Liczby zespolone
1. Ciekawostki historyczne
Początki liczb zespolonych sięgają juŜ XVI wieku. W czasach dzisiejszych nie moŜna przecenić ich znaczenia i wkładu w rozwój nauki. Co ciekawsze jako pierwszy zaczął je uŜywać Rafael Bombelli, który nie był matematykiem. Był on inŜynierem kierującym pracami przy osuszaniu bagien i terenów błotnych w Toskanii. Co więcej, wielu sławnych matematyków nie chciało pogodzić się z ich istnieniem i zaprzeczało ich istnieniu.
Obecnie liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka, ale i inŜyniera, któremu oddają ogromne korzyści w elektronice, aerodynamice itd..
Pojawienie się liczb zespolonych wiąŜe się ściśle z problemem rozwiązania równania kwadratowego o wyróŜniku (delcie) ujemnym. W szczególności problem sprowadza się do obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
JeŜeli ograniczymy się do liczb rzeczywistych, to jak wiadomo obliczanie pierwiastka z liczby ujemnej jest niewykonalne. Nie kłopocząc się tym zbytnio Bombelli załoŜył jego istnienie i nazywał go liczbą urojoną (wyimaginowaną), a poprzednio znane liczby liczbami rzeczywistymi.
Zwolennicy istnienia tych liczb wykonywali na nich działania tak, jak na liczbach rzeczywistych dodając, odejmując, mnoŜąc i dzieląc. Oznaczali pierwiastek z liczby -1 literą i przyjmując, Ŝe i2=-1. Swobodnie dodając i mnoŜąc liczby rzeczywiste i urojone tworzyli nowe liczby postaci a+bi , które dziś nazywamy liczbami zespolonymi.
Początek XIX wieku zdarł wszelką mistykę z tych liczb, gdyŜ przyniósł ich ścisłe określenie. Pierwsze z nich – Gaussa - wykazało, Ŝe liczby zespolone są to właściwie punkty płaszczyzny euklidesowej, w której wprowadzono pewne działania zwane dodawaniem i mnoŜeniem punktów czyli liczb zespolonych. Drugie ujęcie - Hamiltona - wprowadza liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych, ze specyficznym (specjalnym) sposobem ich dodawania i mnoŜenia.
2. Definicja liczby zespolonej, interpretacja geometryczna.
Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taką parę zapisuje się w postaci sumy
z = a + bi , gdzie i2=-1.
Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc:
Re z = a Im z = b.
Liczba zespolona jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0.
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone.
Liczbę zespoloną postaci a -bi nazywamy liczbą sprzęŜoną do liczby z=a +bi i oznaczamy ją z reguły symbolem z. Liczbie tej odpowiada na
płaszczyźnie punkt, który jest połoŜony symetrycznie do punktu (a,b) względem osi Ox.
Liczby zespolone postaci a + 0i zapisujemy jako a i utoŜsamiamy z liczbami rzeczywistymi.
Liczbom rzeczywistym a = a + 0i odpowiadają punkty na płaszczyźnie o rzędnej równej zeru, tzn. punkty osi odciętych (osi Ox ). Dlatego oś odciętych nazywamy osią rzeczywistą.
JeŜeli część rzeczywista liczby zespolonej jest równa zero, to liczba ma postać bi i nazywamy ją liczbą urojoną. Liczbom urojonym bi = 0 +bi odpowiadają punkty o odciętej równej zeru, tzn. punkty osi rzędnych (osi Oy).
Dlatego oś rzędnych nazywamy osią urojoną.
Płaszczyznę, której punktom przyporządkowano w powyŜszy sposób liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa.
Liczbie zespolonej z = a + bi odpowiada punkt płaszczyzny o współrzędnych (a,b).
O
y
z = a + bi
M
(a,0) (0,b)
x
TakŜe o wektorze OM r
łączącym początek układu współrzędnych z punktem M(a, b) odpowiadającym liczbie zespolonej z = a + bi mówimy, Ŝe przedstawia geometrycznie liczbę zespoloną z.
3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Zamiast określać liczbę zespoloną z = a + bi róŜną od zera poprzez podanie jej części rzeczywistej i urojonej moŜemy ją określić inaczej - współrzędnymi biegunowymi - podając odległość r punktu M(a, b) od początku układu współrzędnych oraz kąt φ jaki tworzy wektor OM
r
z dodatnim kierunkiem osi Ox.
0 y
M( a, b)
a x
b φ
r
Wówczas zachodzą związki
ϕ
ϕ sin
cos b r
r
a = =
stąd
2
2 b
a
r = +
oraz dla r ≠0
2 2 2
2 sin
cos
b a
b b
a a
= +
= + ϕ
ϕ
Liczbę r, która jest długością wektora MO r
jest modułem liczby zespolonej z = a +bi , co zapisujemy
2
2 b
a bi
a z
r = = + = +
Widać stąd, Ŝe liczba zespolona jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy moduł jej jest równy zeru.
Kąt φ nazywamy argumentem liczby zespolonej z, co zapisujemy
φ = arg z
Dla liczby zespolonej o module równym zero, argument nie jest określony.
Argument określamy z dokładnością do wielokrotności składnika 2π, gdyŜ obrót o kąt 2π stanowi obrót o kąt pełny. Watrość argumentu φ spełniającą warunek
π ϕ 2 0≤ <
nazywamy wartością główną argumentu, lub po prostu argumentem głównym.
Na podstawie związków określających moduł i argument liczby zespolonej (wymienionych wyŜej) liczbę zespoloną moŜna wyrazić poprzez jej moduł i argument w postaci
) sin (cosϕ i ϕ z
bi a
z = + = +
Postać tę nazywamy postacią (przedstawieniem) trygonometryczną liczby zespolonej.
Przykład.1.
Przedstawmy w postaci trygonometrycznej liczbę z = -2+2i.
W tym celu obliczmy moduł i argument danej liczby
. sin
cos
, )
( i
z
π
= ϕ
=
=
= ϕ
−
=
−
− =
= ϕ
= +
−
= +
−
=
4 3
2 2 2 2
2 8 2
2 2 2
2 2 8
2
8 2
2 2
2 2 2
Zatem liczba z = -2+2i zapisana w postaci trygonometrycznej, to
π + π
= 4
3 4
8 cos 3 i sin z
Postać trygonometryczna ułatwia w szczególności mnoŜenie i dzielenie liczb zespolonych.
JeŜeli liczby zespolone z1 i z2 dane są w postaci trygonometrycznej
) sin (cos
) sin
(cos 1 1 2 2 2 2
1
1 = z ϕ +i ϕ z = z ϕ +i ϕ
z
to
)) sin(
)
(cos( 1 2 1 2
2 1 2
1 ⋅z = z ⋅z ϕ +ϕ +i ϕ +ϕ
z
)) sin(
)
(cos( 1 2 1 2
2 1 2
1 = ⋅ ϕ −ϕ +i ϕ −ϕ
z z z z
Widać więc, Ŝe aby pomnoŜyć (podzielić) dwie liczby zespolone wystarczy pomnoŜyć (podzielić) ich moduły i dodać ich argumenty (odjąć od argumentu licznika argument mianownika).
Zadania.
Przedstaw w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone 1. 7,
2. –4i, 3. 3-3i, 4. 1+i 3, 5. −2 3−2i .
4. Postać wykładnicza liczby zespolonej.
Oprócz wymienionych wcześniej postaci kanonicznej oraz trygonometrycznej istnieją takŜe inne przedstawienia liczb zespolonych. W szczególności liczby zespolone moŜna zapisać w tzw. postaci wykładniczej.
e i
z
z = ⋅ ϕ ,
przy czym symbole z ,ϕ oznaczają odpowiednio moduł i argument główny danej liczby zespolonej.
Dla liczb zespolonych zapisanych w tej postaci łatwo moŜna więc podać moduł i argument. Postać ta w bardzo dobry sposób obrazuje mnoŜenie
dzielenie liczb zespolonych. Od razu widać, Ŝe w wyniku mnoŜenia otrzymamy liczbę, której moduł będzie równy iloczynowi modułów tych liczb, a argument równy sumie argumentów.
5. Działania na liczbach zespolonych.
Na liczbach zespolonych moŜemy wykonywać podobnie jak na liczbach rzeczywistych podstawowe działania. Przyjmijmy oznaczenia: z1 = a + bi , z2
= c + di.
Liczby zespolone dodajemy, odejmujemy i mnoŜymy tak, jak wyraŜenia algebraiczne pamiętając, Ŝe i2=-1. Tak więc:
z1+z2 = (a+c) + (b+d) i,
z1-z2 = (a-c) + (b-d) i,
z1⋅ z2 = (ac-bd) + (ad+bc) i.
a) Dodawanie liczb zespolonych
Liczby zespolone moŜna dodawać, jeŜeli są przedstawione w postaci algebraicznej.
) b b ( j ) a a ( jb a jb a z
z1+ 2 = 1+ 1+ 2+ 2 = 1+ 2 + 1+ 2
NaleŜy dodać do siebie części rzeczywiste oraz części urojone.
Przykład
8 j 5 z1= +
6 j 12 z2 =− +
14 j 7 ) 6 j 12 ( 8 j 5 z
z1+ 2 = + + − + =− +
b) Odejmowanie liczb zespolonych
Odejmowanie liczb zespolonych moŜna wykonać jedynie na liczbach przedstawionych w postaci algebraicznej
) b b ( j ) a a ( ) jb a ( jb a z
z1− 2 = 1+ 1− 2+ 2 = 1− 2 + 1− 2
NaleŜy odjąć części rzeczywiste liczb zespolonych oraz ich części urojone.
Przykład
4 j 15 z1= −
12 j 20 z2 = +
16 j 5 12 j 20 4 j 15 ) 12 j 20 ( 4 j 15 z
z1− 2 = − − + = − − − =− −
c) MnoŜenie liczb zespolonych
MnoŜenie liczb zespolonych jest moŜliwe zarówno na liczbach w postaci algebraicznej jak i na liczbach zespolonych przedstawionych w postaci wykładniczej.
-- postać algebraiczna
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1 z (a jb ) (a jb ) a a ja b jba j bb
z ⋅ = + ⋅ + = + + +
Wiedząc, Ŝe j2 = -1 (przypominam, Ŝe j= −1) otrzymujemy:
) a b b a ( j ) b b a a ( z
z1⋅ 2 = 1 2− 1 2 + 1 2+ 1 2
Przykład
3 j 2 z1= +
8 j 4 z2 = −
4 j 32 24 12 j 16 j 8 ) 8 j 4 ( ) 3 j 2 ( z
z1⋅ 2 = + ⋅ − = − + + = −
-- postać wykładnicza
) ( j 2 1 j 2 j 1 2 1
2 1 2
1 re r re
e r z
z ⋅ = ϕ ⋅ ϕ = ⋅ ϕ+ϕ
Przykład
60o
j
1 10e
z =
45o
j
2 5e
z =
z1⋅z2 =10ej60o⋅5ej45o =50ej105o
W wyniku pomnoŜenia dwóch liczb zespolonych sprzęŜonych otrzymujemy liczbę rzeczywistą.
2 2 2
2 jab jba b a b
a ) jb a )(
jb a (
z∗ = + − = − + + = +
d) Dzielenie liczb zespolonych
Dzielenie liczb zespolonych podobnie jak ich mnoŜenie moŜe być wykonane na liczbach przedstawionych w postaci algebraicznej jak i wykładniczej.
-- postać algebraiczna
2 2
1 1
2 1
jb a
jb a z z
+
= +
Aby pozbyć się liczby zespolonej z mianownika musimy pomnoŜyć licznik i mianownik przez liczbę sprzęŜoną z mianownikiem.
2 2 2 2
2 1 2 1 2
2 2 2
2 1 2 1 2
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
2 2 1 1
2 2
1 1
2 1
b a
b a a jb b a
b b a a b
a
b b a jb b ja a a ) jb a )(
jb a (
) jb a )(
jb a ( jb a
jb a z z
+ + −
+
= + +
+ +
= −
− +
−
= + +
= +
Przykład
2 j 4 , 25 1
50 j 35 4
3
40 30 j 20 j 15 ) 4 j 3 )(
4 j 3 (
) 4 j 3 )(
10 j 5 ( 4 j 3
10 j 5
2
2 = + = +
+
− +
= + +
−
+
= +
− +
-- postać wykładnicza
) ( j
2 1 j 2
j 1
2
1 1 2
2 1
r e r e r
e r z
z ϕ−ϕ
ϕ ϕ =
=
Przykład
o o
o o
o
50 j ) 110 60 ( j 110
j 60 j
e 4 25 e
100 e
25 e
100 = − = −
e) Pierwiastkowanie liczb zespolonych
n a jb
z= +
NaleŜy liczbę zespoloną pod pierwiastkiem zamienić w postać wykładniczą.
n j
re z= ϕ
Teraz liczymy pierwiastek z modułu liczby zespolonej a jej argument dzielimy przez stopień pierwiastka.
jn n re z
= ϕ
Przykład
57o , 26 o
o 2 j
13 , j53 13
, 53
j 50e 7,07e
e 50 40 j 30
z= + = = =
f) Logarytmowanie liczb zespolonych
) jb a ln(
z= +
Logarytm z liczby zespolonej moŜemy wyliczyć, jeśli liczba zespolona będzie przedstawiona w postaci wykładniczej.
) re ln(
) jb a ln(
z= + = jϕ
MoŜemy teraz logarytm z iloczynu zastąpić sumą logarytmów.
ϕ
ϕ = +
=ln(rej ) lnr lnej z
czyli z=lnr+jϕ
Przykład
80 j 50 z= +
o 58
j 58
j ) ln94,4 lne 4,54 j58
e 4 , 94 ln(
) 80 j 50 ln(
z
ln = + = o = + o = +
Pierwiastkowanie i logarytmowanie liczb zespolonych to działania, które są spotykane przy obliczaniu czwórników i filtrów elektrycznych.
Modułem liczby z = a + bi nazywamy liczbę
2
2 b
a +
= z
Dzielenie liczb zespolonych jest trochę trudniejsze. Łatwo moŜna wykazać, Ŝe z
z z 2 = ⋅
Obliczając iloraz
2 1
z
z (zakładając oczywiście, Ŝe z2 ≠0) mnoŜymy licznik i mianownik tego ułamka przez sprzęŜenie mianownika (liczby z2). Otrzymujemy wtedy następujący wzór
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnoŜymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. Z podanych definicji działań na liczbach zespolonych wynika, Ŝe działania dodawania i mnoŜenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnoŜenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są równieŜ znane własności odejmowania i dzielenia. PowyŜsze stwierdzenia powodują, Ŝe dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnoŜenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niŜ rzeczywiste.
Przykład.1.
Znajdź część rzeczywistą i urojoną liczby (5+2i)+(-3-i).
Aby znaleźć część rzeczywistą i urojoną naleŜy dodać podane liczby zespolone.
Otrzymujemy wówczas
(5+2i) + (-3-i) = (5-3) + (2-1) i = 2+i
Zatem część rzeczywista równa jest 2, a urojona 1.
Przykład.2.
Wykonaj działania (-1+7i) ‧(4+10i).
Działania naleŜy oczywiście wykonać w odpowiedniej kolejności (najpierw mnoŜenie, potem dodawanie i odejmowanie) pamiętając, Ŝe i2=-1.
(-1+7i)‧(4+10i) = -1‧4 + (-1)‧10i + 7i‧4 + 7i‧10i = -4 -10i + 28i - 70 = -74+18i
Przykład.3.
Jaka liczba zespolona powstanie w wyniku podzielenia liczby 2i przez liczbę 1+i.
W wyniku dzielenia otrzymujemy oczywiście ułamek
i i + 1
2 .
Wystarczy teraz pomnoŜyć licznik i mianownik tego ułamka przez liczbę sprzęŜoną do liczby 1+i (z mianownika), czyli przez 1-i, a następnie uprościć otrzymane wyraŜenie.
i i i
i i ) i )(
i (
) i ( i i
i = + = +
−
= −
− +
= −
+ 1
2 2 2 1
2 2 1
1 1 2 1
2
2 2
Przy dzieleniu liczby 2i przez liczbę 1+i otrzymujemy zatem liczbę 1+i.
Zadania.
Wykonaj działania 1. (2-i)(3+2i)-5i ,
2. (5-(6+4i))-(3+2i)(3-2i), 3. (1+2i)2,
4. (2-i)3,
5. i
i 2 1
3 +
− ,
6. i
i 3 5
3 5
− + .
5. Podnoszenie do potęgi i wyciąganie pierwiastka z liczby zespolonej.
Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu do potęgi i obliczaniu pierwiastka z tej liczby. Gdy weźmiemy wzór na mnoŜenie liczb zespolonych w tej postaci dla z1 = z2 i rozszerzymy na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem Moivre’a
)) sin(
)
(cos(nϕ i nϕ z
zn = n +
Dzięki temu wzorowi w bardzo prosty sposób moŜemy podnosić liczby zespolone do potęgi i to dowolnie duŜej.
Przykład.1.
Obliczmy (1+i)12.
Łatwo się przekonać Ŝe liczba i+1 ma następujące przedstawienie trygonometryczne
π + π
=
+ 2 4 4
1 i cos i sin
Zatem stosując wzór de Moivre'a na potęgowanie liczb zespolonych otrzymujemy
(1+i)12 = 64 (-1 + 0 i ) = -64.
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy kaŜdą liczbę zespoloną w, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę z , to znaczy wn=z.
Spróbujmy znaleźć sposób na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z
liczby zespolonej z.
ZałóŜmy, Ŝe liczba zespolona z zapisana jest w postaci trygonometrycznej z = r (cosφ + i sinφ ).
Chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w w postaci trygonometrycznej w = R (cosβ + i sinβ),
aby
wn=z.
Wyliczając wn ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości wn=z dostajemy
Rn = r oraz
nβ = φ+2kπ.
Dodanie składnika 2kπ wynika z niejednoznaczności argumentu (moŜe się on róŜnić o wielokrotność 2π). Zatem
n , k
r
R =n β= ϕ+2 π .
Wynika stąd, Ŝe pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc k = 0, 1, 2, ... .
Wśród argumentów
n kπ + ϕ 2
istnieje dokładnie n takich, których róŜnice nie są wielokrotnościami liczby 2π.
Są to np. liczby k = 0, 1, ... , n-1. Zatem istnieje zawsze dokładnie n róŜnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z róŜnej od zera. Dane są one wzorami
. n , ...
, , k n ,
sin k n i
cos k z
wk n 2 2 0 1 1
−
=
ϕ+ π + ϕ+ π
⋅
= gdzie
Przykład.2.
RozwiąŜmy równanie z3=1.
Rozwiązanie równania z3=1 sprowadza się do znalezienia wszystkich pierwiastków sześciennych z 1 (istnieją oczywiście dokładnie trzy róŜne).
PoniewaŜ moduł liczby 1 jest równy 1, a argument 0, to korzystając ze wzoru na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej mamy
i . sin
i cos
w
i , sin
i cos
w
, sin
i cos w
2 3 1 3
4 3
4
2 3 1 3
2 3
2
1 0 0
2 1 0
−
= − + π
= π
+
= − + π
= π
= +
=
JeŜeli się przyglądniemy wartościom pierwiastków liczby zespolonej, to zauwaŜymy, Ŝe ich moduły są takie same i argumenty róŜnią się o wielokrotność
n π
2 . Z tej obserwacji wnioskujemy, Ŝe pierwiastki leŜą na jednym okręgu o środku w punkcie 0 i promieniu równym pierwiastkowi n-tego stopnia z modułu oraz, Ŝe pierwiastki dzielą okręg na n równych części. Jest to bardzo uŜyteczny wniosek przy zaznaczaniu pierwiastków na płaszczyźnie Gaussa, poniewaŜ wystarczy narysować okręg o promieniu n z , policzyć i zaznaczyć jeden pierwiastek danej liczby oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby z.
Zadania.
Oblicz
. i .
, .
, i .
i , . i
, ) i (
.
, ) i (
.
3 6 3
2003 6 5
2 2 6
1 5
4 1
3 3 1
3 5 5 2
1 1
+
−
−
− +
− +
−
