Drugie kolokwium z termodynamiki, 12.01.09.
(Wraz z rozwi¸azaniem zadania 3).
1) Pewna substancja ma nast¸epuj¸ace w la´sciwo´sci:
a) praca wykonana przez ni¸a przy izotermicznym, quasistatycznym rozpr¸e˙zaniu N moli w temperaturze T0 od obj¸eto´sci V0 do V jest r´owna
W = RN T¯ 0ln v v0 , b) entropia tej substancji dana jest wzorem
S(T , V , N ) = RN v v0
T T0
3
.
Znale´z´c energi¸e swobodn¸a F (T , V , N ), ci´snienie p(T , V , N ) oraz prac¸e wykonan¸a przez t¸e substancj¸e w quasistatycznym, izotermicznym rozpr¸e˙zaniu w dowolnej temperaturze. (v i v0 to obj¸eto´sci molowe).
2) W przemianie fazowej drugiego rodzaju, molowe entropie wsp´o listniej¸acych faz s¸a sobie r´owne wzd lu˙z linii wsp´o listnienia: s1 = s2. Dla pewnej sub- stancji, kt´ora doznaje przemiany fazowej drugiego rodzaju znamy ciep la molowe faz cp1 i cp2, oraz wsp´o lczynniki rozszerzalno´sci cieplnej izotermiczne tych faz α1 i α2. (S¸a one parami r´o˙zne). Znale´z´c nachylenie dp(T )dT linii wsp´o listnienia faz dla przemiany fazowej drugiego rodzaju (jest to odpowied-
nik r´ownania Clapeyrona-Clausiusa), je´sli znamy obj¸eto´s´c molowa wsp´o listniej¸acych faz v.
Wskaz´owka: α = 1v ∂T∂v
p
3) Pewna substancja doznaje przemiany fazowej pierwszego rodzaju. Wzd lu˙z linii wsp´o listnienia faz spe lnione s¸a zwi¸azki
p
T = A(T ) + B(T ) · µ
T , f aza 1 , p
T = C(T ) + D(T ) ·
µ T
2
, f aza 2 ,
gdzie A, B, C i D s¸a znanymi funkcjami temperatury, przy czym A > C, C i D s¸a dodatnie. Znale´z´c:
1
a) zmian¸e g¸esto´sci cz¸asteczek w funkcji temperatury w tej przemianie;
b) ci´snienie p(T ) na linii wsp´o listnienia faz.
Rozwi¸azanie zadania 3.
Z r´ownania Gibbsa - Duhema
dµ = −sdT + vdp , wiemy, ˙ze
v = ∂µ
∂p
!
T
.
Dla fazy pierwszej pochodna jest trywialna, bo potencia l chemiczny jest lin- iow¸a funkcj¸a ci´snienia. Otrzymujemu
v1 = 1
B(T ) , n1 = 1
v1 = B(T ) .
(Przy okazji wida´c, ˙ze aby rozwi¸azanie mia lo sens fizyczny, B(T ) musi by´c dodatnie.) Dla fazy drugiej
v2 = ∂µ2
∂p
!
T
=⇒ n2 = ∂p
∂µ2
!
T
czyli
n2 = 2D(T )µ2 T .
Poniewa˙z dla wsp´o listniej¸acych faz temperatury i potencja ly chemiczne s¸a jednakowe, w miejsce µ2/T podstawiamy µ1/T , co daje
n2 = 2D(T ) B(T )
p
T − A(T )
.
Wyznaczymy teraz ci´snienie. Eliminuj¸ac z r´owna´n potencja l chemiczny otrzymujemy
p
T = C(T ) + D(T ) B2
p
T − A(T )
2
, 2
czyli r´ownanie kwadratowe, o rozwi¸azaniach (pomijam argumenty funkcji A , B , C , D)
p
T = 2AD + B2 ± qB4 + 4B2(A − C)
2D ,
a st¸ad
n2 = B
1 ± q1 + 4D(A − C)
,
wida´c, ˙ze rozwi¸azanie z minusem jest niefizyczne, bo daje ujemn¸a g¸esto´s´c a zatem i we wzorze okre´slaj¸acym ci´snienie tak˙ze jest plus. Ostatecznie
n2 − n1 = Bq1 + 4D(A − C) , p = T2AD + B2 + qB4 + 4B2(A − C)
2D .
3
