Arkusz II

dysleksja

MMA-R1A1P-052

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Arkusz II

POZIOM ROZSZERZONY

Czas pracy 150 minut

Instrukcja dla zdającego

1. SprawdĨ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron.

Ewentualny brak zgáoĞ przewodniczącemu zespoáu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania zadaĔ i odpowiedzi zamieĞü w miejscu na to przeznaczonym.

3. W rozwiązaniach zadaĔ przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.

4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.

5. Nie uĪywaj korektora. BáĊdne zapisy przekreĞl.

6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.

7. Obok kaĪdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą moĪesz uzyskaü za jego poprawne rozwiązanie.

8. MoĪesz korzystaü z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

9. Wypeánij tĊ czĊĞü karty odpowiedzi, którą koduje zdający.

Nie wpisuj Īadnych znaków w czĊĞci przeznaczonej dla egzaminatora.

10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datĊ urodzenia i PESEL.

Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. BáĊdne zaznaczenie otocz kóákiem i zaznacz wáaĞciwe.

ĩyczymy powodzenia!

ARKUSZ II

MAJ ROK 2005

Za rozwiązanie wszystkich zadaĔ

moĪna otrzymaü áącznie 50 punktów

Wypeánia zdający przed

rozpoczĊciem pracy

PESEL ZDAJĄCEGO

tylko OKE Kraków, OKE Wrocáaw

KOD ZDAJĄCEGO

Miejsce

na naklejkĊ

z kodem szko áy

Wyznacz dziedzinĊ funkcji f

x i zapisz ją w postaci sumy przedziaáów liczbowych.

Zadanie 12. (4 pkt)

Dana jest funkcja: ^{f x}

a) Naszkicuj wykres funkcji f.

b) RozwiąĪ równanie: ^f

Rzucamy n razy dwiema symetrycznymi szeĞciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n prawdopodobieĔstwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od

1296 671 .

Zadanie 14. (5 pkt)

Oblicz:

...

9 7 5

2 3 ...

7 4 lim1









    



f

o n

n

n .

W dowolnym trójkącie ^ABC punkty M i N są odpowiednio Ğrodkami boków ^AC i BC (Rys. 1).

Zapoznaj siĊ uwaĪnie z nastĊpującym rozumowaniem:

Korzystając z wáasnoĞci wektorów i dziaáaĔ na wektorach, zapisujemy równoĞci:

MN MAABBN ))))& )))& )))& )))&

(1) oraz

MN MCCN ))))& ))))& )))&

(2)

Po dodaniu równoĞci (1) i (2) stronami otrzymujemy:

2 MN˜))))& MA MC)))& ))))& )))& )))& )))& ABBNCN PoniewaĪ ^MC))))& _^MA)))&oraz CN)))& )))&BN

, wiĊc:

2 MN˜))))& MA MA)))& )))& )))& )))& )))& ABBNBN 2˜MN))))& 0& )))& &AB0

1 .

MN ˜2 AB ))))& )))&

Wykorzystując wáasnoĞci iloczynu wektora przez liczbĊ, ostatnią równoĞü moĪna zinterpretowaü nastĊpująco:

odcinek áączący Ğrodki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równolegáy do trzeciego

boku tego trójkąta, zaĞ jego dáugoĞü jest równa poáowie dáugoĞci tego boku.

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiĊdzy wektorem^MN))))&oraz wektorami )))&AB

i DC)))&

, wiedząc, Īe czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaĞ punkty M i N są odpowiednio Ğrodkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).

Podaj interpretacjĊ otrzymanego wyniku.

Rys. 1

Rys. 2

SzeĞcian o krawĊdzi dáugoĞci a przeciĊto páaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do páaszczyzny podstawy pod kątem

3

S _{. Sporz}ądĨ odpowiedni rysunek.

Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zadanie 17. (7 pkt)

WykaĪ, bez uĪycia kalkulatora i tablic, Īe ³ 5 27³ 5 27jest liczbą caákowitą.

Pary liczb

¯®

­















0 4

0 1 2 4

2 2 2

y x

y y x

są wspóárzĊdnymi wierzchoáków czworokąta wypukáego ABCD.

a) Wyznacz wspóárzĊdne punktów: A, B, C, D.

b) WykaĪ, Īe czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.

c) Wyznacz równanie okrĊgu opisanego na czworokącie ABCD.

Dane jest równanie:

4

5 ² 1

2  m xm m

x .

Zbadaj, dla jakich wartoĞci parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartoĞü najmniejszą. Wyznacz tĊ wartoĞü.