Zadania - lista 5
1. Korzystaj ac z de nicji granicy ci agu poka», »e
n→+∞
lim
6n + 1 3n + 1 = 2.
2. Oblicz granic e ci agu o podanym wyrazie ogólnym (a) a
n=
2n32;
(b) b
n=
3n27+4; (c) c
n=
2n6n+12−1; (d) d
n=
5n2+3n−1n2;
(e) e
n=
nn+12+1;
(f) f
n=
5n6n22−3n+4+2n−7; (g) g
n=
n3+5nn32+2; (h) h
n=
n+1n3;
(i) i
n=
(−1)2+5nn; (j) j
n=
5n+(−1)3n+7 n. 3. Oblicz:
(a) lim
n→+∞
3n−5 1−n
; (b) lim
n→+∞
100n n2+3
; (c) lim
n→+∞
−n3 n+1
; (d) lim
n→+∞
(n+1)(2n+3) (3n−2)(n+5)
; (e) lim
n→+∞
n3+2n2−5n+7 (n+1)(n+2)(n+3)
; (f) lim
n→+∞
2+4+6+...+2n n2
;
(g) lim
n→+∞
1+3+5+...+2n−1 1+n
− n
; (h) lim
n→+∞
1+2+...+n
√4n4+3n+1
; (i) lim
n→+∞
(n+1)!−n!
(n+1)!+n!
; (j) lim
n→+∞
5·3n−7·2n 7·3n+5·2n
; (k) lim
n→+∞
4n+1+5·3n 5·4n−1+2·3n+3
; 4. Oblicz:
(a) lim
n→+∞( √
4n
2+ 17 − 2n) ; (b) lim
n→+∞
( √
4n
2+ n − 2n) ; (c) lim
n→+∞
( √
n
2− 1− √
n
2− 2) ;
(d) lim
n→+∞( √
3n
3+ 12n − n) ; (e) lim
n→+∞
√
n2+2n−n 2n−√
4n2+3n
; (f) lim
n→+∞
√ 4
n2+2n+7−√ n2+1
.
1
5. Dla jakich warto±ci m ci ag
mn
(m + 1)n + 3
ma granic e równ a
(a) 2; (b) 0; (c) 1.
6. Dla jakiej warto±ci parametru m ci ag
(m − 2)n + 1 (m
2− 2m − 3)n − 2
jest
(a) zbie»ny do 0;
(b) zbie»my do -1;
(c) rozbie»ny do −∞;
(d) rozbie»ny do +∞;
(e) zbie»ny do g ∈ (0; 2).
7. Podaj przykªady dwóch ci agów (a
n) , i (b
n) takich, »e lim
n→+∞
a
n= 0 , lim
n→+∞
b
n= 0 oraz (a) lim
n→+∞
an bn
= 2 ; (b) lim
n→+∞
an
bn
= 0 ; (c) lim
n→+∞
an
bn
= +∞ ;
(d) lim
n→+∞
an
bn
= −∞ ; (e) granica lim
n→+∞
an
bn
nie ist- nieje.
8. Zbadaj, który z podanych ci agów jest rozbie»ny do niesko«- czono±ci:
(a) a
n= (−1)
n·
1n; (b) b
n= (−2)
n+ 3 ;
(c) c
n= (−1)
n· n ;
(d) d
n= −n[2 + (−1)
n] .
2
De nicja 0.1 Liczb e g nazywamy granic a ci agu liczbowego (a
n) , je»eli
∀
>0∃
n0∈N+∀
n>n0|a
n− g| < i piszemy
n→+∞
lim a
n= g.
Ci ag (a
n) , który ma granic e nazywamy zbie»nym.
De nicja 0.2 Ci ag liczowy (a
n) nazywamy rozbie»nym do +∞ i piszemy
n→+∞
lim a
n= +∞, je»eli
∀
M ∈R∃
n0∈N+∀
n>n0a
n> M.
Ci ag liczbowy (a
n) nazywamy rozbie»nym do −∞ i piszemy
n→+∞
lim a
n= −∞, je»eli
∀
M ∈R∃
n0∈N+∀
n>n0a
n< M.
Twierdzenie 0.3 (O dziaªaniach arytmetycznych na granicach ci agów) Je»eli lim
n→+∞
a
n= a, lim
n→+∞
b
n= b, to 1. lim
n→+∞
(a
n+ b
n) = a + b, 2. lim
n→+∞
(a
n− b
n) = a − b, 3. lim
n→+∞
(a
nb
n) = ab,
4. je»eli ponadto b 6= 0 oraz b
n6= 0 dla ka»dego n ∈ N
+, to
n→+∞
lim
an
bn
=
ab.
3
