Funkcje - własności, funkcje elementarne

Funkcje - własności, funkcje elementarne

1. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji:

(a) f (x) = x (b) f (x) = |x|

(c) f (x) = ¹_x (d) f (x) = x²

(e) f (x) = 6x + 7 (f) f (x) = |5x + 9|

(g) f (x) = |5x| + 9 (h) f (x) = _x+2¹ + 3 (i) f (x) = −3x³+ 9 (j) f (x) = −3x²+ 9

(k) f (x) = (x + 3)²− 8 (l) f (x) = _|x+7|¹ (m) f (x) = _(x+7)¹ 2

(n) f (x) = 5x²− 2x + 8 (o) f (x) = |_|x+8|¹ + 9|

(p) f (x) = 12x (q) f (x) = 2^x

(r) f (x) = 2^|x|

(s) f (x) = 2^−x (t) f (x) = |x − 6| + 9

2. Sprawdź podane własności funkcji:

(a) f : R → R, f (x) = x, czy f jest rosnąca?

(b) f : R → R, f (x) = −x, czy f jest malejąca?

(c) f : R → R, f (x) = x², czy f jest nierosnąca?

(d) f : R → R, f (x) =

 0 gdy x < 0

x² gdy x ¬ 0 , czy f jest niemalejąca?

(e) f : R → R, f (x) = min{0, −x}, czy f jest niero- snąca?

(f) f : (0, ∞) → R, f (x) = x+9¹ − 8, czy f jest male- jąca?

(g) f : (∞, 0) → R, f (x) = |x|, czy f jest malejąca?

(h) f : R → R, f (x) = 3^x, czy f jest nierosnąca?

(i) f : (0, ∞) → R, f (x) = log2(x), czy f jest rosną- ca?

(j) f : [−π/2, π/2] → [−1, 1], f (x) = sin x, czy f jest niemalejąca?

3. Zbadaj monotoniczność funkcji:

(a) f : R → R, f (x) = |x + 1| + 7 (b) f : [−9, ∞] → R, f (x) = |x + 9| − 2

(c) f : R → R, f (x) = (x + 1)² (d) f : R → R, f (x) = x³

(e) f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) =x¹

(f) f : R → R, f (x) = 2^x

(g) f : (0, ∞) → R, f (x) = log2(x) (h) f : Z → Z, f (x) = x

(i) f : {1, 2} → {1, 2}, f (1) = 2, f (2) = 1 (j) f : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} → {1, 2, 4}, f (n) = 4

4. Czy podana funkcja jest bijekcją?

(a) f : R²→ R², f (x, y) = (|x|, y) (b) f : R → R, f (x) = x − 2000

(c) f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3}

(d) f : R³→ R², f (x, y, z) = (x³, y⁵) (e) f : R²→ R², f (x, y) = (x³, y²)

(f) f : R → Z, f (x) = [x]

(g) f : (0, ∞) → R, f (x) = log10(x) (h) f : (0, ∞) → R², f (x) = (log₁₀(x), x)

(i) f : Q \ 0 → Q \ 0, f (x) = ¹_x (j) f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = |x| + 5

5. Wyznacz funkcje odwrotne do podanych bijekcji:

1

(a) f : R → R, f (x) = x (b) f : R → R, f (x) = 2^x

(c) f : R → R, f (x) = log2(x)

(d) f : R⁴→ R⁴, f (x, y, z, t) = (t, x, z, y) (e) f : Z → Z, f (n) = n − 7

(f) f : Q → Q, f (x) = 4x

(g) f : (0, ∞) → (−∞, 0), f (x) = −x (h) f : (0, ∞) → (0, ∞), f (x) = ^√1_x

(i) f : Q \ 0 → Q \ 0, f (x) = ¹x

(j) f : [−5, ∞) → [0, ∞), f (x) = |x + 5|

6. Czy podana funkcja jest okresowa? Jeśli tak, to wyznacz jej okres podstawowy.

(a) f : R → R, f (x) = sin(x) (b) f : R → R, f (x) = cos(x)

(c) f : R → R, f (x) = x³ (d) f : R → R, f (x) = x⁵

(e) f : R → R, f (x) = {x} = x − [x]

(f) f : R → R, f (x) = |x| − [x]

(g) f : R → R, f (x) = sin(|x|) (h) f : R → R, f (x) = | sin(x)|

(i) f : R → R, f (x) = tg(x) dla x, dla których kre- ślonych jest tg oraz f (x) = 0 dla pozostałych x (j) g : R → R, g(x) = |f (x)| dla f z poprzedniego

przykładu

7. Zbadaj parzystość funkcji:

(a) f : R → R, f (x) = |x|

(b) f : R → R, f (x) = cos(x) (c) f : R → R, f (x) = sin(x)

(d) f : R → R, f (x) = sin(x) + cos(x) (e) f : R → R, f (x) = x

(f) f : R → R, f (x) = cos(|x|)

(g) f : R → R, f (x) = | sin(|x|)|

(h) f : R → R, f (x) = | sin(x)|

(i) f : R → R, f (x) = 9

(j) (*) Niech f będzie dowonolną funkcją z R w R.

Zapisz f jako sumę funkcji parzystej i nieparzy- stej.

8. Na podstawie dwóch punktów należących do wykresu funkcji liniowej, znajdź jej wzór:

(a) f (2) = 3, f (5) = 7 (b) f (0) = 8, f (6) = 4 (c) f (4) = 6, f (5) = 6 (d) f (3) = 2, f (2) = 3 (e) f (−1) = 0, f (7) = 7

(f) f (−10) = 100, f (1) = 0 (g) f (¹₂) =³₄, f (2) = 2 (h) f (−7) = 7, f (−5) = 5

(i) f (5) = 5, f (8) = −4 (j) f (6) = 3, f (7) = 18

9. Narysuj wykresy funkjci kwadratowych w układzie współrzędnych:

(a) f : R → R, f (x) = x²+ 5 (b) f : R → R, f (x) = (x + 6)²− 7

(c) f : R → R, f (x) = ¹₂x²+ 4x + 7 (d) f : R → R, f (x) = x²+ 2x + 1

(e) f : R → R, f (x) = 4x²+ 4x + 1

(f) f : R → R, f (x) = x²+ 4x + 4 (g) f : R → R, f (x) = (x − 2)²+ 6 (h) f : R → R, f (x) = x²+ x + 1

(i) f : R → R, f (x) = 3x²+ 5x + 8 (j) f : R → R, f (x) = 5x²+ 3x + 1

10. Rozwiąż równania kwadratowe w liczbach rzeczywistych:

(a) x²+ 2x + 3 = 0 (b) x²+ 2x + 1 = 0 (c) x²− 4x + 4 = 0 (d) 12x²+ 3x + 10 = 0

(e) 120x²+ 12x + 24 = 0

(f) 3x²+¹₂x + 9 = 0 (g) x²+ x + 5 = 0 (h) 2x²− 2x − 3 = 0

(i) x²− x + 1 = 0 (j) x²− 13x + 1 = 0

11. Niech x₁ oraz x₂ oznaczają pierwiastki poniższych równań kwadratowych (być może zespolone). Korzystając ze wzorów Viete’a, oblicz:

2

(a) x²+ 21x + 33 = 0, x1+ x2=?

(b) 234x²+ 12x + 10 = 0, x1x2=?

(c) 5x²− 40x + 14 = 0, x²₁+ x²₂=?

(d) 312x²+ 13x + 100 = 0, x⁴₁+ x⁴₂=?

(e) 20x²+ 7x + 15 = 0, x⁸₁+ x⁸₂=?

(f) ⁹₈x²+¹₆x + 9 = 0, x1+ x2=?

(g) 9x²+ x + 85 = 0, x1+ x2− 3x1x2=?

(h) x²+ 7x − 30 = 0, x²₁+ x²₂− x1− x2=?

(i) x²+ x − 11 = 0, xⁿ₁xⁿ₂ =?

(j) 2x²− 10x − 1 = 0, (x1+ x₂)ⁿ=?

12. Narysuj wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych w układzie współrzędnych:

(a) log(2x) (b) 2^3x+2

(c) 3^x+ 5 (d) log(x) + 8

(e) 2^x+2− 3

(f) log(2x + 4) + 1 (g) 2 · 3^x+ 3 (h) 3^3x−5+ 4

(i) 3 log(x) + 1 (j) 2 log(3x + 1) − 2

13. Własności funkcji logarytmicznych i wykładniczych:

(a) Pokaż, że log_cd = ^log_log^ad

ac

(b) Która z liczb jest większa, 2 log₃7, czy 3 log₇√ 3?

(c) Ile cyfr ma liczba 2¹000?

(d) Poplacja osobników pewnego gatunku co godzinę zwieksza się ośmiokrotnie. W jakim czasie populacja się podwoi?

(e) Kolonia pewnych bakterii zwiększa się co godzinę dwukrotnie. Początkowo jest 10000 osobników. Oblicz, ile osobników będzie w kolonii po poł godzinie, 1, 3 oraz 7 godzinach?

3