Pokazać, że (Q i∈IGi

1. Zestaw zadań 4: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych.

Produkty i koprodukty modułów.

(1) Niech {G_i : i ∈ I} będzie rodziną (możliwie nieskończoną) grup, niech Y

i∈I

G_i = {f : I →[

i∈I

G_i : f (i) ∈ G_i}

będzie produktem kartezjańskim rodziny zbiorów {Gi : i ∈ I}. Jeżeli f, g ∈ Q

i∈IG_i, to iloczyn f · g definiujemy jako funkcję f · g : I →S

i∈IG_i daną wzorem f · g(i) = f (i)g(i).

Pokazać, że (Q

i∈IG_i, ·) jest grupą, którą nazywamy iloczynem prostym zewnętrznym.

Ponadto definiujemy odwzorowania π_i :Q

i∈IG_i → G_i wzorem π_i(a) = a(i),

dla i ∈ I. Pokazać, że πi, i ∈ I, są dobrze określonymi epimorfizmami grup, które nazywamy epimorfizmami kanonicznymi.

(2) Niech {G_i : i ∈ I} będzie rodziną (możliwie nieskończoną) grup, niech Y

i∈I

G_i = {f : I →[

i∈I

G_i : f (i) ∈ G_i}

będzie produktem kartezjańskim rodziny zbiorów {Gi : i ∈ I}. W zbiorze Q

i∈IG_i rozpatrzmy podzbiór

a

i∈I

wG_i = {f ∈Y

i∈I

G_i : f (i) = 1_Gi dla prawie wszystkich i ∈ I}.

Iloczyn f · g, dla f, g ∈ `w

i∈IG_i definiujemy jak w grupie Q

i∈IG_i. Pokazać, że (`w

i∈IG_i, ·) jest grupą, którą nazywamy słabym iloczynem prostym zewnętrznym. W przypadku, gdy grupy G_i, i ∈ I, są abelowe, piszemy na ogół`

i∈IG_i, a w przypadku, gdy G_i, i ∈ I, są abelowe i zapisane w notacji addytywnej, piszemy na ogół P

i∈IGi. Ponadto definiujemy odwzorowania ι_i : G_i →Qw

i∈IG_i wzorem π_i(a) = a, gdzie a(j) =

(a, gdy j = i, 1_Gj, gdy j 6= i,

dla i ∈ I. Pokazać, że ι_i, i ∈ I, są dobrze określonymi monomorfizmami grup, które nazywamy monomorfizmami kanonicznymi.

(3) Niech (G, ·) będzie grupą, niech {H_i : i ∈ I} będzie rodziną (możliwie nieskończoną) podgrup normalnych grup G. Pokazać, że następujące warunki są równoważne:

(a) G =`w i∈IGi,

(b) każdy element g ∈ G \ {1} ma jednoznaczne przedstawienie w postaci g = h_i1h_i2. . . h_in,

gdzie i₁, . . . , i_n są różnymi elementami zbioru I oraz h_ik 6= 1, k ∈ {1, . . . , n}.

(4) Niech (G, ·) będzie grupą, niech {H_i : i ∈ I} będzie rodziną (możliwie nieskończoną) podgrup normalnych grup G. Wówczas, jeżeli

(a) G =S

i∈IH_i oraz (b) dla każdego k ∈ I, N_k∩D

S

i∈I\{k}H_iE ,

1

2

to G ∼=`w i∈IH_i.

(5) Niech {G_i : i ∈ I} będzie rodziną grup, H pewną grupą, niech {φ_i : H → G_i : i ∈ I} będzie rodziną homomorfizmów grup. Pokazać, że wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm φ : H →Q

i∈IG_i taki, że

πi◦ φ = φi,

dla i ∈ I. Ponadto pokazać, że jeśli grupa G ma powyższą własność, to wówczas G ∼=Q

i∈IG_i. (6) Niech {G_i : i ∈ I} będzie rodziną grup abelowych, H pewną grupą abelową, niech {φ_i : G_i →

H : i ∈ I} będzie rodziną homomorfizmów grup. Pokazać, że wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm φ :`

i∈IG_i → H taki, że

φ ◦ ι_i = φ_i,

dla i ∈ I. Ponadto pokazać, że jeśli grupa abelowa G ma powyższą własność, to wówczas G ∼=

`

i∈IGi.

(7) Pokazać, że powyższe twierdzenie jest fałszywe, jeśli rozważane grupy nie są abelowe (wskazówka:

wystarczy ograniczyć się do przypadku rodziny dwóch grup nieabelowych).

(8) Niech R będzie pierścieniem, niech {M_i : i ∈ I} będzie rodziną (możliwie nieskończoną) lewych R-modułów, niech Q

i∈IM_i będzie produktem rodziny grup abelowych {M_i : i ∈ I}. Jeżeli a ∈ R oraz m ∈Q

i∈IM_i, to iloczyn a · m definiujemy jako funkcję a · m : I →S

i∈IM_i daną wzorem a · m(i) = am(i).

Pokazać, że (Q

i∈IM_i, ·) jest lewym R-modułem, który nazywamy produktem modułów.

Ponadto definiujemy odwzorowania π_i :Q

i∈IM_i → M_i wzorem π_i(m) = m(i),

dla i ∈ I. Pokazać, że π_i, i ∈ I, są dobrze określonymi epimorfizmami modułów, które nazywamy epimorfizmami kanonicznymi.

(9) Niech R będzie pierścieniem, niech {M_i : i ∈ I} będzie rodziną (możliwie nieskończoną) lewych R-modułów, niech P

i∈IM_i będzie koproduktem rodziny grup abelowych {M_i : i ∈ I}. Jeżeli a ∈ R oraz m ∈ P

i∈IM_i, to iloczyn a · m definiujemy jako funkcję a · m : I → S

i∈IM_i daną wzorem

a · m(i) = am(i).

Pokazać, że (P

i∈IM_i, ·) jest lewym R-modułem, który nazywamy koproduktem (lub sumą) modułów.

Ponadto definiujemy odwzorowania ι_i : M_i →Pw

i∈IM_i wzorem ι_i(m) = m, gdzie m(j) =

(m, gdy j = i, 0_Mj, gdy j 6= i,

dla i ∈ I. Pokazać, że ι_i, i ∈ I, są dobrze określonymi monomorfizmami modułów, które nazy- wamy monomorfizmami kanonicznymi.

(10) Niech R będzie pierścieniem, niech {M_i : i ∈ I} będzie rodziną lewych R-modułów, N pewnym lewym R-modułem, niech {φ_i : N → M_i : i ∈ I} będzie rodziną homomorfizmów modułów.

Pokazać, że wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm φ : N →Q

i∈IM_i taki, że π_i◦ φ = φ_i,

3

dla i ∈ I. Innymi słowy, następujący diagram jest przemienny:

N ^{_ _φ//_}

φGiGGGGG##G GG

G Q

i∈IM_i

πi



M_i

Ponadto pokazać, że jeśli moduł M ma powyższą własność, to wówczas M ∼=Q

i∈IMi.

(11) Niech R będzie pierścieniem, niech {Mi : i ∈ I} będzie rodziną lewych R-modułów, N pewnym lewym R-modułem, niech {φi : M_i → N : i ∈ I} będzie rodziną homomorfizmów modułów.

Pokazać, że wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm φ :P

i∈IM_i → N taki, że φ ◦ ιi = φi,

dla i ∈ I. Innymi słowy, następujący diagram jest przemienny:

P

i∈IM_i ^{_φ_ //_}N

M_i

ιi

OO

φi

w;;w ww ww ww ww

Ponadto pokazać, że jeśli moduł M ma powyższą własność, to wówczas M ∼=P

i∈IM_i. Zadanie domowe: zadania 7, 10 i 11 należy rozwiązać na następne zajęcia.