Wykład VII i VIII
• Równanie różniczkowe i szereg Bessela,
• Funkcje Bessela z indeksem całkowitym i funkcja
tworząca,
• Przedstawienie całkowe funkcji Bessela,
• Wzory rekurencyjne dla funkcji Bessela,
• Funkcje Bessela z indeksem połówkowym i ich postać
asymptotyczna,
• Funkcje Neumanna, Hankela i sferyczne funkcje Bessela,
• Rozwinięcie fali płaskiej na fale kuliste,
• Metoda przesunięć fazowych w kwantowej teorii
rozpraszania,
Równanie różniczkowe na funkcje Bessela
(
2 2)
0
2
+
+
−
=
x
J
x
J
J
x
Rozwiązania poszukujemy w postaci
( )
,
00
0
=
=a
x
a
x
x
J
n n n Przyjmujemy
=
(
+
)
1
2
1
0a
(
)
0
0 2 0 2 2=
+
−
+
= + = n n n n n nx
a
x
a
n
Funkcje Bessela są określone przez równanie różniczkowe (v jest indeksem)
Przyrównując do zera współczynniki przy kolejnych potęgach x, otrzymujemy
(
)
( )
(
)
2
,
1
,
0
,
1
!
2
1
;
0
2
1
:
4
,
3
,
2
,
;
0
:
;
:
2 2 1 2 2 1 1 0=
+
+
−
=
=
−
=
=
=
=
+ + −l
l
l
a
a
n
n
a
a
n
x
a
x
x
l l l l n n n
Szereg Bessela
( )
( )
(
)
+ =
+
+
−
=
l l lx
l
l
x
J
2 0!
1
2
1
Funkcje Bessela z indeksem całkowitym
( )
( )
(
)
,
0
,
1
,
2
,
2
!
!
1
2 0=
+
−
=
+ =
x
n
l
n
l
x
J
n l l l n• Funkcja tworząca,
( )
( )
( )(
x w w)
n n nx
w
e
J
x
w
,
2 −1 − ==
=
Podobnie jak w przypadku wielomianów ortogonalnych funkcję tworzącą dla funkcji Bessela można traktować jak szereg Taylora względem zmiennej w, którego współczynnikami są funkcje Bessela 𝐽𝑛(𝑥)• Przedstawienie całkowe,
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
x
J
x
J
d
e
x
J
d
e
e
e
x
J
x
e
m n n m n n m n i n m ix ix n in n i
2
2
,
, 2 0 2 0 sin sin=
=
=
=
=
− = − = − − − =( )
(
)
−=
2 0 sin2
1
d
e
x
J
m ix m
( )
=
=
2 0 cos 2 0 sin 02
1
2
1
d
e
d
e
x
J
ix ix𝑒
𝑖 𝑥 sin 𝜑−𝑚𝜑𝑑𝜑
𝑒
𝑖 𝑥 sin 𝜑−𝑚𝜑𝑑𝜑
Mnożymy stronami przez 𝑒−𝑖𝑚𝜑i
Funkcje Bessela z indeksem połówkowym
( )
( )
(
)
(
)
(
( )
)
(
)
( )
( ) ( )
x
x
l
x
x
x
J
l
l
l
l
l
x
l
l
x
J
l l l l l l l lsin
2
!
1
2
1
2
!
2
!
1
2
2
!
1
2
!
2
2
2
3
2
2
3
!
1
0 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 0 2 1
=
+
−
=
+
=
+
+
=
+
+
−
=
= + + + + =Wzory rekurencyjne dla funkcji Bessela
(
)
( )
J
x
dx
d
x
J
J
x
dx
d
x
J
− − − +−
=
−
=
1 1Przykład
(
)
x
x
J
x
dx
d
x
J
12 1 2 12 1 22
cos
=
=
− −• Asymptotyczna postać funkcji Bessela z indeksem połówkowym
Stosując wielokrotnie wzory rekurencyjne, otrzymujemy dla
x
1
( )
( ) ( )
−
−
=
−
=
− − +2
cos
2
1
2
sin
2
2 1 2 1
l
x
x
x
J
l
x
x
x
J
l l lFunkcje Neumanna
( )
( )
( )
1 1 2 2 11
2
1
,
2
,
1
,
0
,
lim
,
2
,
1
,
0
,
sin
cos
− − + + → −−
=
+
=
=
=
−
=
l l l n nJ
N
l
n
N
N
J
J
N
Funkcje Hankela
J
iN
H
=
Sferyczne funkcje Bessela
( )
J
( )
x
x
x
j
l l 1 22
+=
( )
−
2
sin
1
1
x
l
x
x
j
x
lSferyczne funkcje Neumanna
( ) ( )
J
( )
x
x
x
n
l l 1 l 1 22
1
+ − −−
=
( )
−
−
2
cos
1
1
x
l
x
x
n
x
lSferyczne funkcje Hankela
l l l
j
in
h
=
l( )
i(
x l)
le
ixx
i
e
x
i
x
h
x
1
=
− 2=
11
Ortogonalność funkcji Bessela
Zdefiniujmy
y
1( )
x
=
J
( )
ax
,
y
2( )
x
=
J
( )
bx
,
a
b
Wstawiając do równania Bessela, otrzymujemy
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 11
0
1
,
0
1
y
xy
a
b
xu
dx
d
u
u
x
y
y
a
b
x
u
u
y
y
y
y
u
y
y
a
b
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
x
b
y
x
y
y
x
a
y
x
y
−
=
=
+
−
=
+
−
−
=
−
+
−
=
−
+
+
=
−
+
+
Niech L>0 będzie dowolną liczbą dodatnią. Całkując obustronnie, mamy
( )
=
(
−
)
( ) ( )
Ldx
x
y
x
xy
a
b
L
Lu
0 2 1 2 2Wybierzmy a, b tak, że
J
( )
aL
=
0
,
J
( )
bL
,
a
b
u
( )
L
=
0
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0 2 1=
=
L Ldx
bx
J
ax
xJ
dx
x
y
x
xy
Kolejna część wykładu zawiera materiał nieobowiązkowy, użyteczny
jednak w różnych działach fizyki, w tym optyce falowej i fizyce kwantowej
• Rozkład fali płaskiej na fale kuliste
• Metoda przesunięć fazowych w kwantowej teorii rozpraszania
(popularna metoda obliczania tzw. Przekrojów czynnych na
rozpraszanie na zadanym potencjale, np. Coulombowskim).
Rozwinięcie fali płaskiej na fale kuliste (wzór Rayleigha)
Rozpatrujemy falę płaską biegnącą wzdłuż osi Oz
( ) ( )
cos
,
0
=
=
= l l l l ikr ikzP
r
R
c
e
e
Rozkład na szereg
wielomianów Legendre’a
Obliczamy obustronnie laplasjan powyższego szeregu
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
= =
+
−
+
=
−
=
−
+
=
+
−
=
=
−
=
0 2 0 2 2 2 0 , 2 0 , 2 2 2 21
2
2
,
1
,
l l l l l l l l l l ikr l l l l l l ikz ikzP
R
r
l
l
R
r
R
c
P
r
R
c
k
e
k
r
R
r
r
R
r
R
Y
r
l
l
Y
P
e
k
e
(■)
(●)
⇒ (●)
Przyrównując wyrażenia przy jednakowych
wielomianach
Legendre’a, otrzymujemy
równanie na funkcję 𝑅
𝑙
(𝑟)
( )
0
1
2
2 2=
+
−
+
+
l l lR
r
l
l
k
R
r
R
(
)
0
2
1
1
1
,
2 2=
+
−
+
+
=
=
kr
S
R
lS
S
l
S
Podstawiamy
Rozwiązanie
równania Bessela
S
( )
=
J
l+1 2( )
R
l( )
r
=
kr
J
l+1 2( )
kr
j
l( )
kr
1
(●) ⇒
(♠)
(♦)
Stąd
( ) ( )
==
0 l l l l ikrP
kr
j
c
e
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
2
2
0 , 2 0 1 1 1 1+
=
=
=
= = − −n
kr
j
c
P
kr
j
c
d
P
P
kr
j
c
d
P
e
n n l n l n l l l l n l l n ikr
Całkując przez części, otrzymujemy
( )
( )
( )
( )
+
−
=
−
=
− − − 2 1 1 1 1 1 11
2
sin
2
1
1
ikr
O
n
kr
kr
i
d
P
e
ikr
P
e
ikr
d
P
e
n n ikr n ikr n ikr
(■) (♦) ⇒
Mnożymy stronami przez 𝑃𝑛 𝜉 i całkujemy na przedziale (-1,1)
Dla , biorąc pod uwagę asymptotyczną postać
sferycznych funkcji Bessela, otrzymujemy
(
)
r
kr
1
( )
(
)
(
)
n n n n n nc
n
i
n
kr
kr
i
n
n
kr
kr
c
kr
j
c
2
1
2
sin
1
2
2
sin
=
+
−
+
=
−
(
)
(
) ( )
=−
+
=
0cos
2
sin
1
2
l l l ikzP
kr
l
kr
i
l
e
(▲)
(wyprowadzenie na następnym slajdzie)
(wyprowadzenie na następnym slajdzie)
(▲)
Metoda przesunięć fazowych w kwantowej teorii rozpraszania
Funkcja falowa cząstki rozproszonej jest pewną modyfikacją fali płaskiej,
przy czym modyfikacja polega głównie na przesunięciu fazy parcjalnych fal
kulistych
( )
(
) ( )
=+
−
=
0cos
2
sin
l l l lP
kr
l
kr
A
r
Jednocześnie funkcja falowa cząstki rozproszonej jest superpozycją fali
płaskiej (reprezentującej cząstki padające) i fali kulistej (reprezentującej
cząstki rozproszone)
( )
( )
(
)
(
) ( )
( )
ikr
e
ikf
P
kr
l
kr
i
l
r
e
f
e
r
ikr l l l ikr ikz2
2
cos
2
sin
1
2
0
=
+
=
+
−
+
=
( )
f
- amplituda rozpraszania
(przesunięcia fazowe 𝛿𝑙charakteryzują potencjał rozpraszający i mogą być wyznaczane oddzielnie z pierwszych zasad)
(♥)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
−
+
=
−
+
−
= − − = − 0 2 0cos
1
2
2
cos
1
2
l l l l i l ikr l l l i l ikrP
i
l
i
e
A
e
ikf
P
l
i
e
A
e
l l
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)(
)
(
)
(
) (
)
= − = = +
+
=
+
=
−
+
=
+
=
0 , 2 2 0 0 2cos
cos
sin
sin
1
2
1
2
1
cos
sin
1
2
1
cos
1
1
2
2
1
,
1
2
l l l l l l i l l l i l l i i l lP
P
e
l
l
k
f
P
e
l
k
P
e
l
ik
f
e
i
l
A
l l l l l
• Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie
( )
( )
(
)
= +
=
=
0 , 2 2 2 0 0 2 2sin
1
2
4
sin
l l ll
k
d
d
f
d
f
Przesunięcia fazowe 𝛿𝑙charakteryzują potencjał rozpraszający i mogą być wyznaczane oddzielnie z pierwszych zasad. Zazwyczaj maleją
one szybko ze wzrostem l, dzięki czemu całkowity przekrój czynny można w przybliżeniu obliczyć jako sumę kilku pierwszych wyrazów powyższej sumy.
