Analiza płyt i powłok MES

Analiza płyt i powłok MES

Jerzy Pamin

e-mails: JPamin@L5.pk.edu.pl

Podziękowania:

M. Radwańska, A. Wosatko

ANSYS, Inc. http://www.ansys.com

Tematyka zajęć

Klasyfikacja modeli i elementów skończonych

Elementy skończone dla płyt zginanych

Elementy skończone dla powłok

Teoria umiarkowanie dużych ugięć

[1] T. Kolendowicz Mechanika budowli dla architektów. Arkady, Warszawa, 1996.

[2] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementów skończonych w mechanice kostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005.

[3] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwizania analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009.

Podręczniki

Klasyfikacja modeli i elementów skończonych

Obniżenie wymiarowości:

I ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe)

I ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe)

I ustroje bryłowe (trójwymiarowe)

Elementy skończone dla mechaniki:

I 1D - kratowy (truss)

I 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame)

I 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa (axial symmetry)

I 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell)

I 3D - bryłowy (volume)

Ustrój 2.5D - płyta [1]

Zginanie Ścinanie Skręcanie

Rysunki zaczerpnięte z [1]

Ustrój 2.5D - powłoka

Rysunki z [1]

ANSYS simulation:

Ugięcia pod działaniem obciążenia równomiernego

Płyta zginana

Ugięcie - podstawowa niewiadoma Rys. zaczerpnięte z [2]

Naprężenia (uogólnione)

Zginanie - odkształcenia i naprężenia uogólnione

Teoria płyt cienkich Kirchhoffa-Love’a

Krzywizny i spaczenie Momenty zginające i skręcające Rys. zaczerpnięte z [2]

Prostokątny element skończony do analizy płyt

Węzłowe stopnie swobody i siły

Funkcje kształtu Hermite’a Rys. zaczerpnięte z [2]

Uwaga na zadawanie warunków brzegowych (kinematycznych i statycznych)

Powłoka

Rys. zaczerpnięte z [2]

Powłoka - naprężenia uogólnione

Teoria powłok cienkich mało wyniosłych

Stan naprężenia w powłoce Rys. zaczerpnięte z [2]

Siły tarczowe + zginanie (wpływ ścianania poprzecznego pominięty)

Elementy skończone do analizy płyt i powłok

Teoria Reissnera-Mindlina powłok umiarkowanie grubych

Kąty obrotu są niezależnie aproksymowane

Element skończony Ahmada - zdegenerowane continuum

Uwzględniony wpływ ścinania poprzecznego Rys. zaczerpnięte z [2]

Nieliniowość geometryczna

Równowaga układu zdyskretyzowanego:

K ∆u^g = F^t+∆t_ext − F^t_int

gdzie styczna macierz sztywności:

K = K0+Ku+Kσ

K0- macierz sztywności liniowej

Ku - macierz sztywności przemieszczeniowej

(macierz dyskretnych związków kinematycznych B zależna od przemieszczeń)

Kσ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń uogólnionych)

Teoria umiarkowanie dużych ugięć Karmana [3]

Dopuszczamy ugięcie rzędu grubości

Odkształcenia powierzchni środkowej εx = ε^L_x+ ε^N_x =^∂u_∂x +¹₂ ^∂w_∂x
² εy = ε^L_y + ε^N_y = ^∂v_∂y +¹₂

∂w

∂y

²

γxy = γ_xy^L + γ_xy^N = ^∂u_∂y +^∂v_∂x +^∂w_∂x ^∂w_∂y Krzywizny i spaczenie jak w teorii liniowej

κ_x = κ^L_x = −^∂_∂x^2w₂, κ_y = κ^L_y = −^∂_∂y^2w₂, χ_xy = χ^L_xy = −2_{∂x ∂y}^∂2w

Układ dwu równań teorii Karmana płyt o umiarkowanie dużych ugięciach

∇²∇²F (x , y ) + ^Eh₂L(w , w ) = 0 D^m∇²∇²w (x , y ) − L(w , F ) − ˆp_z= 0 gdzie:

F (x , y ) - funkcja naprężenia (n_x = F_,yy, n_y = F_,xx, n_xy = −F_,xy) L(a, b) = a,xxb,yy− 2a,xyb,xy+ a,yyb,xx

Teoria umiarkowanie dużych ugięć

Aproksymacja MES

Całkowita energia potencjalna (dodatkowa energia stanu tarczowego) Π˜^m= U^m+ ˜Uⁿ− W^m

Dyskretyzacja

uⁿ=

 u(x , y ) v (x , y )



=

 Nu 0 Nv 0

  qⁿ q^m



w^m= [w (x , y )] =

0 Nw 

 qⁿ q^m



Nieliniowe związki kinematyczne B_{(6×LSSE )}= B^L_{(6×LSSE )}+ B^N_{(6×LSSE )}

B^L_{(6×LSSE )}=

 Bⁿ 0 0 B^m



, B^N_{(6×LSSE )}=

 0 Bⁿ_w 0 0



Teoria umiarkowanie dużych ugięć

Aproksymacja MES

Macierze dyskretnych związków kinematycznych

Bⁿ=





Nu,x

Nv ,y

N_u,y+ N_{v ,x}



, B^m=





−Nw ,xx

−Nw ,yy

−2Nw ,xy





Bⁿ_w =





w,xNw ,x

w,yNw ,y

w,xNw ,y + w,yNw ,x





Gradienty ugięcia

g =

 w,x

w,y



=

 Nw ,x

Nw ,y



q^m= G^mq^m

Teoria umiarkowanie dużych ugięć

Aproksymacja MES

Macierz styczna elementu k^e_T = k^e₀+ k^e_u+ k^e_σ

k^e₀= Z Z

A^e

 B^nTDⁿBⁿ 0 0 B^mTD^mB^m

 dA

k^e_u= Z Z

A^e

 0 B^nTDⁿBⁿ_w B^nT_w DⁿBⁿ 0

 dA

k^e_σ= Z Z

A^e

 0 0

0 G^mTSⁿG^m



dA, Sⁿ=

 nx nxy

nxy ny



Wektor sił węzłowych reprezentujących siły wewnętrzne

f_int^e = Z Z

A^e

 B^nT 0 B^nT_w B^mT

  Sⁿ S^m

 dA

Płyta kwadratowa

Umiarkowanie duże ugięcia

ˆ pz

x

z, w y

a

a C

Dane:

L = Lx = Ly = 2a = 1.0 m h = 0.002 m

E = 200000 MPa, ν = 0.25

Zależność ugięcia od obciążenia:

0.001 0.003

0.30

0.15

0.002

wC [m]

ˆ pz [kPa]

MES

(nieliniowość geometryczna)

wC= 0.00406^ˆpz_D^L4 rozwiązanie liniowe: