Meilleures approximations d’un ´ el´ ement du tore T 2et g´ eom´ etrie de la suite des multiples de cet ´ el´ ement

LXXVIII.1 (1996)

Meilleures approximations d’un ´ el´ ement du tore T ² et g´ eom´ etrie de la suite des multiples de cet ´ el´ ement

par

Nicolas Chevallier (Mulhouse)

1. Introduction. L’algorithme du d´eveloppement en fraction continue d’un r´eel v´erifie deux propri´et´es fondamentales, l’unimodularit´e (p _n q _n+1 − p _n+1 q _n = ±1), et la propri´et´e de meilleure approximation diophantienne (cf.

d´efinition 1). En dimension sup´erieure ou ´egale `a 2, il n’y a pas d’algorithme aussi satisfaisant car la suite des meilleures approximations d´epend de la norme choisie ([L1]) et elle ne v´erifie pas la propri´et´e d’unimodularit´e ([L3]).

Plusieurs approches sont possibles pour remplacer le d´eveloppement en frac- tion continue en dimension sup´erieure `a 2. On peut soit privil´egier l’aspect algorithmique et l’unimodularit´e, soit ´etudier la suite des meilleures approxi- mations sans chercher `a la calculer explicitement. Beaucoup de travaux sont consacr´es `a la premi`ere approche. La seconde a ´et´e moins explor´ee. J. C.

Lagarias est le premier `a avoir ´etudi´e la suite des meilleures approxima- tions pour elle-mˆeme ([L1]–[L3]). Citons aussi le travail de G. Szekeres et V. T. S´os ([Sz-S´o]) et ajoutons que J. W. S. Cassels dans [Ca] introduit le d´eveloppement en fraction continue au moyen de la suite des meilleures approximations. Nous avons adopt´e ce point de vue; nous rappelons des r´esultats de J. C. Lagarias et nous g´en´eralisons au tore T ² les deux r´esultats classiques suivants :

1. Pour tout Θ ∈ T ¹ et n ∈ N, q n+1 kq n Θk ≥ 1/2, o`u (q n ) d´esigne la suite des d´enominateurs des r´eduites de Θ.

2. L’ensemble des Θ ∈ T ¹ dont les coefficients du d´eveloppement en fraction continue forment une suite born´ee, est n´egligeable pour la mesure de Lebesgue.

Nous nous sommes aussi int´eress´es `a l’extension de la propri´et´e suivante :

1991 Mathematics Subject Classification: 11J25, 11J70, 11J83, 11K55, 11K60.

Key words and phrases: best simultaneous diophantine approximation, continued frac- tion, metric theory, Vorono¨ı diagram, Rokhlin tower.

[19]

Pour tout entier n, T ¹ \{0, Θ, . . . , nΘ} est la r´eunion de n + 1 intervalles qui ont au plus trois longueurs distinctes.

Pour ´etendre cette propri´et´e `a T <sup>2</sup> , on peut remplacer les intervalles par des r´egions de Vorono¨ı (cf. d´efinition 9). Des arguments simples montrent que le nombre de r´egions de Vorono¨ı, distinctes `a isom´etrie pr`es, est li´e au nombre de cˆot´es d’une r´egion de Vorono¨ı (cf. proposition 15). Cela donne en dimension 1 une propri´et´e voisine de celle des intervalles. Pour finir, on d´eduit des r´esultats pr´ec´edents l’existence de tours de Rokhlin privil´egi´ees associ´ees aux translations de T ² .

2. Notations et rappels

A. On munit R ^d d’une norme et T ^d = R ^d /Z ^d de la distance quotient;

on note p la projection de R ^d sur T ^d . Dans la suite, on aura le plus souvent d = 2 et parfois d = 1. On d´esignera toujours par θ un ´el´ement de R ^d et par Θ sa classe dans T ^d . On utilisera la notation standard kΘk pour la distance dans T ^d entre 0 et Θ.

R e m a r q u e. Pour tout k dans N et tout Θ dans T ^d on a kkΘk ≤ kkΘk.

Si kθk = kΘk alors pour tout λ ∈ R ⁺ on a kp(λθ)k ≤ kλθk = λkθk = λkΘk.

D´ efinition 1. Soit Θ dans T ^d . Appelons q n (Θ) le n-i`eme entier q (s’il existe) tel que kqΘk < kkΘk pour tous les k entiers compris entre 1 et q − 1 (q 1 (Θ) = 1). Si θ a des coordonn´ees rationnelles la suite q n (Θ) est finie. Si l’une des coordonn´ees est irrationnelle la suite est infinie. Lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, on note simplement q _n (Θ) par q _n . Appelons aussi r n = r n (Θ) = kq n (Θ)k. Nous dirons que q n est le d´enominateur d’une meilleure approximation ou plus simplement une meilleure approximation.

R e m a r q u e. Comme l’a d´eja signal´e J. C. Lagarias, il est clair que la suite (q n ) d´epend de la norme choisie ([L1]).

N o t a t i o n s. [x] d´esigne la partie enti`ere du r´eel x. |A| d´esigne la mesure de Lebesgue d’une partie A de R ^d ou T ^d .

Si A est une partie d’un espace m´etrique (X, d), on appelle

r(A) = inf{d(x, y) : x 6= y ∈ A} et e(A) = sup{d(x, A) : x ∈ X}.

Pour Θ ∈ T ^d on pose e(n, Θ) = e({0, Θ, . . . , nΘ}). Les fonctions r(A) et e(A) sont des mesures de la r´epartition de A dans X.

Si n est un entier, d(n), σ(n) et φ(n) d´esignent les fonctions arithm´etiques usuelles, c’est-`a-dire

d(n) = X

d|n

1, σ(n) = X

d|n

d, φ(n) = X

d∧n=1

1.

Soient G un groupe et A une partie ou un ´el´ement de G, hAi d´esigne le groupe engendr´e par A.

B. Meilleures approximations et r´eseaux. De nombreuses in´egalit´es sur les approximations diophantiennes simultan´ees sont obtenues `a partir d’in´ega- lit´es dans les r´eseaux. Cependant il faut en g´en´eral introduire un r´eseau dans un espace de dimension plus grande. Les meilleures approximations permettent de ne pas augmenter la dimension. Si q _n est une meilleure ap- proximation de Θ ∈ T ^d , les points 0, Θ, . . . , (q n − 1)Θ sont proches d’un sous-groupe de T ^d . Plus pr´ecis´ement, soit ε _n ∈ R ^d tel que q _n Θ = p(ε _n ) (rappelons que p est la projection de R ^d sur T ^d ) et r n (Θ) = kε n k. Posons Θ _n = Θ − p(ε _n /q _n ).

Lemme 2. (1) Pour tout k ∈ {0, . . . , q _n }, d(kΘ, kΘ _n ) ≤ r _n (Θ).

(2) 2r n−1 (Θ) ≥ r(hΘ n i) ≥ r n−1 (Θ)/2.

P r e u v e. (1) d(kΘ, kΘ n ) = kkp(ε n /q n )k ≤ (k/q n )kε n k ≤ r n (Θ).

La preuve de (2) est simple, elle est contenu dans la d´emonstration de la proposition 2.2 de [Ch]. Si k ∈ {0, . . . , q n − 1} est tel que kkΘ n k = r(hΘ n i) alors k(q _n − k)Θ _n k = r(hΘ _n i), on peut donc supposer k ≤ q _n /2, d’o` u,

kkΘ n k = r(hΘ n i) = kk(Θ − p(ε n /q n ))k ≥ kkΘk − kkp(ε n /q n )k

≥ r(hΘi) − k q n

kε _n k ≥ r(hΘi)/2.

Enfin r(hΘ _n i) ≤ kq _n−1 Θ _n k ≤ kq _n−1 Θk + kq _n−1 (Θ _n − Θ)k ≤ r _n−1 (Θ) + r _n (Θ).

Le lemme suivant n’est qu’une reformulation des r´esultats sur les r´eseaux de R ² muni de la norme euclidienne. La proposition 2.1 de [Ch] correspond au mˆeme r´esultat pour la norme sup.

Lemme 3. On munit R ² de la norme euclidienne. Soit Θ ∈ T ² tel que card(hΘi) = q < ∞. Alors, Λ = p ⁻¹ (hΘi) est un r´eseau de R ² et det Λ = 1/q. De plus, il existe une base r´eduite (x, x ⁰ ) de ce r´eseau, c’est-`a-dire telle que

kxk = r(hΘi) et kx ⁰ k = inf{kyk : y ∈ Λ, y ind´ependant de x}.

Les in´egalit´es v´erifi´ees par les bases r´eduites montrent que sin d (x, x ⁰ ) ≥ √

3/2 et 1

qr(hΘi) ≤ kx ⁰ k ≤ 2

√ 3qr(hΘi) .

Corollaire 4. On munit R ² de la norme euclidienne. Pour tout Θ dans T ² , pour tout entier n on a

e(q _n − 1, Θ) ≤ 4 √

3

q _n r _n−1 .

P r e u v e. Appliquons le lemme 2 `a Θ et le lemme 3 `a Θ n . On obtient e(q n − 1, Θ) ≤ e(hΘ n i) + r n (Θ) ≤ e(hΘ n i) + 2kxk

≤ 1

2 (kx ⁰ k + kxk) + 2kxk ≤ 3kx ⁰ k ≤ 2 √ 3

q _n r(hΘ _n i) ≤ 4 √ 3 q _n r _n−1 . 3. Quelques in´ egalit´ es

A. Rappelons des in´egalit´es bien connues de la dimension 1. Pour Θ dans T ¹ on a :

1) q _n+1 ≥ q _n + q _n−1 , 2) r _n+2 ≤ ¹ ₂ r _n ,

3) q _n+1 r _n ≤ 1 et (q _n+1 r _n = 1 ⇒ q _n+1 Θ = 0), 4) q _n+1 r _n ≥ 1/2.

Les trois premi`eres in´egalit´es se transposent en dimension 2. Par contre, la quatri`eme n’est vraie que pour une sous-suite (cf. propositions 6 et 18).

L’in´egalit´e (i) de la proposition suivante est due `a J. C. Lagarias ([L2]) et l’in´egalit´e (ii) a ´et´e prouv´ee pour la norme euclidienne par J. C. Lagarias ([L4]). Elles reposent sur le principe des tiroirs. Des in´egalit´es analogues, mais en g´en´eral moins bonnes, sont vraies pour une norme quelconque.

Proposition 5. Soit θ ∈ R ² \Q ² .

(1) Si R ² est munit de la norme sup, alors

(i) q _n+4 ≥ 2q _n+1 + q _n , (ii) r _n+9 ≤ ¹ ₃ r _n , (iii) ∀n ≥ 1, q _n+1 r ² _n < 1.

(2) Si R ² est muni d’une norme quelconque, alors q _n+1 r _n ² ≤ 16/v o`u v d´esigne l’aire de la boule unit´e de R ² .

P r e u v e. (iii) L’in´egalit´e q _n+1 r ² _n ≤ 1 a ´et´e prouv´ee dans [Ch], elle vient simplement du fait que les int´erieurs des boules B(kΘ, r n /2), k = 0, . . . , q _n+1 − 1, sont disjoints. Prouvons l’in´egalit´e stricte.

Si q _n+1 (Θ)r ² _n (Θ) = 1, les boules B(kΘ, r _n /2), k = 0, . . . , q _n+1 −1, recouv- rent T ² . Leurs images r´eciproques par p forment donc un pavage P de R ² . Ce pavage est constitu´e par des carr´es de cˆote r _n (les boules associ´ees `a la norme sup sont carr´ees). Un tel pavage est n´ecessairement constitu´e de bandes parall`eles `a l’un des axes de coordonn´ees. Supposons que ces bandes soient parall`eles `a l’axe des x. Posons Q = √

q _n+1 = 1/r _n , Q est un entier

car P est invariant par translation verticale de 1 et l’´epaisseur de chaque

bande est r n . Cela montre aussi que la deuxi`eme coordonn´ee de θ est un

multiple de 1/Q et que QΘ appartient `a T ¹ × {0}. Le pavage P contient un

carr´e centr´e en (0, 0), un carr´e centr´e en (0, 1) et un carr´e centr´e en Qθ et

comme Qθ est sur l’axe des x, la premi`ere coordonn´ee de Qθ doit ˆetre un

multiple de 1/Q. Les deux coordonn´ees de θ sont donc des multiples de 1/Q, ce qui contredit θ ∈ R ² \Q ² .

(2) En utilisant l’´equivalence des normes, on peut d´eduire de l’in´egalit´e (iii) une in´egalit´e du mˆeme type que l’in´egalit´e 2), mais avec une constante ne faisant pas intervenir l’aire. Utilisons le lemme 2 avec n + 1 `a la place de n.

Λ = p ⁻¹ ({0, Θ _n+1 , . . . , (q _n+1 − 1)Θ _n+1 }) est un r´eseau de d´eterminant 1/q n+1 , donc d’apr`es le th´eor`eme de Minkowski la boule B(0, 2/ √

vq n+1 ) contient au moins un point de Λ diff´erent de 0. Or la distance d’un tel point

`a 0 est sup´erieure `a r _n /2 d’apr`es le lemme 2.

B. Dans ce paragraphe on munit R ² de la distance euclidienne. Soient Θ un ´el´ement du tore T ² et θ un de ses repr´esentants dans R ² .

Proposition 6. Si ZΘ est dense dans T ² alors il existe une infinit´e de n dans N tels que

r _n−1 r _n q _n+1 ≥ 1/100.

La proposition r´esulte des 2 lemmes suivants.

Lemme 7. Si il existe Q ∈ {q _n , . . . , q _n+1 } tel que d(QΘ, {0, . . . , q _n Θ}) >

6r n−1 , alors r n−1 r n q n+1 ≥ 1/32.

P r e u v e. Soient ε _n et θ _n tels que θ = θ _n +ε _n /q _n , q _n Θ _n = 0 et kε _n k = r _n (cf. lemme 2). Notons G n = hΘ n i, K n = p ⁻¹ (G n ) = Zθ n + Z ² .

L’id´ee de la d´emonstration est d’exploiter le r´eseau K n+1 . On va montrer que le premier minimum de ce r´eseau est de l’ordre de r _n et que le deuxi`eme est de l’ordre de r n−1 .

Posons

ε ⁰ = ε _n q n

− ε _n+1 q n+1

et ε = q _n ε ⁰ .

On a kεk ≤ r _n−1 + r _n ≤ 2r _n . Soit x _n ∈ K _n tel que d(x _n , 0) = r(K _n ); on a d(x n , 0) = r(K n ) = r(G n ) ≤ 2r n−1 . On a Q = Aq n + b o` u 0 ≤ b < q n et A ≥ 1. De plus, si q = aq _n + b avec 0 ≤ a ≤ A, alors

qθ _n+1 = q(θ _n + ε ⁰ ) = bθ _n + aq _n θ _n + aq _n ε ⁰ + bε ⁰ = bθ _n+1 + aε + aq _n θ _n , d’o` u

p(qθ n+1 ) = p(bθ n+1 + aε).

Soit B la bande {x ∈ R ² : d(x, bθ _n + Rx _n ) ≤ 2r _n−1 }.

1) Les points bθ n+1 + aε, a = 0, . . . , A, sont des points align´es de K n+1 , distants de kεk, et Qθ _n+1 = bθ _n+1 + Aε n’est pas dans B. En effet,

d(Qθ _n+1 , bθ _n + Rx _n ) + kx _n k ≥ d(Qθ _n+1 , bθ _n + Zx _n ) ≥ d(QΘ _n+1 , G _n )

≥ d(QΘ, G n ) − d(QΘ, QΘ n+1 )

≥ d(QΘ, G _n ) − d(Qθ, Qθ _n+1 ),

de plus chaque point de G n est `a une distance inf´erieure `a r n d’un point de {0, . . . , q _n Θ}, donc

d(QΘ, G _n ) − d(Qθ, Qθ _n+1 ) ≥ d(QΘ, {0, . . . , q _n Θ}) − r _n − r _n+1 > 4r _n−1 . Le point Qθ n+1 n’est donc pas dans B. Comme bθ n+1 est dans B on en d´eduit que le vecteur Qθ _n+1 − bθ _n n’est pas parall`ele `a l’axe de la bande B, ainsi ε et x _n ne sont pas parall`eles.

2) Notons D la droite bθ _n + Rx _n . Alors B ∩ K _n+1 rencontre toute boule de rayon 4r _n−1 centr´ee sur cette droite:

∀x ∈ D ∃y ∈ K n+1 ∩ B, kx − yk ≤ 4r n−1 .

En effet, il existe k ∈ Z tel que bθ _n + kx _n ∈ B(x, 2r _n−1 ), donc il existe i ∈ {0, . . . , q _n } et P ∈ Z ² tels que iθ _n + P = bθ _n + kx _n ∈ B(x, 2r _n−1 ); or

d(iθ _n , iθ _n+1 ) = ikε ⁰ k ≤ q _n ε _n

q n

− ε _n+1 q n+1

≤ 2r ⁿ⁻¹ , donc iθ n+1 + P ∈ B(x, 4r n−1 ).

3) Montrons qu’il existe deux points P et P ⁰ de K n+1 ∩B dont la distance est inf´erieure `a 16r <sub>n−1</sub> et tels que P P <sup>0</sup> ne soit pas parall`ele `a ε. En effet, grˆace `a 2) on peut construire une suite P ₀ , . . . , P _k , . . . de points K _n+1 ∩ B telle que r n ≤ d(P k , P k+1 ) ≤ 16r n−1 et telle que le signe du produit scalaire (P _k+1 − P _k ) · x _n ne d´epende pas de k. Comme ε n’est pas parall`ele `a l’axe de la bande B et comme la suite (P _k ) ne sort pas de la bande B, il existe k tel que P k P k+1 ne soit pas parall`ele `a ε .

Soient λ ₁ et λ ₂ les deux minimas du r´eseau K _n+1 . D’apr`es 1), on a λ <sub>1</sub> ≤ kεk ≤ 2r <sub>n</sub> . Comme P P <sup>0</sup> est ind´ependant de ε, on a λ <sub>2</sub> ≤ 16r <sub>n−1</sub> , d’o` u 32r n r n−1 ≥ λ 1 λ 2 ≥ det K n+1 = 1/q n+1 .

Lemme 8. Soit m tel que q m r m−1 r m−2 ≤ 1/100. Supposons que pour tout n ≥ m et tout Q ∈ {q _n , . . . , q _n+1 } on ait d(QΘ, {0, . . . , q _n Θ}) ≤ 6r _n−1 . Alors ZΘ n’est pas dense dans T ² .

P r e u v e. Reprenons les notations du lemme pr´ec´edent et utilisons le lemme 3. Soit (x, x ⁰ ) une base r´eduite du r´eseau K _m . Appelons Π la projec- tion sur la droite Rx ⁰ parall`element `a x. Alors Π a une norme inf´erieure `a 2/ √

3, Π(K m ) = Zx ⁰ et kx ⁰ k ≥ 1

q _m r(K _m ) ≥ 1

2q _m r _m−1 ≥ 50r _m−2 (lemmes 2 et 3).

1) Pour tout n ≥ m on a

Π(K n+1 ) ⊂ {y ∈ Rx ⁰ : d(y, Π(K n )) ≤ (16/ √

3)r n−1 }.

En effet, soit Qθ _n+1 + P ∈ K _n+1 avec P ∈ Z ² et Q ≤ q _n+1 . D’apr`es

l’hypoth`ese du lemme, il existe P ⁰ ∈ Z ² et Q ⁰ ≤ q n tel que d(Qθ + P, Q ⁰ θ + P ⁰ ) ≤ 6r _n−1 ; or d(Qθ _n+1 , Qθ) ≤ r _n+1 et d(Qθ, Qθ _n ) ≤ r _n , donc

d(Qθ _n+1 + P, Q ⁰ θ _n + P ⁰ ) ≤ 8r _n−1 et

d(Π(Qθ _n+1 + P ), Π(Q ⁰ θ _n + P ⁰ )) ≤ (16/ √

3)r _n−1 .

2) Soit H un sous-groupe de R tel que tout point de H soit `a une distance strictement inf´erieure `a 1/3 d’un point de Z. Alors H ⊂ Z.

3) En utilisant 1) et 2), on montre par r´ecurrence que pour tout n ≥ m on a Π(K _n ) ⊂ Π(K _m ). Ceci prouve que ZΘ n’est pas dense dans T ² .

4. Diagramme de Vorono¨ı et isom´ etries. Pour trouver un analogue en dimension sup´erieure `a 2 de la propri´et´e des intervalles de T <sup>1</sup> \{0, . . . , nΘ}, il faut d’abord trouver une partition naturelle associ´ee `a la suite 0, Θ, . . . , nΘ.

Nous avons choisi les r´egions de Vorono¨ı associ´ees aux sites {0, . . . , nΘ}. Le paragraphe A regroupe quelques remarques pr´eliminaires `a la d´emonstration de la proposition 15 qui donne une majoration du nombre de r´egions de Vorono¨ı distinctes `a isom´etrie pr`es.

A. Soit (X, d) un espace m´etrique ayant la propri´et´e suivante : si x et y sont deux points de X, alors il existe un chemin γ joignant x `a y, d´efini sur [0, 1], tel que pour tout t ∈ [0, 1] on ait d(x, γ(t)) + d(γ(t), y) = d(x, y). On appellera un tel chemin une g´eod´esique.

Le tore T ² muni de la distance euclidienne poss`ede cette propri´et´e. Dans T <sup>2</sup> les r´egions de Vorono¨ı associ´ees `a un ensemble fini sont des polygones convexes. Le lemme 11 donne une condition suffisante pour que 2 r´egions soient voisines et le lemme 12 donne une condition suffisante pour qu’elles soient disjointes.

D´ efinition 9. Soit E une partie de X. Pour un ´el´ement x de E, on d´efinit la r´egion de Vorono¨ı associ´e `a l’ensemble E et au site x par

V (E, x) = {y ∈ X : ∀x ⁰ ∈ E, d(x, y) ≤ d(x ⁰ , y)}.

Lemme 10. Soient E ⊂ X, x ∈ E, y ∈ V (E, x) et γ une g´eod´esique joignant x et y. Alors γ est inclus dans V (E, x).

P r e u v e. Soient x ⁰ dans E\{x} et t dans [0, 1]. On a d(x, γ(t)) = d(x, y)−

d(y, γ(t)) ≤ d(x ⁰ , y) − d(y, γ(t)) ≤ d(x ⁰ , γ(t)).

Lemme 11. Soient E ⊂ X, x ∈ E et x ⁰ 6∈ E. Posons E ⁰ = E ∪ {x ⁰ }. S’il existe y ∈ V (E, x) tel que d(x ⁰ , y) ≤ d(x, y) alors V (E ⁰ , x) ∩ V (E ⁰ , x ⁰ ) 6= ∅.

P r e u v e. Soit γ une g´eod´esique joignant x `a y. D’apr`es le lemme 10, pour

tout z ∈ E et tout t ∈ [0, 1], d(γ(t), z) ≥ d(γ(t), x); or par continuit´e il existe

s ∈ [0, 1] tel que d(γ(s), x ⁰ ) = d(γ(s), x), donc γ(s) ∈ V (E ⁰ , x) ∩ V (E ⁰ , x ⁰ ).

Lemme 12. Soient x, x ⁰ ∈ E. Si d(x, x ⁰ ) > 2e(E) alors V (E, x) ∩ V (E, x ⁰ ) = ∅.

P r e u v e. Sinon, il existe y ∈ V (E, x) ∩ V (E, x ⁰ ) et d(x, x ⁰ ) ≤ d(x, y) + d(y, x ⁰ ) ≤ 2e(E).

B. Soit f une isom´etrie bijective de l’espace m´etrique X et x 0 un point de X. On note, pour tout n ∈ Z, x _n = f ⁿ (x ₀ ) et E _q = {x ₀ , . . . , x _q }. La remarque de base pour compter les r´egions de Vorono¨ı `a isom´etries pr`es est le lemme suivant.

Lemme 13. (1) Soit k ∈ {0, . . . , q − 1}. Si pour tout x ∈ V (E _q , x _k ), d(x, x _k ) ≤ d(x ₋₁ , x) alors f (V (E _q , x _k )) ⊂ V (E _q , x _k+1 ).

(2) Soit k ∈ {1, . . . , q}. Si pour tout x ∈ V (E _q , x _k ), d(x, x _k ) ≤ d(x, x _q+1 ) alors f ⁻¹ (V (E q , x k )) ⊂ V (E q , x k−1 ).

P r e u v e. (1) Soient x ∈ V (E _q , x _k ) et n ∈ {0, . . . , q}. On a d(f (x), x _n ) = d(x, x _n−1 ) ≥ d(x, x _k ) = d(f (x), x _k+1 ), donc f (x) ∈ V (E _q , x _k+1 ).

(2) On applique (1) en changeant f en f ⁻¹ et x 0 en x q . Lemme 14. Soient

A ⁺ = {k ∈ {0, . . . , q − 1} : V (E _q ∪ {x ₋₁ }, x _k ) ∩ V (E _q ∪ {x ₋₁ }, x ₋₁ ) 6= ∅}, A ⁻ = {k ∈ {1, . . . , q} : V (E q ∪ {x q+1 }, x k ) ∩ V (E q ∪ {x q+1 }, x q+1 ) 6= ∅}.

Pour tout entier j compris entre 0 et q, le nombre d’´el´ements, distincts `a isom´etries pr`es, parmi {V (E _q , x _k ) : k = 0, . . . , j}, est inf´erieur ou ´egal `a

1 + card(A ⁺ ∩ {0, . . . , j − 1}) + card(A ⁻ ∩ {1, . . . , j}).

P r e u v e. Soient

M ⁺ = {k ∈ {0, . . . , j − 1} : f (V (E _q , x _k )) non inclus dans V (E _q , x _k+1 )}, M ⁻ = {k ∈ {1, . . . , j} : f ⁻¹ (V (E _q , x _k )) non inclus dans V (E _q , x _k−1 )}.

Montrons par r´ecurrence sur card M ⁺ + card M ⁻ que le nombre d’´el´ements distincts `a isom´etries pr`es parmi {V (E _q , x _k ) : k = 0, . . . , j} est inf´erieur `a 1 + card M ⁺ + card M ⁻ .

Supposons card M ⁺ + card M ⁻ = 0. Comme f est bijective, on a pour tout k entre 0 et j − 1, f (V (E q , k)) = V (E q , k + 1). Toutes les r´egions sont donc isom´etriques. Supposons card M ⁺ + card M ⁻ > 0. Soit j ⁰ = max(max M ⁻ , max M ⁺ +1). Pour tout k dans {j ⁰ , . . . , j−1} on a k+1 6∈ M ⁻ et k 6∈ M ⁺ , donc f (V (E _q , x _k )) = V (E _q , x _k+1 ). On applique l’hypoth`ese de r´ecurrence `a M ⁺ ∩ {0, . . . , j ⁰ − 2} et M ⁻ ∩ {1, . . . , j ⁰ − 1} en remarquant que l’un de ces deux ensembles `a un cardinal inf´erieur `a celui de M ⁺ ou M ⁻ .

Pour finir montrons que M ⁺ ⊂ A ⁺ et M ⁻ ⊂ A ⁻ . Soit k dans M ⁺ .

D’apr`es le lemme 13 il existe x dans V (E _q , x _k ) tel que d(x, x _k ) > d(x, x ₋₁ ),

donc d’apr`es le lemme 11, V (E q ∪ {x −1 }, x k ) et V (E q ∪ {x −1 }, x −1 ) se

coupent. Ainsi M ⁺ ⊂ A ⁻ , de mˆeme M ⁻ ⊂ A ⁻ .

R e m a r q u e. Le raisonnement pr´ec´edent montre un r´esultat un peu plus pr´ecis que celui du lemme. Il existe une partition de l’intervalle {0, . . . , q}

en au plus 1 + card A ⁺ + card A ⁻ sous-intervalles telle que si n et n + 1 sont dans le mˆeme sous-intervalle alors f (V (E q , x k )) = V (E q , x k+1 ).

C. Notation. On munit R ^d de la norme euclidienne. Pour Θ dans T ^d et 0 ≤ m ≤ n, V (Θ, n, m) d´esigne la r´egion de Vorono¨ı associ´ee au site mΘ de l’ensemble {0, Θ, . . . , nΘ}. On note Is(Θ, n) le nombre de r´egions de Vorono¨ı distinctes, `a isom´etrie pr`es, dans l’ensemble {V (Θ, n, m) : m = 0, . . . , n}.

Proposition 15. Avec les notations du lemme 14, pour tout Θ ∈ T ^d et tout entier q ≥ 1, on a Is(Θ, q) ≤ card(A ⁻ ) + 1. En d’autres termes, le nombre de r´egions de Vorono¨ı d´etermin´e par l’ensemble {0, Θ, . . . , qΘ}, distinctes `a isom´etrie pr`es, est major´e par le nombre de r´egions voisines de V (Θ, q + 1, q + 1), plus un.

P r e u v e. Appelons s la sym´etrie x ∈ T ^d → −x ∈ T ^d et f la transla- tion x → x + Θ. L’application φ = f ^q s est une isom´etrie de T ^d . Comme φ(V (Θ, q, m)) = V (Θ, q, q − m), Is(Θ, q) est le nombre de r´egions distinctes

`a isom´etrie pr`es dans l’ensemble {V (Θ, q, m) : 0 ≤ m ≤ [q/2]}. De plus φf = f ⁻¹ φ, l’application m → q − m est donc une bijection de A ⁺ sur A ⁻ , donc

card(A ⁺ ∩{0, . . . , [q/2]−1})+card(A ⁻ ∩{1, . . . , [q/2]}) = card A ⁺ = card A ⁻ . On conclut en utilisant le lemme 14 avec j = [q/2].

Appliqu´ee `a T <sup>1</sup> , la proposition pr´ec´edente donne un r´esultat tr`es voisin de la propri´et´e des trois intervalles. En dimension 1 une r´egion de Vorono¨ı a au plus deux voisines, d’o` u

Corollaire 16. Soit Θ ∈ T ¹ .

(1) On a pour tout entier q, Is(Θ, q) ≤ 3.

(2) Soient (a n ) la suite des coefficients du d´eveloppement en fraction continue de Θ et (q _n ) la suite des d´enominateurs des r´eduites de Θ. Si q = q _n−1 + aq _n − 1, avec a ∈ {1, . . . , a _n+1 }, alors Is(Θ, q) = 2.

Dans T ² , une r´egion de Vorono¨ı peut avoir un nombre quelconque de voisines. On peut majorer ce nombre dans deux cas grˆace `a des r´esultats de [Ch] (dans [Ch] la norme consid´er´e est celle du sup mais un changement de norme ne modifie que les “constantes”). La proposition 18 montre qu’il existe des Θ ∈ T ² tels que lim sup _n→∞ Is(Θ, n) = ∞.

Corollaire 17. (1) Pour presque tout Θ ∈ T ² , on a lim inf _n→∞ Is(Θ, n)

< ∞.

(2) Si Θ ∈ T ² est un nombre mal approximable, c’est-`a-dire tel que

c = inf{nknΘk ² : n ∈ N ^∗ } > 0,

alors il existe une constante C ne d´ependant que de c telle que Is(Θ, n) ≤ C pour tout n.

P r e u v e. (1) D’apr`es le th´eor`eme 4.1 de [Ch], on a pour presque tout Θ ∈ T ² ,

lim inf

n→∞ e(n, Θ)/r({0, Θ, . . . , nΘ}) = c < ∞.

Soit n tel que e(n, Θ)/r({0, Θ, . . . , nΘ}) ≤ a. Le lemme 12 montre que les r´egions voisines de V (Θ, n, n) sont dans la boule de centre nΘ et de rayon 2e(n, Θ), leurs nombre est donc inf´erieure `a (2e(n, Θ)) <sup>2</sup> /(r({0, Θ, . . . . . . , nΘ})/2) <sup>2</sup> ≤ 16a <sup>2</sup> . D’o` u d’apr`es la proposition 15, Is(Θ, n−1) ≤ 16a ² +1.

(2) D’apr`es le corollaire 7 de [Ch], il existe une constante c <sup>0</sup> ne d´ependant que de c telle que e(n, Θ)/r({0, Θ, . . . , nΘ}) ≤ c <sup>0</sup> pour tout n. On conclut de la mˆeme mani`ere que pour le (1).

Il reste une question naturelle : a-t-on lim inf _n→∞ Is(Θ, n) < ∞ pour tout Θ ∈ T ² ?

5. Deux exemples

Proposition 18. (1) L’ensemble {Θ ∈ T ² : lim inf

n→∞ r n−1 (Θ)r n (Θ)q n+1 (Θ) = 0}

contient un G δ dense.

(2) L’ensemble {Θ ∈ T ² : lim sup _n→∞ Is(Θ, n) = ∞} contient un G δ

dense.

R e m a r q u e. Cela montre en particulier que ces deux ensembles sont non vides.

P r e u v e d e l a p r o p o s i t i o n 18. (1) Soit ε un r´eel positif. Appelons V l’ensemble des Θ ∈ T ² tels que

inf{r _n−1 (Θ)r _n (Θ)q _n+1 (Θ) : n ≥ 1} < ε.

Consid´erons l’ensemble des θ ∈ R ² dont l’une des composantes est irra- tionnelle et l’autre rationnelle; cet ensemble est dense dans R ² . Soit θ un

´el´ement de cet ensemble. On a sup{r _n (Θ)q _n+1 (Θ) : n ≥ 1} < ∞, donc r _n−1 (Θ)r _n (Θ)q _n+1 (Θ) < ε pour n assez grand. Fixons un tel n. Comme r _n et r n−1 d´ependent continˆ ument de Θ, l’in´egalit´e r n−1 (Θ)r n (Θ)q n+1 (Θ) <

ε est valable sur un voisinage de Θ. Ainsi V contient un ouvert dense.

L’intersection des V , pour une suite de ε tendant vers 0, contient donc un G _δ dense.

(2) Soit N un entier. Appellons U l’ensemble des Θ ∈ T ² tels que sup{Is(Θ, n) : n ≥ 1} ≥ N. Montrons que U contient un ouvert dense.

Soient k un entier et θ = (2 ^−k , 3 ^−k ) + δ o` u δ = (10ε, ε) et ε est strictement

positif. Posons N _k = 2 ^k 3 ^k . Le groupe engendr´e par la classe de (2 ^−k , 3 ^−k )

dans T ² est {(a2 ^−k , b3 ^−k ) : 0 ≤ a < 2 ^k et 0 ≤ b < 3 ^k }, donc pour ε assez petit il existe n ∈ {0, . . . , N _k } tel que nθ = (0, 3 ^−k ) + nδ + A o` u A ∈ Z ² . Ap- pelons P la projection orthogonale de (0, 3 ^−k )+nδ sur la droite Rδ. On peut choisir ε suffisamment petit pour qu’il y ait au moins 2N multiples de δ dans le segment ]0, P [ . Choisissons q = 2N _k N . Il revient au mˆeme de consid´erer la situation dans R ² . Appelons E l’ensemble {mθ : 0 ≤ m ≤ q} + Z ² . Soit j ∈ {1, . . . , 2N − 1}. La projection de V (E, jN k δ) dans T ² est V (Θ, q, jN k ).

Le bord d’une r´egion V (E, jN _k δ) est une ligne polygonale convexe et ferm´ee.

Par des raisonnements de g´eom´etrie ´el´ementaire on montre que pour ε assez petit les propri´et´es suivantes sont vraies pour chaque j ∈ {1, . . . , 2N − 1}.

1) Il y a 3 cˆotes du bord de V (E, jN k δ) qui sont cons´ecutifs et qui sont inclus dans les m´ediatrices des segments [jδ, (j − 1)δ], [jδ, (0, 3 ^−k ) + nδ] et [jδ, (j + 1)δ].

2) L’angle entre la m´ediatrice du segment [jδ, (j − 1)δ] et la m´ediatrice du segment [jδ, (0, 3 ^−k ) + nδ] est une fonction strictement d´ecroissante de j.

3) La m´ediatrice du segment [jδ, (j − 1)δ] et la m´ediatrice du segment [jδ, (j + 1)δ] sont parall`eles.

Ces trois propri´et´es assurent qu’il y a au moins N r´egions distinctes `a isom´etrie pr`es parmi les r´egions V (E, jN k δ), j ∈ {1, . . . , 2N − 1}. Ceci est valable pour tous les θ de la forme θ = (a2 ^−k , b3 ^−k ) + δ avec a impair et b non multiple de 3. Comme les r´egions de Vorono¨ı d´ependent continˆ ument de θ, pour chaque k, l’ensemble U contient un voisinage de {(a2 ^−k , b3 ^−k ) + δ : a impair et b non multiple de 3}, U contient donc un G _δ dense.

6. Coefficients associ´ es ` a la suite des meilleures approximations, majoration de ces coefficients. Les coefficients (a _n ) du d´eveloppement en fraction continue de Θ ∈ T ¹ v´erifient les relations suivantes :

a n+1 = [q n+1 /q n ] = [r n−1 /r n ].

Pour Θ ∈ T ² il n’y a pas de tels coefficients mais en rempla¸cant les a _n par [r n−1 /r n ] on peut ´etendre `a T ² le r´esultat classique suivant.

Pour presque tout Θ ∈ T ¹ , la suite des coefficients du d´eveloppement en fraction continue est non born´ee.

Th´ eor` eme 19. Pour presque tout Θ ∈ T ² , M (Θ) = sup{r n−1 (Θ)/r n (Θ) : n ≥ 2} = ∞.

P r e u v e. Nous supposerons que R ² est muni de la norme sup. La d´emon- stration pour une norme quelconque s’obtient en modifiant les constantes dans les in´egalit´es. Notons

A = {Θ ∈ T ² : M (Θ) = ∞},

et T l’endomorphisme d´efini par T : x ∈ T ² → 2x ∈ T ² . Soient α un r´eel strictement positif et (β _n ) une suite de r´eels strictement positifs plus petits que 1 et α/2, qui d´ecroˆıt vers 0. Pour n ∈ N ^∗ , soient

G(n) = p({(k/n, k ⁰ /n) : k, k ⁰ ∈ N}),

B(n) = {a ∈ G(n) : ordre(a) = n, r(hai) ≥ αn ^−1/2 }, E(n) = {x ∈ T ² : d(x, B(n)) ≤ β _n n ^−3/2 }.

Comme T est ergodique, pour prouver que A est de mesure 1, il suffit de montrer que A est un ensemble T -invariant de mesure strictement positive.

On montre successivement : (1) lim sup _n→∞ E(n) ⊂ A,

(2) pour un bon choix de α et de (β _n ), l’ensemble lim sup _n→∞ E(n) est de mesure strictement positive,

(3) T (A) ⊂ A.

P r e u v e d e (1). Soit x ∈ E(n). Si y ∈ B(n) est tel que d(x, y) ≤ β n n ^−3/2 , alors knxk ≤ β n n ^−1/2 car ny = 0 et pour m < n on a

kmxk = km(y + x − y)k ≥ kmyk − km(x − y)k ≥ αn ^−1/2 − mkx − yk

≥ αn ^−1/2 − β _n n ^−1/2 ≥ (α − β _n ){knxk/β _n } ≥ (α/2){knxk/β _n }.

Ainsi n est une meilleure approximation de x et

M (x) ≥ inf{kmxk/knxk : m < n} ≥ 1/(2β _n ).

Cela montre que lim sup _n→∞ E(n) ⊂ A.

P r e u v e d e (2)

Lemme 20 ([Sp], p. 17). Soit (Ω, A, µ) un espace mesur´e tel que µ(Ω) <

∞ et A q ∈ A un suite de parties de Ω telle que X ∞

q=1

µ(A _q ) = ∞.

Alors,

µ(lim sup

n→∞ A _n ) = lim sup

m→∞

( P

1≤q≤m µ(A q )) ² P

1≤p,q≤m µ(A p ∩ A q ) .

Lemme 21 ([Sp], p. 52). Pour r entier notons T r l’application x → rx de T ¹ dans lui mˆeme. Soient A et B deux intervalles de T ¹ , et p et q deux entiers. On a

|T _p ⁻¹ A ∩ T _q ⁻¹ B| = |A| · |B| + O



|A| p ∧ q p



,

o`u O ne d´epend pas des intervalles A et B et des entiers p et q.

Lemme 22 ([H-W]). (1) Pour tout ε > 0, d(n) = O(n ^ε ).

(2) On a

X N n=1

σ(n) = O(N ² ), X N n=1

φ(n) ≥ AN ² o`u A ne d´epend pas de N .

Lemme 23 ([Ch], lemme 4.3). On a

card B(n) ≥ nφ(n) − 4α ² σ(n)φ(n) − 2αd(n)φ(n)n ^1/2 .

Utilisons le lemme 20 avec A _n = E(n). Notre but est de prouver que pour un bon choix de la suite (β _n ), on a

X

p≥1

|E(p)| = ∞ et X

1≤p,q≤N

|E(p) ∩ E(q)| ≤ C n X

1≤p≤N

|E(p)|

o ₂

o` u C ne d´epend pas de N . 1) D’apr`es le lemme 23, on a X

1≤p≤N

|E(p)| ≥ card E(p)(2β _p p ^−3/2 ) ²

≥ 4 X

1≤p≤N

β _p ² p ⁻³ (pφ(p) − 4α ² σ(p)φ(p) − 2αd(p)φ(p)p ^1/2 ), et comme φ(p) ≤ p, on obtient

X

1≤p≤N

|E(p)| ≥ X

1≤p≤N

β _p ² p ⁻³ (pφ(p) − 4α ² σ(p)p − 2αd(p)p ^3/2 )

≥ X

1≤p≤N

β _p ² p ⁻² (φ(p) − 4α ² σ(p) − 2αd(p)p ^1/2 ).

Posons D(q) = β _q ² q ⁻² − β _q+1 ² (q + 1) ⁻² . Une transformation d’Abel et le lemme 22 montrent que

X

1≤p≤N

|E(p)| ≥ X

1≤p≤N −1

D(p)(Ap ² − αO(p ² )).

Choisissons α suffisamment petit pour que Ap ² − αO(p ² ) ≥ cp ² o` u c est une constante strictement positive. On a alors

X

1≤p≤N

|E(p)| ≥ c X

1≤p≤N −1

D(p)p ² .

2) Soit I p l’intervalle [−β p p ^−1/2 , β p p ^−1/2 ]. On a E(p) ⊂ {T _p ⁻¹ (I p )} ² .

D’o` u, d’apr`es le lemme 21,

|E(p) ∩ E(q)| ≤ |{T _p ⁻¹ (I p )} ² ∩ {T _q ⁻¹ (I q )} ² | = |{T _p ⁻¹ (I p ) ∩ T _q ⁻¹ (I q )} ² |

≤



|I p | · |I q | + O

 min



|I p | p ∧ q

p , |I q | p ∧ q q

 ₂

≤ {|I p | · |I q |} ² + O

 min



|I p | p ∧ q

p , |I q | p ∧ q q

 ₂

+ 2|I p | · |I q |O

 min



|I p | p ∧ q

p , |I q | p ∧ q q



≤ 2{|I p | · |I q |} ² + 2O

 min



|I p | p ∧ q

p , |I q | p ∧ q q

 ₂ . Estimons les deux termes de cette derni`ere expression, apr`es sommation sur 1 ≤ p, q ≤ N .

3) On a X

1≤p,q≤N

(|I _p | · |I _q |) ² = n X

1≤q≤N

|I _q | ² o ₂

= n X

1≤q≤N

q ⁻¹ β ² _q o ₂

.

4) De plus, X

1≤p≤q≤N

O

 min



|I _p | p ∧ q

p , |I _q | p ∧ q q

 ₂

≤ X

1≤p≤q≤N

O



|I _q | p ∧ q q

 ₂

≤ X

1≤p≤q≤N

O



β _q q ^−1/2 p ∧ q q

 ₂

= O

 X

1≤p≤q≤N

(β _q q ^−3/2 p ∧ q) ²



≤ O  X

1≤q≤N

β _q ² q ⁻³ X

1≤p≤q

(p ∧ q) ²



≤ O  X

1≤q≤N

β _q ² q ⁻³ X

d|q

d ² X

k≤q/d

1



≤ O  X

1≤q≤N

β _q ² q ⁻³ X

d|q

d ² q/d



≤ O  X

1≤q≤N

β _q ² q ⁻² X

d|q

d



≤ O  X

1≤q≤N

β _q ² q ⁻² σ(q)

 .

Avec une transformation d’Abel et le lemme 22 on obtient X

1≤q≤N

β _q ² q ⁻² σ(q) = O

 X

1≤q≤N −1

[β _q ² q ⁻² − β _q+1 ² (q + 1) ⁻² ]q ²



+ β N O(1).

Avec 1) cela montre X

1≤p,q≤N

O

 min



|I p | p ∧ q

p , |I q | p ∧ q q

 ₂

= O  X

1≤p≤N

|E(p)|



+ β N O(1).

5) Choisissons β n = (ln n) ^−1/2 . On obtient D(q) = q ⁻³ (ln q) ⁻¹ (2 + o(1)).

D’apr`es 1) on a X

1≤p≤N

|E(p)| ≥ c X

1≤p≤N −1

D(p)p ² ≥ c ⁰ X

1≤p≤N −1

p ⁻¹ (ln p) ⁻¹

et X

p≥1

|E(p)| = ∞.

D’apr`es 3) on a X

1≤p,q≤N

(|I p | · |I q |) ² =

 X

1≤p≤N −1

p ⁻¹ (ln p) ⁻¹

 ₂

= O n X

1≤p≤N

|E(p)|

o ₂  . D’apr`es 4) on a

X

1≤p,q≤N

O

 min



|I _p | p ∧ q

p , |I _q | p ∧ q q

 ₂

= O  X

1≤p≤N

|E(p)|

 . Ces derni`eres estimations et 2) montrent que

X

1≤p,q≤N

|E(p) ∩ E(q)| ≤ C n X

1≤p≤N

|E(p)|

o ₂ , ce qui ach`eve la d´emonstration de la deuxi`eme ´etape.

P r e u v e d e (3). Soient x ∈ A et n ∈ N tels que r _n (x) ≤ r _n−1 (x)/2.

Nous avons

kq _n (x)2xk ≤ 2kq _n (x)xk = 2r _n (x).

Soit m le plus grand entier tel que q _m (2x) < q _n (x)/2. Comme q _m+4 (2x) ≥ 2q m+1 (2x) (cf. proposition 5), on a q m+4 (2x) ≥ q n (x) et donc r m+4 (2x) ≤ kq _n (x)(2x)k ≤ 2kq _n (x)xk = 2r _n (x). On a aussi r _m (2x) = k2q _m (2x)xk ≥ r n−1 (x), donc

r _m (2x)/r _m+4 (2x) ≥ r _n−1 (x)/(2r _n (x)),

et pour un k ∈ {m, . . . , m + 4}, r _k (2x)/r _k+1 (2x) ≥ [r _n−1 (x)/(2r _n (x))] ^1/4 . Cela prouve que M (2x) ≥ (M (x)/2) ^1/4 .

7. Tours de Rokhlin dans T ² . Soit f un automorphisme d’un espace

mesur´e (X, A, µ). Une tour de Rokhlin associ´ee `a f est une suite finie de

parties mesurables A 1 , . . . , A n , deux `a deux disjointes, telle que f (A i ) =

A _i+1 , i = 1, . . . , n − 1. La propri´et´e suivante est classique. Soit Θ ∈ T ¹ telle

que ZΘ soit dense dans T ¹ . Pour tout entier pair n, T ¹ est la r´eunion de deux

tours de Rokhlin disjointes. Posons A ₁ = [−r _n+1 (Θ), 0[ , A ₂ = [0, r _n (Θ)[ ,

I 1 = {0, . . . , q n − 1} et I 2 = {0, . . . , q n+1 − 1}. On a la partition T ¹ = n [

k∈I

1

(kΘ + A ₁ ) o

∪ n [

k∈I

2

(kΘ + A ₂ ) o

.

Le diam`etre des ´el´ements de ces tours de Rokhlin tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Dans T <sup>2</sup> , on a le th´eor`eme.

Th´ eor` eme 24. Soit Θ ∈ T ² de trajectoire dense. Il existe un entier m v´erifiant : pour tout ε > 0 il existe un entier n, une partition de {0, . . . , n}

en m intervalles I ₁ , . . . , I _m , et des parties A ₁ , . . . , A _m de T ² tels que 1) les parties kΘ + A i , i ∈ {1, . . . , m} et k ∈ I i , sont disjointes et de diam`etres inf´erieurs `a ε,

2) la mesure du compl´ementaire de la r´eunion de ces parties est inf´e- rieure `a ε.

P r e u v e. Montrons que l’on a soit lim inf _n→∞ e(n, Θ)/r(n, Θ) = c < ∞, soit M (Θ) = ∞. Supposons que pour tout k on ait r _k−1 (Θ)/r _k (Θ) ≤ M <

∞. D’apr`es la proposition 6, il existe une partie infinie J de N telle que pour tout k dans J on ait r <sub>k−1</sub> r <sub>k</sub> q <sub>k+1</sub> ≥ 1/100. Donc pour tout k dans J on a q <sub>k+1</sub> r <sub>k</sub> <sup>2</sup> ≥ 1/(100M ). D’apr`es le corollaire 4 on obtient

e(q k+1 − 1, Θ) ≤ (400/ √

3)M r k (Θ) pour tout k appartenant `a J, et donc

lim inf

n→∞

e(n, Θ)

r(n, Θ) ≤ lim inf

k∈J, k→∞

e(q _k+1 − 1, Θ)

r k (Θ) ≤ (400/ √ 3)M.

1) Supposons lim inf _n→∞ e(n, Θ)/r(n, Θ) < c < ∞. Soit n tel e(n, Θ)/r(n, Θ) ≤ c. Le nombre de r´egions de Vorono¨ı voisines de V (Θ, n, 0) est inf´erieure `a C = 16c <sup>2</sup> . D’apr`es le lemme 14 et la remarque qui le suit, l’intervalle {0, . . . , n − 1} est la r´eunion d’au plus m = 2[C] + 1 inter- valles disjoints I 1 , . . . , I m tels que si k et k + 1 sont dans le mˆeme I i alors V (Θ, k, n − 1) + Θ = V (Θ, k + 1, n − 1). On conclut en remarquant que V (Θ, k, n − 1), k = 0, . . . , n − 1, forment une partition de T ² et que le diam`etre de ces r´egions tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

2) Supposons M (Θ) = ∞. Soient n un entier, ε _n et θ _n ∈ R ² tels que θ _n = θ − ε _n /q _n , q _n Θ _n = 0 et kε _n k = r _n (Θ). Soit

A = {x ∈ T ² : d(x, 0) ≤ d(x, kΘ _n ) − 2r _n , k = 1, . . . , q _n − 1}.

Pour tous k ∈ {0, . . . , q _n − 1} on a

kΘ + A ⊂ V (Θ _n , k, q _n − 1).

En effet, si x ∈ A alors pour p 6= k, p ∈ {0, . . . , q _n − 1}, on a

d(x + kΘ, pΘ _n ) ≥ −d(x + kΘ, x + kΘ _n ) + d(x + kΘ _n , pΘ _n )

≥ −r n + d(x, (k − p)Θ n ) ≥ d(x, 0) + r n

= d(x + kΘ, kΘ) + r _n ≥ d(x + kΘ, kΘ _n ).

Les parties kΘ + A, k = 0, . . . , q _n − 1, sont donc disjointes. Lorsque r _n−1 /r _n tend vers l’infini,

|A|

|V (Θ n , 0, q n − 1)| → 1, en choisissant n convenablement on a donc 

 T ² \ [

k=0,...,q

n

−1

(kΘ + A)    ≤ ε.

R´ ef´ erences

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Universit´e de Haute Alsace 4, rue des Fr`eres Lumi`ere 68093 Mulhouse, France

E-mail: N.Chevallier@univ-mulhouse.fr

Re¸cu le 1.12.1995

et r´evis´e le 20.3.1996 (2900)