01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

(1)

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Ω – zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy |Ω| < ∞ oraz P({ω}) = _|Ω|¹ , dla każdego ω ∈ Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne), to

P (A) = |A|

|Ω|

Przydatne wzory kombinatoryczne:

• n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1:

– na tyle sposobów możemy ustawić n elementów w rzędzie.

• n^k:

– tyle jest k–elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n–elementowego (elementy mogą się powtarzać w ciągu);

– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k elementów ze zbioru n–elementowego;

– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k razy jeden element ze zbioru n–elementowego;

• (n)k= n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = _(n−k)!^n! :

– tyle jest k–elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n–elementowego, w których elementy nie mogą się powtarzać;

– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k elementów ze zbioru n–elementowego;

– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k razy jeden element ze zbioru n–elementowego;

– na tyle sposobów możemy wybrać kolejno k różnych elementów ze zbioru n–elementowego;

• ⁿ_k =⁽ⁿ⁾_k!^k = _(n−k)!k!^n! :

– tyle jest k–elementowych zbiorów o wyrazach ze zbioru n–elementowego;

– na tyle sposobów możemy wybrać jednocześnie/na raz k elementów ze zbioru n–elementowego;

– na tyle sposobów możemy wybrać k elementów ze zbioru n–elementowego, jeśli kolejność wyborów nie jest istotna;

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. (rozgrzewka)

Ile jest liczb składających się z cyfr: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 a. 3-cyfrowych (cyfry mogą się powtarzać)?

b. n-cyfrowych (cyfry mogą się powtarzać)?

c. 3-cyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają?

d. 9-cyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają?

e. 11-cyfrowych z co najmniej jedną cyfrą 4?

f. 10-cyfrowych z dokładnie trzema cyframi 4?

g. n-cyfrowych z dokładnie k (k ¬ n) cyframi 4?

h. n-cyfrowych z co najmniej trzema cyframi 4?

i. co najwyżej 4-cyfrowych?

Zadanie A.2. (rozgrzewka)

Rzucamy n razy kostką. Liczymy, ile jest możliwych wyników, w których jedynka wypada przynajmniej 2 razy. Czy poniższa odpowiedź jest poprawna ?

Odpowiedź: ⁿ₂6ⁿ⁻².

W każdym kolejnym zadaniu podaj, z jakich elementów składa się zbiór Ω.

Zadanie A.3. Tworzymy losowo słowo o długości 7 (niekoniecznie mające sens) z liter: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n (14 liter). Z jakim prawdopodobieństwem litery w słowie nie będą się powtarzać?

Zadanie A.4. 25 uczniów z klasy IF ustawiliśmy losowo w rzędzie (każdy układ równo prawdopodobny). Jaka jest szansa na to, że Franek G. stoi obok Grzesia T.?

(2)

Zadanie A.5. Jaka jest szansa na to, że w 20 rzutach symetryczną monetą a. wypadną dokładnie 3 orły?

b. w ostatnim rzucie orzeł wypadnie po raz trzeci?

c. wypadną co najmniej 3 orły?

Zadanie A.6. W woreczku są dwa ołówki: zielony i niebieski. Losujemy 20 razy ze zwracaniem po jednym ołówku.

Jaka jest szansa na to, że

a. dokładnie 3 razy wylosowaliśmy ołówek zielony?

b. w ostatnim losowaniu wylosowaliśmy ołówek zielony po raz trzeci?

c. co najmniej 3 razy wylosowalismy ołówek zielony?

Czym różni się to zadanie od poprzedniego?

Zadanie A.7. 20 dzieci z klasy IIIc weszło do sklepu ze słodyczami oferującego 4 rodzaje cukierków (w nieograniczonych ilościach): landrynki, krówki, żelki i toffi. Każdy (losowo) wybiera po jednym cukierku. Jaka jest szansa, że

a. dokładnie pięcioro dzieci wybrało krówki?

b. Franek z IIIc (losujący jako ostatni) wybrał krówkę jako piąty z dzieci?

c. co najmniej jedno dziecko wybrało krówkę?

Zadanie A.8. W urnie znajdują się 123 kule ponumerowane liczbami 1, 2, . . . , 123. Losujemy kolejno ze zwracaniem 15 razy po jednej kuli. Jaka jest szansa, że

a. dokładnie sześć wylosowanych liczb było parzystych?

b. ostatnia wylosowana kula była szóstą wylosowaną liczbą parzystą?

c. co najmniej jedna wylosowana kula miała liczbę parzystą?

Zadanie A.9. W urnie znajduje się 201 losów: 100 o wartości 0 zł i 101 o wartości 1 zł. 30 osób losuje - każda po jednym losie - i zatrzymuje los dla siebie. Jaka jest szansa, że

a. dokładnie siedem osób miało los o wartości 1 zł?

b. Gosia jest jedną z siedmiu osób, które wylosowały los o wartości 1?

c. co najmniej dwie osoby miały los o wartości 1?

Zadanie A.10. Z urny, w której znajduje się 50 kul białych i 40 kul czarnych losujemy 20 różnych kul. Jaka jest szansa, że

a. 5 kul było czarnych?

b. wszystkie kule były białe?

Przeanalizuj to zadanie rozważając losowanie kolejno jak i losowanie jednocześnie.

Zadanie A.11. (PODSUMOWANIE) W kartonie znajduje się 40 zdrowych jabłek i 30 zgniłych. Na ile sposobów możemy wybrać

i. jednocześnie

ii. kolejno bez zwracania iii. kolejno ze zwracaniem 20 jabłek z kartonu

a. w ogóle?

b. tak, aby dokładnie 11 wybranych jabłek było zgniłych?

(3)

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE Zadanie B.1. (rozgrzewka)

Ile jest możliwych wyników 5 rzutów kostką, a. w ogóle?

b. w których w każdym rzucie wypadła inna liczba oczek?

c. w których wypadła co najmniej jedna jedynka?

d. w których szóstka wypadła dokładnie 3 razy?

e. w których szóstka wypadła co najmniej 3 razy?

W każdym kolejnym zadaniu podaj, z jakich elementów składa się zbiór Ω.

Zadanie B.2. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 5–osobowej delegacji wybranej losowo z klasy liczącej 15 dziewcząt i 16 chłopców, znajdzie się dokładnie 3 chłopców.

Zadanie B.3. W piekarni sprzedawane są dwa rodzaje drożdżówek: z kruszonką i z makiem. Pan Mikołaj codziennie, od poniedziałku do soboty, kupuje jedną drożdżówkę, losowo wybierając smak. Jaka jest szansa na to, że w tym tygodniu

a. pan Mikołaj będzie jadł tylko drożdżówki z makiem?

b. pan Mikołaj zje dokładnie trzy drożdżówki z makiem?

c. pan Mikołaj zje w sobotę drożdżówkę z makiem po raz trzeci?

d. pan Mikołaj zje co najwyżej trzy drożdżówki z makiem?

Zadanie B.4. Jaka jest szansa, że przy losowym przestawianiu wszystkich 26 liter alfabetu (bez polskich liter) utworzymy sekwencję (a) abc ? (b) rachunek ?

Zadanie B.5. Administracja osiedla postanowiła pomalować każdy z 15 bloków na jeden z siedmiu kolorów. Kolor każdego bloku wybierano w losowy sposób. Jaka jest szansa na to, że

a. dokładnie 5 bloków będzie zielonych?

b. co najmniej jeden blok będzie zielony?

c. co najwyżej dwa bloki będą zielone?

Zadanie B.6. Losujemy kolejno, ze zwracaniem cztery cyfry ze zbioru cyfr od 2 do 7 i zapisujemy je na kartce. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

a. otrzymana liczba jest nieparzysta, b. żadna cyfra się nie powtarza,

c. otrzymana liczba zawiera dokładnie dwie cyfry 3,

d. otrzymana liczba zawiera dokładnie dwie cyfry 3, w tym na ostatnim miejscu, e. otrzymana liczba zawiera co najwyżej dwie cyfry parzyste.

Zadanie B.7. W urnie jest 5 losów wygrywających wartych 1 zł i 15 losów przegrywających (wartych 0 zł). Losujemy 6 losów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygramy dokładnie 3 zł, jeżeli:

a. losy danego typu są rozróżnialne i losujemy je kolejno, ze zwracaniem, b. losy danego typu są rozróżnialne i losujemy je jednocześnie,

c. losy danego typu są rozróżnialne i losujemy je kolejno, bez zwracania.

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.8. Losujemy 10 kart z talii 52 kart. Klejność wylosowanych kart nie jest istotna. Ile jest możliwych układów, w których

a. wylosowaliśmy wszystkie króle?

(4)

b. wylosowaliśmy 4 czarne i 6 czerwonych kart?

c. wylosowalismy co najmniej jednego kiera?

d. wylosowaliśmy co najmniej 2 kiery?

Zadanie B.9. Rzucamy dziesięć razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

a. wypadło dokładnie 5 reszek,

b. wypadły dokładnie 4 reszki, w tym za pierwszym i drugim razem, c. wypadły co najmniej 3 reszki,

d. wypadło co najwyżej 8 reszek.

Zadanie B.10. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany ciąg binarny (składający się z „0” i „1”) długości 15 ma dokładnie 10 zer.

Zadanie B.11. Ania losuje kolejno, ze zwracaniem 10 kart z talii 52 kart. Jaka jest szansa, że a. wylosowała same króle?

b. wylosowała dokładnie 5 trefli?

c. wylosowała co najmniej 2 trefle?

d. żadna karta nie została wylosowana 2 razy?

Zadanie B.12. W urnie znajduje się 50 kul ponumerowanych liczbami 1, 2, . . . , 50. Losujemy kolejno ze zwracaniem 13 razy po jednej kuli. Jaka jest szansa, że

a. dokładnie siedem wylosowanych kul było ponumerowanych liczbami podzielnymi przez 10?

b. dokładnie siedem wylosowanych kul miało numery podzielne przez 10, w tym trzy pierwsze wylosowane kule?

c. ostatnia wylosowana kula była siódmą wylosowaną liczbą podzielną przez 10?

d. co najmniej jedna wylosowana kula miała numer podzielny przez 10?

e. co najwyżej dwie kule miały numery podzielne przez 10?

f. żadnej kuli nie wylosowaliśmy dwa razy?

(5)

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 a) 6⁵ b) (6)5 c) 6⁵− 5⁵ d) ⁵₃5² e) ⁵₃5²+ ⁵₄5 + 1

B.2 (¹⁵₂)(¹⁶₃) (³¹5) B.3 a) ₂¹₆ b) (⁶₃)

2⁶ c) (⁵₂)

2⁶ d) ₂¹₆ +₂⁶₆+(⁶₂)

2⁶ +(⁶₃)

2⁶

B.4 (a)^24!_26! (b)^19!_26!

B.5 a) (¹⁵₅)⁶¹⁰

7¹⁵ b) 1 −⁶₇¹⁵₁₅ c) ⁶₇¹⁵₁₅ +^15·6₇₁₅¹⁴ +(¹⁵₂)⁶¹³

7¹⁵

B.6 a) ¹₂ b) ⁽⁶⁾₆4⁴ c) (⁴₂)⁵²

6⁴ d)^3·5₆4² e) ³₆⁴4 +^4·3₆4⁴ +(⁴₂)³⁴

6⁴

B.7 a) (⁶₃)⁵³¹⁵³

20⁶ b) (⁵₃)(¹⁵₃)

(²⁰₆) c) (⁶₃)⁽⁵⁾3(15)₃ (20)₆

B.8 a) ⁴⁸₆ b) ²⁶₄ 26

6 c) ⁵²₁₀ − ³⁶₁₀ d) ⁵²₁₀ − ³⁹₁₀ − 13 ³⁹₉ B.9 a) (¹⁰5)

2¹⁰ b) (⁸2)

2¹⁰ c) 1 −₂¹10 −(¹⁰1)

2¹⁰ −(¹⁰2)

2¹⁰ d) 1 −(¹⁰9)

2¹⁰ −₂¹10

B.10 (¹⁵10)

2¹⁵

B.11 a) ₅₂⁴¹⁰₁₀ b) (¹⁰₅)¹³⁵³⁹⁵

52¹⁰ c) 1 −³⁹₅₂¹⁰₁₀ −^10·13·39₅₂₁₀ ⁹ d) ⁽⁵²⁾₅₂₁₀¹⁰ B.12 a)(¹³₇)⁵⁷⁴⁵⁶

50¹³ b) (¹⁰₄)⁵⁷⁴⁵⁶

50¹³ c) (¹²₆)⁵⁷⁴⁵⁶

50¹³ d) 1 −⁴⁵₅₀¹³₁₃ e) ⁴⁵₅₀¹³₁₃ +^13·5·45₅₀₁₃¹² +(¹³₂)⁵²⁴⁵¹¹

50¹³