. Obliczy jego kt wzgldem osi OY .

Lista nr 2 Biotehnologia, sem.II, studia niestacjonarne I stopnia, 2015/16 Wektory. P laszczyzny i proste w R

1. Pewien wektor tworzy z osiami OX i OZ kty 45

i 60

. Obliczy jego kt wzgldem osi OY .

2. Zbudowa´ c r´ ownoleg lobok na wektorach ~ OA = ~i + ~j, ~ OB = ~ k − 3~j oraz obliczy´ c d lugo´ sci jego przek atnych.

3. Zbudowa´ c r´ ownoleg lobok na wektorach ~a = 2~j + ~ k i ~b = ~i + 2~ k oraz obliczy´ c jego pole i wysoko´ s´ c.

4. Obliczy´ c k aty w ∆ABC o wierzcho lkach: A(2, −1, 3), B(1, 1, 1), C(0, 0, 5).

5. Obliczy´ c pole tr´ ojk ata o wierzcho lkach: A(7, 3, 4), B(1, 0, 6), C(4, 5, −2).

6. Zbudowa´ c czworo´ scian o wierzcho lkach O(0, 0, 0), A(5, 2, 0), B(2, 5, 0), C(1, 2, 4) i obliczy´ c jego obj eto´

s´ c, pole ´ sciany ABC oraz wysoko´ s´ c czworo´ scianu opuszczon a na t

e ´

scian e.

7. Sprawdzi´ c, czy punkty A(2, −1, −1), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0) i D(5, 0, −6) le˙z a w jednej p laszczy´

znie.

8. Napisa´ c r´ ownania og´ olne i parametryczne p laszczyzn spe lniaj acych podane warunki:

a) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −2, 0) i jest prostopad la do wektora ~ n = [0, −3, 2];

b) p laszczyzna przechodzi przez punkty P

(0, 0, 0), P

(1, 2, 3), P

(−1, −3, 5);

c) p laszczyzna przechodzi przez punkty P

(1, −3, 4), P

(2, 0, −1) oraz jest prostopad la do p laszczyzny OXZ;

d) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −1, 3) oraz jest r´ ownoleg la do wektor´ ow ~a = [1, 1, 0], ~b = [0, 1, 1];

e) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (0, 3, 0) i jest r´ ownoleg la do p laszczyzny π : 3x − y + 2 = 0;

f) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (2, 1, −3) i jest prostopad la do p laszczyzn π

: x + y = 0, π

: y − z = 0.

9. Napisa´ c r´ ownanie og´ olne p laszczyzny przechodz acej przez o´

s OY i punkt A(4, 0, 3). Narysowa´ c t e p laszczyzn

e.

10. Napisa´ c r´ ownanie og´ olne p laszczyzny przechodz acej przez punkt A(2, −1, 1) i prostopad lej do p laszczyzn

π

: 3x + 2y − z + 4 = 0 i π

: x + y + z − 3 = 0. Narysowa´ c j a.

11. Napisa´ c r´ ownania parametryczne i kierunkowe prostych spe lniaj acych podane warunki:

a) prosta przechodzi punkt P (−3, 5, 2) i jest r´ ownoleg la do wektora ~ v = [2, −1, 3];

b) prosta przechodzi przez punkty P

(1, 0, 6), P

(−2, 2, 4);

c) prosta przechodzi przez punkt P (0, −2, 3) i jest prostopad la do p laszczyzny π : 3x − y + 2z − 6 = 0;

d) prosta przechodzi przez punkt P (7, 2, 0) i jest prostopad la do wektor´ ow ~ v

= [2, 0, −3] i ~ v

= [−1, 2, 0].

12. Napisa´ c r´ ownanie prostej prostopad lej do osi OZ poprowadzonej z punktu A(2, −3, 4).