Mecz matematyczny grupa młodsza pi

Mecz matematyczny

grupa młodsza piatek, 29 września 2006_,

1. Koło zostało podzielone na 2n sektorów przy czym n pomalowanych jest na biało i n na zielono. Wybieramy dowolny biały sektor i przypisujemy mu numer 1. Nastepnie nume-_, rujemy białe sektory liczbami od 2 do n zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Analogicznie postepujemy z sektorami zielonymi tylko numerujemy przeciwnie do ruchu wskazówek ze-_, gara (sektor o numerze 1 też wybieramy). Pokazać, że niezależnie od wyboru sektorów z numerem jeden istnieje półkole zawierajace wszystkie liczby od 1 do n._,

2. Okregi c_, i i c2 o środkach O1 i O2 przecinaja si_, e w punktach A i B. Prosta l prze-_, chodzaca przez punkt A przecina odpowiednio okr_, egi c_{, 1} i c₂ w drugich punktach C i D.

Proste CO₁ i DO₂ przecinaja si_, e w punkcie P , a prosta m przechodz_, aca przez P i pro-_, stopadła do CD przecina prosta AB w punkcie Q. Dowieść, że punkty P, D, Q, C, B leż_, a_, na jednym okregu._,

3. Trójkat równoboczny podzielono na 36 mniejszych trójk_, atów równobocznych. W_, każdym z wierzchołków tych trójkatów siedzi żuczek. Żuczki poruszaj_, a si_, e w nast_, epuj_, acy_, sposób: w każdym ruchu ida jeden odcinek do przodu a nast_, epnie skr_, ecaj_, a w prawo lub_, w lewo o 60 lub 120 stopni. Udowodnić, że kiedyś dwa żuczki sie spotkaj_, a._,

4. Udowodnij, że dla każdego n ­ 36 da sie przedstawić jedynk_, e jako sum_, e n odwrot-_, ności sześcianów liczb naturalnych.

5. W kuli o promieniu 7 wybrano 1001 punktów. Pokazać, że istnieje powłoka kulista o promieniu wewnetrznym 2 i zewn_, etrznym 3, która zawiera co najmniej 20 z tych punktów._,

6. Znaleźć stała K tak_, a, że dla dowolnych a, b, c dodatnich, spełniaj_, acych warunki:_, a

b,b c,c

a ∈ h3 4,4

3i Zachodzi

Kabc ­ a²b + ab²+ b²c + bc²+ c²a + ca²

oraz stała K jest mniejsza lub równa niż stała zaproponowana przez drużyne przeciwn_, a._, 7. Czarnoksieżnik Hofman powierza swojemu uczniowi nieskończony magiczny wzór_, składajacy si_, e z par liter AB i BA. Po całym dniu przepisywania uczeń postanawia_, zastapić każd_, a par_, e AB liter_, a A zaś par_, e BA liter_, a B. Ze zdziwieniem zauważył, że po_, zamianie wzór nie zmienił sie. Jakie litery we wzorze s_, a na miejscu 2006, 2007, 2008, 2009,_, jeśli pierwsza liter_, a jest A?_,

8. Niech Wk(n) oznacza liczbe podziałów liczby n na sum_, e dodatnich składników_, wiekszych b_, adź równych k, zaś M_{, k}(n) mniejszych badź równych k, w szczególności W_{, k}(0) = M_k(0) = 1 dla k > 0. Udowodnić, że dla n > 0 zachodzi:

Xn k=1

(M_k(n − k) − W_k(n − k)) = 0

1

9. Niech ABC bedzie trójk_, atem w którym AB 6= BC. Prosta styczna do okr_, egu_, opisanego na tym trójkacie w punkcie A przecina prost_, a BC w punkcie D. Punkty E i_, F sa leż_, a odpowiednio na symetralnych odcinków AB i AC oraz BE ⊥ BC i CF ⊥ BC._, Pokazać, że punkty D, E, F sa współliniowe._,

10. Punkt M leży wewnatrz trójk_, ata równobocznego ABC. MA_, ² + MB² = MC². Znaleźć miare k_, ata ∠AMB._,

11. Liczby dodatnie a, b, c spełniaja warunek a + b = 1. Pokazać, że zachodzi nierów-_, ność:

a + c ­^qabc(1 + c)

2

Mecz matematyczny

grupa starsza piat_,ek, 29 września 2006

1. W kuli o promieniu 7 wybrano 1001 punktów. Pokazać, że istnieje powłoka kulista o promieniu wewnetrznym 2 i zewn_, etrznym 3, która zawiera co najmniej 20 z tych punktów._,

2. Znaleźć stała K tak_, a, że dla dowolnych a, b, c dodatnich, spełniaj_, acych warunki:_, a

b,b c,c

a ∈ h3 4,4

3i Zachodzi

Kabc ­ a²b + ab²+ b²c + bc²+ c²a + ca²

oraz stała K jest mniejsza lub równa niż stała zaproponowana przez drużyne przeciwn_, a._, 3. Czarnoksieżnik Hofman powierza swojemu uczniowi nieskończony magiczny wzór_, składajacy si_, e z par liter AB i BA. Po całym dniu przepisywania uczeń postanawia_, zastapić każd_, a par_, e AB liter_, a A zaś par_, e BA liter_, a B. Ze zdziwieniem zauważył, że po_, zamianie wzór nie zmienił sie. Jakie litery we wzorze s_, a na miejscu 2006, 2007, 2008, 2009,_, jeśli pierwsza liter_, a jest A?_,

4. Niech W_k(n) oznacza liczbe podziałów liczby n na sum_, e dodatnich składników_, wiekszych b_, adź równych k, zaś M_{, k}(n) mniejszych badź równych k, w szczególności W_{, k}(0) = M_k(0) = 1 dla k > 0. Udowodnić, że dla n > 0 zachodzi:

Xn k=1

(M_k(n − k) − W_k(n − k)) = 0

5. W pieciok_, acie wypukłym ABCDE na boku AB istnieje taki punkt F , że zachodz_, a_, równości katów: ∠ECF = ∠ADE oraz ∠CEF = ∠BDC. Pokazać, że wówczas ∠BCD +_,

∠DEA = 180^◦.

6. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze nieparzyste p dla których liczby 1, 2, 3, . . . , (p − 1) da sie tak poparować, by istniała taka liczba s, że w każdej parze (a, b) zachodziło p|bs_, ²−a lub p|as²− b.

7. Niech x ? y oznacza _1+xy^x+y . Obliczyć:

(((. . . (((2 ? 3) ? 4) ? 5) . . .) ? 1993) ? 1994) ? 1995

8. W przestrzeni katy ∠AOB i ∠COD s_, a proste i nie leż_, a w jednej płaszczyźnie._, Płaszczyzny AOD i COB przecinaja si_, e na prostej k. Płaszczyzny AOC i BOD przecinaj_, a_, sie na prostej l. Pokazać, że proste k i l s_, a prostopadłe._,

3

9. Niech ciag x_{, 0}, x₁, x₂, . . . bedzie nieskończonym ci_, agiem liczb całkowitych nieujem-_, nych o takiej własności, że dla każdego k całkowitego nieujemnego liczba wyrazów ciagu_, nie przekraczajacych k jest skończona i nazywamy j_, a y_{, k}. Pokazać, że dla dowolnych m, n całkowitych dodatnich zachodzi:

Xn i=0

x_i+

Xm j=0

y_j ­ (n + 1)(m + 1)

10. Niech S bedzie zbiorem o mocy n zaś A_, 1, A2, . . . , Ak bedzie ci_, agiem jego podzbio-_, rów. Pokazać że jeśli dla każdej pary elementów x, y ∈ S istnieja taki indeks i, że (x ∈ A_{, i} oraz y ∈ S \ A_i) lub (x ∈ S \ A_i oraz y ∈ A_i), to k ­ log₂n.

11. Każda z liczb od 1, 2, . . . , 101 umieszczono dokładnie 101 razy w polach tablicy_, o wymiarach 101 × 101 po jednej na każdym polu. Udowodnić, że istnieje wiersz lub też kolumna w której znajduje sie conajmniej 11 różnych liczb._,

4