ANALIZA DYNAMICZNA MES WIRNIKA JEFFCOTTA
Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI PIEZOELEKTRYCZNYMI
Piotr Cupiał
1a, Mateusz Kozioł
1b1AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Automatyzacji Procesów
apcupial@agh.edu.pl, bmakoziol@agh.edu.pl
Streszczenie
Zjawiska występujące w wirujących układach stanowią interesujący i trudny obszar badań w dynamice maszyn.
W pracy omówiono sposób modelowania za pomocą programu Ansys wirnika Jeffcotta, początkowo bez, a następ- nie wraz z czujnikami piezoelektrycznymi. Modelowanie zjawisk tłumienia wewnętrznego i zewnętrznego w wirują- cym układzie odniesienia wymagało przygotowania szczególnego programu wewnątrz środowiska Ansys Otrzyma- no wyniki dla drgań wałów przy stałych prędkościach wirowania oraz przy liniowo narastającej prędkości obroto- wej (przejście przez prędkość krytyczną). Poprawność analiz została zweryfikowana przez porównanie wyników z rozwiązaniami analitycznymi. Ponadto zbadano wpływ wirowania na przebiegi i wartości napięć generowanych w elementach piezoelektrycznych.
Słowa kluczowe: drgania, dynamika wirników, metoda elementów skończonych, czujniki, konstrukcje inteli- gentne
FINITE ELEMENT ANALYSIS OF A JEFFCOTT ROTOR WITH PIEZOELECTRIC PATCH SENSORS
Summary
The phenomena taking place in rotating systems constitute an interesting and difficult field of study in machine dynamics. The paper will discuss the modelling of a Jeffcott rotor without and with piezoelectric patches placed on its surface, using the finite element code ANSYS. To properly account for the rotating and non-rotating damp- ing in the rotating reference frame it was necessary to develop a separate program inside the ANSYS environ- ment, enhancing the existing possibilities. Results have been obtained for the rotor vibrations, for both a constant rotation speed and for a linearly increasing speed (the passage through resonance). The correctness of the analysis has been verified through comparison with analytical solutions. Moreover, the rotation effects on the time histo- ries and the values of the voltage generated on the piezoelectric patches have been studied.
Keywords: vibrations, rotor dynamics, finite element method, sensors, smart structures
1. WSTĘP
Materiały piezoelektryczne są obecnie szeroko stoso- wane jako czujniki i elementy wykonawcze w układach aktywnego tłumienia drgań tzw. układów inteligentnych.
Podstawowe własności tego typu układów zostały przed- stawione w pracach[1, 2]. Elementy w postaci powierzch- niowych czujników piezoelektrycznych wykorzystywa-
tach wirujących. W tym obszarze istnieje znacznie mniej wyników dostępnych w literaturze niż ma to miejsce dla układów niewirujących.
Niniejsza praca jest przykładem modelowania dyna- miki układów wirujących, takich jak wał. Ze względu na możliwość modelowania złożonej geometrii zdecydowano
W analizie wykorzystano komercyjny program meto- dy elementów skończonych ANSYS v.12.1. Jednakże ze względu na fakt, iż zjawiska w układach wirujących mają złożoną dynamikę, na tym etapie analizy konieczne było przeprowadzenie szczegółowej weryfikacji możliwości i dokładności programu Ansys w zakresie analizy ele- mentów wirujących. Weryfikację tę przeprowadzono, wykorzystując modele analityczne wirnika Jeffcotta.
W szczególności zbadano wpływ tłumienia we- wnętrznego (tłumienia proporcjonalnego do prędkości względnej wału w układzie obrotowym) i zewnętrznego (proporcjonalnego do prędkości w układzie stacjonar- nym) na pracę wału z niewyważeniem statycznym dla stałej prędkości wirowania zarówno z zakresu podkry- tycznego jak i nadkrytycznego. Zamodelowano efekt samocentrowania się wału, efekt drgań samowzbudnych wynikających z histerezy wewnętrznej materiału wału, a także efekt przejścia przez pierwszą prędkość krytycz- ną. Analizy te przeprowadzono zarówno w stacjonarnym, jak i obrotowym układzie odniesienia, z pewnymi za- strzeżeniami znajdującymi się w dalszej części pracy.
Ostatecznie zamodelowano wał z powierzchniowymi czujnikami piezoelektrycznymi oraz podano wyniki wygenerowanych na nich napięć. W pracy nie uwzglę- niono wpływu łożysk – są one modelowane jako idealne sztywne oraz działające z pominięciem tarcia.
2. GEOMETRIA
ANALIZOWANEGO WIRNIKA
Do analizy przyjęto pręt o przekroju kołowym z masą skupioną umieszczoną w środku jego długości. Wymiary geometryczne oraz stałe materiałowe wykorzystywane w analizie zamieszczono w tabeli 1.
Tab. 1. Wymiary geometryczne i stałe materiałowe Wielkość Symbol Wartość Jednostka
długość wału L 0.3 [m]
promień wału R 0.0025 [m]
masa skupiona w środku długości
wału
M 1 [kg]
moduł Younga E 200 [GPa]
gęstość materiału ρ 7900 [kg/m3] współczynnik
Poissona ν 0.28 -
3. ANALIZOWANE MODELE
3.1 MODEL ANALITYCZNY – WIRNIK JEFFCOTTA
Wirnik Jeffcotta jest modelem o 2 stopniach swobo- dy, składającym się z masy skupionej umieszczonej na elastycznym wale, obracającym się ze stałą prędkością obrotową (rRys. 1). Masa skupiona umieszczona jest w środku długości wału. Wpływ masy wału uwzględnio- no jedynie poprzez jego masę zastępczą występującą w równaniu (2).Dodatkowo, model ten uwzględnia niewyważenie statyczne, tj. występuje niezerowy mimo- śród ε masy skupionej w stosunku do osi wału. Dla analizowanego przypadku masy skupionej umieszczonej w połowie długości wału i przy zaniedbaniu wpływu ciągłego rozkładu masy wału, efekty żyroskopowe nie występują w analizowanym modelu [3]. Sztywność zre- dukowaną i masę zredukowaną modelu analitycznego wyznaczono, przyjmując warunki swobodnego podparcia wału ze wzorów [4]:
k = (1)
= M + m (2)
gdzie: mw – całkowita masa wału.
Rys. 1. Schemat wirnika Jeffcotta [1]
3.2 BELKOWY MODEL MES
W analizie wykorzystano element BEAM188, który jest elementem jednowymiarowym o dwóch węzłach oraz sześciu stopniach swobody (trzy przesunięcia i trzy obroty) na węzeł. Masa skupiona została zamodelowana przy pomocy elementu MASS21 (jeden węzeł, sześć stopni swobody), przy czym przyjęto zerowe masowe momenty bezwładności względem średnicy oraz zerowy biegunowy moment bezwładności. Na warunki brzegowe składają się odebrane trzy stopnie swobody odpowiada- jące przemieszczeniu na jednym końcu wału oraz dwa na drugim ( pozostawiono możliwość wzdłużnego ruchu wału na drugim końcu).
3.3 PRZESTRZENNY MODEL MES
W analizie trójwymiarowej wykorzystano element SOLID185, który jest elementem przestrzennym o ośmiu węzłach i trzech stopniach swobody na węzeł. Podobnie jak w poprzednim modelu, masa była modelowana za pomocą elementu MASS21. Na węzły wału leżące w płaszczyźnie prostopadłej do jego osi i przechodzącej przez środek jego długości oraz węzeł odpowiadający masie skupionej narzucono więzy zachowujące stałe odległości, tworząc nieodkształcalną płaszczyznę, na której znajduje się masa. Zapewnia to jednakowe rozło- żenie sił działających na masę skupioną, na wszystkie węzły tego przekroju wału. Warunki brzegowe ustalono podobnie jak dla modelu belkowego, odbierając odpo- wiednie przemieszczenia w dwóch węzłach, po jednym na każdym końcu wału.
3.4 WERYFIKACJA MODELI – ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCI
WŁASNYCH NIERUCHOMEGO WAŁU
W celu wstępnej weryfikacji modeli wyznaczono czę- stotliwości własne układu bez wirowania. Obliczona najniższa (podwójna) częstotliwość własna wynosi: 16.43 [Hz] dla modelu analitycznego, 16.45 [Hz] dla modelu belkowego oraz 16.34 [Hz] dla modelu trójwymiarowego.
4. ANALIZA W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
4.1 RÓWNANIE MODELU JEFFCOTTA W STACJONARNYM UKŁADZIE
ODNIESIENIA
Analityczne równania ruchu dla modelu Jeffcotta w stacjonarnym układzie odniesienia mają postać [3]:
m 0
0 m
ẍ
ÿ + c + c 0
0 c + c
ẋ
ẏ + (3)
+ k 0
0 k + Ω 0 c
−c 0
x
y = mεΩ cos (Ωt) mεΩ sin (Ωt) + F
F gdzie: xC, yC – przemieszczenie środka wału,
cn – współczynnik tłumienia zewnętrznego wału, cr – współczynnik tłumienia wewnętrznego wału, ε – mimośród,
Ω – prędkość obrotowa wału.
Dla odpowiedzi dynamicznej wirującego wału szczególnie istotna jest macierz proporcjonalna do prędkości obroto- wej Ω, występująca w równaniu (3). Jej znaczenie zosta- nie omówione w dalszej części pracy.
4.2 MODEL MES W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
Podstawowym ograniczeniem w programie Ansys S dotyczącym analizy ruchu obrotowego w stacjonarnym układzie odniesienia jest wymaganie osiowej symetrii geometrii układu. Ponieważ model geometryczny z masą umieszczoną na mimośrodzie nie spełnia tego założenia, niewyważenie zamodelowano jako siłę zewnętrzną działa- jącą na masę skupioną umieszczoną na osi obrotu wału.
Wartości tej siły wnoszą:
F = mεΩ cos (Ω ) (4)
F = mεΩ sin (Ω ) (5)
Ogólne, macierzowe równanie ruchu obrotowego w stacjonarnym układzie odniesienia wykorzystywane w programie Ansys ma postać [5]:
[M] Ü + ([G] + [C]) U̇ + ([B] + [K]){U} = {f} (6) gdzie: [M] – macierz mas,
[C] – macierz tłumienia, [K] – macierz sztywności, [G] – macierz żyroskopowa, [B] – macierz cyrkulacyjna,
{f} – wektor węzłowych sił zewnętrznych.
Dla badanych modeli macierz [G] uwzględnia efekty żyroskopowe związane z ruchem wirowym samego wału.
Ze względu na przyjętą geometrię, efekty te są pomijal- nie małe, czego dowodem może być porównanie wyników z modelem Jeffcotta, który tych efektów w ogóle nie uwzględnia.
Macierz [B] jest macierzą cyrkulacyjną (ang. circula- tory matrix [3]). Macierz ta w programie Ansys jest otrzymywana jako macierz proporcjonalna do macierzy sztywności oraz skośnie symetrycznej macierzy zawiera- jącej składowe wektora wirowania wału (por. (8)) i w efekcie powoduje sprzężenie pomiędzy kierunkami drgań. Efektem jej działania może być pojawienie się drgań samowzbudnych, tj. wiru histerezowego o rosnącej amplitudzie, przy czym efekt ten pojawia się jedynie przy nadkrytycznych prędkościach wirowania. Mecha- nizm powstawania tych drgań jest dokładniej wyjaśniony w pracy [6].
4.3 MODELOWANIE TŁUMIENIA W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
Aby umożliwić weryfikację badanych modeli, istotne jest ścisłe i odpowiadające sobie zdefiniowanie tłumienia we wszystkich modelach. Założono, że bezwymiarowy współczynnik tłumienia dla pierwszej formy drgań poprzecznych wynosi = 0.01 oraz że stosunek współ-
względu na ograniczenia programu Ansys, do modelowa- nia tłumienia w modelach MES wykorzystano tłumienie Rayleigha, w którym :
[C] = α[M] + β[K] (7) gdzie: α, – współczynniki tłumienia Rayleigha pro- porcjonalne odpowiednio do macierzy mas i macierzy sztywności.
Macierz cyrkulacyjna [B] modeli MES wyraża się wzorem:
[B] = β[K][ω] (8)
gdzie: [ω ] – macierz prędkości obrotowych wału:
[ω] =
0 −ω ω
ω 0 −ω
−ω ω 0
. (9)
Porównując równanie modelu matematycznego (3) z równaniem (6), stwierdzono, że macierz proporcjonalna do prędkości obrotowej w równaniu (3) odpowiada macierzy cyrkulacyjnej oznaczonej jako [B] w równaniu (6). Zakładając, że stała prędkość ruchu obrotowego zadana jest tylko względem jednej osi oraz stosując pewne przekształcenia, można pokazać, że wzór (8) odpowiada macierzy Ω 0
− 0 występującej w modelu o 2 stopniach swobody, przy czym współczynniki cn i cr
wynoszą (macierze [M] i [K] w modelu Jeffcotta są diagonalne i posiadają jednakowe elementy):
c = α ∙ m (10)
c = β ∙ k (11)
Zatem dla przyjętej geometrii oraz współczynników i tłumienia Rayleigha występuje ścisła odpowiedniość między wszystkimi trzema modelami.
4.4 WYNIKI SYMULACJI
W STACJONARNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
W analizach przyjęto, że w chwili początkowej wał jest nieodkształcony (przemieszczenia równe zero) i ma zerową prędkość początkową drgań poprzecznych (wy- stępuje tylko prędkość związana z wirowaniem). Układ obciążony jest siłą zewnętrzną odpowiadającą niewywa- żeniu statycznemu, zgodnie z wyrażeniami (4) i (5). Na rys.2 przedstawiono schemat warunków brzegowych oraz składowe wektora przemieszczeń w układzie stacjonar- nym.
Rys. 2. Schemat warunków brzegowych analizowanego układu Na rys. 3 i 4 zamieszczono wykresy porównujące przemieszczenia środka wału dla wszystkich trzech badanych modeli, dla nadkrytycznej prędkości wirowania z uwzględnieniem tłumienia (Jeff – model Jeffcota, Beam – model belkowy, Solid – model przestrzenny). Widoczna jest duża zgodność otrzymanych wyników, co między innymi dowodzi, że efekty żyroskopowe, uwzględnione tylko w modelach MES, są pomijalnie małe.
Rys. 3. Drgania masy w kierunku osi x
Rys. 4. Drgania masy w kierunku osi y
Na rys. 5 przedstawiono przykład powstawania drgań samowzbudnych. Należy zwrócić uwagę na znaczną wartość prędkości obrotowej (Ω = 300 [rad/s]) przy prędkości krytycznej wynoszącej ok. 103 [rad/s].
W niższych prędkościach nadkrytycznych (do ok. 250 [rad/s]) efekt ten nie występuje, gdyż wystarczająca ilość energii jest dyssypowana przez tłumienie.
Rys. 5. Drgania samowzbudne
Na rys. 6. przedstawiono odpowiedź układu dla li- niowo narastającej prędkości wirowania wału (prędkość narasta od 0 do 300 [rad/s] w czasie 8 [s]). Oprócz nie- wyważenia w analizie tej zamodelowano siły bezwładno- ści w obrotowym ruchu jednostajnie przyspieszonym.
Rys. 6. Przejście przez prędkość krytyczną, samocentrowanie oraz efekt drgań samowzbudnych
5. ANALIZA W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
5.1 RÓWNANIA MODELU JEFFCOTTA W OBROTOWYM UKŁADZIE
ODNIESIENIA
Dokonując transformacji równań (3) do obrotowego układu odniesienia, otrzymuje się [3]:
m 0
0 m
ξ̈
η̈ + c + c 0
0 c + c + 2Ω 0 −m
m 0
ξ̇
η̇ +
+ k 0
0 k − Ω m 0
0 m + Ω 0 −c
c 0
ξ η =
= mεΩ )
0 + F cos(Ωt) + F sin (Ωt)
F cos(Ωt) − F sin (Ωt) (12) gdzie: C, C – współrzędne środka wału w obrotowym układzie odniesienia.
W równaniu tym pojawiają się macierze odpowiada-
5.2 MODEL MES W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
Analizy czasowe w obrotowym układzie odniesienia w programie Ansys nie wymagają geometrii osiowosyme- trycznej, zatem do modelowania niewyważenia statycz- nego wystarcza przeniesie masy skupionej poza oś obrotu wału. Jednak w układzie tym istnieje szereg innych uproszczeń, które zostaną omówione w dalszej części.
W obrotowym układzie współrzędnych związanym z wirującą bryłą macierzowe równanie ruchu w progra- mie Ansys przedstawia się następująco [5]:
[M] Ü + ([H] + [C]) U̇ + ([K] − [K ]){U} = {f}(13) W porównaniu do (6) w równaniu tym pojawia się macierz [H] będąca macierzą Coriolisa oraz macierz [KC] odpowiadająca efektowi zmniejszenia sztywności w wyniku wirowania (Spin Softening). Efekt Spin Softe- ning modyfikuje sztywność struktury w wyniku działania sił odśrodkowych występujących w ruchu obrotowym opisanym w wirującym układzie współrzędnych i wraz ze wzrostem prędkości kątowej zmierza on do destabilizacji układu.
Porównując równania analityczne z równaniem (13), można zauważyć, że w obydwu równaniach występują analogiczne wyrazy dla efektu Coriolisa oraz dla efektu Spin Softening. W równaniu ruchu (13) wyraźnie wi- doczny jest brak macierzy odpowiadającej wyrażeniu
Ω 0 −
0 . Wyrażenie to w literaturze [3] nazywa się, podobnie jak dla układu stacjonarnego, macierzą cyrku- lacyjną. Podjęto próbę jej uproszczonego zamodelowania.
Macierze te w różnych układach odniesienia nie są jednakowe (różnią się znakiem oraz rodzajem współczyn- nika tłumienia).
Należy również wyraźnie zaznaczyć, że żaden z anali- zowanych modeli w obrotowym układzie współrzędnych nie uwzględnia efektów żyroskopowych [5].
5.3 MODELOWANIE MACIERZY CYRKULACYJNEJ W PROGRAMIE ANSYS W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
Ponieważ brakująca macierz ma zasadniczy wpływ (co pokazano na rys. 8 i 9) na wyniki analiz czasowych dla prędkości nadkrytycznych, zdecydowano się zamode- lować wpływ macierzy cyrkulacyjnej w obrotowym układzie odniesienia jako układ sił zewnętrznych działa- jących na masę skupioną. Wartości tych sił ustalono, odnosząc się do równania modelu Jeffcotta i w praktycz- nej realizacji wymagało to wyznaczenia chwilowych wartości ugięcia w każdym kroku symulacji.
5.4 WYNIKI ANALIZ W OBROTOWYM UKŁADZIE ODNIESIENIA
Wykorzystywane warunki brzegowe są identyczne jak w stacjonarnym układzie odniesienia. Aby zachować czytelność wyników na wykresach, przedstawiono wyniki tylko dla kierunku jednej z osi.
Rys. 7. Schemat warunków brzegowych oraz obrotowy układ współrzędnych
Na rys. 8 porównano odpowiedź układu na niewywa- żenie statyczne analizowane w obrotowym układzie odniesienia dla modelu Jeffcotta (UξJeff) oraz modelu belkowego bez dodatkowego modelowania macierzy cyrkulacyjnej (UξBeamNoB). Ze względu na jej brak w modelu MES, otrzymany tą metodą przebieg jest niestabilny.
Rys. 8. Modelu belkowy bez macierzy cyrkulacyjnej oraz model Jeffcotta, prędkość nadkrytyczna, obrotowy układ odniesienia,
oś ξ
Rys. 9. Model belkowy z siłami zewnętrznymi odpowiadającymi efektowi cyrkulacji oraz model Jeffcotta, prędkość nadkrytycz-
na, obrotowy układ odniesienia, oś ξ
Na rys. 9 porównano odpowiedź modelu belkowego z zamodelowanym jako siły zewnętrzne wpływem macie- rzy cyrkulacyjnej (UξBeamB) do odpowiedzi modelu weryfikacyjnego Jeffcotta (UξJeff). W tym przypadku otrzymano dobrą zgodność pomiędzy modelem anali- tycznym a modelem MES.
6. ANALIZA WIRNIKA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI
PIEZOELEKTRYCZNYMI
Celem powyższych analiz było sprawdzenie możliwo- ści oraz zweryfikowanie poprawności rozwiązań dla ruchu wirowego wału, tak aby otrzymać miarodajne wyniki dla wału z elementami piezoelektrycznymi. Ponieważ geome- tria wału z czujnikami nie jest osiowosymetryczna, a także czujniki i ich elektrody wirują wraz z wałem, dlatego analiza takiego układu możliwa jest jedynie w obrotowym układzie współrzędnych. Uzasadnione staje się również zbudowanie i przeanalizowanie modelu przestrzennego, gdyż tylko w takim modelu mogą zostać dołączone powierzchniowe czujniki piezoelektryczne.
6.1 MODELOWANIE MES
POWIERZCHNIOWYCH CZUJNIKÓW PIEZOELEKTRYCZNYCH
Elementy piezoelektryczne wymagają zdefiniowania własności piezoelektrycznych materiału w zależności od ich polaryzacji. Wykorzystano elementy typu SOLID226, które posiadają dodatkowy stopień swobody – potencjał elektrostatyczny. Następnie, po przypisaniu tym elemen- tom własności piezoelektrycznych, konieczne jest zdefi- niowanie elektrod. W tym celu dokonano sprzężenia stopni swobody odpowiadających potencjałowi elektro- statycznemu węzłów tworzących elektrody. Ponieważ potencjał elektrostatyczny jest określany z dokładnością do dowolnej stałej, potencjał powierzchni elektrod styka- jących się z wirnikiem zadano jako równy 0 [V].
Jako model materiału elementów piezoelektrycznych przyjęto PZT-4 o polaryzacji w kierunku radialnym, na zewnątrz od osi obrotu wału. Przyjęte do analiz stałe piezoelektryczne materiału PZT-4 zamieszczono w tabeli 2 (dla kierunku polaryzacji 3)[7]. Model MES wirnika z powierzchniowymi czujnikami piezoelektrycznymi przedstawiono na rys. 10.
Tab. 2. Stałe materiałowe PZT-4
Stała Wartość Jednostka
ρ 7500 [kg/m3]
d31 −1,23 ∙ 10 [m/V]
d33 2,89 ∙ 10 [m/V]
d15 4,96 ∙ 10 [m/V]
sE11 −1,23 ∙ 10 [m2/N]
sE33 1,55 ∙ 10 [m2/N]
sE12 −4,05 ∙ 10 [m2/N]
sE13 −5,31 ∙ 10 [m2/N]
sE44 3,9 ∙ 10 [m2/N]
6.2 WYNIKI ANALIZ MES WIRNIKA Z POWIERZCHNIOWYMI CZUJNIKAMI PIEZOELEKTRYCZNYMI
Warunki początkowe, brzegowe oraz niewyważenie statyczne nie zostały zmienione. Jedyna modyfikacja pomiędzy wcześniej analizowaną geometrią polega na dołączeniu piezoelementów.
Rys. 10. Model MES wirnika z elementami piezoelektrycznymi Na następnych rysunkach przedstawiono wyniki przemieszczenia i generowanych napięć na elektrodach czujników piezoelektrycznych. Przemieszczenia w kierun- ku osi ξ oscylują wokół wartości około -2 [mm], co powoduje, że wykresy napięć również są przesunięte o pewną dodatnią lub ujemną wartość, w zależności od położenia elementów.
Rys. 11. Ugięcie środka wirnika
Rys. 12. Wygenerowane napięcia na elektrodach na górnego i dolnego czujnika piezoelektrycznego (kierunek ξ)
7. PODSUMOWANIE
Głównym celem pracy było otrzymanie przebiegu napięć na elektrodach czujników piezoelektrycznych zamocowanych na obracającym się wirniku Jeffcotta.
W analizie wykorzystano program metody elementów skończonych Ansys. Ze względu na wpływ wielu czynni- ków na odpowiedź układów wirujących, przeprowadzono szczegółową weryfikację dokładności wyników otrzymy- wanych przy pomocy tego programu dla układów wiru- jących.
Zasymulowano i zweryfikowano wpływ tłumienia wewnętrznego i zewnętrznego zarówno w stacjonarnym jak i obrotowym układzie odniesienia. Duża zgodność wyników otrzymanych metodą MES w porównaniu z modelami analitycznymi dowodzi poprawności analiz.
Przedstawiono wyniki dotyczące drgań wałów zarówno przy stałych prędkościach oraz przy liniowo narastającej prędkości (przejście przez prędkość krytyczna). Przed- stawione wyniki analiz stanowią bazę do dalszych badań symulacyjnych jak również doświadczalnych zmierzają- cych do wykorzystania elementów piezoelektrycznych w układach wirujących.
Literatura
1. Preumont A.: Vibration control of active structures. 2nd Edition. Amsterdam: Kluwer Academic Publ., 2002.
2. Cupiał P.: Coupled electromechanical vibration problems for piezoelectric distributed-parameter systems. Mono- grafia 362. S.”Mechanika”. Krakow: Pol. Krak., 2008.
3. Genta G.: Dynamics of rotating systems. New York: Springer, 2005.
4. Kaliski S. (red): Drgania i fale.W: Mechanika Techniczna, t. III. Warszawa: PWN, 1986.
5. Ansys V12.1 Mechanical APDL Help.
6. Hartog, J. P. den: Drgania mechaniczne. Warszawa: PWN, 1971.
7. http://www.efunda.com/materials/piezo/material_data/matdata_output.cfm?Material_ID=PZT-4.
