NOTATKI NA ZAJĘCIA
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki
Spis treści
1. Przestrzenie metryczne 1
1.1. Definicje i przykłady 1
1.2. Zbieżności, zbiory 2
1.3. Odwzorowania przestrzeni metrycznych 3
2. Geometria euklidesowa – przestrzeń afiniczna 5
3. Krzywe płaskie 8
3.1. Podstawowe definicje 8
3.2. Wektor styczny, długość krzywej 9
3.3. Krzywizna 13
4. Krzywe przestrzenne 14
4.1. Podstawowe definicje 14
4.2. Trójścian Freneta 15
Literatura 16
1. Przestrzenie metryczne
1.1. Definicje i przykłady. Niech X będzie niepustym zbiorem. Metryką na X nazywamy dowolną funkcję d : X × X → R spełniającą następujące warunki
(1) d(x, y) 0 dla x, y ∈ X oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, (2) d(x, y) = d(y, x) dla x, y, ∈ X,
(3) d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y) dla x, y, z ∈ X.
Warunek drugi nazywamy symetrią, zaś trzeci nierównością trójkąta. Metryka to funkcja, która mierzy odległość między dwoma dowolnymi punktami. Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.
Przykład 1.1. Podamy teraz standardowe przykłady przestrzeni metrycznych.
(1) Metryka dyskretna. W zbiorze X wprowadzamy metrykę wzorem d0(x, y) =
( 0 dla x = y 1 dla x 6= y .
(2) Metryka euklidesowa. Na płaszczyźnie R2 wprowadzamy ”zwykłą” od- ległość,
d((x1, y1), (x2, y2)) =q(x2− x1)2 + (y2− y1)2.
(3) Metryka miasto. Na płaszczyźnie R2 obliczamy odległość poruszając się po odcinkach pionowych i poziomych (ulicach w mieście). Zatem przyjmujemy
d((x1, y1), (x2, y2)) = |x2− x1| + |y2− y1|.
(4) Metryka rzeka. Na płaszczyźnie R2 rzeką nazywamy prostą Ox. Wów- czas z jednego do drugiego punktu poruszamy się tak, że najpierw do- chodzimy do rzeki po najkrótszej linii, później idziemy wzdłuż rzeki do wysokości drugiego punktu i pod kątem prostym kierujemy się do celu, chyba, że oba punkty leżą jeden nad drugim, tzn.
d((x1, y1), (x2, y2)) =
( |y2− y1| dla x1 = x2
|y1| + |x2− x1| + |y2| dla x1 6= x2 .
(5) Metryka maksimum. Odległość to maksymalna wartość z odległości w pionie lub poziomie,
d((x1, y1), (x2, y2)) = max{|x2− x1|, |y2− y1|}.
(6) Metryka kolei. Poruszamy się po promieniach, tzn.
d((x1, y1), (x2, y2)) =
q(x2− x1)1+ (y2− y1)2 dla x2y1 = x1y2
q
x21+ y12+qx22+ y22 dla x2y1 6= x1y2 . Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Kulą otwartą o środku w punk- cie x0 i promieniu r nazywamy zbiór
K(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r} .
Kulą domkniętą o środku w punkcie x0 i promieniu r nazywamy zbiór K(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) ¬ r} .
Ćwiczenie 1.1. Wyznaczyć kule otwarte i domknięte we wszystkich przestrzeniach me- trycznych z powyższego przykładu.
1.2. Zbieżności, zbiory. Niech (xn)będzie ciągiem punktów w przestrzeni me- trycznej (X, d). Powiemy, że punkt x0 ∈ X jest granicą ciągu (xn) jeśli dla każdego ε > 0 istnieje liczba naturalna N taka, że dl każdego n > N mamy
d(xn, x0) < ε.
Mówimy wtedy, że ciąg (xn) jest zbieżny do x0. Piszemy
n→∞lim xn = x0 lub xn→ x0 przy n → ∞.
Powiemy, że zbiór A ⊂ X jest
(1) otwarty, jeśli dla każdego punktu x ∈ A istnieje kula otwarta K(x, r) taka, że K(x, r) ⊂ A,
(2) domknięty, jeśli dla każdego ciągu zbieżnego (xn) punktów zbioru A jego granica x0 jest elementem zbioru A tzn. x0 ∈ A.
Dopełnieniem zbioru A nazywamy zbiór A0 = X \ A.
Ćwiczenie 1.2. Pokazać, że jeśli zbiór A jest otwarty, to jego dopełnienie A0 jest zbiorem domkniętym i na odwrót.
Podamy teraz trzy pojęcia związane z domkniętością i otwartością zbiorów.
(1) Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich granic ciągów o ele- mentach ze zbioru A i oznaczamy przez A, tzn.
x0 ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy x0 = lim
n→∞xn dla pewnego ciągu (xn) ⊂ A.
(2) Wnętrzem intA zbioru A nazywamy zbiór wszystkich jego punktów we- wnętrznych, czyli takich punktów x ∈ A dla których istnieje kula K(x, r) zawarta w A.
(3) Brzegiem F r(A) zbioru A nazywamy zbiór A ∩ X \ A.
Przy powyższych pojęciach otrzymujemy.
Stwierdzenie 1.2. Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy A = A, zaś otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy A = intA.
Ćwiczenie 1.3. Pokazać, że (1) intA ⊂ A ⊂ A,
(2) zbiór intA jest największym zbiorem otwartym zawartym w A, (3) zbiór A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym A,
(4) x ∈ F r(A) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej kuli otwartej K(x, r) mamy K(x, r) ∩ A 6= ∅oraz K(x, r) ∩ A06= ∅.
Na koniec, powiemy, że zbiór A jest spójny jeśli nie da się go przedstawić w postaci sumy A = B ∪ C, gdzie B i C są rozłącznymi niepustymi zbiorami otwartymi, zaś A jest zwarty jeśli jest domknięty i ograniczony.
Ćwiczenie 1.4. Wyznaczyć wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru A ⊂ X, jeśli (1) X = R, d(x, y) = |x − y|, A =1
n
n∈N∪ {0}, (2) X = R2, d jest metryką kolei, zaś A = K((0, 0), 1), (3) X = R2, d jest metryką naturalną, zaś A = [0, 1] ×1
n
n∈N, (4) X = R, d0 jest metryką dyskretną, A = (0, 1).
1.3. Odwzorowania przestrzeni metrycznych. Niech (X, dX) i (Y, dY) będą dwiema przestrzeniami metrycznymi, f : X → Y pewnym przekształceniem.
Powiemy, że f jest odwzorowaniem ciągłym w punkcie x0 ∈ X jeśli dla dowol- nego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że jeśli dX(x, x0) < δ, to dY(f (x), f (x0)) < ε,
∀ε>0 ∃δ>0 (dX(x, x0) < δ ⇒ dY(f (x), f (x0) < ε) .
Równoważnie, jeśli dla każdego ciągu (xn) zbieżnego do x ciąg f (xn) jest zbieżny do f (x0),
∀(xn)⊂X
n→∞lim xn = x0 ⇒ lim
n→∞f (xn) = f (x0)
.
Jeśli odwzorowanie f : X → Y jest ciągłe w każdym punkcie x ∈ X, to mówimy, po prostu, że f jest ciągłe. Jeśli ponadto f posiada odwzorowanie odwrotne f−1 : Y → X, które też jest ciągłe, to mówimy, że f jest homeomorfizmem.
Jeśli istnieje homeomorfizm pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi, to mówimy, że są one homeomorficzne.
Ćwiczenie 1.5. Pokazać, że następujące przestrzenie metryczne są homeomorficzne (1) (a, b) i R,
(2) (−∞, a) i R, (3) (a, b) i (c, d),
gdzie na prostej rozważamy ”zwykłą” metrykę euklidesową.
Ćwiczenie 1.6. Pokazać, że każde dwie przestrzenie metryczne równoliczne z metrykami dyskretnymi są homeomorficzne.
Ćwiczenie 1.7. Niech f : (X, dX) → (Y, dY) będzie homeomorfizmem. Pokazać, że jeśli A ⊂ X
(1) jest zbiorem otwartym, to f (A) jest też zbiorem otwartym, (2) jest zbiorem domkniętym, to f (A) jest też zbiorem domkniętym, (3) jest zbiorem spójnym, to f (A) jest też zbiorem spójnym.
Ćwiczenie 1.8. Czy przestrzeń euklidesowa i przestrzeń z metryką kolei są homeomorficz- ne.
Przekształcenie f : (X, dx) → (Y, dY) nazywamy izometrią jeśli zachowuje odległości, tzn.
dY(f (x), f (y)) = dX(x, y) dla każdych x, y ∈ X.
Jeśli istnieje izometria pomiędzy dwiema przestrzeniami metrycznymi, to po- wiemy, że są one izometryczne.
Ćwiczenie 1.9. Pokazać, że translacja, symetria, obrót na płaszczyźnie z metryką euklide- sową są izometriami.
Ćwiczenie 1.10. Pokazać, że dowolne dwie przestrzenie metryczne dyskretne homeomor- ficzne są izometryczne.
Ćwiczenie 1.11. Wyznaczyć wszystkie izometrie trójkąta równobocznego.
2. Geometria euklidesowa – przestrzeń afiniczna
Na płaszczyźnie R2 lub w przestrzeni R3 każdą parę [x, y] lub trójkę [x, y, z]
będziemy nazywali wektorem. Początkiem wektora nazywać będziemy punkt (0, 0) lub (0, 0, 0) a jego końcem punkt (x, y) lub (x, y, z). Wprowadzamy doda- wanie wektorów jako dodawanie po współrzędnych,
[x1, y1] + [x2, y2] = [x1+ x2, y1+ y2] lub [x1, y1, z1] + [x2, y2, z2] = [x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2], oraz mnożenie przez liczbę
a[x, y] = [ax, ay] lub a[x, y, z] = [ax, ay, az].
Daną przestrzeń R2 lub R3 z tak wprowadzonymi działaniami nazywamy prze- strzenią wektorową.
Wektor [0, 0] lub [0, 0, 0] nazywamy wektorem zerowym i oznaczamy−→ 0. Wek- tory oznaczać będziemy literami u, v, w ze ”strzałką”, np. −→u , −→v , −→w itd.
Podzbiór V ⊂ R2(R3) nazywamy podprzestrzenią liniową jeśli oba działania nie wyprowadzają ze zbioru V , tzn. u + v ∈ V dla u, v ∈ V oraz au ∈ V dla u ∈ V.
Ćwiczenie 2.1. Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie liniowe w R2 i R3.
W R2 i R3 definiujemy działanie dodawania punktów i wektorów. Do punktu możemy dodać wektor aby otrzymać punkt. Dokładniej,
(x, y)+[ux, uy] = (x+ux, y+uy) lub (x, y, z)+[ux, uy, uz] = (x+ux, y+uy, z+uz).
Działanie to ma następujące własności
(p + −→u ) + −→v = p + (−→u + −→v ), p +−→
0 = p.
Ponadto dla każdych dwóch punktów p i q istnieje jedyny wektor −→u taki, że p + −→u = q. Oznaczamy go przez−→pq. Nieprecyzyjnie,
−
→pq = q − p.
Z takimi działaniami R2 i R3 nazywamy przestrzeniami afinicznymi. Podzbiór W nazywamy podprzestrzenią afiniczną jeśli jest postaci
W = p + V = {p + −→u : −→u ∈ V },
gdzie p jest pewnym punktem, zaś V podprzestrzenią liniową. Innymi słowy, podprzestrzeń afiniczna to przesunięta podprzestrzeń liniowa. Często podprze- strzeń liniową V odpowiadającą podprzestrzeni afinicznej W oznaczamy przez S(W ).
Ćwiczenie 2.2. Wyznaczyć S(W ), gdzie W jest podprzestrzenią afiniczną zawierającą punkty (1, 1, 1), (0, 2, −3) oraz (−1, 0, 3).
Zauważmy, że jeśli w R2 wprowadzimy metrykę euklidesową, to normą k−→u k wektora −→u = [ux, uy] nazywamy jego długość, czyli
k−→u k = d((ux, uy), (0, 0)) =qu2x+ u2y.
Tak samo definiujemy normę wektora w R3. Norma ma następujące własności (1) k−→u k 0 oraz k−→u k = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy −→u =−→
0, (2) k−→u + −→v k ¬ k−→u k + k−→v k.
Ćwiczenie 2.3. Wyznaczyć normy wektorów−→u = (1, 2),−→v = (2, 6, −3).
Iloczynem skalarnym wektorów −→u i −→v nazywamy liczbę h−→u , −→v i = uxvx+ uyvy lub
h−→u , −→v i = uxvx+ uyvy+ uzvz. Zauważmy, że
k−→u k =qh−→u , −→u i.
Można pokazać, że
h−→u , −→v i = k−→u k · k−→v k · cos α(−→u , −→v ),
gdzie α(−→u , −→v ) jest kątem między wektorami −→u i−→v. Stąd wynika, że wektory
−
→u i −→v są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy h−→u , −→v i = 0.
Ćwiczenie 2.4. Obliczyć iloczyn skalarny oraz kąt między wektorami −→u = (1, 3)i −→v = (−2, 2).
Przejdźmy teraz do przestrzeni trójwymiarowej R3. Niech (−→u , −→v , −→w ) będzie bazą przestrzeni R3, tzn. każdy wektor z R3 jest postaci a−→u + b−→v + c−→w dla pewnych liczb a, b, c. Wtedy wyznacznik
ux uy uz
vx vy vz wx wy wz
jest różny od zera. Powiemy, że baza (−→u , −→v , −→w ) jest dodatnio zorientowana jeśli powyższy wyznacznik jest dodatni, zaś ujemnie zorientowana, jeśli po- wyższy wyznacznik jest ujemny.
Ćwiczenie 2.5. Pokazać, że wektory−→
i = (1, 0, 0),−→
j = (0, 1, 0)i−→
k = (0, 0, 1)tworzą bazę dodatnio zorientowaną.
Bazę z powyższego ćwiczenia nazywamy bazą kanoniczną.
Ćwiczenie 2.6. Pokazać, że wektory −→u = (1, 0, −2), −→v = (1, 1, 1)i −→w = (0, −2, 3)tworzą bazę przestrzeni R3. Sprawdzić czy jest to baza dodatnio czy ujemnie zorientowana.
Niech −→u i −→v będą dwoma dowolnymi wektorami. Załóżmy, że nie leżą one na jednej prostej, tzn. nie istnieje liczba a taka, że a−→u = v. Niech Π będzie płaszczyzną wyznaczoną przez te wektory. Wówczas wektor−→w prostopadły do płaszczyzny Π o długości k−→u kk−→v k sin α(−→u , −→v ) i taki, że baza (−→u , −→v , −→w ) jest dodatnio zorientowana nazywamy iloczynem wektorowym wektorów −→u oraz
−
→v i oznaczamy przez −→u × −→v . Zatem
k−→u × −→v k = k−→u kk−→v k sin α(−→u , −→v ).
można pokazać, że iloczyn wektorowy można wyznaczyć ze wzoru
−
→u × −→v =
−
→i −→ j −→
k ux uy uz vx vy vz
.
Ćwiczenie 2.7. Wyznaczyć iloczyn wektorowy wektorów−→u = (1, −2, 0)i−→v = (0, 2, 5).
Ćwiczenie 2.8. Pokazać, że−→v × −→u = −−→u × −→v.
Na koniec tego paragrafu pokażemy jak różniczkować iloczyn skalarny i wektorowy. Niech t 7→ −→u (t) będzie przyporządkowaniem liczbie t wektora
−
→u (t), tzn.
−
→u (t) = [ux(t), uy(t), uz(t)],
gdzie ux, uy, uz są funkcjami zmiennej t. Jeśli każda z tych funkcji jest różnicz- kowalna, to przyjmujemy
−
→u0(t) = [u0x(t), u0y(t), u0z(t)] dla każdego t.
Wówczas −→u0(t) jest również wektorem.
Niech −→v (t) będzie kolejnym przyporządkowaniem parametrowi t pewnego wektora. Wtedy iloczyn skalarny h−→u (t), −→v (t)ijest funkcją (rzeczywistą) zmien- nej t. Oznaczmy ją przez h−→u , −→v i. Podobnie iloczyn wektorowy→−u (t) × −→v (t)jest funkcją zmiennej t przypisującej liczbie t pewien wektor, który oznaczymy przez (−→u × −→v )(t). Zachodzą następujące zależności
h−→u , −→v i0(t) = h−→u0(t), −→v (t)i + h−→u (t), −→v (t)i, (−→u × −→v )0(t) = −→u0(t) × −→v (t) + −→u (t) × −→v0(t).
Ćwiczenie 2.9. Pokazać, że zachodzą powyższe równości.
Ćwiczenie 2.10. Niech
−
→u (t) = (t, 3t + 2, t2), −→v (t) = (sin t, cos t, t).
Wyznaczyć−→u0(t),−→v0(t)oraz pokazać, że prawdziwe są powyższe wzory.
3. Krzywe płaskie
3.1. Podstawowe definicje. Krzywą na płaszczyźnie nazywamy dowolne cią- głe przekształcenie γ : [a, b] → R2 przedziału [a, b]. Będziemy pisali
γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b].
Innymi słowy funkcje x : [a, b] → R i y : [a, b] → R opisują współrzędną x i y krzywej γ.
Wykres funkcji ciągłej jest krzywą. Istotnie, dla funkcji f : [a, b] → R jej wykres jest krzywą postaci
γ(t) = (t, f (t)), t ∈ [a, b].
Krzywą nazywamy również wykresem jeśli jest postaci γ(t) = (g(t), t), t ∈ [a, b], dla pewnej funkcji ciągłej g.
Krzywą γ : [a, b] → R2 często utożsamiamy z jej obrazem Γ = {γ(t) : t ∈ [a, b]}. Jeśli krzywa γ jest dana równaniem
(1) F (x, y) = 0,
gdzie F : R2 → R jest funkcją ciągłą, tzn. jeśli funkcje x(t) i y(t) spełniają równanie F (x(t), y(t)) = 0 dla każdego t ∈ [a, b], to mówimy, że równanie (1) jest równaniem ogólnym krzywej.
Przykład 3.1. Okrąg jednostkowy o środku O(0, 0) jest krzywą postaci
γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Równanie ogólne okręgu jest następujące x2+ y2 = 1.
Okrąg nie jest wykresem żadnej funkcji, ale ”lokalnie” jest wykresem. Na przy- kład górny półokrąg jest wykresem funkcji f (x) =√
1 − x2, zaś lewy półokrąg wykresem funkcji g(y) = −√
1 − y2.
Jeśli krzywą γ utożsamiamy z jej obrazem Γ, to odwzorowanie γ nazywamy parametryzacją krzywej Γ. Każda krzywa posiada wiele parametryzacji. Jeśli γ : [a, b] → R2 jest krzywą oraz ϕ : [c, d] → [a, b] jest funkcją ciągłą, to krzywa γ ◦ ϕ : [c, d] → R2 jest inną parametryzacją krzywej γ.
Przykład 3.2. Niech γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, π], tzn. γ jest górnym pół- okręgiem o promieniu 1. Zauważmy, że krzywa ˜γ(t) = (cos 2t, sin 2t), t ∈ [0,π2] wyznacza ten sam półokrąg. Mamy ponadto ˜γ = γ ◦ ϕ, gdzie ϕ : [0,π2] → [0, π]
jest postaci ϕ(t) = 2t.
3.2. Wektor styczny, długość krzywej. Powiemy, że krzywa γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], jest klasy Ck, k ∈ N, jeśli każda współrzędna x : [a, b] → R i y : [a, b] → R jest funkcją klasy Ck. Jeśli krzywa γ jest klasy Ckdla każdego k ∈ N to mówimy, że γ jest klasy C∞ lub, że jest gładka.
Można pokazać, że jeśli krzywa γ jest przynajmniej klasy C1, to jej obraz jest zbiorem brzegowym na płaszczyźnie, tzn., że nie ma punktów wewnętrznych.
Wówczas wektor
γ0(t0) = [x0(t0), y0(t0)]
nazywamy wektorem stycznym do krzywej γ w chwili t0. Długość wektora stycznego w chwili t0 nazywamy prędkością w chwili t0, tzn. prędkością nazy- wamy następującą liczbę
kγ0(t0)k =qx0(t0)2 + y0(t0)2.
Ćwiczenie 3.1. Pokazać, że obraz krzywej klasy C1 jest zbiorem brzegowym.
Ćwiczenie 3.2. Wyznaczyć prędkości parametryzacji krzywej z Przykładu 3.1.
Ćwiczenie 3.3. Wyznaczyć zależność prędkości parametryzacji γ i γ ◦ ϕ.
Przykład 3.3. Pokażemy, że wykres funkcji f (x) = |x| jest krzywą gładką po- mimo iż wartość bezwzględna nie jest funkcją różniczkowalną w 0. Na krzywą γ możemy patrzeć jak na punkt poruszający się po tej krzywej z pewną pręd- kością. W punkcie (0, 0) wykres krzywej γ ma ”ostrze”. Aby w sposób gładki pokonać to ”ostrze” prędkość w tym punkcie powinna wynosić 0. Niech więc f : R → R będzie funkcją taką, że
(1) f (0) = 0,
(2) limt→−∞f (t) = −∞ oraz limt→∞f (t) = ∞, (3) f jest gładka i różnowartościowa,
(4) f(k)(0) = 0dla każdego k ∈ N.
Przykładem takiej funkcji jest
f (t) =
− tgπ2e−t21 dla t < 0 0 dla t = 0 tgπ2e−t21 dla t > 0
.
Niech
γ(t) = (f (t), |f (t)|), t ∈ R.
Oczywiście parametryzacja γ jest parametryzacją wykresu wartości bezwzględ- nej. Ponadto istnieje pochodna każdego rzędu w punktach t 6= 0. Dla t = 0 istnieje pochodna γ0(0) i jest równa
γ(k)(0) = [0, 0].
Ćwiczenie 3.4. Uzupełnić szczegóły powyższego przykładu.
Powiemy, że krzywa γ klasy C1 jest regularna jeśli posiada parametryzację, dla której wektor styczne γ0(t)jest, w każdej chwili t, niezerowy. Innymi słowy, jeśli prędkość parametryzacji γ jest, w każdej chwili, dodatnia.
Ćwiczenie 3.5. Pokazać, że wykres funkcji f (t) = |t| nie jest krzywą regularną.
Niech γ : [a, b] → R2 będzie krzywą regularną. Liczbę L(γ) =
Z b a
kγ0(t)kdt nazywamy długością krzywej γ.
Ćwiczenie 3.6. Pokazać, że długość krzywej nie zależy od wyboru parametryzacji krzywej regularnej.
Ćwiczenie 3.7. Wyznaczyć długości następujących krzywych:
(1) γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π], (2) γ(t) = (t2, t + 1), t ∈ [0, 1].
(3) γ(t) = (t cos t, t sin t), t ∈ [2π, 3π], (4) γ(t) = (et, t), t ∈ [0, ln2].
Często wygodnie jest opisać krzywą we współrzędnych biegunowych. Współ- rzędnymi biegunowymi punktu P (x, y) nazywamy parę liczb (r, α), gdzie r jest odległością punktu P od początku układu współrzędnych O(0, 0), zaś α jest kątem między promieniem wodzącym OP a dodatnią półosią Ox, tzn.
r =
q
x2+ y2 oraz tg α = y
x (o ile x 6= 0) lub równoważnie (i ogólniej)
x = r cos α oraz y = r sin α.
Krzywą γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ (a, b), możemy zatem we współrzędnych biegu- nowych wyrazić następująco
γ(t) = (r(t), α(t)), t ∈ (a, b).
W wielu przykładach funkcja r jest funkcją zmiennej α, tzn. krzywa γ może być postaci r = r(α), czyli
γ(α) = (r(α), α) równoważnie γ(α) = (r(α) cos α, r(α), sin α).
Ćwiczenie 3.8. Znaleźć przestawienia biegunowe następujących krzywych (1) Lemniskata Bernoulliego (x2+ y2)2= 2a2(x2− y2),
(2) Kardioida (x2+ y2− ax)2= a2(x2+ y2), (3) Rozeta czterolistna (x2+ y2)3= a2(x4+ y4), gdzie a > 0 jest pewną stałą.
Ćwiczenie 3.9. Wyprowadzić wzór na prędkość krzywej danej we współrzędnych biegu- nowych. Później wyprowadzić wzór na długość krzywej. Obliczyć długości następujących krzywych
(1) Spirala logarytmiczna r(t) = aebt, t ∈ [0, 2π]
(2) Spirala hiperboliczne r(t) = at, t ∈ [0, 4π], (3) Spirala Archimedesa r(t) = at, t ∈ [0,π2],
(4) Ślimak Pascala r(t) = a cos t + b, t ∈ [0, 2π], gdzie a < b < 2a.
Podamy teraz bardziej naturalną definicję długości krzywej i pokażemy jej równoważność z wprowadzoną powyżej definicją.
Niech γ : [a, b] → R2 będzie krzywą regularną. Niech a = t0 < t1 < . . . <
tk−1 < tk = b będzie podziałem odcinka [a, b]. Niech L = L(t0,t1,...,tk) będzie łamaną łączącą punkty
γ(t0), γ(t1), . . . , γ(tk−1), γ(tk).
Długością łamanej L nazywamy sumę długości odcinków tworzących łamaną i oznaczamy przez dl(L), tzn.
dl(L) =
k−1
X
i=0
|γ(ti+1) − γ(ti)|,
gdzie |·| jest odległości na płaszczyźnie. Długością krzywej γ nazywamy liczbę dl(γ) = sup{dl(L(t0,t1,...,tk)) : t0 < t1 < . . . < tk−1 < tk jest podziałem odcinka [a, b]}.
Twierdzenie 3.4. Powyższe definicje długości krzywej są równoważne, tzn.
l(γ) = dl(γ) dla dowolnej krzywej regularnej.
Dowód. Niech a = t0 < t1 < . . . < tk−1 < tk = b będzie podziałem odcinka [a, b]. Wówczas
k−1
X
i=0
|γ(ti+1) − γ(ti)| =
k−1
X
i=0
Z ti+1
ti
γ0(t)dt
¬
k−1
X
i=0
Z ti+1
ti
|γ0(t)|dt
=
Z b
a
|γ0(t)|dt.
Z dowolności podziału otrzymujemy, że dl(γ) ¬ l(γ).
Pokażemy teraz, że zachodzi nierówność odwrotna. Niech ε > 0. Ponieważ γ jest klasy C1, więc pochodna γ0 jest ciągła. Ponieważ określona jest na przedziale domkniętym, więc jest jednostajnie ciągła. Zatem dla b−aε istnieje δ > 0 taka, że jeśli s, t ∈ [a, b] są takie, że |s − t| < δ, to
|γ0(s) − γ0(t)| < ε b − a.
Niech a = t0 < t1 < . . . < tk−1 < tk = b będzie podziałem odcinka [a, b] takim, że |ti+1− ti| < δ dla każdego i = 0, 1, . . . , k − 1. Z twierdzenia Larange’a o wartości średniej dla przedziału [ti, ti+1]istnieje θi ∈ (ti, ti+1) taka, że
γ(ti+1) − γ(ti) = γ0(θi)(ti+1− ti).
Niech ηi ∈ [ti, ti+1]będzie punktem, w którym pochodna γ0 na przedziale [ti, ti+1] przyjmuje maksymalną wartość. Ponieważ ti+1− ti < δ, więc
|γ0(θi) − γ0(ηi)| < ε b − a. Stąd mamy
k−1
X
i=0
|γ(ti+1) − γ(ti)| =
k−1
X
i=0
|γ0(θi)|(ti+1− ti)
k−1
X
i=0
(|γ0(ηi)| − ε
b − a)(ti+1− ti)
=
k−1
X
i=0
|γ0(ηi)|(ti+1− ti) − ε
=
k−1
X
i=0
Z ti+1
ti
|γ0(ηi)|dt − ε
k−1
X
i=0
Z ti+1
ti
|γ0(t)|dt − ε
=
Z b a
|γ(t)|dt − ε.
Pokazaliśmy, że dla wybranego podziału mamy
k−1
X
i=0
|γ(ti+1) − γ(ti)| l(γ) − ε.
Zatem, z definicji kresu górnego, wynika, że dl(γ) l(γ),
co kończy dowód.
3.3. Krzywizna. Dla krzywej regularnej wprowadzimy pojęcie krzywizny, które mierzy, jak sama nazwa wskazuje, zakrzywienie krzywej. Zaczniemy jednak od wprowadzenia parametryzacji naturalnej.
Niech γ : [a, b] → R2 będzie krzywą regularną. Powiemy, że krzywa γ jest spametryzowana naturalnie lub, że parametryzacja γ jest naturalna jeśli ma stałą prędkość równą 1, tzn. kγ0(t)k = 1 dla każdego t ∈ [a, b].
Ćwiczenie 3.10. Pokazać, że każda krzywa regularna γ posiada parametryzację naturalną.
Dokładniej
(1) wyznaczyć długość krzywej γ : [a, b] → R2 obciętej do przedziału [a, t]. Oznaczyć tę długość przez l(t).
(2) pokazać, że otrzymana funkcja l : [a, b] → [0, L], gdzie L = l(b) jest długością krzywej γ, jest rosnąca.
(3) pokazać, że ˜γ = γ ◦ l−1: [0, L] → R2 jest szukaną parametryzacją naturalną.
Niech γ : [a, b] → R2 będzie krzywą regularną sparametryzowaną naturalnie.
Niech
T (t) = γ0(t) będzie wektorem stycznym w chwili t. Liczbę κ(t) = kT0(t)k
nazywamy krzywizną krzywej γ w chwili t. Przyjmując N (t) = 1
κ(t)T0(t) o ile κ(t) 6= 0
otrzymujemy, że N (t) jest wektorem jednostkowym prostopadłym do T . Istotnie, 0 = d
dt1 = d
dthT (t), T (t)i = 2hT0(t), T (t)i = 2κ(t)hN (t), T (t)i.
Wektor N (t) nazywamy wektorem normalnym do krzywej γ w chwili t.
Ćwiczenie 3.11. Wyznaczyć krzywizny następujących krzywych:
(1) okrąg o promieniu r, (2) spirala Archimedesa, (3) elipsa o półosiach a i b, (4) kardioida.
4. Krzywe przestrzenne
4.1. Podstawowe definicje. Wszystkie definicje dla krzywych płaskich prze- noszą się na pojęcie krzywej przestrzennej. Jeśli γ : [a, b] → R3 jest krzywą przestrzenną, to będziemy pisać
γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].
Przykład 4.1. Niech γ : [0, 2π] → R3 będzie jedną pętlą linii śrubowej γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π].
Wyznaczymy długość, parametryzację naturalną oraz krzywiznę danej krzywej.
Mamy
γ0(t) = [−a sin t, a cos t, b]
oraz
kγ0(t)k =q(−a sin t)2+ (a cos t)2+ b2 =√
a2 + b2. Zatem długość krzywej γ jest równa
l(γ) =
Z 2π 0
kγ0(t)kdt =
Z 2π 0
√a2 + b2dt = 2π√
a2+ b2. Wyznaczymy teraz parametryzację naturalną. Mamy
l(t) = l(γ|[0, t]) =
Z t 0
√
a2+ b2dt = t√
a2+ b2. Dalej, l−1 : [0, 2π√
a2+ b2] → [0, 2π]jest postaci l−1(t) = t
√a2+ b2. Stąd parametryzacja naturalna ˜γ jest postaci
˜
γ(t) = γ(l−1(t)) = a cos t
√a2+ b2, a sin t
√a2+ b2, bt
√a2+ b2
!
, t ∈ [0, 2π√
a2+ b2].
Wówczas
T (t) = ˜γ0(t) =
"
√ a
a2 + b2 cos s, − a
√a2+ b2 sin s, b
√a2+ b2
#
, gdzie s = √a2t+b2. Stąd
T0(t) =
− a
a2+ b2 cos s, − a
a2+ b2sin s, 0
. Zatem krzywizna κ(t) linii śrubowej jest równa
κ(t) = kT0(t)k =
s
− a
a2+ b2 cos s
2
+
− a
a2+ b2 sin s
2
= 1
√a2+ b2. Zauważmy, że jeśli b = 0 to linia śrubowa jest okręgiem o promieniu a i wów- czas krzywizna jest równa κ(t) = a1 (patrz ćwiczenie 3.11).
Ćwiczenie 4.1. Wyznaczyć parametryzacje następujących krzywych:
(1) krzywa Vivianiego będąca przecięciem walca (x−12)2+y2= 14i sfery jednostkowej x2+ y2+ z2= 1,
(2) przecięcie sfery jednostkowej x2+ y2+ z2 = 1 i powierzchni wyznaczonej przez równanie y2= xz2.
Ćwiczenie 4.2. Wyznacz długość krzywej postaci (1) γ(t) = (√12cos t, sin t,√1
2cos t), gdzie t ∈ [0, 2π], (2) γ(t) =
(1+t)32
3 ,(1−t)
32
3 ,√s
2
, gdzie t ∈ [−1, 1].
4.2. Trójścian Freneta. Dla krzywej przestrzennej definiujemy dodatkowe po- jęcie związane odchyleniem krzywej w trzech wymiarach. Wprowadzając to pojęcie przypomnimy znane już pojęcia dla krzywej płaskiej.
Niech γ : [a, b] → R3 będzie krzywą przestrzenną, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Załóżmy, że jest ona sparametryzowana naturalnie. Wektor T (t) = γ0(t) = [x0(t), y0(t), z0(t)]
nazywamy wektorem stycznym do γ w chwili t ∈ (a, b). Wektor T (t) jest jed- nostkowy. Liczbę
κ(t) = kT0(t)k =qx00(t)2+ y00(t)2 + z00(t)2
nazywamy krzywizną krzywej γ w chwili t. Niech N (t) będzie wektorem jed- nostkowym równoległym do T0(t) i o tym samym zwrocie., tzn.
κ(t)N (t) = T0(t) o ile κ(t) 6= 0.
Wektor N (t) nazywamy wektorem normalnym do krzywej γ w chwili t. Ponie- waż
0 = 10 = hT (t), T (t)i0 = hT (t), T0(t)i = 1
κ(t)hT (t), N (t)i,
więc wektory T (t) i N (t) są prostopadłe. Płaszczyznę przechodzącą przez punkt γ(t) i wyznaczoną przez wektor styczny T (t) i normalny N (t) nazywamy płaszczyzną ściśle styczną do γ w chwili t. Niech
B(t) = T (t) × N (t).
Wektor B(t), prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej, nazywamy wektorem binormalnym. Trójkę T (t), N (t), B(t) tworzącą bazę ortonormalną w punkcie γ(t)nazywamy trójścianem Freneta (w chwili t). Pochodna wektora N w chwili t jest wektorem prostopadłym do T (t) i B(t), zatem
N0(t) = aT (t) + bB(t)
dla pewnych liczb a, b. Mamy
0 = hT (t), N (t)i0 = hT0(t), N (t)i + hT (t), N0(t)i = κ(t) + a,
więc a = −κ(t). Niech b = τ (t). Wartość τ (t) nazywamy skręceniem krzywej γ w chwili t. Mamy
N0(t) = −κ(t)T (t) + τ (t)B(t).
Ponadto
B0(t) = T0(t) × N (t) + T (t) × N0(t) = τ (t)T (t) × B(t) = −τ (t)N (t).
Otrzymaliśmy tzw. wzory Freneta
T0(t) = κ(t)N (t),
N0(t) = −κ(t)T (t) + τ (t)B(t), B0(t) = −τ (t)N (t).
Ćwiczenie 4.3. Wyznaczyć krzywiznę i skręcenie następujących krzywych (1) krzywych z ćwiczenia 4.2,
(2) linii śrubowej,
Ćwiczenie 4.4. Wyprowadzić wzory na krzywiznę i skręcenie dla krzywych niekoniecznie sparametryzowanych naturalnie.
Literatura
[1] J. Opera, Geometria i jej zastosowania, PWN, Warszawa, 2002.
[2] K. Sieklucki, Geometria i topologia, Część I. Geometria, PWN, Warszawa, 1978.
[3] P. Walczak, Geometria różniczkowa 1, skrypt, www.math.uni.lodz.pl/ pawelwal/Dg- wstep.pdf
