41, s. 371-376, Gliwice 2011
DRGANIA SIŁOWNIKA HYDRAULICZNEGO Z UWZGLĘDNIENIEM TŁUMIENIA WEWNĘTRZNEGO
WOJCIECH SOCHACKI
Instytut Mechaniki i PKM, Politechnika Częstochowska e-mail: sochacki@imipkm.pcz.czest.pl
Streszczenie. W pracy sformułowano i rozwiązano zagadnienie tłumionych drgań poprzecznych siłownika hydraulicznego. W zbudowanym modelu fizycznym uwzględniono rozproszenie energii w drgającym siłowniku na skutek tłumienia wewnętrznego materiału lepkosprężystego siłownika (model reologiczny Kelvina-Voigta). Obliczenia przeprowadzono po przyjęciu odpowiednich wielkości bezwymiarowych. Jako przykład przyjęto siłownik podpory górniczej. Wyniki obliczeń dotyczą wyznaczenia zależności pierwszej wartości własnej drgań poprzecznych siłownika od stopnia jego rozsunięcia przy dwóch wartościach obciążenia. Przedstawiono także wpływ wielkości tłumienia wewnętrznego na pierwszą wartość własną układu.
1. WSTĘP
Badania drgań siłownika hydraulicznego były przedmiotem prac wielu autorów. Efektem tych badań jest obszerna literatura, wśród której można wymienić przykładowe pozycje [3-5].
W przypadku badań dynamiki siłownika jest on zazwyczaj traktowany jako element bardziej złożonych układów dynamicznych. W badaniach tego typu obiektów uwzględnia się oddziaływanie otoczenia, połączeń cylindra z tłoczyskiem, uszczelnień oraz medium [4].
Wpływ wymienionych oddziaływań modeluje się jako działania określonych sił (stałych lub zmiennych), mas skupionych czy sprężystości dołączonych jako elementy dyskretne. Na podstawie tak zbudowanych modeli obliczano częstości drgań siłownika. Zbudowane modele pozwalały ponadto na obliczanie sił oddziaływania pomiędzy cylindrem siłownika i tłoczyskiem oraz obliczanie sił krytycznych konkretnych konstrukcji. Wyniki badań odpowiedzi dynamicznej modelu siłownika na wymuszenie osiowe przedstawiono w pracy [5]. W pracy [3] poza obliczeniami częstości drgań swobodnych przeprowadzono badania stateczności dynamicznej siłownika, określając warunki geometryczne i obciążenia utraty stateczności. W dotychczasowych badaniach dynamiki siłowników hydraulicznych badania związane z tłumieniem drgań tego typu układów dotyczyły przede wszystkim tłumienia cieczy wypełniającej siłownik lub efektów tłumiących związanych z przepływem cieczy hydraulicznej w trakcie zsuwania lub rozsuwania siłownika. Modele drgań siłowników są zazwyczaj modelami belkowymi. Jeżeli więc analizuje się tłumienie drgań w takiej konstrukcji, należy przeprowadzić analizę tłumienia drgań w belkach modelujących cylinder i tłoczysko siłownika.
Badania wpływu tłumienia wewnętrznego na drgania belek podejmowało wielu autorów.
Jako przykładowe można wymienić prace [1-2] oraz [6-7]. W pracy [2] autorzy analizowali
wpływ tłumienia wewnętrznego na drgania belki wspornikowej z masą zamocowaną na swobodnym końcu belki. Dla przedstawionego układu zaproponowali model zastępczy (dyskretny) w postaci układu sprężyna-tłumik-masa. Wpływ małego tłumienia wewnętrznego i zewnętrznego na stateczność niezachowawczych układów belkowych przedstawiono w pracy [1]. Podobnie w pracy [6] autorzy analizowali wpływ tłumienia wewnętrznego na stateczność kolumny wspornikowej obciążonej siłą śledzącą. Matematyczny model zginanej belki niepryzmatycznej z tłumieniem przedstawili autorzy pracy [7].
W celu budowy bardziej kompleksowego modelu siłownika w niniejszej pracy uwzględniono rozproszenie energii drgań materiału lepkosprężystego (model reologiczny Kelvina-Voigta) belek modelujących cylinder i tłoczysko siłownika. Wyznaczono częstości drgań tłumionych przy zmieniającym się obciążeniu badanego układu oraz przedstawiono wpływ tłumienia wewnętrznego na częstość drgań siłownika przy różnym stopniu jego rozsunięcia.
Równania ruchu poszczególnych belek oraz naturalne warunki brzegowe wyprowadzono na podstawie zasady Hamiltona. Zagadnienie brzegowe uzupełniono przez geometryczne warunki brzegowe modelujące mocowanie siłownika i oddziaływanie cylindra z tłoczyskiem oraz warunki ciągłości belek modelujących cylinder i tłoczysko. Otrzymano części rzeczywiste i urojone wartości własnych.
2. MODEL MATEMATYCZNY
Model siłownika składa się z dwóch belek modelujących cylinder i tłoczysko siłownika (rys.1). W modelu uwzględniono jego istotne cechy takie jak: oddziaływanie cylindra z tłokiem i tłoczyskiem, które odbywa się przez części połączenia prowadnicowego, obciążenie siłownika oraz oddziaływanie cieczy na tłok i cylinder.
l22
l c
E22
l12l11= l21 x22x21x12x11
W (x,t)22
W (x,t) =12
W (x,t)11
W (x,t)21
*
E21
*
E12
*
E11
*
P
Rys.1. Model belkowy siłownika hydraulicznego
Lepkosprężystość materiału scharakteryzowana została przez moduł Younga E oraz współczynnik lepkości E* belek modelujących siłownik. Ponadto uwzględniono oddziaływanie cieczy na cylinder.
Równania ruchu poszczególnych części układu są następujące:
) 0 , ( )
, ( )
, ( )
, (
2 2 2
2 4
5
* 4
4
= +
+
+ t
t x A W
x t x P W
t x
t x J W
x E t x J W
E mn mn mn mn
mn mn mn mn mn
mn mn mn mn mn
mn mn mn
mn ∂
ρ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ (1)
gdzie: m,n = 1, 2 (na długości przekrycia cylindra z tłoczyskiem w cylindrze Pmn = 0), Emn - Moduł Younga m, n-tego pręta modelujących cylinder i tłoczysko,
Amn - pole przekroju m, n-tego pręta, ρmn - gęstość m, n-tego pręta,
E*mn – współczynnik lepkości materiału poszczególnych części siłownika, P – siła obciążająca siłownik (Pmn=P)
Rozwiązania równań (1) mają postać:
Wmn(xmn,t)=wmn(xmn)eiω*t (2) gdzie ω - częstość zespolona *
Podstawiając (2) do (1) otrzymamy:
wmnIV(x)+βmn2 wmnII(x)−γmnwmn(x)=0 m, n = 1,2 (3)
gdzie:
)
( * *
*2
ω ω γ ρ
mn mn mn
mn mn
mn J E iE
A
= + ,
)
( * ω*
β
mn mn mn
mn J E iE
P
= +
Warunki brzegowe rozpatrywanego układu są następujące:
) 0 ( ) ( ), 0 ( )
(11 12 21 21 22
11
I I
I
I l w w l w
w = =
) ( ) (
) 0 ( ) (
) 0 ( ) ( ) (
) 0 ( ) 0 ( ) (
0 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 (
11 11 11
*
* 11 11 12
12
*
* 12 12
22 21 21 12 12
21 12 11 11
22 22 12 22 21 12 12 11 11
l w J iE E w
J iE E
w l w l w
w w l w
l w l w w l w w w
II II
II II
II II
ω
ω = +
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(4)
0 ) 0 ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
0 ) 0 ( ) 0 ( ) (
) 0 ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( ) (
) 0 ( ) (
22 22
*
* 22 22 21 21 21
*
* 21 21 12 12 12
*
* 12 12
21 21
21
*
* 21 21
12 12
*
* 12 12 11 11 11 11 11
*
* 11 11
21 21 21
*
* 21 21 22
22
*
* 22 22
= +
− +
+ +
=
− +
−
+ +
− +
+
+
= +
III III
III
I III
III I
III
II II
w J iE E l w J iE E l w J iE E
Pw w
J iE E
w J iE E l Pw l w J iE E
l w J iE E w
J iE E
ω ω
ω
ω
ω ω
ω ω
Rozwiązaniem równań (3) są funkcje:
x i mn x i mn x mn x mn mn
mn mn
mn
mn C e C e C e
e C x
w ( )= 1 λ + 2 −λ + 3 λ + 4 −λ (5)
gdzie: λmn= βmn+ βmn +γmn 4 2
4 2
, λmn= −βmn+ βmn+γmn 4 2
4 2
Rozwiązując zagadnienie brzegowe, wyznaczono wartości własne drgań ω*. Po podstawieniu równań (5) do warunków (4) otrzymano układ równań względem nieznanych stałych Cik. Układ ten w postaci macierzowej można zapisać jako
[ ]
A( )
ω* C=0 (6) gdzie: A( )
ω* =[ ]
apq , ( p, q =1,2..16) iC=[
C1mn,C2mn]
TPosiada on nietrywialne rozwiązanie, jeśli wyznacznik macierzy współczynników przy stałych Cik jest równy zeru
det A = 0 (7) Szukane pierwiastki są liczbami zespolonymi, w których części rzeczywiste reprezentują tłumione częstości drgań natomiast części urojone charakteryzują tłumienie w układzie.
Pomocną w poszukiwaniu rozwiązań jest w tym przypadku znajomość częstości drgań swobodnych badanego układu, stanowiąca punkt odniesienia w procedurze numerycznej wyznaczania wartości własnych układu tłumionego.
3. WYNIKI SYMULACJI NUMERYCZNYCH
Obliczenia przeprowadzono, przyjmując dane materiałowe i geometryczne siłownika hydraulicznego podpory górniczej. Przyjęte dane zamieszczono w tabeli 1.
Tabela 1. Dane geometryczne i materiałowe przyjęte do obliczeń Średnica zewnętrzna cylindra
Średnica wewnętrzna cylindra Średnica zewnętrzna tłoczyska Średnica wewnętrzna tłoczyska Moduł Younga cylindra i tłoczyska Gęstość materiału cylindra i tłoczyska
D11 = D12 = 290 [mm], d11 = d12 = 250 [mm], D21 = D22 = 160 [mm], d21 = d12 = 120 [mm], E = 2,1 * 1011 [Pa], ρ = 7,86 * 103 [kg/m3]
Przy prezentacji wyników przyjęto bezwymiarowe wartości współczynnika tłumienia określone jako:
c E E*
η = (12)
gdzie: 4
, , 2
c n
m mn mn n m
mn mn
J l E
A
c
∑
=
∑
ρ
.
Współczynnik ten przyjmowano jako stały w całym układzie (zarówno w cylindrze jak i w tłoczysku).
Na rys. 2 przedstawiono zależności wartości własnych siłownika od współczynnika tłumienia η. Przedstawione wyniki dotyczą części rzeczywistych i urojonych pierwszej wartości własnej. Z racji różnych skal otrzymanych wyników zaprezentowano je na odrębnych rysunkach. Obliczenia przeprowadzono przy dwóch wariantach rozsunięcia siłownika – pierwszy wariant lc = 2.8m i drugi lc = 3.7m oraz przy dwóch wariantach
obciążenia siłownika, które wynosiło P=0 i P=0.5Pc (Pc-siła krytyczna siłownika rozsuniętego do długości lc=3.7m).
0 0.01 0.02 0.03 0.04
h 120
160 200 240 280 Re w [rad/s]
P = 0 lc= 2.8m
lc= 3.7m P = 0.5Pc
0 0.01 0.02 0.03 0.04
h 0
10 20 30 Im w [rad/s]
P = 0-0.5Pc
lc= 2.8m
lc= 3.7m
Rys.2. Zależność pierwszej wartości własnej (części rzeczywistych i urojonych) siłownika od współczynnika tłumienia η
Na kolejnym rysunku (rys. 3) przedstawiono zmianę pierwszej wartości własnej siłownika w zależności od stopnia jego rozsunięcia od lc = 2.8m do lc = 3.7m. Badania przeprowadzono, przyjmując wartość współczynnika tłumienia η = 0.01.
2.8 3 3.2 3.4 3.6
lc[m]
120 160 200 240 280 Re w [rad/s]
P = 0 h= 0.01
P = 0.5Pc
2.8 3 3.2 3.4 3.6
lc[m]
4.8 5.2 5.6 6 6.4 Im w
[rad/s] h= 0.01
P = 0-0.5Pc
Rys.3. Zależność pierwszej wartości własnej (części rzeczywistych i urojonych) siłownika od stopnia jego rozsunięcia lc
Podobnie jak na rys. 2 wyniki symulacji numerycznych uwzględniają części rzeczywiste i urojone wartości własnych, które z racji różnych skal przedstawiono na dwóch rysunkach.
Siłownik także w tym przypadku obciążono siłą P = 0.5Pc oraz przeprowadzono badania układu nieobciążonego.
3. PODSUMOWANIE
W pracy przedstawiono model drgań poprzecznych siłownika hydraulicznego z tłumieniem wewnętrznym. Jako model do obliczeń posłużył siłownik hydrauliczny podpory górniczej.
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że wprowadzenie do rozważań drgań siłownika tłumienia wewnętrznego powoduje jedynie niewielkie zmiany w jego wartościach własnych w całym badanym zakresie. Zmiana współczynnika tłumienia (rys.2) nie wprowadza (w badanym zakresie) znaczących zmian w częstościach drgań
badanego układu (rys. 2. Re ω*). Istotne zmiany można natomiast zauważyć w „ubytku”
amplitudy drgań siłownika (rys. 2. Im ω*). Zmiany te są takie same gdy układ jest obciążony siłą P=0.5Pc oraz bez obciążenia. Porównanie wyników części rzeczywistych wartości własnych przedstawionych na rys. 3 oraz wyników częstości drgań prezentowanych w pracy [3] (badania podobnego układu bez uwzględnienia tłumienia przy zmianie długości całkowitej siłownika w granicach od lc = 2.8m do lc = 3.7m) pozwala na stwierdzenie, że wyniki te są bardzo podobne. Z analizy przebiegu części urojonych wartości własnych wynika, że im wysięgnik jest bardziej rozsunięty, tym większe są jego amplitudy drgań (przy stałej wartości współczynnika tłumienia). W badanym zakresie współczynnika tłumienia nie zaobserwowano wpływu obciążenia na zmianę amplitud drgań siłownika.
LITERATURA
1. Kirillov O. N., Seyranian A. O.: The effect of small internal and external damping on the stability of distributed non-conservative systems. “Journal of Applied Mathematics and Mechanics” 2005, 69, p. 529-552.
2. Gürgöze M., Doğruoğlu A. N., Aeren S.: On the eigencharacteristics of a cantilevered visco-elastic beam carrying a tip mass and its representation by a spring-damper-mass system. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 301, p. 420-426.
3. Sochacki W., Tomski L.: Free vibration and dynamic stability of hydraulic cylinder set.
“Machine Dynamics Problems” 1999, Vol.23, No. 4, p. 91-104,
4. Tomski, L.: Nośność sprężysta stojaka hydraulicznego. „Rozprawy Inżynierskie” 1977, 25.2, s. 247-269.
5. Tomski, L., Kukla, S.: Dynamical response of bar-fluid-shell system simulating hydraulic cylinder subjected to arbitrary axial excitation. “Journal of Sound and Vibration” 1984, 92, 2, p. 273-284.
6. Ryu S.-U., Sugiyama Y.: Computational dynamice approach to the effect of damping on stability of cantilevered kolumn subjected to a follower force. “Comuters and Structures”
2003, 81, p. 265-271.
7. Taha M. H., Abohadima S.: Mathematical model for vibrations of non-uniform flexural beams. “Engineering Machanics” 2008, Vol.15, No. 1, p. 3-11.
TRANSVERSE VIBRATIONS OF AN INTERNALLY DAMPED HYDRAULIC CYLINDER
Summary. In the work the problem of transverse vibrations of a hydraulic cylinder set with the consideration of the internal damping is formulated and solved. In the physical model of hydraulic cylinder the dissipation of vibration energy as the result of internal viscous damping (a visco-elastic Kelvin-Voigt material) is considered. The calculations is made after consideration pertinent dimensionless quantities. The results of calculations concern the assign of dependence of first eigenvalue (real and imaginary parts) for two values of loading from degree of hydraulic cylinder extension. The influence of size of internal damping on the first eigenvalue of system also was introduced.
Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego w roku 2011.
