Funkcje tworzące

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

Funkcje tworzące

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

DEFINICJA

Niech dany będzie ciąg liczbowy a 0 , a 1 , ..., a n,... . Funkcję A(z) =

∞

X

k=0

a _k z ^k

nazywamy funkcją tworzącą ciągu {a n } _n∈N .

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Własności funkcji tworzących

Niech dane będą dwa ciągi {a n } _n∈N i {b n } _n∈N oraz ich funkcje tworzące, odpowiednio A(z) = ^P

n­0

a _n z ⁿ oraz B(z) = ^P

n­0

b _n z ⁿ . Wówczas mamy

W1 sumowanie:

A(z) + B(z) = ^X

n­0

(a n + b n ) z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , ..., a n + b n , ...

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

Niech dane będą dwa ciągi {a n } _n∈N i {b n } _n∈N oraz ich funkcje tworzące, odpowiednio A(z) = ^P

n­0

a _n z ⁿ oraz B(z) = ^P

n­0

b _n z ⁿ . Wówczas mamy

W1 sumowanie:

A(z) + B(z) = ^X

n­0

(a n + b n ) z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , ..., a n + b n , ...

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Własności funkcji tworzących

W2 przesunięcie w prawo:

zA(z) = ^X

n­1

a n−1 z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

0, a ₀ , a ₁ , ..., a _n−1 , ...

W3 przesunięcie w lewo:

A(z) − a 0

z = ^X

n­0

a n+1 z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

a 1 , a 2 , ..., a n+1 , ...

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

W2 przesunięcie w prawo:

zA(z) = ^X

n­1

a n−1 z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

0, a ₀ , a ₁ , ..., a _n−1 , ...

W3 przesunięcie w lewo:

A(z) − a 0

z = ^X

n­0

a n+1 z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

a 1 , a 2 , ..., a n+1 , ...

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Własności funkcji tworzących

W4 mnożenie przez indeks (różniczkowanie):

A ⁰ (z) = ^X

n­0

(n + 1)a n+1 z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a ₁ , 2a ₂ , ..., (n + 1)a _n+1 , ...

W5 dzielenie przez indeks (całkowanie):

z

Z

0

A(t)dt = ^X

n­1

a n−1

n z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

0, a 0 , a ₁

2 , ..., a _n−1 n , ...

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

W4 mnożenie przez indeks (różniczkowanie):

A ⁰ (z) = ^X

n­0

(n + 1)a n+1 z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a ₁ , 2a ₂ , ..., (n + 1)a _n+1 , ...

W5 dzielenie przez indeks (całkowanie):

z

Z

0

A(t)dt = ^X

n­1

a _n−1 n z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

0, a 0 , a 1

2 , ..., a n−1

n , ...

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Własności funkcji tworzących

W6 skalowanie:

A(λz) = ^X

n­0

λ ⁿ a n z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a ₀ , λa ₁ , λ ² a ₂ , ..., λ ⁿ a _n , ...

W7 różnica:

(1 − z) A(z) = a 0 + ^X

n­1

(a n − a _n−1 ) z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

a 0 , a 1 − a ₀ , ..., a n − a _n−1 , ...

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

W6 skalowanie:

A(λz) = ^X

n­0

λ ⁿ a n z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a ₀ , λa ₁ , λ ² a ₂ , ..., λ ⁿ a _n , ...

W7 różnica:

(1 − z) A(z) = a 0 + ^X

n­1

(a n − a _n−1 ) z ⁿ

jest funkcją tworzącą dla ciągu

a 0 , a 1 − a ₀ , ..., a n − a _n−1 , ...

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Własności funkcji tworzących

W8 mnożenie (splot):

A(z)B(z) = ^X

n­0



 X

0¬k¬n

a k b n−k



 z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a ₀ b ₀ , a ₁ b ₀ + a ₀ b ₁ , ..., ^X

0¬k¬n

a _k b _n−k , ...

W9 sumy częściowe: A(z)

(1 − z) = ^X

n­0



 X

0¬k¬n

a _k



 z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a 0 , a 0 + a 1 , a 0 + a 1 + a 2 , ..., ^X

0¬k¬n

a _k , ....

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

W8 mnożenie (splot):

A(z)B(z) = ^X

n­0



 X

0¬k¬n

a k b n−k



 z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a ₀ b ₀ , a ₁ b ₀ + a ₀ b ₁ , ..., ^X

0¬k¬n

a _k b _n−k , ...

W9 sumy częściowe:

A(z)

(1 − z) = ^X

n­0



 X

0¬k¬n

a _k



 z ⁿ jest funkcją tworzącą dla ciągu

a ₀ , a ₀ + a ₁ , a ₀ + a ₁ + a ₂ , ..., ^X

0¬k¬n

a _k , ....

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

Ciąg {a n } _n∈N Funkcja tworząca

∞

P

k=0

a _k z ^k

1, 1, ..., 1, ... _1−z ¹ = ^P

n­0

z ⁿ 1, c, c ² , ..., c ⁿ , ... _1−cz ¹ = ^P

n­0

c ⁿ z ⁿ 1, M,

 _M 2

 , ...,

 M

n



, ..., M, 1, 0, ... (1 + z) ^M =

M

P

n=0

 M

n

 z ⁿ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­1

nz ⁿ 1, M + 1,

 _M+2 2

 ,

 _M+3 3



, ... ¹

(1−z)

= ^P

n­0

 n+M

n

 z ⁿ

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

Ciąg {a n } _n∈N Funkcja tworząca

∞

P

k=0

a _k z ^k

1, 1, ..., 1, ... _1−z ¹ = ^P

n­0

z ⁿ

n=0

0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­1

nz ⁿ 1, M + 1,

 _M+2 2

 ,

 _M+3 3



, ... ¹

(1−z)

= ^P

n­0

 n+M

n



z ⁿ

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

Ciąg {a n } _n∈N Funkcja tworząca

∞

P

k=0

a _k z ^k

1, 1, ..., 1, ... _1−z ¹ = ^P

n­0

z ⁿ 1, c, c ² , ..., c ⁿ , ... _1−cz ¹ = ^P

n­0

c ⁿ z ⁿ 1, M,

 _M 2

 , ...,

 M

n



, ..., M, 1, 0, ... (1 + z) ^M =

M

P

n=0

 M

n

 z ⁿ

0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­1

nz ⁿ 1, M + 1,

 _M+2 2

 ,

 _M+3 3



, ... ¹

(1−z)

= ^P

n­0

 n+M

n

 z ⁿ

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

Ciąg {a n } _n∈N Funkcja tworząca

∞

P

k=0

a _k z ^k

1, 1, ..., 1, ... _1−z ¹ = ^P

n­0

z ⁿ 1, c, c ² , ..., c ⁿ , ... _1−cz ¹ = ^P

n­0

c ⁿ z ⁿ 1, M,

 _M 2

 , ...,

 M

n



, ..., M, 1, 0, ... (1 + z) ^M =

M

P

n=0

 M

n

 z ⁿ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­1

nz ⁿ

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

Ciąg {a n } _n∈N Funkcja tworząca

∞

P

k=0

a _k z ^k

1, 1, ..., 1, ... _1−z ¹ = ^P

n­0

z ⁿ 1, c, c ² , ..., c ⁿ , ... _1−cz ¹ = ^P

n­0

c ⁿ z ⁿ 1, M,

 _M 2

 , ...,

 M

n



, ..., M, 1, 0, ... (1 + z) ^M =

M

P

n=0

 M

n

 z ⁿ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­1

nz ⁿ 1, M + 1,

 _M+2 2

 ,

 _M+3 3



, ... ¹

(1−z)

= ^P

n­0

 n+M

n

 z ⁿ

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

0, ..., 0, 1, M + 1, ...,

 _n M



, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­M

 _n M

 z ⁿ

n­1

0, 1, 1 + ¹ ₂ , 1 + ¹ ₂ + ¹ ₃ , ..., H n , ... _1−z ¹ ln _1−z ¹ = ^P

n­1

H n z ⁿ

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

0, ..., 0, 1, M + 1, ...,

 _n M



, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­M

 _n M

 z ⁿ 1, 1, _2! ¹ , ..., _n! ¹ , ... e ^z = ^P

n­0 z

n!

0, 1, ¹ ₂ , ..., _n ¹ , ... ln _1−z ¹ = ^P

n­1 z

n

0, 1, 1 + ¹ ₂ , 1 + ¹ ₂ + ¹ ₃ , ..., H n , ... _1−z ¹ ln _1−z ¹ = ^P

n­1

H n z ⁿ

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

0, ..., 0, 1, M + 1, ...,

 _n M



, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­M

 _n M

 z ⁿ 1, 1, _2! ¹ , ..., _n! ¹ , ... e ^z = ^P

n­0 z

n!

0, 1, ¹ ₂ , ..., _n ¹ , ... ln _1−z ¹ = ^P

n­1 z

n

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady

0, ..., 0, 1, M + 1, ...,

 _n M



, ... ^z

(1−z)

= ^P

n­M

 _n M

 z ⁿ 1, 1, _2! ¹ , ..., _n! ¹ , ... e ^z = ^P

n­0 z

n!

0, 1, ¹ ₂ , ..., _n ¹ , ... ln _1−z ¹ = ^P

n­1 z

n

0, 1, 1 + ¹ ₂ , 1 + ¹ ₂ + ¹ ₃ , ..., H n , ... _1−z ¹ ln _1−z ¹ = ^P

n­1

H n z ⁿ

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

Chcemy wyznaczyć ciąg generujący funkcję tworzącą _(1−z) ¹

. Skorzystamy z faktu, że A(z) = _1−z ¹ jest funkcją tworzącą ciągu a n = 1 dla n ∈ N 0 .

Zauważmy, że _(1−z) ¹

= A ⁰ (z). Zatem, na mocy własności (W 4), 1

(1 − z) ² = ^X

n­0

(n + 1)a n+1 · z ⁿ = ^X

n­0

(n + 1)z ⁿ .

Oznacza to, że _(1−z) ¹

jest funkcją tworzącą ciągu a n = (n + 1) dla

n ∈ N 0 .

Funkcje tworzące - definicja i własności Rozwiązywanie rekurencji za pomocą funkcji tworzących

Przykłady zastosowania przytoczonych wcześniej własności

Chcemy wyznaczyć ciąg generujący funkcję tworzącą ln( _1−z ¹ ).

Skorzystamy z faktu, że A(z) = _1−z ¹ jest funkcją tworzącą ciągu a n = 1 dla n ∈ N 0 .

Zauważmy,że ln( _1−z ¹ ) = ^R ₀ ^z A(t)dt. Zatem, na mocy własności (W 5),

ln( 1

1 − z ) = ^X

n­1

a _n

n + 1 z ⁿ = ^X

n­1

z ⁿ n + 1 .

Oznacza to, że ln( _1−z ¹ ) jest funkcją tworzącą ciągu zadanego wzorem:

a _n = ( ₁

n dla n ­ 1 0 dla n = 0.

MATEMATYKA DYSKRETNA ——- MATERIAŁY DO WYKŁADU

rekurencji

PRZYKŁAD (Wieże z Hanoi)

Niech

a

= 2a

+ 1 dla n ­ 1 oraz a

= 0. (1) Zauważmy, że

a

z

= 2a

z

+ z

=⇒ X

n­1

a

z

= 2 X

n­1

a

z

+ X

n­1

z

=⇒

X

n­0

a

z

= 2z X

n­0

a

z

+ X

n­0

z

− 1 =⇒ A(z) = 2zA(z) + z 1 − z =⇒

A(z) = z

(1 − 2z)(1 − z) =⇒ A(z) = 1

1 − 2z − 1 1 − z =⇒

A(z) = X

n­0

2

z

− X

n­0

z

=⇒ A(z) = X

n­0

(2

− 1)z

.

Stąd, postać jawna ciągu zadanego wzorem (1), to: a

= 2

− 1.