Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1

EGZAMIN, 27.3.2020

Imię i nazwisko: Antoni Zakroczymski Nr indeksu: ...

1 2 3 4 5 6 SUMA

Zadania (6 · 3 = 18 punktów)

Za każde zadanie można otrzymać 3 punkty. Wszystkie odpowiedzi proszę starannie uzasadniać! Nie korzy- stamy z kalkulatorów, smartfonów, itp. Odpowiedzi liczbowe prosimy podawać w postaci ułamka nieskracalnego, na przykład 2/3, a nie 24/36 (nie dotyczy zadań oznaczonych symbolem ♣).

Powodzenia!!!

Zadanie 1. Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie mają dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1.

Zadanie 2. Chłopiec ma w lewej kieszeni 3 cukierki „Krówki” i jednego „Irysa”, a w prawej kieszenie ma dwie

„Krówki” i dwa „Irysy”. Wyjął dwa cukierki z losowo wybranej kieszeni i okazało się, że jeden z nich to

„Krówka”, a drugi to „Irys”. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjął cukierki z lewej kieszeni, a jakie, że z prawej?

Zadanie 3. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych 7 osób (a) żadne dwie nie urodziły się tego samego dnia tygodnia,

(b) dokładnie dwie urodziły się w niedzielę i dokładnie dwie urodziły się w sobotę.

1

Zadanie 4. Z przedziału [0, 8], zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym, losujemy kolejno dwie liczby x i y.

Następnie tworzymy dwa okręgi¹o środkach w punktach (−2, 0) i (2, 0) oraz promieniach x i y odpowiednio.

Wyznacz prawdopodobieństwo, że tak powstałe okręgi mają co najmniej jeden punkt wspólny.

Zadanie 5. Jaś ma dwie monety asymetryczne. Na jednej wypada orzeł z prawdopodobieństwem 1/4, na drugiej — z prawdopodobieństwem 3/4. Losuje monetę z równym prawdopodobieństwem, a następnie rzuca wylosowa- ną monetą dwa razy. Niech X oznacza liczbę wylosowanych orłów. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

Zadanie 6. (4 pkt) Niech A, B będą zdarzeniami losowymi, A⁰, B⁰ oznaczają zdarzenia przeciwne. Wiadomo, że P (B⁰|A) = 1/2, P (B|A⁰) = 1/3, P (A) = P (B) = p. Oblicz p.

1Okrąg to zbiór punktów równo odległych od ustalonego punktu, zwanego środkiem okręgu.

2