bij Mukdahan (Savannakhet)

In Fig. 1.7 is het afvoerver1oop van de Mekong gegeven. Het betreft hier

het station Mukdahan (Thailand), dat ligt ter hoogte van Savannakhet (Lao

PDR). De Mekong is een duidelijke moessonrivier. Van jaar tot jaar komen

er grote verschillen voor in de HW-periode. Dat blijkt ook uit de

De hierboven beschouwde rivieren (Rijn, Maas, Apure, Congo, Niger, Benue en Mekong) zijn allemaal van het perennial type: er is het hele jaar af-voer.

Daar tegenover staan efemere rivieren (~ephemeral rivers). Deze

ri-vieren hebben gedurende het grootste deel van het jaar geen of nauwelijks afvoer.

Twee voorbeelden:

• Choshui (Taiwan)

Er is alleen sprake van beduidende afvoer in de periode van de tyfonen

(juli-september). Deze naam is afkomstig van het Chinese taifoen - 'grote

wind'. De regen valt erg geconcentreerd (ca 2500 m/a). Bij ehi Chi (ca 50

km van de mond) is de Ql00 (d.i. de afvoer met een herhalingsinterval

(Sub-Sectie 1.2.3) van 100 jaar) bijna 17.000 mS/s. Het rivierbed is dan

ook enkele kilometers breed. Gedurende verreweg het grootste deel van het

jaar is de afvoer evenwel slechts enkele m3/s groot .

• Johila (India)

10.000

5000

De Johila is een efemere

rivier in India (23,50 NB;

80,50 OL). Het karakter van

deze rivier wordt tot

uitdrukking gebracht in Fig. 1.8.

50

De figuur geeft een

ontwerp-HW-golf, te gebruiken voor

het ontwerp van een dam met

reservoir. De basisafvoer is

kleiner dan 170 mS/s.

In ongeveer twee dagen loopt

de afvoer op tot ca 9000

mS/s om daarna, in weer twee dagen, terug te lopen tot ca

170

m

3

/s.

100 tijdlhl_

Het betreft hier een rivier met steil bodemverhang (ib - 2,2

*

10-8).

Hoe-wel de stroming nog wel subkritisch is, wordt voor het getal van Froude een vrij hoge waarde gevonden. Immers:

Hierbij is geschat C

=

40

m

1i2

/s.

Opmerkin~:

Over de benaming van rivieren in verschillende talen kan het volgende wor-den opgemerkt.

- In het Engels wordt de rivier X aangeduid met 'River X' (vgl. River Thames).

- In het Amerikaans wordt daarentegen gesproken van 'X River' (vgl.

Mis-sissippi River).

- In het Spaans en het Portugees is de benaming 'Rio X' (vgl. Rio Santa

Lucia, Uruguay en Rio Teju, Portugal).

In het Javaans is Kali het woord voor rivier (v.b. Kali Brantas). Op

West-Java wordt evenwel het Soendanese Ci [tii:] gebruikt. Dit leidt tot

de namen Cimanuk en Citarum enz. Het Indonesische woord is Sungai.

- In China worden onder andere de woorden He en Jiang voor rivier

ge-bruikt. Vandaar bijvoorbeeld de naam Changjiang (- lange rivier

Yangtze) en Huang He (- gele rivier).

- In het Thai vormen de woorden Mae (- moeder) en Nam (- water) samen het

woord voor rivier. Zo ontstaat Mae Nam Ping.

- In het Nederlands wordt het woord 'rivier' alleen in de naam opgenomen,

als er anders onduidelijkheid zou ontstaan. Daarom: Rijn, Nijl enz. maar

Rode Rivier (Vietnam) en Parel Rivier (China).

1.2.2 Ordenen meet~e~evens

Voor rivierstudies en het ontwerp van rivierwerken zijn gegevens van de

be-trokken rivier nodig. Deze worden door metingen verzameld. Ordening van deze

gegevens is nodig om ze te kunnen gebruiken. Daardoor kunnen door

interpola-tie ook gegevens worden verkregen voor omstandigheden waarbij niet is

Hier wordt een aantal standaardbegrippen kort toegelicht:

(i) Afvoerkromme (stage-discharge curve)

Waterstanden zijn gemakkelijker te meten dan afvoeren. Door een afvoerkromme (Q-h kromme) uit metingen van Q en h af te leiden is het daarna mogelijk .via

de meting van h de grootte van Q te schatten.

De grondslag wordt gevormd door de bewegingsvergelijking bij stationaire

uniforme stroming. Voor een breed prismatisch kanaal geldt

Q - B.a.C

./äf.

(1-1)

Voor constante B, C en i geldt Q - a

8/2,

of Q - h

8/2

als de bodemhoogte

als

nulpunt voor de waterspiegel wordt gekozen.

Meestal geldt C - C(h) en B - B(h). Dit levert Q - f(h), statistisch te

be-palen

uit

de gegevens voor Q en h. Deze statistische bepaling wordt

behan-deld in Jansen (1979) en ISO (1980).

Hierbij moet een aantal zaken in de gaten worden gehouden.

• De afvoerkromme kan een knik vertonen bij een waterstand waarbij juist het

LW-bed is gevuld (B is dan discontinue).

• Metingen tijdens HW-golven kunnen

hysteresisverschijnse1en vertonen.

De

optredende afvoer Q is dan ongelijk aan de stationaire afvoer Q , die past

e

bij de heersende waterstand. Of dit optreedt kan worden

nagegaan

met

de

fOrmule

van

Jones (Henderson, 1966).

J

1 ah

Q == Q *1

+

---e ~.c

at

(1-2)

Hierin is c de voortplantingssnelheid van de HW-golf (Appendix I).

• De alluviale bedding kan een grote variatie in de ruwheid geven.

Als

voorbeeld

wordt

hier

gegeven het verband tussen a en u voor de Rio

Grande in Nieuw Mexico (VS). Deze gegevens zijn ontleend aan Vanoni (1975,

p. 116).

De overgang van het kalme naar het wilde regime leidt in zo'n geval tot een discontinue afvoerkromme, ook al verandert de breedte niet of nauwe-lijks met de waterstand (Fig. 1.9).

1.~

1

1.0 0.' 0.8 ;-.. 0·1

e

o.~ .._, O.S" Cl) ~ Cl. _o.~ Cl) •..l "'0 J..I Cl) _0..) ~ <1l ~

..l(

i..

'/ overgan~ --._•

./

·1

...

. I.·

.

[X •

/_

.7-duinen

·V

[.Z._

vlak

!

)

bed en anti-duinen

7

I

I 1

0.1 1 2 3 5 6 7 8 snelheid u

(mis)

Fig. 1.9 Rio Grande bij Bernalillo

Als de rivier door één of andere oorzaak verandert, dan verloopt de

afvoer-kromme. Er zijn dus regelmatig afvoermetingen nodig om de geldigheid van de

bestaande afvoerkromme te controleren.

(ii) Betrekkingslijnen (stage-relation curves)

Voor een stationaire stroming wordt het verband vastgelegd tussen de

water-standen aan verschillende peilschalen langs de rivier. Als voorbeeld zijn in

Fig. 1.10 de betrekkingslijnen voor peilschalen langs de Waal gerelateerd

aan de waterstand in Lobith.

In deze figuur is eveneens de looptijd aangegeven, die een HW-golf van

Lobith af nodig heeft om een van de andere stations te bereiken. In het

p..

<

.+---+---4---~~~--_r~--~~-r_--~_r--+_----~--Z

looptijd HW-golf van Lobith af (uren)

.c .j.l 'M ti t---+---.a o ~ "0 P tO cc .j.l Cl)

,..

Cl) .j.l cc ~

.

:> HW Hoog water Uv

=

Laag water o tG

..

waterstand t.o.v. NAP (m)

Fig. 1.10 Betrekkingslijnen voor de Waal

(iii) Duurlijnen (duration curves)

Uit de beschikbare riviergegevens kunnen duurlijnen voor afvoeren en

water-standen worden geconstrueerd.

tG

..

'---1-

-

_

.

_V

~

V

-

-

I- _._ ---...

-

..- ....

-

._- --- _.

--

-~

/ V

• I---

-

.

-

-

-

-

-

-

r--- --_.

-

_

_---r ~

?~

-

-

-

-V!

~

-

-f--

-7ï

f-~ LOKOJAI

--

h~

I 7 _. -

-

-~

ï

~

-

-

-

--

f--

_

-

~l1

I

~!!~

-

-

--

-I;

Vv'_'

~tG .. ~

f%

_~

t/'

--::

~

-

- --

--

-

~ & ~

;::;

,_

;;;..-'-- "... _F==

-

_-'

,/ ~ ~ ~ V

,

-::;:

V

,

,

-,/

,

,,

OH~~M_~ ~ _

aantal dagen

----Fig. 1.11 Duurlijn voor waterstand Niger bij Lokoja.

Naar NEDECO (1959)

In Fig. 1.11 is een voorbeeld gegeven. Uit deze figuur kan bijvoorbeeld

wor-den afgeleid, dat gedurende 75% van het aantal jaren, waarin de

waarne-mingen zijn verricht, de waterstand op de peilschaal bij Lokoja gedurende 165 dagen of meer lager was dan

+

2,75 m.

1.2.3 Extreme waarden

In het bovenstaande is al betoogd, dat het extrapoleren van waarnemingen een delicate zaak is, die grote zorgvuldigheid vereist. Toch kan daaraan in de praktijk niet worden ontkomen. Dit geldt met name voor extreme waarden van waterstanden en/of afvoeren. Dat speelt dan in tweeërlei opzicht.

(i) Van extreem lage afvoeren is inzicht in de kans op v66rkomen nodig

i.v.m. de scheepvaart en met inlaten van water voor irrigatie,

drink-en industriewater.

(ii) Van extreem hoge afvoeren dient de kans op voorkomen bekend te zijn

voor het ontwerp van werken i.v.m.overstromingsbeveiliging.

Voor zeer zeldzame verschijnselen is de kans op v66rkomen evenwel nauwelijks

aan te geven. Twee voorbeelden:

• De Rio Chira (Peru) heeft jaarlijks rond de Kerst hoogwater. Door

bijzon-dere klimatologische omstandigheden van 1982-1983 is de afvoer zo

uitzon-derlijk hoog geweest, dat de benedenloop tot de monding over vele

kilome-ters is verlegd.

De oorzaak moet worden gezocht in het optreden van een uitzonderlijk

gro-te 'El Nino' (Het Kind). De naam komt van de Peruaanse ansjovis-vissers.

Het betreft hier een dislocatie in het normaal heersende weer-systeem over

de Stille Oceaan met de daaruit volgende zeestromingen (Canby, 1984). Door

de grote plas water is dit een zeer grootschalig systeem. Een storing

daarin kan dus ook grote gevolgen hebben, wereldwijd. Het is niet

duide-lijk wat de oorzaak is van een grote El Nino .

• De rivieren Maputo, Incomati en Vmbeluzi in het zuiden van Mozambique

heeft de tropische cycloon Démoina voor uitzonderlijk grote regenval ge-zorgd (plaatselijk 700 mm in enkele dagen). De geschatte maximale afvoeren waren meer dan tienmaal zo groot als de bekende maxima.

Op verschillende manieren kunnen de beschikbare hoge afvoeren statistisch worden verwerkt. Voor een inleiding tot de daarbij voorkomende problematiek

kan worden verwezen naar Kleme~ (1973, pp. 71-104).

Bij de analyse van extreme afvoeren is meestal de waarnemingsreeks te kort

om tot duidelijke uitspraken te komen over de te gebruiken theoretische

kansverdeling. In de praktijk wordt het beschikbare waarnemingsmateriaal

geordend en vergeleken met enkele theoretische kansverdelingen. Er wordt dan

een subjectieve keuze gemaakt.

Een voorbeeld is de verdeling van Gumbel

P(x} - ~ - exp (-exp(-y)} (1-3)

Hierin is ~ de kans, dat een jaarlijks maximum ten hoogste x is, terwijl y

de gestandaardiseerde variabele is.

Op gumbelpapier wordt Verg. (1-3) gepresenteerd als een rechte lijn (Fig.

1.12) .

Uit het beschikbare waarnemingsmateriaal worden statistisch (bv.

'kleinste-kwadraten-methode') de waarden van Q en

P

bepaald. De lijn ligt dan vast en

kan worden gebruikt voor (voorzichtige) extrapolatie.

Om te voork6men, dat de hoogste afvoer buiten het papier valt, gebruikte

Gumbel als 'plotting position'

~ _ ..1._

N+1

(1-4)

waarin N het aantal waarnemingen en j het rangnummer is van de individuele

Het verwachte herhalingsinterval (~ return period, recurrence interval) is gedefinieerd als

1

T - _1-~ (1-5)

Op gumbelpapier zijn 4 schalen aangebracht (Fig. 1.12) .

• Op de vertikale as een lineaire schaal voor x (de afvoer)

• Op de horizontale as is een lineaire schaal voor y, een schaal van ~ vol-gens Verg. (1-4) en een schaal voor T volgens Verg. (1-5) aangebracht.

I ! I

T.

_1-• 1-+

~ 14.000-r--I---l----i'--+----+-!---!-' ...

-I"-+--t..._]..&....-+

'"ECU".ENC;E INfl.VAL

'" ; IN T(,AltSJ

; ~-

I

!I

i

!

1 /"-

~;%-

betrouw-o

/11

baarheids-~ :~' /...(. ••• ;1' interval Cl!

r

,'1

/..4> ".' I ... +--f--f---l-+--J.-f-..v.'Î ,/'tt" I' U ,~ooo '-t- '/,.'

+---1,

7"'-if-+ /' ,/ ..

..

I ....'/

V""

J./I'

/'V. /

,o.OOO-f--+--+---II-:r./-j~~,-.,-.Y4--l--I--I--+-++ ~~/ ~~/

$~+---!~~~+--~4-~-+-4-~-+-+--+-~+

'~ ~

Fig. 1.12 Voorbeeld gebruik methode van Gumbel

Voor de analyse van de maximale jaarlijkse afvoeren ~, beschikbaar over een

duur van N jaar is nu de procedure als volgt:

(i) Orden de afvoeren in volgorde van de kleinste (j - 1) naar de grootste

(j - N).

(ii) Bepaal voor elke afvoer (rangnummer j) de waarde van ~ volgens Verg.

(1-4).

(iv) Trek de 'beste' lijn door de waarnemingspunten.

Voor ontwerpdoeleinden kan het van belang zijn om na te gaan of binnen een

bepaalde tijdsduur (T ) met een risico van R%,

een hoogwater met een bepaald

o

herhalingsinterval (TR) ~

zal voorkomen.

Hiervoor geldt de betrekking

T

_

1

R

1 _ [l_R]To-l

(1-6)

voorbeeld:

In een rivier zal een stuw worden gebouwd. De

daarvoor

aangelegde

bouwput

kan

bij

extreem hoge afvoeren onderlopen. Hiervoor moet een bepaald risico

worden aanvaard. De afvoer waarbij dit nog juist niet gebeurd kan met

Verg.

(1-6) worden bepaald. Welke waterstand daarbij optreedt (maatgevend voor de

hoogte van de begrenzing van de

bouwput)

moet

nader

worden

bekeken.

De

'normale' Q-h-kromme van de rivier kan worden gebruikt met een toeslag voor

de geïntroduceerde opstuwing.

Opmerkin~en

(i)

Voor een elementaire behandeling van de statistische behandeling

van

extreme afvoeren wordt verwezen naar Wi1son (1969, p. 153 e.v.).

Een veel dieper gaande beschouwing is te

vinden

in

Haan

(1977)

en

Linsley ~

Al

(1975).

(ii)

Er zijn andere vergelijkingen voor het bepalen van de 'p1otting

position' voorgesteld dan Verg. (1-4). Ook andere kansverdelingen

wor-den gebruikt dan volgens Verg. (1-3). Verwezen wordt naar Chow

(1964,

pp. 8-29).

(iii) Voor de analyse van extreem ~

afvoeren wordt

gebruik

gemaakt

van

Q-l. In dat geval is er immers het fysische minimum Q - O.

(iv)

Als de afvoeren gedurende een lange tijdsduur zijn gemeten (bv. enkele

tientallen jaren) dan kan de waarnemingsreeks inhomogeen zijn. De ken~

merken van het stroomgebied kunnen zijn veranderd door

ontbossing

of

bedijking.

Een waarnemingsreeks kan dan worden gecomponeerd en/of

ge-homogeniseerd worden met een geschikt gekozen bydrolo~isch model.

Een

voorbeeld

wordt gegeven door Ogink (1985). Regencijfers zijn

onafhan-kelijker dan afvoeren van veranderingen in het stroomgebied.

In Fig. 1.13 is de kansverdeling van de jaarlijkse afvoeren van de Rijn bij

Lobith gebruikmakend van de gumbelmethode.

EXTilEt.CE PROBAB I LlTY PAPER

" ,.I 1.1... .,ru...1'( •.00 1'....1 I.

-

--15000

-Cl o ... .. .r;

.~

l

l'

;

I'!:; 11, _. ;ii " - ~i!;+i :!.. 10000 2

--

-

+

_{f·fiJi" .'[.} .- -ti' !!".

-

_.

~

!

rn-l't

:

:

;r,;il1

~~qll;

~:;:

:;:!lii!

j

q

:.-r·

·

.i

I Ij.~- ;.1.L " ".

_-

~

~1:_:

·

·

Li ::~~i~i!iWO;ji i."

r

:;Ji:~I!

+ - 1-'- • ~.

··:-

,

"

Li=-J-

·

·

·_

-

-

-

.

-

--

--

--

--

-.!.!; "r.1':j,tHjo ,i·, .-,. '1'-" I .•..L.~ .• _,.1--- I' ... - _j.-._ .... _ ... _,.._.. --,.--..; '.: ;IT, ", _.' , •• ,'; ,. I...-~ I 5000 ,.11

iJl'

,

-

-

:

f

,

l

i

lj,:~

-

,

-,

1

'

1 ;

1

.·

:

1

:1

u

,, :J''It:i

ft',

·~r'll

;

I

;

!~"

'

~

l

l!

ä

rrr

~1i::;,

U

t'

I

'

,i',

·

i

:

t

tJ

'

l

:

.

r

" ' ,'I",'i it" I""; , i'

i

,

.;

,

, ' :, ,1 fii:j t l! ,;".,11':i ;'.1

u

, ,

l,

.

:

. ~

,

:_

U

1'liJD.

f-- '-;~j I!:H f-- - .. "11;1' i

lil

i! ;

:':

·

1

_

U

.

.

::

r:

.

1 ~-;"'.I--

-T

T

.-

,

-

j

.

-

_

.

I •.• '4- 'I . .... .._'.:-')"::..:::... I·· .• .1 I' • " .. •

l- • ~- ..

•

NOI••

:If.[-~..

j _.,.. .. •. _,... ...

.

'

.

", , " I' "1,, I!!!' " 1,« 111; I III'IIII!'!' 1,11 11'tI II, IIIIII"I! I'! , til' I, " I II! 1,11', 11" ",

_,. -4.. • .. , • al I. " ,.. '.1 ,.. 1.1 I.. ..1 •.• • I .CIHI&~. "••

,.,r

Fig. 1.13 Topafvoeren Rijn bij Lobith (gumbelverdeling)

to_.".".rTT...,-TTTT'1rTT"T""T~TTTT,..,...,:-r~TTT1'TT-r...".ITTTTT-rï1llTTTrr,-ïTTrrrrTTï .L I jl ., "

,

" I' '11, I.

Ge""DDILorOYf.SCM"'JOfNOS"(QufNfl! ,.."."'.L .'"ot"'O~~(N n" JU"

I 1 I I I ~

.

.

Î

-.

!

.

i :. ! I ' 11, ; I IJ.' -IH"I+r+-i-jl4JIT,,--1-+-~'-+-_'.:j..'';'! ;-l- 'I I1 , "Ii; I1 ., !iT!" ,:j!117. i' I.:' , !-l+~-lH;J4-I-.l-L___,;

.;;u.1++-+-+--tt"rfl,+,t-,!-l-__;_,ilH+,:-H---".;';'j ~(-/,,'f-!+,-+--fill!tlf~,,-j-+-t1-IHt,I , 1

; I

.#H"-t++-i-,J::!!-i·,!I-!.'+'.;_'~_;~.+,'.!..j.-I;:--...;.~rn-:-f('Li i! II.!!''+11!-+'

-+'...;-~IHII-4-

Î+' _;'-~.~'+;-.f-i.--.

•Ia,,; :!r.: 1 , qltnT['n, 1I i ,I1i '"

.Im;..l-l-+-l---',ct:-,l.!.,1t4,-t.-+--;rl~ ,Ii'I .' I ' 1 II i I," I •iI I

!,I',;, :'! I: ti H.,'L';'

rt

_'!-~,1+1,"',.L.f-+--.#H4-H-~

'-i~~-~IIH~~~IHH++-I!H#~~III+HK4-4"~~~tH#H~

"-lfl.l+j4++--11

---

.

f--::::11

fi-=

:

=~

r

.

r

=1

1

!

fnIIH

..

<I-l-t-=-'.

;

IHH+

·1-l-h--~,L4;1I1H-I++-:= ~-I-Ii=--lil,'H,+

-H:

;

-+-1II1tttH~1:~

,

~

_

,

j

~

f~H~lt+I+l-L-'H

Hi

A

,

'+:/+--i'I~~

:

H

,

~

,,-

rH

I ,,' 1 I, I

/' 1 I

..

.

.

Dat het ook anders kan blijkt uit Fig. 1.14. De Commissie Rivierdijken (1977) gebruikte voor zijn advies m.b.t. de ontwerphoogte van de dijken langs de Rijntakken een logaritmische verdeling.

Bij deze figuur wordt gedemonstreerd hoe ver er in de praktijk moet worden geëxtrapoleerd. De drie cirkels geven in de figuur aan welke overschrij-dingsfrequentie de Commissie Rivierdijken in zijn beschouwingen heeft be-trokken. Deze liggen ver buiten het gebied waarin metingen beschikbaar zijn.

1.3 Sedimentolo&ische aspecteri

1.3.1 Alsemeen

Behalve door de regenval wordt het karakter van een rivier ook bepaald door de geologische gesteldheid van het stroomgebied. Deze bepaalt mede de loop van de rivier en de grootte van de afvoer van verweringsprodukten (sedimen-ten). Twee extreme voorbeelden voor grote rivieren zijn:

• De Con&o Rivier heeft een betrekkelijk vlak stroomgebied dat sterk is be-groeid. De sedimentproduktie is dus laag. In Tabel 1.2 is aangegeven dat gemiddeld ca 50 ppm aan sediment wordt vervoerd.

• De Gele Rivier (Huang He) heeft een stroomgebied dat uit gemakkelijk ero-deerbaar löss bestaat. Tabel 1.2 geeft voor deze rivier globaal gemiddeld 15 x lOs ppm!

Kennis van de geologie van het stroomgebied is nodig om (althans kwalita-tief) het karakter van de rivier te begrijpen. Het gaat hier om de geolo-gische processen, die meestal een tijdschaal hebben die groot is t.o.v. de levensduur van waterbouwkundige werken.

Twee voorbeelden:

(i) Het gebied in Colombia waar de Rio Magdalena en de Rio Cauca samenkomen ondergaat een bodemdaling t.g.v. tectonische werking. Deze bodemdaling wordt gecompenseerd door de jaarlijkse afzetting van zand en slib

tij-dens H.Y. Als een deel van dit gebied zou worden bedijkt dan is de

compensatie weggevallen. Met een bodemdaling van één tot enkele mm/a zal de afwatering van het omdijkte gebied op den duur niet meer langs natuurlijke weg kunnen plaatsvinden.

(ii) Aardbevingen in het Himalayagebied leiden aardverschuivingen in, die vrij plotseling grote hoeveelheden sediment zijdelings aan de Brahmapu-tra kunnen toevoeren. Dit leidt tot bodemverhogingen die slechts lang-zaam door erosie verdwijnen. Dit.kan de waterstand bij hoge afvoeren een tijd lang gevaarlijk hoog doen zijn. Figuur 1.15 geeft enige infor-matie. 105

I

00' "2 ~ 101 Ol

..

.,

.,

_..

) !! on 99

..

....

....

c Ol !! 97 on

..

0 0 .,c 95 1910

*.

-Il- •

*

*

1915 1920 1925 19)0 19)5 1940 1945 1950 1955 • lichte aardbeving

lI!" zware aardbeving jaren --_

Fig. 1.15 Waterstandsverhoging Brahmaputra indirect veroorzaakt door aardbe-vingen (Joglekar, 1971)

1.3.2 Afvoeren en sedimenttransporten

In een rivier wordt sediment getransporteerd. Kwalitatief kan een aantal typen worden onderscheiden naar oorsprong en naar aard van het transport (Fig. 1.16). sed. transport naar oorsprong sedimenttransport naar mechanl.sme zwevend transport (suspended lead) ort

De volgende definities worden gebruikt:

• Spoeltransport (~wash1oad) is het transport van (fijn) sediment, dat

niet of nauwelijks in het bodemmateriaal van het beschouwde riviervak voorkomt. De grootte van het spoeltransport in een bepaald riviervak hangt niet samen met de aanwezige transportcapaciteit. De grootte van het transport is gelijk aan het aanbod.

• Transport van bodemmateriaal (~ bedmateria1 transport) is het transport van sediment met een korrelgrootte die in het bodemmateriaal aanwezig is.

• Bodemtransport (~ bed1oad) is het transport vlak bij de bodem; het

vindt via de beddingvormen plaats.

• Zwevend transport (~ suspended load) is het transport in (quasi)

sus-pensie.

Als op een afstand van de bodem een watermonster wordt genomen, dan bevat dit meestal sediment dat tot het spoeltransport en het transport van bodem-materiaal moet worden gerekend.

In Fig. 1.17 is schematisch voor twee riviertypen de bijdrage per

kor-relfractie tot het sedimenttransport geschetst.

Voor riviertype A (bv. Rijn, Niger, Rio Magda1ena) geldt, dat niet alle kor-relgrootten in het getransporteerde sediment v66rkomen. Voor een natuurlijke rivier is dan eenvoudig een scheiding tussen spoeltransport en transport van bodemmateriaal aan te geven.

1

...

",

,

B , \ \ 11) ~~ • ,...., J.< .... 0 ... Cl. J.< 11) 111 e:: 111 111 .,...., J.< ~ (IJ .... ooe:: 111 (IJ J.<

e

'0 .... •,....,'0 .... (IJ .0 11) ----. korrelfractie D. 1. Fig. 1.17

Voor andere rivieren (Type B) geldt dit niet. Tot dit type behoren bijvoor-beeld de rivieren op Midden-Java. Het kalksteengebergte, dat de oorsprong

van het aanwezige sediment vormt, levert vrijwel elke korrelgrootte. In

Tabel 1.1 is een analyse van het sediment in een watermonster van de Serang (Midden-Java) weergegeven. Zeefopening _Di 150 105 75 62 50 42 35 25 0 in }jm P{D. ) 0,9 2,4 4,4 6,9 9,1 11,5 14,4 21,9 100 1 in %

Tabel 1.1 Voorbeeld samenstelling sediment in suspensie (Serang)

Naar zijn definitie neemt het spoeltransport niet aan het morfologische pro-ces van sedimentatie en erosie in een riviervak deel. Van het gemeten zwe-vend transport moet het spoeltransport worden afgetrokken.

Volgens Vlugter (1941, 1962) heeft een korrel in suspensie kinetisch eneriie

nodig om tegen de zwaartekracht in gemiddeld op dezelfde hoogte boven de

bo-dem te blijven zweven. Aan de andere kant levert de korrel potentiële

ener-gie aan het water in verband met de hellende waterspiegel. Voor grote

kor-rels overheerst de behoefte aan energie om te blijven zweven. Voor kleine

korrels (spoeltransport) overheerst de afgifte van energie. De grens ligt

bij korrels met de valsnelheid W met

g

- u.i (1-7)

De grens is dus afhankelijk van de stromingstoestand. Omdat bij turbulente

stroming geldt i-u2 is het rechterlid van Verg. (1-7) dus evenredig met us.

Als in een rivier een dam wordt gebouwd, zodat er bovenstrooms een reservoir

rivier) naar de dam geleidelijk "af. In die richting verschuift ook de grens

van Verg.

(1-7).

Spoeltransport wordt transport van bodemmateriaal.

In het algemeen neemt de snelheid toe bij toenemende afvoer. Het transport

van bodemmateriaal S neemt dus ook toe bij toenemende afvoer. Toch kan niet

voor het bepalen van morfologische veranderingen worden gewerkt met S als

functie van

Q

alleen.

Immers in de meest eenvoudige benadering van transportformules geldt

(1-8)

Verder is

(1-9)

Door combinatie van Vergn (1-8) en (1-9) kan dus voor de meest eenvoudige

benaderingen (aanname C en m constant) worden gewerkt met

nis .n/s

s - q .1

(1-10)

en

n -n

s - q .a (1-11)

Een belangrijk gegeven voor een rivier is het jaartransport (V). Daarin komt

zowel de grootte als de duur van de verschillende afvoeren tot uitdrukking:

T-1 jaar

V -

f

Set) dt

o (1-12)

Als voorbeeld voor de variatie van V over enkele jaren kunnen de berekende

jaartransporten voor de Mekong bij Vientiane worden genomen. In Fig. 1.18 is

Discharge

Catchment Water Sediment Sediment as

area ppm of

River Station 10' km' m' S-I mm yr.-I 10' ton yr." 10-Jmm yr.-I dlscharge (mg 1-1)

Amazon mouth 7.0 100000 450 900 90 290

Mlsslsslppl mouth 3.9 18000 150 300 SS 530

Congo mouth 3.7 44000 370 70 15 50

La Plala/Parana moulh 3.0 19000 200 90 20 ISO

Ob moulh 3.0 12000 130 16 4 40 NUe delta 2.9 3000 30 80 15 630 Yenissei moulh 2.6 17000 210 11 3 20 Leria mouth 2.4 16000 210 12 4 25 Amur mouth 2.1 11 000 160 52 15 150 Yangtse moulh 1.8 22000 390 500 200 1400 Wolp moulh 1.5 8400 180 25 10 100 Missourl moulh 1.4 2000 50 200 100 3200 Zambesi mouth 1.3 16000 390 100 50 200 SI Lawrenc:c mouth 1.3 14000 340 3 2 7 Niger mouth 1.1 5700 160 40 25 220 Murray-Oarling mouth 1.1 400 10 30 20 2500 Ganges delta 1.0 14000 440 1500 1000 3600 lndus mouth 0.96 6400 210 400 300 2000 Orlnoco mouth 0.95 25000 830 90 65 110

Orange Riv~r mouth 0.83 2900 110 ISO 130 1600

Oanube mouth 0.82 6400 250 67 60 330 Mekonl! mouth 0.80 IS 000 590 80 70 170 Hwang Ho mouth 0.77 4000 160 1900 1750 15000 Brahmapulra Bahadurabad 0.64 19000 940 730 800 1200 Dnjepr mouth 0.46 1600 110 1.2 2 25 Irrawaddi moulh 0.41 13000 1000 300 500 750 Rhlne delta 0.36 2200 190 0.72 1 10

Magdalena (Colombia) Calamar 0.28 7000 790 220 550 1000

Vistula (Poland) moulh 0.19 1 000 160 1.5 5 50

Kun (USSR) moulh 0.18 580 100 37 ISO 2000

Chao Phya (Thailand) mouth 0.16 960 190 11 50 350

Oder (GermanYlPoland) mouth 0.11 530 150 0.13 1 10

Rhone (France) mouth 0.096 1700 560 10 75 200

Po (ltaly) moulh 0.070 1500 670 15 150 300

Tlber (ltaly) mouth 0.016 230 450 6 270 850

Ishlkari (Japan) moulh 0.013 420 1000 1.8 100 140

Tone (Japan) Matsudo 0.012 480 1250 3 180 200

WaJpapa(New·Zealand) Kanakanal. 0.0016 46 900 11 5000 7500

li 1.6 Q. •C

.::

r

-r-- r-r--

-r-- - _r+: I--I-- r-I-- I--r-r- ,__ I-- !-o •••• 8 87 88 80 70 71 72 73 74 7. 78 77 78 71180 81 82 83 8. Vears

Fig. 1.18 Relatief jaartransport Mekong (Vientiane)

Van de afvoervariatie kan een globale indruk worden verkregen via Fig. 1.7

ook al ligt Vientiane enige honderden kilometers bovenstrooms van

Savannak-het. Eigenlijk is de variatie van V in Fig. 1.18 gering. Dit komt omdat de

duur gn de grootte van Q meespelen.

In Tabel 1.2 zijn enkele globale gegevens verzameld van verschillende

rivie-ren. Deze rivieren zijn gerangschikt naar de grootte van het stroomgebied.

Voor meer gedetailleerde informatie kan worden verwezen naar Fournier

(1969).

Naar aanleiding van Tabel 1.2 kan een aantal opmerkingen worden gemaakt:

(i) Rivieren met een relatief klein sedimenttransport (zeg <100 ppm)

lig-gen als regel in gematigde en koude klimaatzones en zij hebben een

vlak stroomgebied.

(ii) Rivieren in tropische gebieden behoeven door de grote afvoervariaties

niet beslist een grote S/Q te hebben. Een voorbeeld daarvan is de

Congo. Deze heeft een betrekkelijk vlak, zwaar begroeid stroomgebied.

Overigens kunnen er daarom nog wel ernstige morfologische problemen

optreden.

(iii) Qua gemiddelde sedimentconcentratie is de Huang He (Gele Rivier) in

China de grote uitschieter. Het sediment-water mengsel gedraagt zich

als een niet-newtonse vloeistof. (Zie ook Fig. 1.19)

(iv) Opvallend is de lage gemiddelde sedimentconcentratie van de Rijn. De

laagste waarde in Tabel 1.2 is die voor de St. Lawrence. Deze stroomt

Fig. 1.19 Transporten Gele Rivier (naar Long en Xiong, 1981)

1.3.3 Sedirnentproductie

Door Vanoni (1975) wordt een goed overzicht gegeven van de sedimentproductie van een stroomgebied. Er wordt eveneens aandacht besteed aan technische

maatregelen voor erosiebestrijding. De gegevens zijn echter erg op de toe-stand in de Verenigde Staten gebaseerd. Er zijn globale voorspellingsmodel-len voor de sedimentproductie van een stroomgebied. Er wordt vaak gebruik gemaakt van de 'universa1 soi1-10ss equation'. Dat dit 'universal' wel

mee-valt blijkt uit de omstandigheid dat de 'USLA' vooral is gebaseerd op de toestand in het oosten van de VS. Bovendien bestaan er verschillende

varian-ten van.

Aan de 'vergelijking' kunnen de volgende maatgevende factoren worden

ont-leend:

(i) Re&enva1. De kinematische energie van de regendruppels vormt de oor-zaak van de erosie van de ondergrond.

(1i) Erosie-index. Deze factor bepaalt de mate waarin de regendruppels het sediment van de (begroeide) bodem los maken.

(iii) Terreinhe1lin&. Het verhang van de bodem bepaalt (mede) de snelheid van het afstromende water en dus van de afvoer van het sediment.

Verder spelen nog mee de hel1in&len&te en voor cultuurgrond ook nog de aard van de grondbewerking en het tijdstip van de oogst in het hydrologische

De begroeiing is essentieel voor het opnemen van (een deel van) de kine-tische energie van de regendruppels en het verlagen van de transportcapaci-teit van het afstromende water. Weghalen van de begroeiing (ontbossing) is desastreus. Bosbouw moet dus zorgvuldig gebeuren. Goed voorbeeld:

stroomge-bied van de Congo. Slechte voorbeelden: stroomgestroomge-bied van de Gele Rivier en

op Kalimantan.

Een speciaal geval is aanwezig als een rivier discontinu grote hoeveelheden

sediment krijgt aangeboden. In Fig. 1.15 is voor de Brahmaputra al

aangege-ven hoe als gevolg van door aardbevingen veroorzaakte grondverschuivingen

grote hoeveelheden sediment in de rivier terecht kunnen komen.

Bijvoorbeeld in Japan en op Java worden sommige rivieren via vulkanische

uitbarstingen van sediment voorzien. Een goed voorbeeld is de Kali Brantas

(Oost-Java). De vulkaan Kelud heeft gemiddeld eens in de 15 jaar een

erup-tie. Het vraagt riviertechnische werken om het sediment na een eruptie

tij-delijk op de helling vast te houden. (~debris control structures, of met

het Japanse woord: Sabo werken). Anders ontstaat er na regenval een

modder-stroom (~debris flow, of met het Indonesische woord: lahar). Lahars

bestaan uit een niet-newtonse vloeistof waarin grote stenen en stukken oever

kunnen worden vervoerd. Lahars kunnen grote schade veroorzaken.

Stroomsnel-heden groter dan 10

mis

zijn gemeld.

1.4 Milieu aspecten

1.4.1 Al~emeen

Rivieren spelen een belangrijke rol in het aquatisch milieu. Geloosde

stof-fen worden door convectie met de stroming meegenomen. Door dispersie wordt

in de turbulente stroming verdunning bereikt. Sommige chemische elementen

hechten zich aan het door de rivier getransporteerde slib. Dit geldt met

name voor zware metalen (Hg, Pb e.d.). Doordat dit slib deels wordt afgezet

in het HW-bed, kan het door het daar grazende vee worden opgenomen in het

Dit is de reden, dat er in de uiterwaarden van de Rijn in Nederland geen schapen voorkomen. De dieren sterven na enkele weken. Runderen komen

daaren-tegen wel voor. Kennelijk is dat mogelijk door het ingewikkelde maagsysteem

van deze herkauwers.

Rivierwerken kunnen in beginsel schade aan het milieu toebrengen, mits er

met het ontwerp en de uitvoering van deze werken voldoende met

milieu-aspec-ten rekening wordt gehouden. Een goede ingang in de literatuur vormt Brookes (1988).

1.4.2 Enkele voorbeelden

(i) In Afrika komt veelvuldig de ziekte bilharzia voor. De ziekte wordt

overgebracht door waterslakken, die zich in (vrijwel) stilstaand water

kunnen handhaven. De schistosoma-worm bevindt zich als larve in het

water. Als deze de menselijke huid kan binnendringen vestigt deze zich

in de lever via de bloedbaan en groeit uit tot worm. Via kleine

bloed-vaten kan de darm en de blaas worden bereikt. Ontstekingen zijn het

gevolg. Als urine en ontlasting in het water komen, gaan de wormen op

zoek naar de waterslakken.

Het creëren van reservoirs kan bi1harzia bevorderen. Zwemmen in de

Afrikaanse meren is af te raden.

(ii) Bouw van dammen kan de natuurlijke trek van vissen verhinderen en zo

schade veroorzaken o.a. aan de voedselvoorziening van de bevolking.

Men probeert door de bouw van vistrappen of visliften bij een dam de

aangerichte schade te beperken.

Bij de grote dam in de Yangtze bij Gezhouba (Fig. 11-5) zijn geen

vis-trappen aangebracht (vergeten?). Daardoor heeft de steur niet de

moge-lijkheid meer om naar boven te zwemmen. Benedenstrooms van de dam

wor-den nu volwassen steuren gevangen. Via een viskwekerij wordt de jonge

steur opnieuw in de rivier uitgezet.

in Lake Okeechobee. Door een rigoreuze verandering van de rivier

t.b.v. hoogwaterbeveiliging is ook de drainage bij lage afvoeren

ver-groot. In het van oorsprong moerassige land is sinds deze ingreep vlak

na de Tweede Wereldoorlog de flora en de fauna sterk verarmd. Thans

(1989) worden plannen gemaakt, waardoor de geIntroduceerde schade aan

het milieu kan worden opgèheven.

Ook in Nederland is er een streven om de verarming van de natuur als

gevolg van normalisatie van het HW-bed van de Rijn te redresseren

('Plan Ooievaar'; de Bruin et al, 1987).

1.5 Bestuurlijke aspecten

1.5.1 Algemeen

Voor het beheer van het stroomgebied van een rivier spelen naast de

techni-sche aspecten de bestuurlijke aspecten een grote rol. Er is voor goed beheer

wetgeving nodig. Dit geldt reeds als het stroomgebied in één land ligt. Het

geldt in nog sterkere mate als de rivier door meer dan één land loopt (zie

Sub-secties 1.5.2 en 1.5.3). Per land zal de regelgeving sterk verschillend

kunnen zijn.

In Nederland is de Riyierenwet van toepassing op de grote rivieren. Zo valt

het gehele rivierbed (niet de rivierdijken) onder het beheer van

Rijkswater-staat. Toestemming is nodig voor wijzigingen in het HW-bed. Zo kan RWS

com-penserende maatregelen eisen als het HW-bed plaatselijk gedeeltelijk wordt

geblokkeerd door de aanleg van opritten voor een nieuwe brug. De daardoor

mogelijke verhoging van HW-standen wordt dan b.v. gecompenseerd door

plaat-selijke verlaging van het HW-bed.

De vigerende wetgeving kan van invloed zijn op de uit te voeren technische

werken. Dit kan blijken uit het volgende voorbeeld. De Mae Nam Ping

(Thailand) is één van de bovenlopen van de Chao Phya, die bij Bangkok in zee

komt. In de Mae Nam Ping is de Bhumiphol Dam aangelegd. Het bovenstroomse

reservoir maakt het mogelijk de afvoer drastisch te reguleren (irrigatie,

waterkracht en hoogwaterbestrijding). De benedenstroomse (vlechtende) rivier

heeft daardoor een onnodig grote breedte. Bij de stad Tak is uit behoefte

recht op dit nieuw gewonnen land hebben, is aan beide kanten de oever in de

richting van de rivier verlegd.

Bij het ontwerp van verbeteringswerken is het aan te raden in een vroeg sta-dium de vigerende wet- en regelgeving in de beschouwingen te betrekken.

1.5.2 Grensoverschrijdende rivieren

Als het stroomgebied van een rivier in meer dan één land ligt, dan zijn er internationale afspraken nodig. Voor de Rijn is sinds 1868 de Acte van Mann-heim van kracht voor de scheepvaart. Wijzigingen in de rivier in een bepaald land behoeven de toestemming van de andere landen. Voor Nederland geldt dit voor de Boven-Rijn en de Waal. Voor de niet-scheepvaart aspecten (b.v. voor -het milieu) gelden nog niet voldoende internationale afspraken.

Het ontbreken van goede internationale afspraken kan tot veel conflicten aanleiding geven. India kan door de Farakka Dam in de Ganges de wateraanvoer naar Bangladesh be1nvloeden ten gunste van de eigen Hooghly, die bij

Calcut-ta in zee stroomt.

In de Rio Umbeluzi (Mozambique) is in 1987 de Pequenos Libombos Dam gereed

gekomen, vlak bij de grens met Swaziland. Naast afvoerregulering t.b.v. de drinkwatervoorziening van de 'hoofdstad Maputo, spelen irrigatie en

water-kracht bij het beheer van het reservoir een rol. Het stroomgebied. van de Umbeluzi, bovenstrooms van de dam, ligt echter grotendeels op het grondge-bied van Swaziland. Meetstations voor het beheer van het reservoir moeten

dus in het buitenland worden geplaatst en onderhouden.

Centraal in het stroomgebied van de Mekong ligt Kampuchea, dat thans (1989) niet in het overleg binnen het Interim Mekong Comité is betrokken. Dit is

bezwaarlijk voor optimaal River Basin Deyelopment.

1.5.3 Grensrivieren

Bij grensrivieren is de behoefte aan internationale afspraken zo mogelijk nog sterker dan hiervoor is aangegeven. De eerste vraag die naar voren komt,

is die m.b.t. de ligging van de grens. In veel gevallen is de afspraak ge-maakt, dat de tbalwes de grens vormt. De thalweg is de verzameling van diep-ste punten in opeenvolgende dwarsprofielen. Door morfologische veranderingen ligt de grens in de tijd niet vast. Zo wordt voor de Grensmaas door Be1giê en Nederland om de paar jaar door metingen de liggen van de thalweg (en dus van de grens) opnieuw vastgestéld.

De thalweg-definitie voor de grens lijkt te verkiezen boven andere (of hele-maal geen) afspraken. Bij vrij meanderende rivieren moet worden geaccepteerd een verlies aan land in de eroderende buitenbochten. Er staat landaanwinst tegenover in de binnenbochten waar sedimentatie optreedt.

Een speciaal probleem bij grensrivieren vormt het meten van afvoeren. In de 'buurt van Vientiane vormt de Mekong de grens tussen Thailand en Lso PDR. Thans (1989) worden gezamenlijk afvoermetingen uitgevoerd volgens een zorg-vuldig geredigeerd overeengekomen protocol. Israêl en Jordaniê meten afzon-derlijk de afvoeren in de Jordaan en wisselen de gegevens uit.

Nog een voorbeeld: de drinkwatervoorziening van Hongkong wordt door China verzorgd. Water wordt aan de East River (één van de drie hoofdtakken van de Parel Rivier) onttrokken door dit via de Stone Horse River, een zijrivier van de East River, op te pompen. Aan beide zijden van de grens tussen China

"

en Hongkong wordt de geleverde waterhoeveelheid gemeten. Beide gegevens

2. Morfologische processen

2.1 Inleiding

De gezamenlijke afvoer van water en sediment door een rivier leidt tot een gecompliceerd hydrodynamisch proces. Dit geeft rivieren van verschillende vormen. Er kunnen evenwel enige algemene kenmerken worden aangegeven.

In Fig. 2.1 is een geidealiseerd beeld gegeven. In de bovenloop komen samen-vloeiingen voor, in de benedenloop overheersen de riviersplitsingen. In het bovenstroomse gedeelte van de middenloop bevat de rivier meer dan één geul (vlechtende rivier). Benedenstrooms daarvan is er een enkele geul (meande-rende rivier), gevolgd door een delta.

middenloop benedenloop I~rosl~basis

z".

7

I nl7TlTmnmlTm,."

I

I n I I I

I

zev

I

Ivlechtend vertic.ale insnijding delta

Fig. 2.1 Geidealiseerde rivier

Afhankelijk van de geografische gesteldheid kan dit algemene beeld slechts

voor een deel voorkomen. Op het Zuideiland van Nieuw-Zeeland stromen de

Waimakariri en de Rakaia bij Christchurch als vlechtende rivier in zee. Voor de rest van het ideale beeld is daar eenvoudig geen ruimte beschikbaar. Hetzelfde komt voor bij de Choshui op het eiland Taiwan.

TIGRIS RIVER 10.1 el) c C1I .::

,..

10.2 ~ :>

1

10.3 10·" (Jl[[OEO 60'" OF 'HE , ( BOTTOM ~ .. [ ---, .0 )60 370 380 r ' ..0 o

"

..J

"

111

BodemZigging

en waterstanden

TIGRIS RIVER (fRAaI BETWEEN KM 31.0 AND KM 390

on on M

BALAD

~ o CD M

t::) F'lOOO(O Af HIGH WAt[R

Fig. 2.2 Plattegrond Tigris bij Balad (Irak)

-1----

1

-

,

•

vlechtend

-

x recht I 0 _meanderend ~u _ x

•

I'~~

_o 0 ._

•

_x

•

I

'ti0 0

•

x 0 00

<,

0 Q

I

x >0 00

•

II.

.

la _o

-~D~.':.~D.'OT

0 0 0 2 5 lOl 10~ 3

(m Is)

Fig. 2.3 Riviertypen naar plattegrond (Leopold en Wolman, 1957)

In Sectie 2.2 wordt nader ingegaan op de algemene geometrische kenmerken van rivieren. In Sectie 2.3 wordt aandacht besteed aan samenvloeiingen en split-singspunten. Een belangrijk detail, de rivierbocht in een meanderende

ri-vier, wordt behandeld in Sectie 2.4. De bodemligging in bochten is van

be-lang voor het ontwerp van oeververdedigingen en voor de scheepvaart. In

Sec-tie 2.5 is enige informaSec-tie gegeven over niet-alluviale riviergedeelten.

Ri-viermonden worden behandeld in Sectie 2.6. In Sectie 2.7 wordt de

schemati-satie van het afvoerregime behandeld.

2.2 Geometrische kenmerken

2.2.1 Platteirond

Een natuurlijke rivier kan één of meer geulen bezitten. In plattegrond zijn

er daardoor twee hoofdtypen van rivieren te onderscheiden:

• meanderende rivieren

(En&.

meandering rivers)

• ylechtende rivieren (~braided rivers).

Het woord 'meander' is afkomstig van de Meander Rivier in Zuid-West Turkije.

De Turkse naam is Büydk Menderes (büydk - groot).

In Fig. 2.1 is voor de geïdealiseerde rivier aangegeven, dat de vlechtende

rivier bij afnemend verhang benedenstrooms overgaat in een meanderende

ri-vier. Een praktijkgeval is weergegeven in Fig. 2.2.

Het is gebruikelijk om de overgang van vlechtend naar meanderend aan te

ge-ven volgens het werk van Leopold en Wolman (1957) (zie Fig. 2.3).

Bij deze figuur kunnen de volgende opmerkingen worden gemaakt:

(i) De gegevens van een beperkt aantal rivieren zijn hier geordend. Een

dergelijke ordening zou met dimensieloze parameters moeten gebeuren en

niet zoals hier met een dimensie-dragende parameter (Q).

(ii) In de ordening komt de korrelgrootte van het sediment niet voor.

(iii) De 'bankful discharge' is een wat vage grootheid. Het hele

C:l u

ogl

0 0

°

0 co 0' _25O)ON 2l,°OOJ-f

----~---~~---+---~~

CD0 .J- 4-IL...- ..._Jf--H

I---IL--..f----

~-Bahadurabad o ~l- __

Door Leopold en Wolman (1957) wordt ook nog de rechte rivier aangegeven. Rechte riviervakken komen evenwel nauwelijks voor. In kunstmatige rechte

ri-vieren, ontstaan door bochtafsnijdingen en met verdedigde oevers, komen

langs deze oevers afwisselend zandbanken voor die zich stroomafwaarts ver-plaatsen (langzamer dan de gebruikelijke beddingvormen). Dergelijke

'alter-,

na te bars' zijn ook waargenomen in brede, rechte laboratoriumgoten met een

beweeglijke bodem (Wang en Klaassen, 1981).

Als voorbeeld van een ~rote vlechtende rivier is in Fig. 2.4 de Jamuna in

Bangladesh weergegeven. Deze rivier is een onderdeel van het grote

Ganges-Brahmaputra rivierensysteem. In deze figuur is voor een raai het

dwarspro-fiel voor enkele jaren gegeven. Deze figuren zijn ontleend aan Klaassen en

Vermeer (1988). De verschillende geulen zijn goed te onderkennen. Tevens

blijkt er uit hoe relatief snel de geulen in dwarsrichting worden

ver-plaatst.

Het beschouwde riviervak is een bijzonder onderwerp van studie geweest

van-wege de plannen om over de rivier een brug te bouwen. Dat is een kostbare

zaak voor een rivier die vele kilometers breed is, terwijl bovendien voor de

brugpijlers op een laag bodemniveau moet worden gerekend in verband met de

verplaatsing van de diepe geulen in de tijd.

Bij

kleine

vlechtende

rivieren kunnen problemen van heel andere aard naar

voren komen (Mosley, 1982). De grote hellingen leiden tot kleine

waterdiep-ten,

vooral

bij

lage

afvoeren. Als er water voor irrigatie aan de rivier

wordt onttrokken, dan worden de

minimale

diepten

kleiner.

Deze

kleinste

diepten

komen voor bij de splitsing in geulen, die in een vlechtende rivier

in grote getale voorkomen. Een schets van zo'n splitsingspunt is weergegeven

in Fig. 2.5.

De problemen die door Mosley (1982) voor de vlechtende rivieren op het

Zuid-eiland

van Nieuw-Zeeland onderzocht zijn, betreffen de belangen van de

vis-stand en de recreatie.

(i)

Zalm heeft de neiging om via de grootste geul zich in langsrichting te

verplaatsen. Om onbeschadigd te kunnen passeren zijn er

eisen

aan

de

minimale diepte en de maximale stroomsnelheid (Tabel 2.1).

min. diepte (m)

max. snelheid (mis)

zalm

grote forel

kleine forel

0,25

0,18

0,12

2,4 2,4

1,2

Tabel 2.1 Eisen voor vis-passage

(ii) De recreanten maken gebruik van deze vlechtende rivieren met kano's

en

'jet-boats'. De

laatste worden voortgestuwd door een waterstraal die

wordt gevormd door water via een spleet in de scheepsbodem op

te

pom-pen. Er zijn dus geen bewegende delen buitenboord. Er kan dan bij

klei-ne waterdiepten worden gevaren. Voor mensen die

primair

komen

om

te

vissen wordt een minimale diepte van 0,35 m gemeld.

Ervaren schippers hebben zelfs aan 0,1 m voldoende.

2.2.2 Lengteprofiel

Het lengteprofiel van een rivier vertoont in het algemeen in benedenstroomse

richting

een

afnemend

bodemverhang. In deze richting wordt de gemiddelde

korrelgrootte ook kleiner.

Deze reductie van de korrelgrootte is een gevolg van de omstandigheid dat kleinere korrels sneller lopen dan grotere. Er is dus sprake van een

selec-tieproces. Daarnaast treedt er ook slijtage van de korrels tijdens het

transport op.

Er zijn aanwijzingen dat althans voor kwarts, dit laatste proces van

onder-t

geschikt belang is (Parker , 1989).

Door Sternberg werd reeds in 1875 (zie Le1iavski, 1955) als hypothese

ge-steld, dat de massavermindering (dM) van een korrel tijdens het

transport-proces evenredig is met de massa (M) en de transportweg (dx).

Of

dM - -0 M dx (2-1)

De coêfficiênt 0verschilt per rivier.

Integratie geeft

M - Mo exp(-ox) (2-2)

Hierin is Mo (integratieconstante) de massa op x -

o.

Wegens M - DS kan dan ook worden gesteld:

(2-3)

Hierin is ÀD de relaxatielengte van de

korrelgrootte. Dit is de lengte waarover

de korrelgrootte met de factor e - 2,718

afneemt (Fig. 2.6). 0.1 0.' 0.2

o~--~---+----~----~--~

__ x Fig. 2.6 Relaxatielengte

Rivier

~D

(km)

Bron

Mississippi

1100

Haas (1969)

Rio Grande

270

Haas (1969)

Rijn

280

·

Le1iavski (1955)

Mur

170

Le1iavski (1955)

Tabel 2.2 Relaxatielengte ~D

Ook het bodemverhang vertoont in grote trekken een exponentieel verloop

(2-4)

Wegens i - -8zj8x volgt er uit Verg. (2-4)

(2-5)

dus met

y -

-xj~i

(2-6)

of

(2-7)

Dus

(2-8)

waarin Cl en C

2

constanten zijn.

De grootheid ~i is de relaxatielengte voor het verhang.

Als

voorbeeld

kan

worden

gegeven, dat Haas (1969) voor de Rio Grande een

waarde ~i - 174

km

vermeldt

.

In

de

natuur

zullen de schematische verlopen volgens Vergn (2-3) en (2-8)

zelden voorkomen. Samenvloeiingen en splitsingen van rivieren verstoren

het

eenvoudige beeld

.