Funkcje własne operatorów pędu i energii Wykład 7 Karol Kołodziej

(1)

Wykład 7

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

(2)

Rozważmy równanie własne operatora pęduw reprezentacji położeniowej

−i~~∇u_~_p(~r) = ~p u_~_p(~r) .

Zwróćmy uwagę, że ~p = [px, p_y, p_z] po prawej stronie równania jest wektorem, którego składowe są liczbami rzeczywistymi, px, py, pz ∈ R.

(3)

Rozważmy równanie własne operatora pęduw reprezentacji położeniowej

−i~~∇u_~_p(~r) = ~p u_~_p(~r) .

Zwróćmy uwagę, że ~p = [px, p_y, p_z] po prawej stronie równania jest wektorem, którego składowe są liczbami rzeczywistymi, px, py, pz ∈ R.

(4)

Po rozpisaniu na składowe otrzymamy 3 równania skalarne:

−i~∂u_~_p(~r)

∂x = px u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~p(~r)

∂y = py u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~_p(~r)

∂z = p_zu_~_p(~r) .

Ten układ równań możemy scałkować rozseparowując zmienne.

(5)

−i~∂u_~_p(~r)

∂x = px u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~p(~r)

∂y = py u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~_p(~r)

∂z = p_zu_~_p(~r) .

Podstawmy

u_p_~(~r) = u1(x)u2(y )u3(z) do pierwszego rówania, wówczas otrzymamy

(6)

−i~∂u_~_p(~r)

∂x = px u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~p(~r)

∂y = py u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~_p(~r)

∂z = p_zu_~_p(~r) .

Podstawmy

u_p_~(~r) = u1(x)u2(y )u3(z) do pierwszego rówania, wówczas otrzymamy

(7)

−i~du1(x)

dx u2(y )u³(z) = px u1(x)u²(y )u³(z).

Ponieważ funkcje u²(y )u3(z) są dowolne, to współczynniki przy nich muszą być równe:

−i~du¹(x)

dx = px u1(x).

(8)

−i~du1(x)

dx u2(y )u³(z) = px u1(x)u²(y )u³(z).

−i~du¹(x)

dx = px u1(x).

Podzielmy obie strony tego równania przez u¹(x) i pomnóżmy przez dx, wówczas otrzymamy równanie o zmiennych

rozdzielonych:

du1

= i p_xdx.

(9)

−i~du1(x)

dx u2(y )u³(z) = px u1(x)u²(y )u³(z).

−i~du¹(x)

dx = px u1(x).

Podzielmy obie strony tego równania przez u¹(x) i pomnóżmy przez dx, wówczas otrzymamy równanie o zmiennych

rozdzielonych:

du1

= i p_xdx.

(10)

Całkując obustronnie Z du1

u1

= Z i

~p_xdx otrzymamy

ln u¹= i

~p_x Z

dx=

(11)

u1

= Z i

~p_xdx otrzymamy

ln u¹= i

~p_x Z

dx= i

~p_xx+ ln C¹,

(12)

u1

= Z i

~p_xdx otrzymamy

ln u¹= i

~p_x Z

dx= i

~p_xx+ ln C¹, gdzie stałą dowolną oznaczyliśmy ln C¹.

(13)

u1

= Z i

~p_xdx otrzymamy

ln u¹= i

~p_x Z

dx= i

~p_xx+ ln C¹,

gdzie stałą dowolną oznaczyliśmy ln C¹.Wykorzystując tę równość możemy napisać

e^{ln u}¹ =

(14)

u1

= Z i

~p_xdx otrzymamy

ln u¹= i

~p_x Z

dx= i

~p_xx+ ln C¹,

gdzie stałą dowolną oznaczyliśmy ln C¹. Wykorzystując tę równość możemy napisać

e^{ln u}¹ =e^{ln C}¹⁺^~ⁱ^p^x^x =

(15)

u1

= Z i

~p_xdx otrzymamy

ln u¹= i

~p_x Z

dx= i

~p_xx+ ln C¹,

e^{ln u}¹ = e^{ln C}¹⁺^~ⁱ^p^x^x =e^{ln C}¹ e^~ⁱ^p^x^x,

(16)

u1

= Z i

~p_xdx otrzymamy

ln u¹= i

~p_x Z

dx= i

~p_xx+ ln C¹,

e^{ln u}¹ = e^{ln C}¹⁺^~ⁱ^p^x^x = e^{ln C}¹ e^~ⁱ^p^x^x,

(17)

co daje

u1(x) = C¹ e^~ⁱ^p^x^x. Podobnie, podstawiając

u_p_~(~r) = u1(x)u2(y )u3(z)

(18)

co daje

u_p_~(~r) = u1(x)u2(y )u3(z) do równań

−i~∂u_~_p(~r)

∂y = py u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~_p(~r)

∂z = pzu_~_p(~r)

(19)

co daje

−i~∂u_~_p(~r)

∂y = py u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~_p(~r)

∂z = pzu_~_p(~r)

(20)

co daje

−i~∂u_~_p(~r)

∂y = py u_p_~(~r) ,

−i~∂u_~_p(~r)

∂z = pzu_~_p(~r)

(21)

otrzymamy

u2(y ) = C² e^~ⁱ^p^y^y i u3(z) = C³e^~ⁱ^p^z^z,

(22)

otrzymamy

u2(y ) = C² e^~ⁱ^p^y^y i u3(z) = C³e^~ⁱ^p^z^z, co ostatecznie daje funkcję własną pędu w formie:

u_~_p(~r) =

(23)

otrzymamy

u_~_p(~r) = u1(x)u2(y )u3(z) =

(24)

otrzymamy

u_~_p(~r) = u1(x)u2(y )u3(z) =C1e^~ⁱ^p^x^xC2e^~ⁱ^p^y^yC3 e^~ⁱ^p^z^z

(25)

otrzymamy

u_~_p(~r) = u1(x)u2(y )u3(z) = C1e^~ⁱ^p^x^xC2e^~ⁱ^p^y^yC3 e^~ⁱ^p^z^z

=

(26)

otrzymamy

= C1C2C3e^~ⁱ^(p^x^x+p^y^y+p^z^z)=

(27)

otrzymamy

= C1C2C3e^~ⁱ^(p^x^x+p^y^y+p^z^z)=Ce^~ⁱ^p·~^~^r,

(28)

otrzymamy

gdzie stałe dowolne C¹, C² i C³ połączyliśmy w jedną stałą C .

(29)

otrzymamy

gdzie stałe dowolne C¹, C² i C³ połączyliśmy w jedną stałą C . Otrzymaliśmy funkcje własne pędu postaci

u_p_~(~r) = Ce^~ⁱ^~^p·~^r.

(30)

otrzymamy

gdzie stałe dowolne C¹, C² i C³ połączyliśmy w jedną stałą C . Otrzymaliśmy funkcje własne pędu postaci

u_p_~(~r) = Ce^~ⁱ^~^p·~^r.

(31)

Po skorzystaniu ze związku de Broglie’go

~ p = ~~k, funkcje własne pędu przyjmują postać

u_~_k(~r) = Ce^{i ~}^k·~^r.

(32)

u_~_k(~r) = Ce^{i ~}^k·~^r.

Stałą dowolną C możemy wyznaczyć z warunku normalizacji Z

u_~_k(~r)²d³r = 1,

(33)

u_~_k(~r) = Ce^{i ~}^k·~^r.

u_~_k(~r)²d³r = 1,

ale całka normalizacyjna po całej przestrzeni nie istnieje, gdyż Z

u^∗_~

k(~r)u_~_k(~r)d³r =

(34)

u_~_k(~r) = Ce^{i ~}^k·~^r.

u_~_k(~r)²d³r = 1,

u^∗_~

k(~r)u_~_k(~r)d³r = Z

C^∗e^{−i ~}^k·~^rCe^{i ~}^k·~^rd³r=

(35)

u_~_k(~r) = Ce^{i ~}^k·~^r.

u_~_k(~r)²d³r = 1,

u^∗_~

k(~r)u_~_k(~r)d³r = Z

C^∗e^{−i ~}^k·~^rCe^{i ~}^k·~^rd³r= |C |² Z

d³r =

(36)

u_~_k(~r) = Ce^{i ~}^k·~^r.

u_~_k(~r)²d³r = 1,

u^∗_~

k(~r)u_~_k(~r)d³r = Z

C^∗e^{−i ~}^k·~^rCe^{i ~}^k·~^rd³r= |C |² Z

d³r =∞.

(37)

u_~_k(~r) = Ce^{i ~}^k·~^r.

u_~_k(~r)²d³r = 1,

u^∗_~

k(~r)u_~_k(~r)d³r = Z

C^∗e^{−i ~}^k·~^rCe^{i ~}^k·~^rd³r= |C |² Z

d³r = ∞.

(38)

Skąd wnioskujemy, że funkcje własne pędu nie należą do przestrzeni Hilberta stanów ﬁzycznych.

Funkcję u_~_k(~r) możemy jednak unormować w sześciennym pudełku o dowolnie dużej, ale skończonej objętości L³.

Z

L³

u_~_k(~r)

2

d³r= 1

(39)

Z

L³

u_~_k(~r)

2

d³r= 1 ⇔ |C |² Z

d³r

| {z }

L³

=

(40)

Z

L³

u_~_k(~r)

2

d³r= 1 ⇔ |C |² Z

d³r

| {z }

L³

=|C |²L³ = 1,

(41)

Z

L³

u_~_k(~r)

2

d³r= 1 ⇔ |C |² Z

d³r

| {z }

L³

=|C |²L³ = 1,

a więc z dokładnością do fazy zespolonej możemy wybrać C = L⁻³²

(42)

Z

L³

u_~_k(~r)

2

d³r= 1 ⇔ |C |² Z

d³r

| {z }

L³

=|C |²L³ = 1,

i unormowane funkcje własne pędu przyjmą postać u (~r) = L⁻³e^{i ~}^k·~^r.

(43)

Z

L³

u_~_k(~r)

2

d³r= 1 ⇔ |C |² Z

d³r

| {z }

L³

=|C |²L³ = 1,

i unormowane funkcje własne pędu przyjmą postać u (~r) = L⁻³e^{i ~}^k·~^r.

(44)

Jeżeli pudełko jest duże w porównaniu z rozmiarami obszaru ﬁzycznego dla badanego problemu, to wartości własne w obecności pudełka praktycznie nie ulegną zmianie.

Jeżeli ściany pudełka są sztywne,

(45)

Jeżeli ściany pudełka są sztywne,co odpowiada nieskończonemu skokowi energii potencjalnej,

(46)

Jeżeli ściany pudełka są sztywne, co odpowiada nieskończonemu skokowi energii potencjalnej,tofunkcja falowa musi znikać na ściankachwskutek czego otrzymamydyskretne wartości własne operatora pędu.

(47)

Jeżeli ściany pudełka są sztywne, co odpowiada nieskończonemu skokowi energii potencjalnej, tofunkcja falowa musi znikać na ściankachwskutek czego otrzymamydyskretne wartości własne operatora pędu.

Zamiast zakładać znikanie funkcji falowej na ściankach pudełka, narzućmyperiodyczne warunki brzegowe:

u_~_k(~r) = u_~_k~r + ~L,

(48)

u_~_k(~r) = u_~_k~r + ~L, L⁻³²e^{i ~}^k·~^r

(49)

u_~_k(~r) = u_~_k~r + ~L, L⁻³²e^{i ~}^k·~^r =

(50)

u_~_k(~r) = u_~_k~r + ~L, L⁻³²e^{i ~}^k·~^r = L⁻³²e^{i ~}^k·(~^r^+~^L).

(51)

u_~_k(~r) = u_~_k~r + ~L, L⁻³²e^{i ~}^k·~^r = L⁻³²e^{i ~}^k·(~^r^+~^L).

(52)

Równość

e^{i ~}^k·~^r = e^{i ~}^k·(~^r^+~^L) jest spełniona tylko jeśli

e^{i ~}^k·~^L= e^i(k^x^L+k^y^L+k^z^L)= 1,

(53)

Równość

gdzie krawędzie pudełka w kierunkach osi Ox, Oy i Oz potraktowaliśmy jako niezależne,

(54)

Równość

gdzie krawędzie pudełka w kierunkach osi Ox, Oy i Oz potraktowaliśmy jako niezależne,zakładając jednocześnie, że

|Lx| = |Ly| = |Lz| = L.

(55)

Równość

gdzie krawędzie pudełka w kierunkach osi Ox, Oy i Oz potraktowaliśmy jako niezależne, zakładając jednocześnie, że

|Lx| = |Ly| = |Lz| = L.

Warunek ten jest spełniony jeśli

(56)

Równość

|Lx| = |Ly| = |Lz| = L.

Warunek ten jest spełniony jeśli kxL= nx· 2π,

(57)

Równość

|Lx| = |Ly| = |Lz| = L.

Warunek ten jest spełniony jeśli kxL= nx· 2π, kyL= ny· 2π,

(58)

Równość

|Lx| = |Ly| = |Lz| = L.

kxL= nx· 2π, kyL= ny· 2π, kzL= nz· 2π,

(59)

Równość

|Lx| = |Ly| = |Lz| = L.

(60)

Równość

|Lx| = |Ly| = |Lz| = L.

(61)

To oznacza, że składowe wektora falowego,a co za tym idzie również pędu,

(62)

To oznacza, że składowe wektora falowego, a co za tym idzie również pędu,mogą przyjmować wartości dyskretne

(63)

To oznacza, że składowe wektora falowego, a co za tym idzie również pędu, mogą przyjmować wartości dyskretne

kx = nx·2π L ,

(64)

kx = nx·2π

L , ky = ny·2π L ,

(65)

kx = nx·2π

L , ky = ny·2π

L , kz = nz·2π L ,

(66)

kx = nx·2π

L , ky = ny·2π

L , kz = nz·2π L , gdzie nx, ny, nz ∈ Z są dowolnymi liczbami całkowitymi.

(67)

kx = nx·2π

L , ky = ny·2π

Zauważmy, że

L→ ∞ ⇒ 2π

L → 0

(68)

kx = nx·2π

L , ky = ny·2π

Zauważmy, że

L→ ∞ ⇒ 2π

L → 0

i tym samym dopuszczalne wartości wektora falowego i pędu cząstki stają się ciągłe.

(69)

kx = nx·2π

L , ky = ny·2π

Zauważmy, że

L→ ∞ ⇒ 2π

L → 0

i tym samym dopuszczalne wartości wektora falowego i pędu cząstki stają się ciągłe.

(70)

Obliczmy iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta h ~l|~k i =

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r =

(71)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r =L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

(72)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

=

(73)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

= L⁻³ Z

L³

eⁱ^[(k^x^−l^x^)x+(k^y^−l^y^{)y +(k}^z^−l^z^)z]dx dy dz

(74)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

= L⁻³ Z

L³

=

(75)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

= L⁻³ Z

L³

= L⁻³ ZL/2

−L/2

e^i(k^x^−l^x^)x dx ZL/2

−L/2

e^i(k^y^−l^y^)y dy ZL/2

−L/2

eⁱ^(k^z^−l^z^)z dz,

(76)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

= L⁻³ Z

L³

= L⁻³ ZL/2

−L/2

gdzie dopuszczalne wartości wektora falowego ~l są następujące

(77)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

= L⁻³ Z

L³

= L⁻³ ZL/2

−L/2

gdzie dopuszczalne wartości wektora falowego ~l są następujące l_x = mx·2π

,

(78)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

= L⁻³ Z

L³

= L⁻³ ZL/2

−L/2

, l_y = my ·2π ,

(79)

Z

L³

u_~l^∗(~r)u_~_k(~r) d³r = L⁻³ Z

L³

e^i(~^k−~^l)·~^r d³r

= L⁻³ Z

L³

= L⁻³ ZL/2

−L/2

, l_y = my ·2π

, l_z = mz·2π ,